第1章 分析力学基础 1-6拉格朗日第二类方程的积分
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动力学普遍方程和拉格朗日方程页数:36
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第二类拉格朗日方程的初积分PPT课件
j 1
L q j
q j
L ) 0 q j
②
式②代入到式①
d
dt
k
(q j
j 1
L q j
)
dL dt
0
d
dt
[
k j 1
(q j
L q j
)
L]
0
得:
k j 1
(q j
L q j
)
L
常量
③
将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③
第4页/共29页
其中：
k
j 1
(q j
T2 q j
)
2T2
V mg(R r) cosj
因为 L T V L(j,j,q)
q为循环坐标，有
L
q
(J
2 3
mr2 )q
2 5
m(R
r)Rj
C1
又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由
T2 V C2
即：
1 2
(JO
2 5
mR2
)q2
1 2
7 5
m(R
r)j
2
保守系统
2 m(R r)Rjq mg(R r) cosj 0
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年 建立的经典力学的重新表述。它由拉格 朗日力学演变而来，那是经典力学的另 一表述，由拉格朗日于1788年建立。但 它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力 学表述。
第13页/共29页
哈密顿原理
哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。
哈密顿原理为：在相同的 始终位置、相同，约束条件下， 完整、主动力有势的系统在所 有的可能运动中，真实运动使 哈密顿作用量取驻值。
L q j
q j
L ) 0 q j
②
式②代入到式①
d
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k
(q j
j 1
L q j
)
dL dt
0
d
dt
[
k j 1
(q j
L q j
)
L]
0
得:
k j 1
(q j
L q j
)
L
常量
③
将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③
第4页/共29页
其中：
k
j 1
(q j
T2 q j
)
2T2
V mg(R r) cosj
因为 L T V L(j,j,q)
q为循环坐标，有
L
q
(J
2 3
mr2 )q
2 5
m(R
r)Rj
C1
又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由
T2 V C2
即：
1 2
(JO
2 5
mR2
)q2
1 2
7 5
m(R
r)j
2
保守系统
2 m(R r)Rjq mg(R r) cosj 0
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年 建立的经典力学的重新表述。它由拉格 朗日力学演变而来，那是经典力学的另 一表述，由拉格朗日于1788年建立。但 它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力 学表述。
第13页/共29页
哈密顿原理
哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。
哈密顿原理为：在相同的 始终位置、相同，约束条件下， 完整、主动力有势的系统在所 有的可能运动中，真实运动使 哈密顿作用量取驻值。
分析力学基础-拉格朗日方程
支持。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
分析力学基础
牛顿的《原理》只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系 统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是 1765年由欧拉（Euler）最后弄清楚的。 按照当时已有的力学知识,要分析一个稍许复杂的机构,例如一个有五级 齿轮的传动系统的运动,也还是无能为力的.如果拿这个问题去请教牛顿,牛顿 只会处理自由质点运动,不会处理刚体运动,何况还是带约束的呢.而转去请教 欧拉呢?他不得不将整个系统化归为五个”隔离体”即五个刚体,分别列出五个 刚体的运动方程,而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合,所以得面对 数十个方程联立的微分方程组.这样处理问题是太复杂了. 拉格朗日自有他的高招,他将这个系统简化为一个广义坐标的系统,因 为这个虽然有五个轮子的系统只要有一个参数便可以描述它的例如随便以 其中某一个轮子的转角为参数,这个参数知道了,整个齿轮系统的状态也便 知道了.然后再计算当系统动起来后系统的动能.这时便可以列出一个广义 坐标满足的二阶方程,这是何等的简便啊! 拉格朗日是怎么作到这一点的呢?
