大学物理_--切向加速度和法向加速度1

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P点加速度的方向在运动平面上由 指向地轴。 点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴 点加速度的方向在运动平面上由 指向地轴。
例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别 例如 已知北京、 已知北京 是北纬39° ′ 三地的v 是北纬 °57′、31°12′和 23°00′，则三地的 和 an ° ′ ° ′ 分别为： 分别为： 北京：v = 356 北京：
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定 义式，得到法向加速度与角速度之间的关系： 义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：
v an = = Rω2 R
法向加速度也叫向心加速度。 法向加速度也叫向心加速度。
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计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 例题 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 地球自转周期T=24×60×60 s，角速度大小为： 解：地球自转周期 × × ，角速度大小为：
2 x − x0 = v0t + at / 2 2 2 v = v0 + 2a(x − x0 )
三、 线量与角量之间的关系
圆周运动既可以用速度、加速度描述， 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 一质点作圆周运动： 图示 一质点作圆周运动： 时间内， 在 ∆ t 时间内 ， 质点的角位 移为∆ 间的有向 移为 ∆ θ ， 则 A 、 B间的 有向 R 间的 线段与弧将满足下面的关系 线段与弧将满足下面的关系 B t+∆t ∆ ω0+∆ω ∆ω A ω0 t x
2π 2π −5 −1 ω= = = 7.27 × 10 s T 24 × 60 × 60
如图，地面上纬度为 如图， ϕ的P点，在与赤道平行的 点 平面内作圆周运动,其轨道 平面内作圆周运动 其轨道 的半径为
r R ϕ 赤道
p
r = R cos ϕ
P点速度的大小为 点速度的大小为
v = ωr = ωR cos ϕ −5 6 = 7.27 × 10 × 6.73 × 10 × cosϕ 2 = 4.65 × 10 cos ϕ (m / s )
s = v0t − bt / 2
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（1） t 时刻质点的总加速度的大小； ） 时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为 ； ） 为何值时，总加速度的大小为b （3）当总加速度大小为 时，质点沿圆周运行 ）当总加速度大小为b 了多少圈。 了多少圈。 先作图如右， 解：先作图如右，t = 0 时， 质点位于s 点处。 质点位于 = 0 的p点处。 点处 时刻， 在t 时刻，质点运动到位 置 s 处。 s
方向：与过P点运动平面上半径为 的圆相切。 点运动平面上半径为R的圆相切 方向：与过 点运动平面上半径为 的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 点只有运动平面上的向心加速度， 点只有运动平面上的向心加速度
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an = ω r = ω R cos ϕ −5 2 6 = (7.27 × 10 ) × 6.73 × 10 × cos ϕ −2 2 = 3.37 × 10 cos ϕ (m / s )
解：
v
v aτ
θ
v g
v an
v
想一想： 想一想：何处曲 率半径最大？ 率半径最大？何 处最小？ 处最小？
二. 圆周运动的角量描述
设质点在oxy平面内绕 平面内绕o 设质点在 平面内绕 沿半径为R的轨道作圆 点、沿半径为 的轨道作圆 周运动，如图。 周运动，如图。以ox轴为参 轴为参 考方向， 考方向，则质点的
v vv dτ0 dθ v = n0 =ωn0 = n0 R dt d t
o
v n0
dθds θ Pv
τ0
dτ0 v
v
2 r r dv v v v n0 a= = a τ0 + τ dt R
′ τ0
dθ θ
τ0
v
P
对任意曲线， aτ = dv 对任意曲线， dt 有： 挑战： 挑战：证明以上两式 大小
（2）令a = b ，即 ）
s
o
2 2
a=
(v0 −bt) + (bR) R
=b
R
得 t = v0 / b （3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经 当 的弧长为
s = v0t − bt /2
2
= v /2b
2 0
s
它与圆周长之比即为圈数： 它与圆周长之比即为圈数：
2 s v0 n= = 2πR 4πR b
ω =ω +αt θ −θ =ω t +αt / 2 ω =ω + 2 (θ −θ ) α
