18-分析力学基础

分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。

本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。

1. 引言分析力学是力学的一个重要分支，它研究物体在受到外力作用下的运动规律。

与牛顿力学不同的是，分析力学采用了更为抽象和数学化的方法，通过建立系统的数学模型来解决运动问题。

2. 基本概念在学习分析力学之前，我们首先需要了解几个基本概念。

2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象，它被假设为没有大小和形状的点，只有质量。

质点的位置可以用坐标来描述，通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。

2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。

在分析力学中，力的大小和方向都是非常重要的。

力可以通过矢量表示，其中矢量的方向表示力的方向，矢量的大小表示力的大小。

2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。

它描述了质点在受到力作用下的运动规律。

根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。

这个方程可以用矢量形式表示。

3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程，下面介绍其中两种常用的方法。

3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。

它基于能量守恒原理，将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。

通过建立拉格朗日函数，并利用欧拉-拉格朗日方程，可以得到描述质点运动的方程。

3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。

它基于哈密顿函数，通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数，可以得到描述质点运动的方程。

哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。

4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支，在很多领域都有广泛的应用。

4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律，包括行星、卫星等天体的运动。

分析力学提供了描述天体运动的数学方法，通过求解动力学方程，可以预测和解释天体运动的现象。

4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。

通过建立系统的动力学模型，可以优化机械系统的结构和运动性能，提高效率和稳定性。

分析力学知识点总结在分析力学知识中，有一些重要的概念和原理，接下来我们将对其进行详细分析和总结。

一、广义坐标和广义速度在分析力学中，广义坐标和广义速度是非常重要的概念。

广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数，而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。

广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度，而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。

对于一个具有N个自由度的系统，可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。

通过广义坐标和广义速度，可以建立系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一，它是用来描述系统运动规律的一种方法。

拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的，它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。

对于一个N个自由度的系统，其拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中，L是系统的拉格朗日函数，q_i表示系统的广义坐标，Q_i表示系统的广义力。

通过拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理，它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。

哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数，通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。

对于一个N个自由度的系统，其哈密顿方程可以写为：dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中，H是系统的哈密顿函数，q_i表示系统的广义坐标，p_i表示系统的广义动量。

通过哈密顿方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

四、刚体运动在分析力学中，刚体运动是一个重要的研究对象。

刚体是一个在运动中保持形状不变的物体，它的运动规律可以通过刚体力学来描述。

刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容，通过这些内容可以研究刚体的运动规律。

分析力学（第六章）零． 总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用； 分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。

一．分析力学的基本概念1．系统描述相关的概念（1）力学系：n 个相互作用着的质点构成的力学系统； （2）位形：力学系的位置状态； （3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）不完整约束稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关） 可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除） （4）自由度s ：描写力学系所须独立坐标的个数 k n s -=3 约束方程的个数 自由度数目 质点的个数（5）广义坐标：s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示出来：)3,,2,1(),;,,,(21n i t q q q x xs i i==。

s 个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量),,2,1(,s dtdq q==ααα的全体2．系统原理相关的概念（1） 实位移：在时间间隔（0≠dt）内发生的真实位移r d（2） 虚位移：设想发生的位移rδ（时间没变化，非真正的位移） 在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167,图6.2）；（3） 虚功：力在虚位移下所作的功（4） 理想约束：体系中约束力所作的功之和为零 01=⋅∑=r F ni N iδ光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束； 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。

（5） 拉格朗日函数（拉氏函数或拉格朗日量）体系的动能和势能之差);();,();,(t q V t q q T t qq L -= 适用于体系受保守力的情况。

（6） 广义动量：αααqT qL p∂∂=∂∂=αq 为线量时，αp 为动量分量；αq 为角量时，αp 为角动量分量；（7） 广义力：αααq x F q W t q q q Qi ni is ∂∂=∂∂=∑=3121);,,,( 的全体αq 为线量时，αQ 为力的分量；αq 为角量时，αQ 为力矩分量；（8） 哈密顿函数（或哈密顿量）αααqp L t p q H s∑=+-=1);,(应把广义速度都看成p q ,的函数（9） 正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量； ),,2,1(,s q p=ααα构成2s 维抽象空间，任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点（称为相点）（10）泊松括号：∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=sq H p G p H q G H G 1)(],[ααααα体系的某一力学量，哈密顿量二．基本原理1． 虚功原理质点i 处于平衡状态：),,2,1( 0s i r F r F W i N i i ii==⋅+⋅=δδδ体系处于平衡状态：011=⋅+⋅=∑∑==ni i N ni i i r F r F W iδδδ（1）坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：∑=⋅=ni iix FW 31δδ（2）广义坐标表示 )3,,2,1( 11n i q q x t tx q q x xsi i si i=∂∂=∂∂+∂∂=∑∑==ααααααδδδδαααααααααδδδδq Qq q x Fq q x F Wssni iis i ni i∑∑∑∑∑======∂∂=∂∂=1131131)(广义力分量 体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。

