当前位置：文档之家 › 第三章 分析力学基础 (理论力学Ⅱ)

第三章 分析力学基础 (理论力学Ⅱ)

  • 格式：ppt
  • 大小：1.87 MB
  • 文档页数：60

下载文档原格式

  / 60

合集下载

[物理]分析力学基础

[物理]分析力学基础
若主动力为有势力，须将势能 V 表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出N个二阶常微分方程。
5. 求出上述一组微分方程的积分。
质量为m1、半径 为 r 的均质圆轮在水平面 上纯滚，轮心与刚性系数 为k 的弹簧相连。均质杆 AB长度为l ，质量为m2 。 求：系统的运动微分方程。 解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。
V Qk 0 qk
d T T V ( ) 0 k dt q qk qk
称为拉格朗日函数（动势）
引入
L T V
因为势能只是广义坐标的函数，故
d L k dt q
L 0 q k
此即为主动力为有势 力的拉格朗日方程。
于是，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明，在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。 如果用广义坐标 q1，q2， ，qN 表示质点系的位置, 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V q1，q2， ，qN
根据广义力表达式，在势力场中可将广义力 QN 写成 用势能表达的形式，即
V Qk 0 (k 1， 2， ，N ) qk
在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件 是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。
杆OA和AB以铰链相 连，O端悬挂于圆柱铰链
上，杆长OA=a ， AB=b
。杆重和铰链的摩擦都忽
略不计。今在点A和B分
别作用向下的铅锤力 FA 和 FB ，又在点B作用一 水平力 F 。试求平衡时 j1，j 2 与 F ，FA，FB
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n

理论力学-分析力学

理论力学-分析力学
分析力学
分析力学
约束、自由度和广义坐标 虚功原理 拉格朗日方程 拉格朗日方程的应用举例 微震动 哈密顿函数和正则方程 哈密顿原理和正则变换 不变环面和KAM定理
√
约束、自由度和广义坐标(1/9)
为什么要分析力学
牛顿力学的困难 表述麻烦：例如球坐标系中的运动方程 约束力/约束关系：增加求解方程的难度和复杂性
约束、自由度和广义坐标(3/9)
约束方程 设质点组各质点的位置是 有 k 个约束
，速度是
对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在 k 个约束(方 程)，那么在确定体系位形变化的 3n 个坐标参量中， 只有 3n - k = s 个参量可以独立变化
例：水分子体系的位形？ 无约束——水蒸气，有约束——冰
√
虚功原理(8/13) 平衡方程
√
虚功原理(11/13)
例：长分别为 l1 和 l2 轻绳(AC 和 BC， ACB=90)，悬挂重量为 W 的重物，
求张力 T1 和 T2 的大小
虚功原理
，未知坐标和不定乘子
张力 T1 和 T2 的大小
√
虚功原理(பைடு நூலகம்2/13)
势场中质点组的平衡条件和稳定性条件
虚功原理的广义坐标表述和广义力
广义坐标表述虚功原理，广义力
称 Q 为广义力，Qa 为广义力在 a 方向上的分量
当广义坐标 qa 是线量时，相应的广义力 Qa 是力的分 量；当广义坐标是角量时，相应广义力是力矩的分量
平衡状态下 Qa (q1, …, qs;t) = 0, (a = 1, …, s)
平衡条件：在理想约束条件下，主动力是保守力的力学系 平衡的充分必要条件是，质点组势能函数对每个广义坐标 的偏导数等于零

第3章分析力学基础-文档资料

第3章分析力学基础-文档资料


V F iy yi
F iz

V zi
V V V ( x y z V i i i) x y z i i i

Nn

n n x y z i i i F F F 设： Q k ix iy iz q q q i 1 1 1 k i k i k n
则：
W Q q 0
F k 1 k k
N
q k :
Qk :
为广义虚位移
称为广义力 δk为线位移， Qk 量纲是力的量纲； δk为角位移， Qk 量纲是力矩的量纲。




同理：
yi zi

N
N
k 1
yi qk q k zi qk q k
k 1
q k 为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。
×
§ 3-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。 这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移之间的关系。 若直接用广义坐标变分来表示虚位移，广义虚位移之间相互独 立，虚位移原理可表示为简洁形式。
n W F r ( F x F y F z ) i i ix i iy i iz i F n i 1 i 1
n N N N
xi

