第15章 分析力学基础-哈

第四部分 分析力学第13章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。

这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。

它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。

13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为m ，加速度为a ，作用在质点上的主动力为F ，约束力为N F ，如图13-1所示。

根据牛顿第二定律，有 将上式移项写为0=m +a F F N - （13-1）引入记号a F I m =- （13-2）式（13-1）成为0=++I F F F N （13-3）其中，I F 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。

式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。

此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。

利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。

应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。

因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。

（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。

例如，系在绳子一端质量为m 的小球，以速度v ，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。

小球受到绳子的拉力F ，使小球改变运动状态产生法向加速度n a ，即n m =a F 。

小球对绳子的反作用力n m ==a F F --′，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。

第15章分析力学基础习题1. 是非题（对画V,错画X ）15・1.动力学普遍方程屮包括内力虚功。

（）152动力学普遍方程是rfl 达朗贝尔原理与虚位移原理组成的。

（）2. 填空题（把正确的答案写在横线上）15・3.在具有完整、理想、双侧约束的质点系，动力学问题可看成每个广义坐标所对应 ________ 和 ____________ 相平衡。

15-4.当主动力是势力时，拉氏函数厶= ____________ o15・5.如图所示的行星齿轮机构屮，轮I 、II 的半径为r t =r 2=r f 在|11|柄上作用力偶矩为M,行星齿轮II 为均质圆轮，其质量为m,若以行星齿轮II 的绝对转角◎为广义坐标, 则所对应的广义力Q = ____________________ o156半径为厂的均质圆轮绕水平轴0转动，其上作用有力偶矩M,在轮缘上4处较接 长为质量为m 的均质细IF AB ,则体系的自由度为_________________________ ；以广义坐标0 和（p 表示的广义力Qg = _____________ ； 题15-6图3. 简答题15・7.达朗贝尔原理、虚位移原理和动力学普遍方程三者Z 间的关系？158推导拉格朗口方程的过程屮，哪一步用到完整约束条件？对于非完整约束的质点系是否能应用拉格朗口方程？15・9.试应用拉格朗LT 方程推导刚体平面运动的运动微分方程。

15-10.当研究的系统屮有摩擦力时，在动力学普遍方稈或拉格朗LI 方稈屮应怎样处理？4. 计算题15・11.应用拉格朗LI 方程推导单摆的运动微分方程。

分别以下列参数为广义坐标：TT题15-14图(1) 转角(p(2) 水平坐标x(3 )铅直坐标y15-12.如图所示点绞车，提升一重为P 的重物，在其主动轴上作用一不变的力矩M 。

已知主动轴和从动轴连同安装的这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各白轴的转动惯量分 别为厶、丿2,传动比#空，吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R,轴承的摩擦不计。

第15 章分析动力学基础2013年12月26日引言经典力学建立了分析力学的理论体系。

本章内容：§15-5 拉格朗日方程的初积分15-1 广义主动力的概念和计算一、以广义坐标表示的虚功方程虚功方程广义坐标i ii iii ii++izi i yi i F F++i zi iyii F F 的广义主动力广义虚位移δq j ++i zi i yi iF F即：用广义坐标表示的平衡条件二、广义主动力的计算δq j ≠0++i zii yi iF Fz z 计算所有主动力在这样一组虚位移上的虚功之和；zδq j ≠0[例15-1] 求广义主动力A BC M x ϕoδx δr C m 1gm 2g解：0δ,0δ=≠ϕx （1）求F Q xδθA BC M x ϕom 1gm 2gδϕδr C（2）求F Q ϕϕδ,0δ=≠ϕx （1）求F Q x0δ,0δ≠=ϕx[思考] = ，=。

ϕsin 2mgl −OϕθABθsin mgl −[思考] =，=。

ky −θsin mgb −三、有势力的广义主动力广义坐标当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zii yi i F Fi i i当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zii yi i F F[思考] = ，=。

ϕsin 2mgl −OϕθABθsin mgl −[思考] =，=。

ky −θsin mgb −z达朗贝尔原理z虚位移原理达朗贝尔原理虚位移原理即：任一瞬时，作用于受理想、双侧约束的质点系的主动力与惯性力在该系统的任意虚位移上的虚功之和为零。

动力学普遍方程即：任一瞬时，作用于受理想、双侧约束的质点系的主动力与惯性力在该系统的任意虚位移上的虚功之和为零。

动力学普遍方程解析形式[例15-2]已知：解：求：C 2C 1θAC Bza 1a ea rαF I1F I2eF I2r M I2αR a =rC 2C 1θA CBF I1F I2e F I2r M I2m 1g m 2g zδ,0δ≠=ϕx x ϕδx ¾δr C2δϕC 2C 1θA CBF I1F I2eF I2r M I2δx δϕm 1gm 2gcos (1−a θ0δ,0δ=≠ϕx ¾=δx121221121cos (1−a θzz 拉格朗日通过引入拉格朗日乘子将动力学普遍方程与个完整、理想约束j i ++=αααααj i ++=αααα拉格朗日乘子λαλαααα拉格朗日乘子λαλααλαα拉格朗日第一类方程¾共有3n ＋s 个未知量(3n 个坐标和个拉格朗日乘子λ¾适合用计算机求解。