分析力学基础大作业

第15章分析力学基础习题1. 是非题（对画V,错画X ）15・1.动力学普遍方程屮包括内力虚功。

（）152动力学普遍方程是rfl 达朗贝尔原理与虚位移原理组成的。

（）2. 填空题（把正确的答案写在横线上）15・3.在具有完整、理想、双侧约束的质点系，动力学问题可看成每个广义坐标所对应 ________ 和 ____________ 相平衡。

15-4.当主动力是势力时，拉氏函数厶= ____________ o15・5.如图所示的行星齿轮机构屮，轮I 、II 的半径为r t =r 2=r f 在|11|柄上作用力偶矩为M,行星齿轮II 为均质圆轮，其质量为m,若以行星齿轮II 的绝对转角◎为广义坐标, 则所对应的广义力Q = ____________________ o156半径为厂的均质圆轮绕水平轴0转动，其上作用有力偶矩M,在轮缘上4处较接 长为质量为m 的均质细IF AB ,则体系的自由度为_________________________ ；以广义坐标0 和（p 表示的广义力Qg = _____________ ； 题15-6图3. 简答题15・7.达朗贝尔原理、虚位移原理和动力学普遍方程三者Z 间的关系？158推导拉格朗口方程的过程屮，哪一步用到完整约束条件？对于非完整约束的质点系是否能应用拉格朗口方程？15・9.试应用拉格朗LT 方程推导刚体平面运动的运动微分方程。

15-10.当研究的系统屮有摩擦力时，在动力学普遍方稈或拉格朗LI 方稈屮应怎样处理？4. 计算题15・11.应用拉格朗LI 方程推导单摆的运动微分方程。

分别以下列参数为广义坐标：TT题15-14图(1) 转角(p(2) 水平坐标x(3 )铅直坐标y15-12.如图所示点绞车，提升一重为P 的重物，在其主动轴上作用一不变的力矩M 。

已知主动轴和从动轴连同安装的这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各白轴的转动惯量分 别为厶、丿2,传动比#空，吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R,轴承的摩擦不计。

分析力学基础一是非判断题1.不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。

（√）2. 均质圆柱绕其对称轴作定轴转动，则圆柱惯性力系对于空间中平行于转轴的任意一轴的力矩之和，都是同一值。

（√）3. 因为实位移和虚位移都是约束允许的，所以实际的微小位移必定是诸虚位移中的一个。

（×）4. 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。

（×）5. 凡几何约束都是完整约束，完整约束未必是几何约束。

（√）二选择题1.下列约束中，非理想约束的是（B ）。

A 纯滚动，有摩擦力但无滚动摩阻。

B 有摩擦的铰链。

C 摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。

D 连接两个质点的不可伸长的柔索。

2. 如图所示四种情况，惯性力系的简化只有（ C ）图正确。

3. 均质细杆AB质量为m，长为L，置于水平位置，如图所示。

若在绳BC突然剪断时角加速度为α，则杆上各点惯性力的合力大小为（12mLα），方向为（垂直向上），作用点的位置在杆的（左端A ）处4. 四根等长等重的均质直杆用铰链连接起来，再把两端用铰链固定在同一水平线上，如图所示，平衡时图示两个角度α和β的关系是（ B ）。

第二(3)题图第二(4)题图A ．tan 3tan βα=； B. tan 3tan αβ= C. tan 2tan βα=; D. tan 2tan αβ=5. 图示系统中，O 处为轮轴，绳与滑轮间无相对滑动，则物块A 与物块B 的虚位移大小的比值为（ B ）。

A ．6；B ．5；C ．4；D ．3.三 填空题1. 图示平面系统，圆环在水平面上作纯滚动，圆环内放置的直杆AB 可在圆环内自由运动，A ，B 两点始终与圆环保持接触，则该系统的自由度数为（ 2 ）。

2. 轮轴质心位于O 处，对轴O 的转动惯量为O J 。

在轮轴上系有两个质量各为1m 和2m 的物体，已知此轮轴顺时针转向转动，角加速度为α，则轴承O 处的动反力Ox F =( 0 ), Oy F =（ 12()m R m r α-）。