O
x
1
自由度： 2
a A
2
广义坐标： 1 2
二、受力分析：
y
b
B
F
计算广义坐标 1 、 2 对应 的 广义力
FA
FB
以下分两种方法进行计算
O
x
1
第一种方法： 解析法
xi yi zi Qk X i q Yi q Z i q i 1 k k k
即用质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零
利用广义坐标表示的平衡条件求解实际问题时，关健在 于如何表达其广义力。
通常求广义力的方法有两种：
方法一：是采用公式计算
拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程是经典力学中的基础概念之一。
它描述的是质点
在一定约束下的运动，是建立在尺度不变性原理的基础上的。
下面我
将按照以下列表分别介绍拉格朗日第二类方程的定义、推导过程以及
其应用。
1. 定义：
拉格朗日第二类方程是描述系统动力学的数学模型，它是由勒让德在1797年建立的，具体形式为：
d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ
其中，L是系统的拉格朗日函数，q是系统的广义坐标，Q是系统的非
保守力。
2. 推导过程：
拉格朗日第二类方程的推导主要分为以下几个步骤：
第一步，构建系统的拉格朗日函数，即L=T-V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。
第二步，求出系统的广义动量pᵢ=∂L/∂qᵢ。
第三步，对广义动量求导得到系统的加速度aᵢ= d/dt (∂L/∂qᵢ)。
第四步，根据牛顿第二定律F=ma以及广义动量的定义pᵢ=∂L/∂qᵢ，将非保守力Q用广义动量表示为Qᵢ=∂V/∂qᵢ。
第五步，代入广义动量和非保守力的表达式，得到拉格朗日第二类方程d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ。
3. 应用：
拉格朗日第二类方程是经典力学中最基础的方程之一，它在物理学的各个领域都有广泛的应用，如
（1）陀螺的运动学研究
（2）杆的运动学研究
（3）学习简谐振动的方程
（4）学习经典电动力学中的运动方程
（5）学习光学中的光路方程等
总之，拉格朗日第二类方程在物理学研究中有着重要的地位，熟练掌握它的概念和应用对于探究自然界的规律和解决实际问题都具有重要作用。
拉格朗日第二类方程
这就是拉格朗日第二类方程。
( j 1,2,, k )
(6.2.5)
适用范围：完整系统。
14
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
(3) Q j
AF q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
n 1 1 2 2 ( m v ) ( m v i i i i ) k d i 1 2 i 1 2 [ ]q j j q q j j 1 dt n
d T T [ ]q j j q j j 1 dt q
k
( m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
d T T ) q j 0 Q jq j ( j 1 j 1 dt q j q j k d T T 或： （Q j ) q j 0 j 1 j q j dt q
k k
由于δqj彼此独立，所以：
d T T Qj j q j dt q
1 2 P 9Q 0 M (R r)2 6 g 6M g 2 ( 2 P 9Q )( R r )
积分，得：
3M 2 gt C1t C 2 2 ( 2 P 9Q )( R r )
0 0 得 C1 C2 0 代入初始条件，t =0 时， 0 0 ,
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Q j
( j 1,2,, k )
(6.2.5)
适用范围：完整系统。
14
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
(3) Q j
AF q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
n 1 1 2 2 ( m v ) ( m v i i i i ) k d i 1 2 i 1 2 [ ]q j j q q j j 1 dt n
d T T [ ]q j j q j j 1 dt q
k
( m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
d T T ) q j 0 Q jq j ( j 1 j 1 dt q j q j k d T T 或： （Q j ) q j 0 j 1 j q j dt q
k k
由于δqj彼此独立，所以：
d T T Qj j q j dt q
1 2 P 9Q 0 M (R r)2 6 g 6M g 2 ( 2 P 9Q )( R r )
积分，得：
3M 2 gt C1t C 2 2 ( 2 P 9Q )( R r )
0 0 得 C1 C2 0 代入初始条件，t =0 时， 0 0 ,
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Q j
分析力学基础第一章(4-6节)
T q
m1
m2 x m2 Lcos
px
循环积分——系统的水平动量守恒
T V C
能量积分——机械能守恒
x
F t
vA
m1 g
CvCA
m2 g
§1-6 第一类拉格朗日方程
§1-6 第一类拉格朗日方程