N
k 1 N
xi q qk yi q qk zi q qk
k
x y z yi i i i ( F q F q F q ) i x k i y k i z k q q q i 1 k 1 k k 1 k k 1 k

理论力学II-PPT课件

理论力学II-PPT课件

上式中令 Qk
F i
i 1
n
r i qk
Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3……N )
所以,
F r Q q 0
i i i 1 k 1 k k
n
N
由于各广义坐标是互相独立的, 而虚位移是不能为零的. 因而有:
Q Q Q Q 0 1 2 3 N
理论力学 ( II )
第 三 章
分析力学基础
自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广 义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位 移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍 方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到 拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方 程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方 程通式.
n
则
F r Q q w
i i i 1 k 1 k k k 1 k
n
N
N
称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3……N ) 广义力的求法: (1) 在直角坐标系下
x y z i i i Q (F F F ) k ix iy iz q q q i 1 k k k
FB
§3 – 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件
由虚位移原理:
n
Fi ri 0
i 1 n
n
及
r ri i qk k1 qk
N
N n r r i i F r F q F q 0 i i i k k q q i 1 i 1 k 1 k 1 i1 k k N

理论力学3分析力学基础课后答案

理论力学3分析力学基础课后答案

代入拉格朗日方程，得
则 3-3
[
]
质量为 m 的质点悬在 1 线上，线的另 1 端绕在 1 半径为 R 的固定圆柱体上，如图
250
3-3 所示。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的 质量。求此摆的运动微分方程。 解 取 θ 为广义坐标，设小球的静平衡位置为其零势能点。 系统势能
V = mg [(l + R sin θ ) − (l + θR ) cosθ ]
A
A x
& & x
θ
C
θ
FN
ϕ
θ −ϕ
l & ϕ 2 y
θ
& & x
θ
x′ B
C mg B
(c)
l && ϕ 2 y
(a)
& （见图 3-7b） & 、ϕ 解 2 自由度，给广义坐标 x， ϕ ，则广义速度为 x
(b) 图 3-7
l & & − cos(θ − ϕ )ϕ vCx = x 2 l & sin(θ − ϕ ) vCy = ϕ 2
x A = x B = 0, y A = −2a sin θ ， y B = 2a sin θ , xO = 2a cosθ
对相应坐标的变分
δ x A = δ x B = 0,δ y A = −2a cosθδ θ ,δ y B = 2a cosθδ θ δ xO = −2a sin θδ θ
根据动力学普遍方程，有
系统动能
势能
m 2 m 2 l2 2 m 1 m 2 & 2 = (x & + ϕ & − lx &ϕ & cos(θ − ϕ )) + l 2ϕ &2 (vCx + vCy ) + ⋅ l 2ϕ 2 2 12 2 4 24 m 2 m 2 2 m & + lϕ & − lx &ϕ & cos(θ − ϕ ) = x 2 6 2 l V = − mgx sin θ − mg cos ϕ （设初始 A 处势能为零） 2 T= ∂L m & cos(θ − ϕ ) & − lϕ = mx & ∂x 2 d ∂L m m && cos(θ − ϕ ) − lϕ & sin(θ − ϕ )ϕ & & − lϕ ( ) = m& x & dt ∂x 2 2

lxy理论力学(II)分析力学基础

lxy理论力学(II)分析力学基础

写成解析表达式
n
((Fxi mi xi )δxi (Fyi mi yi )δyi (Fzi mi zi )δzi ) 0
i 1
——动力学普遍方程
特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。
例 1－4
已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 m1 的 重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 m2
δ1
δ1
Q1 (FA FB )a sin1 Fa cos1
保持 1不变， 只有 2 时
可得另一组虚位移
δyA 0
δyB b sin2δ2
δxB b cos2δ2
对应于 2 的广义力
Q2
δW2 FAδyA FBδyB FδxB
Qk

n
(Fxi
i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1，2，，N)
Q1 Q2

FA FA
y A
1
y A
2
FB FB
y B
1
y B
2
F xB
1
F xB
2

yA a cos1 yB a cos1 b cos2 ，xB a sin1 bsin2
思考：
非完整约束，广义坐标数目和系统的自由度数目的关系？
设由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束
约束方程为
fk (r1 ，r2 ,，rn ，t) 0
(k 1，2 ，3，，s)
系统N个独立的坐标参量表示为
q1 ，q2 ，，qN
(N 3n s)
拉格朗日广义坐标