基于拉格朗日方程的苹果采摘机械手的力学分析摘要目前由于果蔬采摘的复杂性，采摘自动化程度仍然很低，国内采摘作业基本上是依靠手工完成。

进入21世纪，世界各国均面临老龄化问题，所需的劳动力不仅成本高，而且效率也不高，因此发展机械化收获技术，研究开发果蔬采摘机器人，具有重要的意义。

国内外对于果蔬采摘机器人仍处于研究开发设计阶段，要走的路还很长，主要原因之一是机器人具体的研究与设计与分析存在不足。

针对现有的主要结构设计上的不足，本文以苹果为采摘对象，对苹果采摘机器人机械手进行了结构设计与分析。

通过了解与学习国内外苹果采摘机器人机械手的设计与分析，基于苹果采摘机器人机械手的所需完成的功能原则，提出了一种具有整体升降和小臂伸缩功能的三自由度苹果采摘机械手，建立苹果采摘机械手的简易模型，画出相应的结构简图，对各个构件进行逐步受力分析，利用拉格朗日方程建立采摘机器人机械手力学方程并求解模型。

【关键词】：机械手拉格朗日方程动力学一．概述：进入21世纪，随着工业的迅速发展，世界各国均面临人口老龄化问题，农业劳动力逐渐向其他行业转移，劳动力不仅成本高而且还不容易得到。

而果蔬采摘作业是果蔬生产中最耗时、最费力的一个环节，其收获又属于劳动密集型作业，随着人们生活质量的不断提高，人们也急需要从这种高强度高危险性的劳动中解脱出来。

因此实现果蔬收获的机械化变得越来越迫切，研究农业果实采摘机器人具有重要的意义。

二．模型的建立及其求解2.1 模型建立的准备:随着多自由度系统的广泛应用，其动力学分析也成为多自由度机械系统设计的—个重要组成部分。

在单自由度机械系统中，由于只有一个自由度，可以把机构简化为—个具有等效质量或等效转动惯量的等效构件，再求出作用在等效构件上的等效力和等效力矩。

对于多自由度系统，则不能按其自由度简单地简化为互不相干的等效构件。

牛顿第二运动定律是研究动力学的基础。

用其进行动力学分析时，必须对每根杆件列出其静力学平衡方程，且在方程中包含有未知的约束反力，当系统的杆件越多时，需求解很大的微分方程组，因此增加了问题的复杂性。

6.1、一长为人、质量为7”的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。

已知碗是光滑的，半径为r；棒在碗内的长度为1(1 <2r) …用虚功原理证明棒的全长为,4(/2—2宀防—/—。

6.2、用绳子等距离地在定点0处悬挂两个相同的匀质球。

两球之上另旋转一相同的球体，如图示。

已知分别悬挂两球的绳长都是用虚功原理求出a角与0角之间的关系。

6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。

将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。

已知每个球体的重量为P6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为厶，弹性系数为k,单位长度质量(线密度)为b。

将此弹性圈套在一半径为R(2兀R>Q的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。

用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度&应满足的方程。

6.5、一半径为R的半球形碗内装有两个质量分别为“和的球体，它们的半径同为r(2r<7?)。

用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。

6.6、一轻杆长为2/ , —端光滑较链于固定点0,另一端点及中点分别焊接有质量为加'和加的小球。

杆可在铅直平面内绕固定点摆动。

写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。

6.7、一半径为r、质量为加'的圆柱形辂辘，其轴线沿水平方向。

辂辘上绕有长为/的轻绳, 绳的自由端系一质量为加的重物。

初始时绳子完全绕在辂辘上，体系静止。

尔后重物下落带动辂辘转动。

写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时辂辘转动角速度的大小。

6.8、上题中，如果绳了具有弹性，弹性势能为ks112, s为绳了的伸长。

证明重物肌的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为历的振动，其中=k(,m'+2m)/m'm□求出此种振动的振幅。

