18-分析力学基础

分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。

本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。

1. 引言分析力学是力学的一个重要分支，它研究物体在受到外力作用下的运动规律。

与牛顿力学不同的是，分析力学采用了更为抽象和数学化的方法，通过建立系统的数学模型来解决运动问题。

2. 基本概念在学习分析力学之前，我们首先需要了解几个基本概念。

2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象，它被假设为没有大小和形状的点，只有质量。

质点的位置可以用坐标来描述，通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。

2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。

在分析力学中，力的大小和方向都是非常重要的。

力可以通过矢量表示，其中矢量的方向表示力的方向，矢量的大小表示力的大小。

2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。

它描述了质点在受到力作用下的运动规律。

根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。

这个方程可以用矢量形式表示。

3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程，下面介绍其中两种常用的方法。

3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。

它基于能量守恒原理，将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。

通过建立拉格朗日函数，并利用欧拉-拉格朗日方程，可以得到描述质点运动的方程。

3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。

它基于哈密顿函数，通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数，可以得到描述质点运动的方程。

哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。

4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支，在很多领域都有广泛的应用。

4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律，包括行星、卫星等天体的运动。

分析力学提供了描述天体运动的数学方法，通过求解动力学方程，可以预测和解释天体运动的现象。

4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。

通过建立系统的动力学模型，可以优化机械系统的结构和运动性能，提高效率和稳定性。

分析力学知识点总结在分析力学知识中，有一些重要的概念和原理，接下来我们将对其进行详细分析和总结。

一、广义坐标和广义速度在分析力学中，广义坐标和广义速度是非常重要的概念。

广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数，而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。

广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度，而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。

对于一个具有N个自由度的系统，可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。

通过广义坐标和广义速度，可以建立系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一，它是用来描述系统运动规律的一种方法。

拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的，它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。

对于一个N个自由度的系统，其拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中，L是系统的拉格朗日函数，q_i表示系统的广义坐标，Q_i表示系统的广义力。

通过拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理，它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。

哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数，通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。

对于一个N个自由度的系统，其哈密顿方程可以写为：dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中，H是系统的哈密顿函数，q_i表示系统的广义坐标，p_i表示系统的广义动量。

通过哈密顿方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

四、刚体运动在分析力学中，刚体运动是一个重要的研究对象。

刚体是一个在运动中保持形状不变的物体，它的运动规律可以通过刚体力学来描述。

刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容，通过这些内容可以研究刚体的运动规律。

分析力学（第六章）零． 总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用； 分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。

一．分析力学的基本概念1．系统描述相关的概念（1）力学系：n 个相互作用着的质点构成的力学系统； （2）位形：力学系的位置状态； （3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）不完整约束稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关） 可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除） （4）自由度s ：描写力学系所须独立坐标的个数 k n s -=3 约束方程的个数 自由度数目 质点的个数（5）广义坐标：s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示出来：)3,,2,1(),;,,,(21n i t q q q x xs i i==。

s 个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量),,2,1(,s dtdq q==ααα的全体2．系统原理相关的概念（1） 实位移：在时间间隔（0≠dt）内发生的真实位移r d（2） 虚位移：设想发生的位移rδ（时间没变化，非真正的位移） 在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167,图6.2）；（3） 虚功：力在虚位移下所作的功（4） 理想约束：体系中约束力所作的功之和为零 01=⋅∑=r F ni N iδ光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束； 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。

（5） 拉格朗日函数（拉氏函数或拉格朗日量）体系的动能和势能之差);();,();,(t q V t q q T t qq L -= 适用于体系受保守力的情况。

（6） 广义动量：αααqT qL p∂∂=∂∂=αq 为线量时，αp 为动量分量；αq 为角量时，αp 为角动量分量；（7） 广义力：αααq x F q W t q q q Qi ni is ∂∂=∂∂=∑=3121);,,,( 的全体αq 为线量时，αQ 为力的分量；αq 为角量时，αQ 为力矩分量；（8） 哈密顿函数（或哈密顿量）αααqp L t p q H s∑=+-=1);,(应把广义速度都看成p q ,的函数（9） 正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量； ),,2,1(,s q p=ααα构成2s 维抽象空间，任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点（称为相点）（10）泊松括号：∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=sq H p G p H q G H G 1)(],[ααααα体系的某一力学量，哈密顿量二．基本原理1． 虚功原理质点i 处于平衡状态：),,2,1( 0s i r F r F W i N i i ii==⋅+⋅=δδδ体系处于平衡状态：011=⋅+⋅=∑∑==ni i N ni i i r F r F W iδδδ（1）坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：∑=⋅=ni iix FW 31δδ（2）广义坐标表示 )3,,2,1( 11n i q q x t tx q q x xsi i si i=∂∂=∂∂+∂∂=∑∑==ααααααδδδδαααααααααδδδδq Qq q x Fq q x F Wssni iis i ni i∑∑∑∑∑======∂∂=∂∂=1131131)(广义力分量 体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。