01-1 分析力学基础

第一章分析力学到现在为止，我们所研究的力学问题，基本上是用牛顿运动定律来求解的。

但用牛顿运动运动定律来求质点组的运动问题时，常常需要求解大量的微分方程组。

如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此而减少，甚至是增加了问题的复杂性。

十八、十九世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题。

因此迫切需要寻求另外的方法来处理这一问题。

1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》，在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题，而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图也没有。

在此基础上逐步发展成为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。

分析力学以拉格朗日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式。

通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。

而牛顿力学涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。

由此看来，分析力学和牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已。

对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣（lie）之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。

分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值。

它广泛的应用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统、机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。

许多新兴学科，如量子力学、相对论、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。

但是，由于分析力学中的数学推理较多，在历史上也发生过一些不良倾向，容易使人忘记力学的物理实质，对此我们应当引以为戒。

§1.1 广义坐标一、基本概念1、力学体系n 个相互作用着的质点构成的集合体。

2、 位形质点系各质点在空间的位置的有序集合，它决定了质点的位置和形状，也就是位形是质点系在空间的位置状态。

3、约束限制质点自由运动的条件。

前言把矢量力学的内容大部分归入普通物理的力学课，而在理论力学课程中主要讲分析力学内容的方案是有争议的。

但随着教学改革的深入，中学物理教学水平的不断提高，进入高等学校理科物理专业的学生学习普通物理课程的起点已经提高，进度正在加快，矢量力学的内容正越来越多地普通物理的力学课程中来。

如果在理论力学课程中仍然按部就班地讲授矢量力学，可能会出现多余的重复和浪费时间。

所以，我们在清华大学物理系尝试将力学和理论力学两门课的内容整合，把原来在理论力学课程中讲授的矢量力学大部分内容归如普通物理力学课，理论力学课程以分析力学内容为主。

分析力学的参考书很多，但选择合适的教材不是很容易。

有的教材内容过多，或者相对于二年级本科生太难；有的教材不适合物理专业的教学要求。

如果没有教材，只提供一些参考书，固然可以培养学生运用参考书的能力和习惯，但不免会加重学生课堂记笔记的负担，影响课堂效率。

我们选择Analytical Mechanics , L.N.Hand and J.D.Finch 1998作教材，但考虑到英文教材的阅读难度，因此，把要讲授的内容简单地整理成讲义，在网页公布，供同学在听课的基础上，与其它参考书一起读，以减少课后复习和自学时选读参考书的盲目性。

理论力学被认为是物理系最重要的课程之一。

首先，通过分析力学认识理论物理架构。

物理学是实验科学，物理理论的真理性最终要通过实践的检验，但要深化认识又必须将实验事实的感性认识提高到理性认识，概括为物理理论。

分析力学是这种实验到理论的经典：表达式简洁，处理问题强有力，具有可推广性。

其次，分析力学不仅是进一步学习近代物理（量子力学、统计力学）的阶梯，更重要的是其本身就是近代物理研究的前沿，就是60年代开始发展起来的经典力学的一个分支混沌动力学，它不仅在物理学，在其它领域显现越来越重要。

理论力学是物理系学生面对的第一门理论课程，从普通物理到理论物理，。

如何学好理论力学？首先，学生要调整学习方法，学习方法调整适当，相信学好它不会是特别费力的。

分析力学基础（一）华中科技大学CAD中心张云清2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学基础（）分析力学基础（一）一．经典力学概论概二．分析力学的基本概念三．虚位移原理、达朗伯原理四．动力学方程的三种形式四动力学方程的三种形式五．分析力学的变分原理2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析经典力学概论典力学研象于•经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动；牛力学•牛顿力学•拉格朗日力学•变分原理变原•哈密尔顿力学•分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）•运动稳定性•刚体动力学学•多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析牛顿力学•1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学；牛顿力学；•牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律–动力学基本规律–研究这些规律的方法—微积分速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学；牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–----约束的自由质点；•1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；•1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析拉格朗日力学•18世纪，机器产生，为受约束机械系统的运动分析，约束作用归为力作用，未约束力（未变）增多，用可以归结为力的作用，未知约束力（未知变量）的增多，矢量力学处理不便；•1788年拉格朗日（Lagrange）----《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）；•以虚位移原理、达朗贝尔原理为基础，引入标量形式的广义建坐标、能量、和功等物理量，采用纯分析方法使力学建立在统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学-避免了约束力；•拉格朗日没有认识到非完整系统的存在；年赫兹（•1894年，赫兹（Hertz）-----将约束系统分为完整系统与非完整系统；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析变分原理•与牛顿力学及拉格朗日力学不同，变分原理则从另一牛学朗学变种方式解释物质的机械运动规律，变分原理是将真实发生的运动与可能发生的一点加以比较，并提供能将发生的能发生的并能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则，变分原理分为变变为微分型变分原理、积分型变分原理；•微分型变分原理―――1829年高斯（Gauss）原理为代表；积分型变分原理年哈密尔顿（）•―――1834Hamilton 原理为代表；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析哈密尔顿力学与分析力学•将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密将哈密尔原由导出的哈密尔则方称为哈密尔顿力学；•分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分；不仅适用于离散机械系统而且也适用于更广泛的领域：不仅适用于离散机械系统，而且也适用于更广泛的领域：–连续介质力系统、–机电耦合系统、–控制系统和微观物质系统•对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用，是经典力学向现代物理学过渡的桥梁；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析运动稳定性•矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程，必须对微分方程积分求解才能矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程必须对微分方程积分求解才能确定机械系统的运动规律。