设初始时绳子完全绕在辂辘上，体系静止，尔后释放。

受力分析1如图2-1-7所示，甲、乙球通过弹簧连接后用绳悬挂于天花板，丙、丁球通过细绳连接后也用绳悬挂天花板.若都在A 处剪断细绳，在剪 断瞬间，关于球的受力情况，下面说法中正确的是（）A. 甲球只受重力作用B. 乙球只受重力作用C. 丙球受重力和绳的拉力作用D. 丁球只受重力作用 分析：当在A 处剪断时两球看作一个整体，整体加速度为g,此时弹簧中的力不变, 对AB 球都会有力的作用故A B 错，绳在松弛状态不能提供力，假设绳中有拉力，则丁的加速度会大于g 而丙的加速度会小于g,则两球会相互靠近，绳则松弛，假 设不成立，故绳中无拉力・如图 所示，物体a 、b 和c 径放在水平•臬血上，水平力Fb、Fc2 2-2-8=5N=10N分别作用于物体b 、c 上，a 、b 和c 仍保持静止.以Fl 、F2、F3分别表示a 与b 、 b 与c 、c 与桌面间的静摩擦力的大小，则（ ）A Fl . F2 • F3 --------A- =5N =0 =5N一起向右作匀速直线运动，下列判断正确的是（A. B. C. D. 高一物理力学D. =0 =10N =5N 2-2-8分析：（分析方法从简单到复杂）因为a 、b 、c 均保持静止，故加速度，合外力都 为0。

先分析a 只受b 对a 的支持力，以及重力故Fl=0,再分析b, b 受到重力、 a 对b 的压力、c 对b 的支持力、Fb 、以及c 对b 的摩擦力，c 对b 的摩擦力为水 平方向，故需水平方向的力来平衡，故F2=Fb=5,方向向右。

同理在对c 分析3如图2-2-1所示, A 、B 两物体叠放在水平面上, 水平力F 作用在A 上，使两者A 、B 间无摩擦力A 对B 的静摩擦力大小为F,方向向右B 对地面的动摩擦力的大小为F,方向向右B 受到了向右的静摩擦力和向左的滑动摩擦力甲 丙图 2-1-7B. Fi=5N, F2 =5N, F?=0 4 b分析：两者一起向右作匀速直线运动，则加速度都为0,处于平衡状态。

第15章虚位移原理解题的一般步骤及应注意的问题１．解题的一般步骤(１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题①求平衡条件;②求约束反力；③求桁架内力.（2)分析约束的性质, 画主动力的受力图.①系统以外的物体对它的作用力;②非理想约束的约束反力；③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力.（3）确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。

选择合适的坐标做广义坐标.（4)给出系统的虚位移,采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系:①几何法: 运用运动学中分析速度的方法,进行计算.②分析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算.（5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。

2.应注意的问题1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象,不宜选取分离体。

2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。

3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴)之力矩的虚功，可能简便些。

三、典型例题分析例1 图示曲柄连杆机构，在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶, 欲使机构在图示位置保持平衡，试求加于滑块B上的水平力P应为多大? 已知OA=a，AB=b，在图示位置AB 与水平线的夹角α=30º解: 这是属于求主动力的平衡条件的问题.作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。

系统受完整约束，有一个自由度,当机构有虚位移时,ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动,滑块Ｂ作平动。

令ＯＡ杆的虚位移为δϕ,则Ａ点虚位移为δr A, B点虚位移为δr B, AB杆的虚位移为绕瞬心C 的微小转角δψ，机构的虚位移如图。

根据虚位移原理得：Ｐδr B－Ｍδϕ＝０（１)3r , A B δϕδδδψδδψδϕδa AC BC r BC r AC a r B A ==∴===代入（１）式得：03=-δϕδϕM a PaM P 30=∴≠δϕ 15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。