设描述系统的位形坐标：q1 , q2 , , qn
系统的约束方程为： fk r1, r2 , , rn , t 0 k 1,2, , s
i 1
k 1
代入动力学普遍方程：
n
Fi FIi
ri
n
Fi
miri ri
0
i 1
i 1
有：
n i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
ri qk
qk
§ 1-4 第二类拉格朗日方程
n
i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
解：1、系统的自由度为k=1
2、系统的广义坐标：
3、系统的动能： T 1 1 m l22 1 m l22
23
6
4、系统的势能：
V
mg
l
1
cos
5、拉格朗日函数： 2
L T V 1 ml22 mg l 1 cos
OB
6
2
d dt
L qk
L qk
0
1 m l2 l m gsin
3
2
mg A
i 1
Fi
miri
s
k
k 1
fk ri
ri
第1章 分析力学基础 1-6拉格朗日第二类方程的积分汇总
解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原点 均在初始位置。
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
V
1 3
Ph
Q(h
s sin
r cos )
T
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
Q g
s&2
Q g
x&s&cos
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。
小球M自静止沿槽下滑，已知小球质量为 m1圆柱体质量为m2，半径为R， 试求：小球下降高度为h时，小球相对圆
柱体的速度，圆柱体的角速度。 解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初Leabharlann 位置。当ssin =h ，得
2m12 sin2 m2 s&2 2gh 0
(2m1 m2 )
s&
(2m1 m2 )2gh
2m1 sin2 m2
& 2m1 cos
R
2gh
(2m1 m2 )(2m1 sin2 m2)
q&k
L qk
q&k
0
N k 1
d dt
L q&k
q&k
L q&k
q&&k
L qk
q&k
d dt
N
k 1
L q&k
q&k
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
V
1 3
Ph
Q(h
s sin
r cos )
T
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
Q g
s&2
Q g
x&s&cos
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。
小球M自静止沿槽下滑，已知小球质量为 m1圆柱体质量为m2，半径为R， 试求：小球下降高度为h时，小球相对圆
柱体的速度，圆柱体的角速度。 解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初Leabharlann 位置。当ssin =h ，得
2m12 sin2 m2 s&2 2gh 0
(2m1 m2 )
s&
(2m1 m2 )2gh
2m1 sin2 m2
& 2m1 cos
R
2gh
(2m1 m2 )(2m1 sin2 m2)
q&k
L qk
q&k
0
N k 1
d dt
L q&k
q&k
L q&k
q&&k
L qk
q&k
d dt
N
k 1
L q&k
q&k
分析力学基础-第二类拉格朗日方程
广义坐标vA 。(Rr)
A
vA r
R r
r
M1-16
T
1 2
JO&2
1 2
Q g
v
2 A
1 2
J AA2
1 2
1 3
P g
(R
r)2&2
1 2
Q g
(R
r)2&2
1 2
1 2
Q g
r2
(R
r)2 r2
&2
1 2P 9Q (R r)2&2
12 g
W ( ) M
Q
W ( )
M
T&
1 6
2P
得
(m1 m2 )&x&1 m2l&&cos m2l&2 sin 0
M1-14
同理：
T& m2l2& m2lx&1 cos
T
m2lx&in
d dt
T x&1
m2l(l&&
cos &x&1
x&1&sin )
由拉格朗日方程d
dt
(
T q&k
)
T qk
Qk
得
m2l(l&& cos&x&1 x&1&sin) m2gl sin
)
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位
置）
V m2gl(1 cos)
求导运算可得：
T x&1
(m1
m2
)
x&1
06分析力学基础第二类拉格朗日方程
将Qk代入拉格朗日方程式，得
d dt
(
T qk
)
T qk
V qk
0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L(qk , qk , t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。
保守体系的拉格朗日方程为：
d dt
(
L qk
)
系统的运动微分方程。
(m1 m2 )x m2l kx 0 x l g 0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
M1-23
M1-24
变换 1.