分析力学（第六章）零． 总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用； 分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。

一．分析力学的基本概念1．系统描述相关的概念（1）力学系：n 个相互作用着的质点构成的力学系统； （2）位形：力学系的位置状态； （3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）不完整约束稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关） 可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除） （4）自由度s ：描写力学系所须独立坐标的个数 k n s -=3 约束方程的个数 自由度数目 质点的个数（5）广义坐标：s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示出来：)3,,2,1(),;,,,(21n i t q q q x xs i i==。

s 个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量),,2,1(,s dtdq q==ααα的全体2．系统原理相关的概念（1） 实位移：在时间间隔（0≠dt）内发生的真实位移r d（2） 虚位移：设想发生的位移rδ（时间没变化，非真正的位移） 在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167,图6.2）；（3） 虚功：力在虚位移下所作的功（4） 理想约束：体系中约束力所作的功之和为零 01=⋅∑=r F ni N iδ光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束； 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。

（5） 拉格朗日函数（拉氏函数或拉格朗日量）体系的动能和势能之差);();,();,(t q V t q q T t qq L -= 适用于体系受保守力的情况。

（6） 广义动量：αααqT qL p∂∂=∂∂=αq 为线量时，αp 为动量分量；αq 为角量时，αp 为角动量分量；（7） 广义力：αααq x F q W t q q q Qi ni is ∂∂=∂∂=∑=3121);,,,( 的全体αq 为线量时，αQ 为力的分量；αq 为角量时，αQ 为力矩分量；（8） 哈密顿函数（或哈密顿量）αααqp L t p q H s∑=+-=1);,(应把广义速度都看成p q ,的函数（9） 正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量； ),,2,1(,s q p=ααα构成2s 维抽象空间，任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点（称为相点）（10）泊松括号：∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=sq H p G p H q G H G 1)(],[ααααα体系的某一力学量，哈密顿量二．基本原理1． 虚功原理质点i 处于平衡状态：),,2,1( 0s i r F r F W i N i i ii==⋅+⋅=δδδ体系处于平衡状态：011=⋅+⋅=∑∑==ni i N ni i i r F r F W iδδδ（1）坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：∑=⋅=ni iix FW 31δδ（2）广义坐标表示 )3,,2,1( 11n i q q x t tx q q x xsi i si i=∂∂=∂∂+∂∂=∑∑==ααααααδδδδαααααααααδδδδq Qq q x Fq q x F Wssni iis i ni i∑∑∑∑∑======∂∂=∂∂=1131131)(广义力分量 体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。

2009年12月29日第一章分析力学基础第一章分析力学基础经典力学本章内容：§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的虚功方程虚功方程广义坐标ii++i zi i yi iF F的广义力广义虚位移δq k ++izi i yi i F F即：二、广义力的计算δq≠0kz z z δqk≠0[例1-1] 求广义力A BC M x ϕoδx δr C m 1gm 2g解：0δ,0δ=≠ϕx （1）求Q xδθA BC M x ϕom 1gm 2gδϕδr C（2）求Q ϕϕδ,0δ=≠ϕx （1）求Q x0δ,0δ≠=ϕx三、有势力的广义力元功元功元功推广：y x dd−−广义坐标当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zi i yi iF F当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zi i yi iF F四、势能驻值定理变分虚位移原理主动力i i i即：有势力驻值五、最小势能原理稳定性稳定五、最小势能原理稳定性随遇平衡结论：稳定最小势能原理¾¾z达朗贝尔原理z虚位移原理达朗贝尔原理虚位移原理即：动力与惯性力在该系统的任意虚位移上的虚功之和为零。

动力学普遍方程解析形式即：动力学普遍方程[例1-2]已知：解：求：C 2C 1θAC Bza 1a ea rαF I1F I2eF I2r M I2αR a =rC 2C 1θA CBF I1F I2e F I2r M I2m 1g m 2g zδ,0δ≠=ϕx x ϕδx ¾δr C2δϕC 2C 1θA CBF I1F I2eF I2r M I2δx δϕm 1gm 2gcos (1−a θ0δ,0δ=≠ϕx ¾=δx121121cos (1−a θ本章内容：§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程上次内容回顾：广义力：广义坐标广义坐标注意动力学普遍方程广义坐标下面对第二项用广义坐标iiii广义惯性力动力学普遍方程广义惯性力广义惯性力：i i&=i i =)(在完整约束下，第t i∂∂+r k ki q q &∂∂r 广义速度i &r ii i =)(i i(i i (ii(i ii ii(i i广义惯性力⋅(i i r &⋅i i i i ⋅(i (ii ⋅r &(i=)(i i &&⋅r i &i ⋅i i (kii ⋅r &(k i i i &∂=⋅i i i ⋅i i (i &i (i im &∑i i m((i i m &∑i i m (第二类拉格朗日方程z有势力第二类拉格朗日方程−)((−)拉格朗日函数(−)保守系统z自由度广义坐标思考：(广义力。