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第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωB习题6-6图习题6-6解图解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
作业5 刚体力学♫刚体：在力的作用下不发生形变的物体⎰=-⇒=210t t dt dtd ωθθθω角速度⎰=-⇒=210t t dt dtd βωωωβ角加速度1、根底训练〔8〕绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad s ω=，t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，那么飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 t ＝100 s 时间飞轮所转过的角度θ= 250rad ． 【解答】飞轮作匀变速转动，据0t ωωβ=+，可得出：200.05rad s tωωβ-==-据2012t t θωβ=+可得结果。
♫定轴转动的转动定律：定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.βJ M =质点运动与刚体定轴转动对照[C ]1、根底训练〔2〕一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如下图．绳与轮之间无相对滑动．假设某时刻滑轮沿逆时针方向转动，那么绳中的力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【解答】逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减速转动,角加速m 2m 1 O度方向垂直纸面向,所以,由转动定律21()T T R J β-=可得：21T T >[C ] 2、自测提高〔2〕将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将(A) 小于． (B) 大于，小于2． (C) 大于2． (D) 等于2． 【解答】设飞轮的半径为R ,质量为m ，根据刚体定轴转动定律M J β=，当挂质量为m 的重物是：mg T maTR J a R ββ-=== 所以2mgRJ mRβ=+,当以2F mg =的拉力代替重物拉绳时，有： '2mgR J β=，2'mgRJβ=，比拟二者可得出结论。
刚体的转动一、基本要求：1、理解刚体的概念；了解刚体的平动和转动；掌握转动惯量的物理意义；掌握力矩的物理意义及其计算。
2、理解转动惯量的物理意义及其计算；掌握刚体定轴转动的转动定律及计算。
3、理解质点和刚体的角动量；掌握角动量守恒定律的适用条件及应用；掌握刚体转动动能的概念及计算。
二、主要内容： 1、刚体：是在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。
是一个理想化的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。
即运动过程中没有形变的物体。
2、平动：当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。
3．转动：刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。
这条直线叫作转轴。
4、描述刚体转动的物理量引入：刚体作定轴转动时，刚体上的各点都绕定轴作圆周运动。
刚体上各点的速度和加速度都是不同的，用线量描述不太方便。
但是由于刚体上各个质点之间的相对位置不变，因而绕定轴转动的刚体上所有点在同一时间内都具有相同的角位移，在同一时刻都具有相同的角速度和角加速度，故采用角量描述比较方便。
为此引入角量：角位置、角位移、角速度、角加速度。
5、角量与线量的关系半径R ，角位移θ∆ 弧长 θ∆⋅=∆R s 线速度v: ωθR t R t s v t t =∆∆=∆∆=→∆→∆lim lim法向加速度： 222)(ωωr RR R v a n === 切向加速度： αωωτ⋅=⋅===R dtd R R dt d dt dv a )( 结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；而各点的线位移、线速度和线加速度均与r 成正比。
6转动定律：刚体在合外力矩的作用下，刚体所获得的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
● 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； ● 转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。
第六章 刚体的基本运动 习题全解[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。
试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：角速度： 2394)34(t t t dt ddt d -=-==ϕω 角加速度：t t dtddt d 18)94(2-=-==ωα速度： )94(2t r r v -==ω)/(2)094(5.0|20s m r v t =⨯-⨯===ω)/(5.2)194(5.0|21s m v t -=⨯-⨯==切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα法向加速度：22222)94()]94([t r rt r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。