ri qk
ri qk
由 ri ri (q1, q2, qN , t) (i 1, 2, n)
d dt
n i1
mi ri
ri qk
qk
n i1
1 2
mi
ri
ri
d dt
qk
n1 2
i1
mivi2
qk
n i1
1 2
mivi2
d dt
T qk
T qk
M1-3
由
Qk
n
miri
i1
ri qk
k 1, 2, N
可得
d dt
T qk
T qk
Qk
k 1, 2, N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk
§1.1分析力学
第一章分析力学到现在为止，我们所研究的力学问题，基本上是用牛顿运动定律来求解的。
但用牛顿运动运动定律来求质点组的运动问题时，常常需要求解大量的微分方程组。
如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此而减少，甚至是增加了问题的复杂性。
十八、十九世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题。
因此迫切需要寻求另外的方法来处理这一问题。
1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》，在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题，而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图也没有。
在此基础上逐步发展成为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。
分析力学以拉格朗日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式。
通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。
而牛顿力学涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。
由此看来，分析力学和牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已。
对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣（lie）之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。
分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值。
它广泛的应用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统、机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。
许多新兴学科，如量子力学、相对论、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。
但是，由于分析力学中的数学推理较多，在历史上也发生过一些不良倾向，容易使人忘记力学的物理实质，对此我们应当引以为戒。
§1.1 广义坐标一、基本概念1、力学体系n 个相互作用着的质点构成的集合体。
2、 位形质点系各质点在空间的位置的有序集合，它决定了质点的位置和形状，也就是位形是质点系在空间的位置状态。
3、约束限制质点自由运动的条件。
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ri vi ri qk k 1 qk
N
ri ri 1 1 1 T mi vi vi mi qk ql mkl qk ql 2 k , l 1 2 i 1 2 i 1 k 1 qk q l l 1
n
n
N
M1-7
[例 ]
楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重
Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆 柱体位于斜面最高点。
试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能
量积分与循环积分。
解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原点
T V C2
当t =0时， s 0 代入上式中，得
C1 C2 0 (2m1 m2 ) R2 2m1sR cos 0
1 [2m s 2 (2m m ) R2 2 4m sR cos ] m gs sin 0 1 1 2 1 1 4
化简，得
2m1 s cos (2m1 m2 ) R
2 2m1 sin 2 m2 2 s 2 gs sin 0 (2m1 m2 )
M1-14
2m1 s cos (2m1 m2 ) R
2 2 2m1 sin
m2 2 s 2 gs sin 0 (2m1 m2 )
N
N
其中
ri ri mkl mi q q k l i 1
M1-2
n
是广义坐标的函数，称为广义质量
很容易证明
T q 2T k q k k 1
N
注意势能 V 不含 qi 项，可得
L q (T V ) q 2T k k q q k k k 1 k 1
n
ri ri 1 mi qk ql 1 2 k，l 1 i 1 ql qk 2
n
N
n
k , l 1
mkl qk ql
N
ri ri mkl mi qk ql i 1
M1-19
均在初始位置。
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
1 V Ph Q (h s sin r cos ) 3
P Q 2 3 Q 2 Q 1 T x s xs cos 2 g 4g g
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos 1 Ph Q(h s sin r cos ) C 1 2 g 4g g 3
解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初始位置。
M1-11
小球的动能
T1 1 m1v12 2 1 m1[vr 2 ve 2 2vr ve cos(180 )] 2 1 m1 (s 2 R2 2 2sR cos ) 2 圆柱体的动能 T2 1 J 2 1 m2 R 2 2 2 4 系统的动能
N N
d d T d L 2 (2T L) 0 dt dt dt 积分上式，可得。
2T L C T V C
M1-4
积分上式，可得。
T V C
上式是保守系统的机械能守恒定律，也称为保守系统的广义能
量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。