理论力学2


大小
M=+F.d
逆正顺负
正负号
+
-
力偶对物体的作用效应取决于： A 力偶矩的大小 B 力偶矩的方向
25
二、力偶的性质
性质一
力偶既没有合力，也不能和一个力平衡
力偶对物体的作用效果不能用一个力来代替 力偶必须用力偶来平衡
26
性质二
力偶对其作用面内任意一点的矩恒等 于该 力偶的力矩，与矩心的位置无关。
， 选投影轴列方程为

=？ 地面的反力ND=？
X 0
T2cos T10 ①
Y 0
由①得
T2 sin Q N D 0
②
1 cos T P 1 T2 2P 2
600
0
由②得
ND Q-T2sin Q-2Psin 60 Q 3P
15
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：研究块,受力如图，
解力三角形： 又：
N F cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
F R N h ( 2 R h)
16
再研究球，受力如图：
作力三角形
解力三角形：
P N sin 又sin R h R
F1 R sin sin( 180 )
根据图形的边角关系，用三角公式计算出所要求的未 知量，这种解题方法为几何法。
6
[例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故

理论力学训练题集新参考答案

参考答案 第一章一、1、① 2、③ 3、④ 4、②二、1、 90° 2、等值、反向、共线 3、120°；0 4、略。

第二章一、1、④ 2、② 3、① 4、②、② 5、②、④ 6、①、②7、② 9、② 10、① 11、③、① 12、② 二、1、2P ，向上 2、2P,向上 3、0°，90°4、可以，AB 两点不与汇交点O 共线5、通过B 点的一合力，简化为一力偶6、10 kN ，向左7、L m 3/348、α2cos 1m第三章一、1、② 2、③ 3、③ 4、④ 5、② 二、1、P ，-P ，P ，0，0，0 2、0，am2 3、二矩心连线不垂直投影轴4、0，-P5、为一合力，为一力偶，平衡 三、110=kN 3NB F 110=kN,=100kN,=03Ax Ay A F F M 四、=2Dx F KN ；=0Dy F KN ；=2Fx F KN ；=0Fy F KN 五、N F AX 350=，N F AY 100=，N F DX 850=，N F DY 900= 六、a M F C /=，a M F AX /=，0=AY F ，M M A -=第四章一、1、④ 2、② 3、④ 4、③ 5、④ 二、1、'=R F P ，=-ai+bj A M P P 2、F c b a ba 222++-3、①力偶矩的大小；②力偶作用面的方位；③力偶的转向。

4、力偶5、2,3；1,3；2,3；3,6。

三、主矢：250='RF ，主矢方向：21cos 0cos 21cos ===γβα主矩 ＭＢ＝2.5Ｎm ，主矩方向：0cos 0cos 1cos ===γβα四、kN F F kN F O z O y O x 6015===，，；m kN M m kN M m kN M O z O y O x ⋅-=⋅=⋅=502458，，第五章一、1、② 2、①，①，① 3、① 4、③ 5、③ 二、1、2φm 2、F=0,m ＝3N·cm 3、F ＝15KN 4、F=P,M=PR 5、翻倒，T=0.6839P 三、θφan /12an t t += 四、系统处于静止状态。

理论力学课件 受力分析与受力图、第三章

5、球铰链
约束结构: 由一物体的球部嵌入另一物体的球窝构成。

约束特性: 允许物体绕球心转动,不能沿半径移动。

约束反力: 通过球心,方向不能预先确定,通常用三个正交分力F x，F y，F z来表示。

人造髋关节
二力杆工程实例
固定端约束除了加约束力，还要加上约束力偶。

运动学角度：固定端既限制线位移，又限制角位移，如果只有约束力，则构件将转动。

必须有约束力偶才行。

力系简化角度：固定端所受的力是一个复杂的平面任意力系，力系向端部某点简化的结果是一力和一力偶。

CD是不是二力
杆？
2.3 受力分析与受力图
刚化原理：若变形体在某一力系作用下处于平衡，则将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