2009年12月29日第一章分析力学基础第一章分析力学基础经典力学本章内容：§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的虚功方程虚功方程广义坐标ii++i zi i yi iF F的广义力广义虚位移δq k ++izi i yi i F F即：二、广义力的计算δq≠0kz z z δqk≠0[例1-1] 求广义力A BC M x ϕoδx δr C m 1gm 2g解：0δ,0δ=≠ϕx （1）求Q xδθA BC M x ϕom 1gm 2gδϕδr C（2）求Q ϕϕδ,0δ=≠ϕx （1）求Q x0δ,0δ≠=ϕx三、有势力的广义力元功元功元功推广：y x dd−−广义坐标当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zi i yi iF F当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zi i yi iF F四、势能驻值定理变分虚位移原理主动力i i i即：有势力驻值五、最小势能原理稳定性稳定五、最小势能原理稳定性随遇平衡结论：稳定最小势能原理¾¾z达朗贝尔原理z虚位移原理达朗贝尔原理虚位移原理即：动力与惯性力在该系统的任意虚位移上的虚功之和为零。

动力学普遍方程解析形式即：动力学普遍方程[例1-2]已知：解：求：C 2C 1θAC Bza 1a ea rαF I1F I2eF I2r M I2αR a =rC 2C 1θA CBF I1F I2e F I2r M I2m 1g m 2g zδ,0δ≠=ϕx x ϕδx ¾δr C2δϕC 2C 1θA CBF I1F I2eF I2r M I2δx δϕm 1gm 2gcos (1−a θ0δ,0δ=≠ϕx ¾=δx121121cos (1−a θ本章内容：§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程上次内容回顾：广义力：广义坐标广义坐标注意动力学普遍方程广义坐标下面对第二项用广义坐标iiii广义惯性力动力学普遍方程广义惯性力广义惯性力：i i&=i i =)(在完整约束下，第t i∂∂+r k ki q q &∂∂r 广义速度i &r ii i =)(i i(i i (ii(i ii ii(i i广义惯性力⋅(i i r &⋅i i i i ⋅(i (ii ⋅r &(i=)(i i &&⋅r i &i ⋅i i (kii ⋅r &(k i i i &∂=⋅i i i ⋅i i (i &i (i im &∑i i m((i i m &∑i i m (第二类拉格朗日方程z有势力第二类拉格朗日方程−)((−)拉格朗日函数(−)保守系统z自由度广义坐标思考：(广义力。

分析力学及其基本方程力学是物理学的基础学科，主要研究物体在空间中的运动状态及其相互作用。

其中分析力学是力学的一个分支，与经典力学相对应，它主要研究物体运动的微观过程，利用数学方法对物体的运动状态进行分析和计算。

分析力学的基本概念在分析力学中，物体的运动状态可以用弧长s来描述，s是物体在运动中所经历的路程长度。

对于一个物体，如果它在s时刻的速度为v（s），那么它在s时刻的加速度a（s）就可以用速度的导数来表示：a（s）= dv（s）/ds与力学中的其他分支不同的是，分析力学强调的是微观分析，因此其分析基础被描述为单个粒子的力学。

分析力学的基本方程分析力学的基本方程包括一系列数学方程式，它们被称为拉格朗日方程或哈密顿方程。

拉格朗日方程的基本形式为：d/dt (∂T/∂v) − ∂T/∂q = Q其中T是物体的动能，v是物体的速度，q表示静止位置，Q表示物体所受的合力。

哈密顿方程则是以动能（T）和势能（V）为基础，用哈密顿函数（H）来描述系统的动力学法则。

它的基本形式为：∂H/∂p = dp/dt∂H/∂q = d q/dt其中p是系统的广义动量，q是系统的广义位置，t表示时间。

这两个方程式为分析力学提供了基础。

利用它们，我们可以对不同的物理系统进行描述和计算，并得到系统中各个部分之间的相互作用。

分析力学的应用分析力学在物理学的许多领域都有广泛的应用，如天体力学、固体力学、流体力学等。

以下是一些具体的应用例子。

1. 太空飞行器：分析力学可用于研究、分析和计算太空飞行器的浪费燃料、姿态控制和路径规划等问题。

例如，分析力学的方法可以用来优化太空飞行器的姿态和动力学性能，从而提高太空探索任务的精度和效率。

2. 医药领域：分析力学可用于模拟和研究细胞、分子和药物分子的动力学过程，从而帮助研究人员了解分子间的相互作用，以及药物如何进入人体细胞中。

此外，分析力学的方法还可用于设计药物分子，以实现更高的药效和安全性。

分析力学基础（一）华中科技大学CAD中心张云清2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学基础（）分析力学基础（一）一．经典力学概论概二．分析力学的基本概念三．虚位移原理、达朗伯原理四．动力学方程的三种形式四动力学方程的三种形式五．分析力学的变分原理2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析经典力学概论典力学研象于•经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动；牛力学•牛顿力学•拉格朗日力学•变分原理变原•哈密尔顿力学•分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）•运动稳定性•刚体动力学学•多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析牛顿力学•1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学；牛顿力学；•牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律–动力学基本规律–研究这些规律的方法—微积分速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学；牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–----约束的自由质点；•1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；•1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析拉格朗日力学•18世纪，机器产生，为受约束机械系统的运动分析，约束作用归为力作用，未约束力（未变）增多，用可以归结为力的作用，未知约束力（未知变量）的增多，矢量力学处理不便；•1788年拉格朗日（Lagrange）----《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）；•以虚位移原理、达朗贝尔原理为基础，引入标量形式的广义建坐标、能量、和功等物理量，采用纯分析方法使力学建立在统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学-避免了约束力；•拉格朗日没有认识到非完整系统的存在；年赫兹（•1894年，赫兹（Hertz）-----将约束系统分为完整系统与非完整系统；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析变分原理•与牛顿力学及拉格朗日力学不同，变分原理则从另一牛学朗学变种方式解释物质的机械运动规律，变分原理是将真实发生的运动与可能发生的一点加以比较，并提供能将发生的能发生的并能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则，变分原理分为变变为微分型变分原理、积分型变分原理；•微分型变分原理―――1829年高斯（Gauss）原理为代表；积分型变分原理年哈密尔顿（）•―――1834Hamilton 原理为代表；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析哈密尔顿力学与分析力学•将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密将哈密尔原由导出的哈密尔则方称为哈密尔顿力学；•分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分；不仅适用于离散机械系统而且也适用于更广泛的领域：不仅适用于离散机械系统，而且也适用于更广泛的领域：–连续介质力系统、–机电耦合系统、–控制系统和微观物质系统•对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用，是经典力学向现代物理学过渡的桥梁；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析运动稳定性•矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程，必须对微分方程积分求解才能矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程必须对微分方程积分求解才能确定机械系统的运动规律。

第一章 分析力学基本概念以牛顿定律为基础建立起来解决力学问题的科学体系称为牛顿力学，它涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。

然而，对于一个受多约束的质点系，就要解一个众多未知量的联立方程组，此时，牛顿方法就显得不方便了，分析力学就应运而生。

分析力学是以拉格郎日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式，通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。

由此看来，分析力学与牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已，对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。

分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值，许多新兴学科，如量子力学、相对论力学、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。

1.1 分析力学的研究对象 约束1.1.1 有关概念（1）力学中的理想模型：质点、质点系、刚体。

分析力学的研究对象是质点系。

（2）惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系一般在研究地球表面及附近物体的运动，常将与地球固连的坐标系作为惯性参考系。

(3)矢径：（4）位形：质点系各质点在空间的位置的有序集合。

它决定了质点系的位置和形状。

（5）自由系和非自由系：自由质点：在空间的位置和运动不受任何限制的质点。

自由系统：自由质点的集合。

非自由质点：在空间的位置和运动受到某些限制的质点。

非自由系统：非自由质点的集合。

1.1.2 约束、约束方程及约束分类一、约束：对非自由质点系各质点的位置及运动的限制条件二、约束方程：表示限制条件的数学方程。

例如： ir。