力学大作业（一）姓名 学号 成绩一.选择题（每题3分，共30分）1.一质点沿x 轴作直线运动,其v —t 曲线如图1所示,如t=0时,质点位于坐标原点,则t=4.5s 时,质点在x 轴上的位置为(A) 0. (B) 5m. (C) 2m. (D) －2m. (E) －5m.2.一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t 2 i + b t 2 j (其中a 、b 为常量), 则该质点作(A) 匀速直线运动. (B) 变速直线运动. (C) 抛物线运动. (D) 一般曲线运动.3.一质点作直线运动,某时刻的瞬时速度为v=2m/s, 瞬时加速度为a= －2m/s 2, 则一秒钟后质点的速度(A) 等于零. (B) 等于－2m/s. (C) 等于2m/s. (D) 不能确定.4.一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v ，平均速率为v ,它们之间的关系必定有(A) v = v ，v = v . (B) v ≠v, v =v . (C) v ≠v, v ≠v . (D) v = v , v ≠v .5.质点作半径为R 的变速圆周运动时,加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率) (A) dv/dt. (B) v 2/R.-图1(C) dv/dt+ v 2/R. (D) [(dv/dt)2+(v 4/R 2)]1/2.6.一小球沿斜面向上运动,其运动方程为s=5+4t -t 2 (SI), 则小球运动到最高点的时刻是(A) t=4s. (B) t=2s. (C) t=8s. (D) t=5s.7.一物体从某高度以v 0的速度水平抛出,已知它落地时的速度为v t ,那么它运动的时间是(A) (v t -v 0)/g. (B) (v t -v 0)/(2g). (C) (v t 2-v 02)1/ 2/g. (D) (v t 2-v 02)1/2/(2g).8.如图2,质量为m 的小球,放在光滑的木版和光滑的墙壁之间,并保持平衡.设木版和墙壁之间的夹角为α,当α增大时, 小球对木版的压力将(A) 增加. (B) 减少. (C) 不变.(D) 先是增加, 后又减少, 压力增减的分界角为α=45°.9.质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动,每t 时间转一周,在2t 时间间隔中,其平均速度大小与平均速率大小分别为(A) 2πR/t, 2πR/t. (B) 0, 2πR/t. (C) 0, 0. (D) 2πR/t, 0.10.质点作曲线运动, r 表示位置矢量, s 表示路程, a t 表示切向加速度,下列表达式中 ,(1) dv/dt=a ； (2) dr/dt=v ； (3) ds/dt=v ； (4) ∣ d v /dt ∣=a t . 正确的是(A) 只有(1)、(4)是正确的. (B) 只有(2)、(4)是正确的. (C) 只有(2) 是正确的. (D) 只有(3)是正确的.图2二.填空题（每空格3分，共36分）1.悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动,振动方程为y=Asin ω t,其中A 、ω均为常量,则(1) 物体的速度与时间的函数关系为 ; (2) 物体的速度与坐标的函数关系为 . 2.在x 轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为v 0,初始位置为x 0加速度为a=Ct 2 (其中C 为常量),则其速度与时间的关系v= , 运动方程为x= .3.灯距地面高度为h 1,一个人身高为h 2, 在灯下以匀速率v 沿水平直线行走, 如图3所示.则他的头顶在地上的影子M 点沿地面移动的速度v M = .4.如图4,一质点P 从O 点出发以匀速率1cm/s 作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径为1m,如图所示,当它走过2/3圆周时, 走过的路程是 ,这段时间内的平均速度大小为 ,方向是 .5.一质点沿半径为R 的圆周运动, 在t = 0时经过P 点, 此后它的速率v 按v =A+B t (A 、B 为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的切向加速度a t = , 法向加速度a n = .6.以一定初速度斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气阻力, 当该物体的速度v 与水平面的夹角为θ 时，它的切向加速度a t 的大小为a t = , 法向加速度a n 的大小为a n = . 三.计算题（每题8分，共24分）1.一质点从静止开始作直线运动,开始加速度为a,次后加速度随时间均匀增加,经过时间τ后，加速度为2a ，经过时间2τ后，加速度为3a ，…. 求经过时间n τ后该质点的加速度和走过的距离.图42图32.一质点以相对于斜面的速度v=(2gy)1/2从其顶端沿斜面下滑，其中y为下滑的高度. 斜面倾角为α,在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动,求质点下滑高度为h 时,它对地速度的大小和方向.3.如图5所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2m的圆轨道转动. 转动的角速度ω与时间t的关系为ω = k t2 ( k为常量), 已知t = 2s时质点P的速度为32m/s.试求t = 1s时, 质点P的速度与加速度的大小.四.证明题（10分）1.一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后,其加速度方向与速度方相反,大小与速度平方成正比,即dv/dt=－kv2,式中k为常数.试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=ve-kx其中v0是发动机关闭时的速度.图5。