只有刚化原理没有软化原理。

1. 右拱BC 的受力图。

C
B
解：
F C
F B
2. 左拱AC 的受力图。

A C
F
F Ax C F
F Ay。

【理论力学2】第三章分析力学基础


n xi yi z i ( Fxi Fyi Fzi )q k 0 q k q k q k k 1 i 1
（3－6）
如令
Qk ( Fxi
i 1 n
xi y z Fyi i Fzi i ) (k 1 ， 2， ，N ) （3－7） qk qk qk
如图所示
由式（b）的变分
可得一组虚位移 y A y B a sin 11 ，xB a cos11 则对应于 1的广义力为
Q1
（e ）
W1 FAy A Fy B Fx B 1 1
将式（e）代入上式 得 保持 1不变 只有2 时 如图所示 由式（b）的变分 可得另一组虚位移 y A 0 ，y B b sin 2 2 ，xB b cos 2 2 代入对应于 2 的广义力表达式 得
W A FAx A PC yC ( FA PC )x A
对应广义坐标 x A 的广义力为 WA 1 QxA PC FA x A 2
1 2
（a）
再令y B向下 x A 0
同理可解得 （b）
1 PC 2 P ，FA PC P 2 因此平衡时 要求物块与台面间静摩擦因数 FA f 0.5 2P 如果作用在质点系上的主动力都是有势力 则势能应为各点坐标的函数 记为
（3－13）
这样 由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式 V Qk 0 (k 1 ， 2， ，N ) （3－14） qk 即 在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于 每个广义坐标的偏导数分别等于零 稳定平衡 不稳定平衡 在稳定平衡的平衡位置处 系统势能具有极小值 在不平衡位置上 系统势能具有极大值 对于随遇平衡 系统在某位置附近其势能是不变的 所以其附近任何可能位置都是平衡位置
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1，2，，N) （3－7）
则式（3－6）可以写成
N
WF Qkqk 0
k 1
上式中 Qkqk 具有功的量纲
所以称Qk为与广义坐标qk 相对应的广义力
由于广义坐标的独立性 qk可以任一取值
因此若式（3－8）成立 必须有
（3－8）
Q1 Q2 QN 0
yA yB a sin1 1 ，xB a cos1 1
则对应于 1的广义力为
Q1
W1 FAy A FyB FxB
1
1
（e）
将式（e）代入上式 得
保持 1不变 只有 2 时
如图所示
Q1 (FA FB )a sin1 Fa cos1
由式（b）的变分
可得另一组虚位移
yA 0，yB b sin2 2 ，xB b cos2 2
代入对应于 2 的广义力表达式 得
Q2
W2 FAy A FByB FxB
2
2
FBb sin 2 Fbcos2
例 3－2
如图所示 重物A和B分别连接在细绳两端
重物A放置在粗糙的水平面上
重物B绕过定滑轮E铅直悬挂
在设动重滑物轮A重H量的为轴心2P上挂一重物C 重物B重量为P
不计动滑轮H的重量
（3－9）
上式说明
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零
这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的方法有两种
一种方法是直接从定义式（3－7）出发进行计算
另一种是利用广义虚位移的任意性 令某一个qk 不等于零 而其他N-1个广义虚位移都等于零 代入
从而
WF Qkqk
Qk
WF qk
（3－10）
将式（3－5）代入虚功方程 得到
WF
n
WFi
i1
n i1
(Fxi
N k 1
xi qk
qk
Fyi
N k 1
yi qk
qk
Fzi
N k 1
zi qk
qk
)
N n
(Fxi k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)qk
0
（3－6）
如令
Qk
n
(Fxi
i1
xi qk
Fyi
第三章 分析力学基础
§ 3－1 自由度和广义坐标
在完整约束的条件下 确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数
例如质点M被限定只能在球面
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
的上半部分运动 由此解出
（3－1）