0 2 0 0 2 2 0 0
与匀变速直线运动的几个关系式
v = v0 + at
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述 可把 比较知： 两者数学形式完全相同 说明用角量描述,可把 说明用角量描述 平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。 平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
的圆周运动， 例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 一质点作半径为 的圆周运动 为常数， 率满足 v = kRt ， k为常数，求：切向 为常数 加速度、法向加速度和加速度的大小。 加速度、法向加速度和加速度的大小。
dv aτ = = kR 解： 切向加速度 dt 2 2 v ( kRt ) 2 2 an = = 法向加速度 = k Rt ρ R 2 2 加速度 a = aτ + an
第二节 自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系 •问题的提出： 问题的提出： 问题的提出 在直角坐标系中， 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化 速度大小变化产生的加速 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 哪一部分是由速度方向变化 速度方向变化产生的加 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。 向坐标。
=
(kR ) + (k Rt )
2 2
2 2
切向加速度、 §2切向加速度、法向加速度 二、aτ、an 切向加速度 法向加速度/二
讨论下列几种运动情况： 讨论下列几种运动情况： 1. aτ = 0 , an = 0 2. aτ = C , an = 0 3. aτ = 0 , an = C 4. aτ ≠ 0 , an ≠ 0 匀速直线运动； 匀速直线运动； 匀变速直线运动； 匀变速直线运动； 匀速率圆周运动； 匀速率圆周运动； 变速曲线运动； 变速曲线运动；
切向加速度、 §2切向加速度、法向加速度 二、aτ、an 切向加速度 法向加速度/二
将 ∆v 分解为 ∆vτ 和 ∆vn
∆v = ∆vττ 0 + ∆vnn0 （1） ）
vA
vA
∆vn
∆v
∆ vτ
其中
A n B
vB
τ
∆vτ 为速度增量在切线方向的分量； 为速度增量在切线方向的分量；
∆vn 为速度增量在法线方向的分量； 为速度增量在法线方向的分量； τ 0 切线方向的单位矢量； 切线方向的单位矢量；
lim AB = lim AB ∆t → 0 ∆t → 0
→
O
θ
θ +∆θ ∆
两边同除以∆ ，得到速度与角速度之间的关系： 两边同除以∆t，得到速度与角速度之间的关系：
v = Rω
将上式两端对时间求导， 将上式两端对时间求导，得到切向加速度与 角加速度之间的关系： 角加速度之间的关系：
at = Rα
o
R
P
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小 ） 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
d2s dv a τ= = b 2 =− dt dt v2 (v0 −bt)2 = a = n R R 2 2 (v0 −bt) + (bR) 2 2 a = aτ + an = R
y
B：t+∆t ： ∆ ∆θ A：t ： θ
o
x
角位置为 θ 角位移为 ∆θ 规定反时针为正 平均角速度为 ω = ∆θ ∆t ∆θ dθ ω = lim = 角速度为 ∆t→ 0 角加速度为 角加速度为
dω d θ α= = 2 dt dt
2
∆t
dt
为何不用 矢量？ 矢量？
单位： 弧度/秒 角 速 度 的 单位： 弧度 秒(rad•s-1) ； • 角加速度的单位： 弧度/平方秒 平方秒(rad •s-2) 。 角加速度的单位： 弧度 平方秒
切向加速度、 §2切向加速度、法向加速度 二、aτ、an 切向加速度 法向加速度/二
r v v= ds τ v = vtτ0 dt 0
由加速度的定义有
vA
vA
∆vn
∆v
∆ vτ
r r dv dv v a= + = τ0 v dt dt dt
A n B v dτ0
vB
τ
v dτ0 = dθn0
v
v
v ′ τ0
讨论： 讨论： (1) 角加速度α对运动的影响： 角加速度α 运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； α等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数， α不等于零但为常数，质点作匀变速圆周 运动； 运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。 α随时间变化，质点作一般的圆周运动。
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度 的角速度、 角位移与角加速度的 2.58 × 10
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