18-分析力学基础
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分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。
本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。
1. 引言分析力学是力学的一个重要分支,它研究物体在受到外力作用下的运动规律。
与牛顿力学不同的是,分析力学采用了更为抽象和数学化的方法,通过建立系统的数学模型来解决运动问题。
2. 基本概念在学习分析力学之前,我们首先需要了解几个基本概念。
2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象,它被假设为没有大小和形状的点,只有质量。
质点的位置可以用坐标来描述,通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。
2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。
在分析力学中,力的大小和方向都是非常重要的。
力可以通过矢量表示,其中矢量的方向表示力的方向,矢量的大小表示力的大小。
2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。
它描述了质点在受到力作用下的运动规律。
根据牛顿第二定律,动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。
这个方程可以用矢量形式表示。
3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程,下面介绍其中两种常用的方法。
3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。
它基于能量守恒原理,将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。
通过建立拉格朗日函数,并利用欧拉-拉格朗日方程,可以得到描述质点运动的方程。
3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。
它基于哈密顿函数,通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数,可以得到描述质点运动的方程。
哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。
4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支,在很多领域都有广泛的应用。
4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律,包括行星、卫星等天体的运动。
分析力学提供了描述天体运动的数学方法,通过求解动力学方程,可以预测和解释天体运动的现象。
4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。
通过建立系统的动力学模型,可以优化机械系统的结构和运动性能,提高效率和稳定性。
分析力学知识点总结在分析力学知识中,有一些重要的概念和原理,接下来我们将对其进行详细分析和总结。
一、广义坐标和广义速度在分析力学中,广义坐标和广义速度是非常重要的概念。
广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数,而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。
广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度,而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。
对于一个具有N个自由度的系统,可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。
通过广义坐标和广义速度,可以建立系统的运动方程,进而研究系统的运动规律。
二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一,它是用来描述系统运动规律的一种方法。
拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的,它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。
对于一个N个自由度的系统,其拉格朗日方程可以写为:d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中,L是系统的拉格朗日函数,q_i表示系统的广义坐标,Q_i表示系统的广义力。
通过拉格朗日方程,可以得到系统的运动方程,进而研究系统的运动规律。
三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理,它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。
哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数,通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。
对于一个N个自由度的系统,其哈密顿方程可以写为:dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中,H是系统的哈密顿函数,q_i表示系统的广义坐标,p_i表示系统的广义动量。
通过哈密顿方程,可以得到系统的运动方程,进而研究系统的运动规律。
四、刚体运动在分析力学中,刚体运动是一个重要的研究对象。
刚体是一个在运动中保持形状不变的物体,它的运动规律可以通过刚体力学来描述。
刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容,通过这些内容可以研究刚体的运动规律。
分析力学(第六章)零. 总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用; 分析力学偏重于解析数学;两者风格不同,但在力学范围内完全等价,由于分析力学具有普适的表述方式,可推广到其它学科中应用。
一.分析力学的基本概念1.系统描述相关的概念(1)力学系:n 个相互作用着的质点构成的力学系统; (2)位形:力学系的位置状态; (3)约束:限制质点自由运动的条件;分类:几何约束(限制几何位置),微分约束(约束中包含速度)不完整约束稳定约束(与时间无关),不稳定约束(与时间有关) 可解约束(可以解除),不可解约束(不可以解除) (4)自由度s :描写力学系所须独立坐标的个数 k n s -=3 约束方程的个数 自由度数目 质点的个数(5)广义坐标:s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示出来:)3,,2,1(),;,,,(21n i t q q q x xs i i==。
s 个独立坐标参量称为广义坐标(6)广义速度:广义速度分量),,2,1(,s dtdq q==ααα的全体2.系统原理相关的概念(1) 实位移:在时间间隔(0≠dt)内发生的真实位移r d(2) 虚位移:设想发生的位移rδ(时间没变化,非真正的位移) 在稳定约束下,实位移是虚位移中的一个;在不稳定约束下,实位移不同于虚位移(P167,图6.2);(3) 虚功:力在虚位移下所作的功(4) 理想约束:体系中约束力所作的功之和为零 01=⋅∑=r F ni N iδ光滑曲面、曲线、铰链;不可伸长的杆、绳;固定点约束; 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。
(5) 拉格朗日函数(拉氏函数或拉格朗日量)体系的动能和势能之差);();,();,(t q V t q q T t qq L -= 适用于体系受保守力的情况。
(6) 广义动量:αααqT qL p∂∂=∂∂=αq 为线量时,αp 为动量分量;αq 为角量时,αp 为角动量分量;(7) 广义力:αααq x F q W t q q q Qi ni is ∂∂=∂∂=∑=3121);,,,( 的全体αq 为线量时,αQ 为力的分量;αq 为角量时,αQ 为力矩分量;(8) 哈密顿函数(或哈密顿量)αααqp L t p q H s∑=+-=1);,(应把广义速度都看成p q ,的函数(9) 正则变量:广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量; ),,2,1(,s q p=ααα构成2s 维抽象空间,任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点(称为相点)(10)泊松括号:∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=sq H p G p H q G H G 1)(],[ααααα体系的某一力学量,哈密顿量二.基本原理1. 虚功原理质点i 处于平衡状态:),,2,1( 0s i r F r F W i N i i ii==⋅+⋅=δδδ体系处于平衡状态:011=⋅+⋅=∑∑==ni i N ni i i r F r F W iδδδ(1)坐标表示在理想约束的情况下,力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零:∑=⋅=ni iix FW 31δδ(2)广义坐标表示 )3,,2,1( 11n i q q x t tx q q x xsi i si i=∂∂=∂∂+∂∂=∑∑==ααααααδδδδαααααααααδδδδq Qq q x Fq q x F Wssni iis i ni i∑∑∑∑∑======∂∂=∂∂=1131131)(广义力分量 体系处于平衡时,广义力分量都应等于零。