z c R2 (x a)2 ( y b)2
（3－2）
对于完整系统 广义坐标的数目等于系统的自由度数
考虑由nfk个(r1质，点r2组 成，的rn ，系t统) 受0 s个完(k整 双1，2，侧3，约 ， 束s) （3－3）
设 q1 ，q2 ， ，qN (N 3n s) 为系统的一组广义坐标
我们可ri以将ri (各q1质，点q2 的 ， 坐q标N 表，示t) 为 (i 1，2， ，n) （3－4）
( V xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V
虚位移原理的表达式成为
V 0
（3－12）
上式说明：在势力场中 具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平 衡位置处一阶变分为零 如果用广义坐标q1，q2， ，qN 表示质点系的位置 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数 即
由虚位移的定义 对上式进行变分运算 得到
ri
N k 1
qrik qk
(i 1，2， ，n)
（3－5）
其中 qk (k 1，2， ，N )为广义坐标qk 的变分 称为广义虚位移
§ 3－2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在第i个质点上的主动力的合力Fi 在三个坐标轴上的投影分别为(Fxi ，Fyi Fzi )
试求平衡时重物C的重量
PC
以及重物A与水平面间的静滑动摩擦因数
解： 系统具有两个自由度
选取重物A向右的水平坐标 x A
和重物B向下的铅直坐标 yB为广义坐标
则对应的虚位移为
x
A
和y
B
此时除重力外
重物A与台面间的摩擦力 FA 也应视为主动力
首先令 x A 向右 yB 0
此时重物C的虚位移yC xA / 2 方向向下
在解决实际问题时 往往采用第二种方法比较方便
例 3－1
杆OA和AB以铰链相连 O端悬挂于圆柱铰链上
如图所示 杆长OA=a AB=b
杆重和铰链的摩擦都忽略不计
今又试在在求点点 平A衡B和作时B用分一1，别水作2平与用力F向AF下，F的B ，铅F锤之力间F的A和关系FB
解： 系统有两个自由度 现选择 1 和 2 为系统的两个广义坐标 计算其对应的广义力Q1和 Q2 用第一种方法计算：
这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定 它的自由度数为2 一般来讲 一个n个质点组成的质点系 若受到s个完整约束作用 则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的
由这些约束方程
可将其中s个坐标表示成其余3n-s个坐标的函数
这样该质点系在空间中的位置
就可以用N=3n-s个独立参数完全确定下来 描述质点系在空间中的位置的独立参数 称为广义坐标
主动力所做虚功的和为
WA
FAx A
PCyC
(FA
1 2
PC
)x
A
对应广义坐标 xA 的广义力为
QxA
WA x A
1 2
PC
FA
（a）
再令yB向下 xA 0 同理可解得
QyB
WB xB
1 2
PC
P
因为系统平衡时应有 QxA QyB 0 解得
PC
2P ，FA
1 2 PC
P
因此平衡时 要求物块与台面间静摩擦因数
由于
Q1
FA
y A
1
FB
y B
1
F xB
1
Q2
FA
y A
2
FB
y B
2
F
xB
2
（a）
yA a cos1 ，yB a cos1 b cos2 ，xB a sin1 bsin（2 b）
故
y A
1
a
sin
1
，y B
1
a
sin
1
，xB
1
a cos1
y A
2
0 ，yB
2
b
sin
2
，xB
2
b cos2Βιβλιοθήκη 代入式（a） 系统平衡时应有
解出
Q1 Q2
(FA FB )a sin1 Facos1 FBb sin2 Fbcos2 0
0
tan 1
FA
F
FB
，tan 2
F FB
（c） （d）
用第二种方法计算：
保持 2 不变
只有 1时 如图所示
由式（b）的变分 可得一组虚位移
（b）
f FA 0.5 2P
如果作用在质点系上的主动力都是有势力
则势能应为各点坐标的函数 记为
V V (x1，y1，z1， ，xB，yB，zB ) （3－11）
此时虚功方程（3－6）中各力的投影 都可以写成用势能V表达的形式 即
于是有
Fxi
V xi
，Fyi
V yi
，Fzi
V zi
这样
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )