(完整版)第六章-刚体的简单运动

0 为最高位置时的角度。
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
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转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
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两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
0
2 o
k
2
0
得：
1 k
sh 1
( 0
)
t
k
转动方程：
0 sh kt
k
角速度方程：
d
dt
0ch
kt
角加速度方程：
d
dt
k0sh
kt
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
得
vB2 2gR
在BCE段： a
dv dt
dv d d dt
dv
d
v R
dv
d
g cos
v
vB
vdv
0
gR
c
osd
得 v2 vB2 2gRsin 2gR 2gRsin
C点处：
aCn
2vC2 R
vC 2
4g
gR
aC 0（a=gcos）
aC aCn 4g
D点处： 3
4
vD 1.848 gR
bu l
3cos2
sin
3bu 2 l2
cos4 sin
aCy
yC
(bu sin cos2 )
l
bu (cos3 2sin2 cos) blu (cos3 2sin2 cos) u cos2
l
l
3 2bu2 当=4时， aCx 8l 2
aCy
2bu 2 8l 2
aC
(aCx
矢量法： 直角坐标法：
自然法： s=f(t)
v ds dt
ab 0
例：摇杆机构，滑杆AB以等速u向上运动。求 = /4时，摇杆OC上C点的速度和加速度的大 小。（设初瞬时=0）
解： C的轨迹为圆弧，自然法方便。
取C0为坐标圆点，运动方程： SC b
tan ut
l
sec2 u
l
u l
1 sec2
交点C点为“转动轴心”
a R 2 4
例：半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 t 2 4t ，单位rad和s，在此轮缘上绕一不 可伸长绳子并悬挂物体A。求t=1s 时轮缘上任一点M 和A的速度和加速度。
)2
(aCy
)2
bu2 4l 2
5
例：已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。 CD=DE，在AB段，加速度为a=g;在BCD段，切 向加速度a=gcos；求小环在C、D(=3/4)两处 的速度和加速度。
解：在AB段： a dv dt
dv ds ds dt
v dv g ds
vB
0
v
dv
R
0
gds
§6-1 刚体的平行移动
物体内任意直线在运动过程中始终与初始位置平行的运动为平移(平动)。
BA不变(大小、方向)：
刚体平移时每个点速度、加速度均相同，运动曲线完全相同。 可归属为对任一点运动的研究。
例：曲柄滑杆机构，OA=r。以匀角速度ω绕定轴O转动， 求BCD任意瞬时的速度和加速度。
解： 建立坐标系 O
（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速 度与半径间的夹角都有相同的值。
例：边长为b的正方形绕定轴转动， =1rad/s2，在某瞬时=1rad/s。已知A、 B两点的全加速度方向。求轴心的位置及 A、B两点的全加速度大小。
解： 在每一瞬时各点的加速度方向与转动半径的夹
角相等，
tg /2 1
45
xC b cos
yC b sin
vCx xC b cos vCy yC b sin
tan ut
l
sec2 u
l
u 1 l sec2
u cos2
l
vC
(vCx )2 (vCy )2
bu cos2
l
bu 当=4时， vC 2l
aCx
xC
(bu l
cos3 )'
aD
2g 2
a
n D
(2
2)g
aD (aDn )2 (aD )2 3.487g
刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究：
(1)刚体的运动；
(2)刚体整体的运动与其上各点运动之间的关系。
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本章主要研究刚体的两种简单运动：平移和定轴转动。 flash
学习本章内容是为研究复杂运动打基础。
BCD平移，考察m点，有：
xm r cos r cost
vm
dxm dt
r sint
flash
am
dvm dt
r2 cost
例：已知绳等长l，=0sinkt， 0、k为 常数。求任意时刻M点速度和加速度。
解： AB平移，研究A或B点均可。 A圆弧运动，以最低点处为弧坐标原点，向右为正，
则有A的运动方程：
u cos2
l
u2 l2
2sin
cos3
vC
ds dt
b
bu cos2
l
aC
dvC dt
b
2bu 2 l2
2 s in
cos3
aCn
vC2 b
bu2 cos4
l2
当=4时，
vC
bu 2l
aC
(aC
)2
(aCn
)2
bu2 4l 2
5
aC
bu2 2l 2
aCn
bu2 4l 2
用直角坐标法建运动方程，有：
Байду номын сангаас解： 已知运动求角速度、角加速度，微分问题：
设开始时OB杆处于铅垂位置： AC v0t
tan AC v0t
OC h
tan1 v0t
h
v0
1
h v02t 2 h2
h2
v0h v02t 2
2hv03t
(h2 v02t 2 )2
例：飞轮绕固定轴转动，角加速度变化规律为 =k (k为常量)，当运动开始时角速度为0。 求角位置、角速度、角加速度以时间t表示 的函数表达式。