即：0)94(2=-=t r v )(667.0)(32s s t ==[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。
后因刹车，该点以)/(1.02s m t a t =作减速运动。
设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。
解：t dtd a t 1.04.022-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）t dt d 25.022-=ϕ12125.0C t dtd +-=ϕ2130417.0C t C t ++-=ϕ12124.005.0)125.0(4.0C t C t dtd R v +-=+-⨯==ϕ104.0005.0|120=+⨯-==C v t图题46-251=C0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕt t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ速度方程：1005.02+-=t v)/(8.910205.0|22s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω)/(1.240)252125.0(4.0|2222s m a t n =+⨯-⨯==[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。
习 题6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。
图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。
图6-16m/s 5.051.01=⨯===ωA O v v D C2221n n m/s 5.251.0=⨯===ωA O a a D C21ττm/s 2.021.0=⨯===αA O a a D C6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。
曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。
设t =0时，0=ϕ，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角︒=30ϕ时，导杆BC 的速度和加速度。
图6-17m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =⨯⨯===ωϕm/s 4sin 8.01t xO -= ︒=30ϕ时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O xm /s 4.0=v 22m/s 771.2m/s 36.1==a6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。
设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？2ωαc b --= t c b d d 2-=+ωω ⎰⎰-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωbc bc t =6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=ϕ。
试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。
234t t -=ϕ 294t -=ϕt 18-=ϕ t =0时4=ϕ0=ϕ m/s 245.0=⨯==ωR v222n m /s 845.0=⨯==ωR a0τ==αR a2n m/s 8==a at =1s 时5-=ϕ 18-=ϕ m/s 5.255.0=⨯==ωR v222n m /s 5.12)5(5.0=-⨯==ωR a2τm/s 9)18(5.0-=-⨯==αR a2m/s 4.15=a什么时刻改变其转向0942=-=t ϕs 32=t 6-5 电机转子的角加速度与时间t 成正比，当t =0时，初角速度等于零。
经过3s 后，转子转过6圈。
试写出转子的转动方程，并求t =2s 时转子的角速度。
ct =α t ct d d =ω⎰⎰=t t ct 00d d ωω 221ct =ω 221d d ct t =ϕ 361ct =ϕ t =3s 时，π12π26=⨯=ϕ3361π12⨯⨯=c 9π427π1261==c 39π4t =ϕ3396.1t = t =2s 时rad/s 76.163π1643π43π42==⨯==t ω 6-6 杆OA 可绕定轴O 转动。
一绳跨过定滑轮B ，其一端系于杆OA 上A 点，另一端以匀速u 向下拉动，如图6-18所示。
设OA=OB =l ，初始时0=ϕ，试求杆OA 的转动方程。
ut l AB -=2lut l ut l OA AB OAB 21222/cos -=-==∠ 即 l ut 212cos -=ϕ )21arccos(2lut -=ϕ6-7 圆盘绕定轴O 转动。
在某一瞬时，轮缘上点A 的速度为m /s 8.0=A v ，转动半径为m 1.0=A r ；盘上任一点B 的全加速度B a 与其转动半径OB 成θ角，且6.0tan =θ，如图6-19所示。
试求该 瞬时圆盘的角加速度。
图6-19m /s 8.0==ωA A r v rad/s 81.08.0===A A r v ω 6.0tan 2==ωαθ 22rad/s 4.386.0||=⨯=ωα6-8 如图6-20所示，电动机轴上的小齿轮A 驱动连接在提升铰盘上的齿轮B ，物块M从其静止位置被提升，以匀加速度升高到1.2m 时获得速度0.9m/s 。
试求当物块经过该位置时：（1）绳子上与鼓轮相接触的一点C 的加速度；（2）小齿轮A 的角速度的角加速度。
图6-20(1)2.1209.0τ22⨯=-a 3375.04.249.0τ==a 5.16.09.0==B ω 35.15.16.02n =⨯=a 222n m/s 39.135.13375.0=+=a(2)3150450===A B B A R R ωω rad/s 5.43==B A ωω 5625.06.03375.0τ===C B R a α 2rad/s 6875.13==B A αα6-9 杆OA 的长度为l ,可绕轴O 转动，杆的A 端靠在物块B 的侧面上，如图6-21所示。
若物块B 以匀速v 0向右平动，且x =v 0t ,试求杆OA 的角速度和角加速度以及杆端A 点的速度。
图6-21t v x 0= l t v l x 0cos ==ϕ lt v 0arccos =ϕ 22020200)(1t v l v lt v l v O -=-==ϕω3220230)(t v l tv O O -==ωα22020t v l lv l v O A -==ω6-10 图6-22所示机构中，杆AB 以匀速v 向上滑动，通过滑块A 带动摇杆OC 绕O 轴作定轴转动。
开始时0=ϕ，试求当4/πϕ=时，摇杆OC 的角速度和角加速度。
图6-22lvt =ϕtan 对时间求导 lv=ϕϕ2sec ϕϕϕω22cos sec lv l v === ϕϕωϕωα222cos 2sin )2sin (lv l v -=-⨯== 4π/=ϕ时l v 2=ω 222lv -=α6-11 如图6-23所示，电动绞车由皮带轮Ⅰ和Ⅱ以及鼓轮组成，鼓轮Ⅲ和皮带轮Ⅱ刚性地固定在同一轴上。
各轮的半径分别为m 4.0m 75.0m 3.0321===r r r ，，，轮Ⅰ的转速为n 1=100r/min 。
设皮带轮与皮带之间无相对滑动，求重物M 上升的速度和皮带各段上点的加速度。
图6-233π1030π11==n ω 3π43π1075.03.01212=⨯==ωωr r m/s 6755.13π44.023=⨯==ωr v 0==CD AB a a222211m/s 8987.323π10)3π10(3.0==⨯==ωr a AD222222m /s 1595.133π4)3π4(75.0==⨯==ωr a BC6-12 两轮Ⅰ、Ⅱ铰接于杆AB 的两端，半径分别为m m 200m m 15021==r r ，，可在半径为R =450mm 的曲面上运动，在图6-24所示瞬时，点A 的加速度大小为2mm/s 1200=A a ，方向与OA 连线成︒60角。
试求该瞬时：（1）AB 杆的角速度和角加速度；（2）点B 的加速度。
图6-242mm/s 1200=A a2n mm/s 60060cos =︒=A A a a 2112)(ωr R r R v A +=+= rad/s 1150450600=+=ω α)(360060sin 1τr R a a A A +==︒=21rad/s 33600=+=r R α 222n mm/s 650)(=+=ωr R a B22τmm/s 3650)(=+=αr R a B2mm/s 1300=B a6-13 如图6-25所示，机构中齿轮Ⅰ紧固在杆AC 上，AB=O 1O 2，齿轮Ⅰ与半径为2r 的齿轮Ⅱ啮合，齿轮Ⅱ可绕O 2轴转动且与曲柄O 2B 没有联系。
设O 1A = O 2B=l ，t b ωϕsin = ，试确定)2(πω=t 时，轮Ⅱ的角速度的角加速度。
图6-25t b B O ωωϕωcos 2== t b B O ωωϕαsin 22-== 当ω2π=t 时 02=B O ω 0=B v0==B D v v (齿轮Ⅰ与杆AC 平动，点D 为轮I 、II 接触点) 0II =ω22ωαb B O -= 2τ2ωαbl l a B O B -== 2ττωbl a a B D -== 222τII r bl r a D ωα-==6-14 如图6-26所示，摩擦传动机构的主动轴Ⅰ的转速为n =600r/min 。
轴Ⅰ的轮盘与轴Ⅱ的轮盘接触，接触点按箭头A 所示的方向移动。
距离d 的变化规律为d =100-5t ，其中d 以mm 计，t 以s 计。
已知mm 50=r ，R =150mm 。
求：（1）以距离d 表示的轴Ⅱ的角加速度；（2）当r d =时，轮B 边缘上一点的全加速度。
图6-26 (1)π2030π==n ω dπ10002=ω 222222rad/π5000)5(π1000π1000s dd d d =-⨯-=-== ωα (2) r d =时π2050π10002==ω 22πrad/2s =α 232242242mm/s 10177.5921π40000π300π4π)20(150⨯=+=+=+=αωR a B2m/s 177.592=6-15 如图6-27所示，录音机磁带厚为δ，图示瞬时两轮半径分别为1r 和2r ，若驱动轮Ⅰ以不变的角速度1ω转动，试求轮Ⅱ在图示瞬时的角速度和角加速度。
图6-272211ωωr r = 1212ωωr r = 222211ωωω r r r += 222112r r r ωωω -= 轮Ⅰ转过一周π)2(，半径增大δ，转过1d ϕ，则增大1d π2ϕδ 故 11d π2d ϕδ=r tt r d d π2d d 11ϕδ⨯= 11π2ωδ=r而在轮Ⅰ转过一周π)2(时，轮Ⅱ半径减小δ21r r ，故1212π2ωδ⨯⨯-=r r r 2221122r r r ωωωα -==12221212121211ωωωr r r r r r r r r r-=⨯-= 122121121π2π2ωωδωδr r r r r ⨯⨯+⨯=212222212π2)1(ωδ⨯+=r r r r )1(π22221221r r r +=δω 观沧海①东临②碣石③，以观沧海。
水何澹澹④，山岛竦峙⑤。
树木丛生，百草丰茂。
秋风萧瑟，洪波涌起。
日月之行，若出其中；星汉⑥灿烂，若出其里。
幸甚至哉⑦，歌以咏志。
注释（1）选自《曹操集》（中华书局2012年版）。
这是曹操诗《步出夏门行》的第一章。
曹操（155—220），字孟德，沛国谯（qiáo）县（今安徽亳州）人，东汉末政治家、军事家、诗人。