M1-5
二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 qk (k N ) 为系统的循环坐标时，必有
d L L L qk qk qk dt qk qk qk k 1 d L L L qk qk qk qk dt k 1 qk k 1 qk
N
2T
M1-17
T 1 mkl qk ql 1 (m11q1q1 m12q1q2 m21q2q1 m22q2q2 ) 2 k , l 1 2
2
T 1 (2m q 2m q ) m q m q m q 11 1 12 2 11 1 12 2 1l l q1 2 l 1
当t =0时， x s 0 ，x = s = 0 , 代入上式中，得
1 C1 Ph Q ( h rcos ) 3 1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos Q s sin 0 2 g 4g g
M1-9
由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环 坐标，故有循环积分：
由于拉格朗日函数L中不显含时间t，广义坐标，故为 系统循环坐标，故有循环积分和能量积分。
L C 1
T V C2
M1-13
L C 1
1 [(2m m ) R2 2m sR cos ] C 1 2 1 1 2
1 [2m s 2 (2m m ) R2 2 4m sR cos ] m gs sin C 1 1 2 1 1 2 4
L T P Q Q Px x scos C2 x x g g
s 0 ，故上式中C2 = 0 ，可得 t = 0时 x
( P Q ) x Qs cos 0
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos Q s sin 0 2 g 4g g
当ssin =h ，得
2 2m1 sin 2 m2 2 s 2 gh 0 (2m1 m2 )
(2m1 m2 )2 gh s 2m1 sin 2 m2 2m1 cos 2 gh R (2m1 m2 )(2m1 sin 2 m2 )
M1-15
M1-16
上两式即为系统的能量积分和循环积分。 第二式实际上是
系统的机械能守恒方程。 第一式实质上是系统的动量在x方向 守恒。
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。 小球 M 自静止沿槽下滑，已知小球质量为
m1圆柱体质量为m2，半径为R，
试求：小球下降高度为 h 时，小球相对圆 柱体的速度，圆柱体的角速度。
T 1 (2m q 2m q ) m q m q m q 21 1 22 2 21 1 22 2 2l l q2 2 l 1
2
2
T m q kl l qk l 1
N
M1-18
n N N 1 r r 1 i i T mi vi vi mi qk ql 2 i 1 2 i 1 k 1 qk ql l 1 n N N N ri ri ri ri 1 1 qk ql mi qk ql mi 2 i 1 k 1 l 1 ql qk 2 i 1 k，l 1 ql qk n
N N
d L L 0 将方程 两边乘 qk 对k求和 dt qk qk
d L dt qk k 1
N
q L q 0 k q k k
M1-3
d L dt qq 0 k q k k
pk称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量 积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
于是拉氏方程成为
L 0 qk
d ( L ) L 0 dt qk qk
积分得：
L C qk
(k N )
称为拉格朗日方程的循环积分
M1-6
因L = T - V，而V中不显含 qk ，故上式可写成
L (T V ) T p C k qk qk qk
1-6
拉格朗日第二类方程的积分
拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行 积分。
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的
首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简 化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环
积分。
M1-1
一、能量积分 设系统所受的约束为定常约束，则 ri ri ( q1 , q2 , ... qN ) 中不 显含t ，则
T T1 T2
M1-12
系统的势能（取小球的起点为势能零点）：
V m1 gs sin
系统的拉格朗日函数为
2 2 2 2 2 1 1 L m1 (s R 2sR cos ) m2 R m1gs sin 2 4 2 2 2 1 L [2m1s (2m1 m2 ) R 4m1sR cos ] m1gs sin 4
1 T mkl qk ql 2 k , l 1 T m q kl l qk l 1
N T q mkl ql qk qk k k 1 k 1 l 1 N N
N
N
T q qk k k 1
N
k ,l 1
mkl qk ql
N
ri ri 1 1 1 T mi vi vi mi qk ql mkl qk ql 2 k , l 1 2 i 1 2 i 1 k 1 qk q l l 1
n
n
N
M1-7
[例 ]
楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重
Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆 柱体位于斜面最高点。
试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能
量积分与循环积分。
解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原点
T V C2
当t =0时， s 0 代入上式中，得
C1 C2 0 (2m1 m2 ) R2 2m1sR cos 0
1 [2m s 2 (2m m ) R2 2 4m sR cos ] m gs sin 0 1 1 2 1 1 4
化简，得
2m1 s cos (2m1 m2 ) R
2 2m1 sin 2 m2 2 s 2 gs sin 0 (2m1 m2 )
M1-14
2m1 s cos (2m1 m2 ) R
2 2 2m1 sin
m2 2 s 2 gs sin 0 (2m1 m2 )
N
N
其中
ri ri mkl mi q q k l i 1
M1-2
n
是广义坐标的函数，称为广义质量
很容易证明
T q 2T k q k k 1
N
注意势能 V 不含 qi 项，可得
L q (T V ) q 2T k k q q k k k 1 k 1
n
ri ri 1 mi qk ql 1 2 k，l 1 i 1 ql qk 2
n
N
n
k , l 1
mkl qk ql
N
ri ri mkl mi qk ql i 1
M1-19
均在初始位置。
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
1 V Ph Q (h s sin r cos ) 3
P Q 2 3 Q 2 Q 1 T x s xs cos 2 g 4g g
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos 1 Ph Q(h s sin r cos ) C 1 2 g 4g g 3
解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初始位置。
M1-11
小球的动能
T1 1 m1v12 2 1 m1[vr 2 ve 2 2vr ve cos(180 )] 2 1 m1 (s 2 R2 2 2sR cos ) 2 圆柱体的动能 T2 1 J 2 1 m2 R 2 2 2 4 系统的动能
N N
d d T d L 2 (2T L) 0 dt dt dt 积分上式，可得。
2T L C T V C
M1-4
积分上式，可得。
T V C
上式是保守系统的机械能守恒定律，也称为保守系统的广义能
量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。
M1-5
二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 qk (k N ) 为系统的循环坐标时，必有
d L L L qk qk qk dt qk qk qk k 1 d L L L qk qk qk qk dt k 1 qk k 1 qk
N
2T
M1-17
T 1 mkl qk ql 1 (m11q1q1 m12q1q2 m21q2q1 m22q2q2 ) 2 k , l 1 2
2
T 1 (2m q 2m q ) m q m q m q 11 1 12 2 11 1 12 2 1l l q1 2 l 1
当t =0时， x s 0 ，x = s = 0 , 代入上式中，得
1 C1 Ph Q ( h rcos ) 3 1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos Q s sin 0 2 g 4g g
M1-9
由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环 坐标，故有循环积分：
由于拉格朗日函数L中不显含时间t，广义坐标，故为 系统循环坐标，故有循环积分和能量积分。
L C 1
T V C2
M1-13
L C 1
1 [(2m m ) R2 2m sR cos ] C 1 2 1 1 2
1 [2m s 2 (2m m ) R2 2 4m sR cos ] m gs sin C 1 1 2 1 1 2 4
L T P Q Q Px x scos C2 x x g g
s 0 ，故上式中C2 = 0 ，可得 t = 0时 x
( P Q ) x Qs cos 0
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos Q s sin 0 2 g 4g g
当ssin =h ，得
2 2m1 sin 2 m2 2 s 2 gh 0 (2m1 m2 )
(2m1 m2 )2 gh s 2m1 sin 2 m2 2m1 cos 2 gh R (2m1 m2 )(2m1 sin 2 m2 )
M1-15
M1-16
上两式即为系统的能量积分和循环积分。 第二式实际上是
系统的机械能守恒方程。 第一式实质上是系统的动量在x方向 守恒。
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。 小球 M 自静止沿槽下滑，已知小球质量为
m1圆柱体质量为m2，半径为R，
试求：小球下降高度为 h 时，小球相对圆 柱体的速度，圆柱体的角速度。
T 1 (2m q 2m q ) m q m q m q 21 1 22 2 21 1 22 2 2l l q2 2 l 1
2
2
T m q kl l qk l 1
N
M1-18
n N N 1 r r 1 i i T mi vi vi mi qk ql 2 i 1 2 i 1 k 1 qk ql l 1 n N N N ri ri ri ri 1 1 qk ql mi qk ql mi 2 i 1 k 1 l 1 ql qk 2 i 1 k，l 1 ql qk n
N N
d L L 0 将方程 两边乘 qk 对k求和 dt qk qk
d L dt qk k 1
N
q L q 0 k q k k
M1-3
d L dt qq 0 k q k k
pk称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量 积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
于是拉氏方程成为
L 0 qk
d ( L ) L 0 dt qk qk
积分得：
L C qk
(k N )
称为拉格朗日方程的循环积分
M1-6
因L = T - V，而V中不显含 qk ，故上式可写成
L (T V ) T p C k qk qk qk
1-6
拉格朗日第二类方程的积分
拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行 积分。
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的
首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简 化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环
积分。
M1-1
一、能量积分 设系统所受的约束为定常约束，则 ri ri ( q1 , q2 , ... qN ) 中不 显含t ，则
T T1 T2
M1-12
系统的势能（取小球的起点为势能零点）：
V m1 gs sin
系统的拉格朗日函数为
2 2 2 2 2 1 1 L m1 (s R 2sR cos ) m2 R m1gs sin 2 4 2 2 2 1 L [2m1s (2m1 m2 ) R 4m1sR cos ] m1gs sin 4
1 T mkl qk ql 2 k , l 1 T m q kl l qk l 1
N T q mkl ql qk qk k k 1 k 1 l 1 N N
N
N
T q qk k k 1
N
k ,l 1
mkl qk ql