12.3.1等腰三角形(2)

中学数学听课记录表科目数学课题12.3。

1等腰三角形授课教师班级八（七）听课时间2014年5月18日第2 节成绩教学内容一、回顾。

提问：轴对称图形的定义、垂直平分线的定义、性质、判定。

二、新授课1、请同学们翻开课本P49，完成课本上的探究.1）检查同学们的完成情况；2）教师口头讲解探究过程；3）提问：折完后,可以得到哪些信息？（如图1）得到：△AB D≌△ACDAB=CD∠B=∠CBD=CD∠1=∠2∠ADB=∠ADC=90°由AB=CD引出△ABC是等腰三角形；由∠B=∠C引出等腰三角形底角相等的性质;由BD=CD引出AD是底边上的中线,直线AD为线段BC的对称轴；由∠1=∠2引出AD是顶角的角平分线,直线AD为∠BAC的对称轴；由∠ADB=∠ADC=90°引出AD是底边上的高.最终引出等腰三角形“三线合一”的性质.板书：性质1：等边对等角性质2：三线合一强调“三线合一”的“三线”是顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高。

举反例：折底角的角分线，说明等腰三角形其他边上的三线不重合。

4）证明性质1。

教师引导学生写出已知、求证后，学生分组分别添加三种辅助线来证明性质1.三位学生上台板书,教师简单点评，重点讲解添加高线的证明方法。

5）证明性质2.教师口述证明过程.三、例题讲解已知:如图2,在△ABC中,AB=AC，A D⊥BC于点D求证：BE=CE教师简单板书证明的关键步骤，分别分析了证二次全等、一次全等、不证明全等三种方法，图1。

再 见
B C
A
D
总结归纳
1、等腰三角形的判定定理及其推论的内容是什么？ 、等腰三角形的判定定理及其推论的内容是什么？ 2、等腰三角形的判定方法有下列几种: 、等腰三角形的判定方法有下列几种 定义， ①定义，②判定定理 ______________ 3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 、 条件和结论刚好相反。 条件和结论刚好相反 ________________。 4、运用等腰三角形的判定定理时，应注意 、运用等腰三角形的判定定理时， 在同一个三角形中 ______________
12.3.1 等腰三角形的判定
执教人：简艳辉

我们在上一节学习了等腰三角形的性质。 我们在上一节学习了等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些问题吗？ 现在你能回答我一些问题吗？
1、等腰三角形的性质定理是什么？
等腰三角形的两个底角相等。（可以简 称：等边对等角）
2、这个定理的逆命题是什么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这个 三角形是等腰三角形。
求证： 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2， AD∥BC。 求证：AB=AC 分析：从求证看：要证AB=AC， 需证∠B=∠C，从已知看： 因为∠1=∠2，AD∥BC 可以找出∠B，∠C与的关系。 B
A E 1 2 D
C
证明： 证明： ∵ AD∥BC ∥ E ∴ ∠1=∠B（两直线平行 同位 ∠ （两直线平行,同位 A 1 角相等） 角相等） 2 ∠2=∠C（两直线平行 内错 ∠ （两直线平行,内错 角相等） 角相等） ∵ ∠1=∠2 ∠ B ∴ ∠B=∠C ∠ ∴ AB=AC（等边对等角） （等边对等角）

12.3.1等腰三角形（二）一、教学目标知识技能：1、理解掌握等腰三角形的判定定理。

2、运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。

数学思考：通过实践、观察，证明从直观问题归纳等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力和空间观念。

解决问题：1、通过归纳等腰三角形的判定定理，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。

2、通过运用等腰三角形的判定定理解决有关问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。

二、教学重点与难点教学重点等腰三角形的判定定理及其运用。

教学难点等腰三角形的判定定理的证明。

三、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题，创设情境提出问题：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家一起回忆一下，等腰三角形有哪些性质？我们已经学习了等腰三角形的性质，那么满足什么条件我们就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题。

问题：如图，位于海上A、B两处的两艘救生艇接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。

如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？OA B由学生的讨论结果，提出问题，将问题一般化，在一般的三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？给学生作出猜想，用数学语言怎么表达？(并板书)同学们回忆并回答：1、等腰三角形的两底角相等；2、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

认真听讲并思考小组讨论，有学生认为若OA与OB的长相等，两艘救生船会同时赶到。

学生听到提到边的问题，易猜想到：在三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等。

通过回忆上节课已学习的内容，复习与巩固旧知识，为引出课题作铺垫。

引出这节课要学习的方向具体实例引出问题，激起学生的兴趣由学生猜想，并用数学语言表达，有利于培养学生的数学思想与逻辑推理能力。

应用举例，解决问题练练写要求学生小组讨论五分钟，并给出证明过程。

抽取两位同学，展示两种不同的证明方法（1、作平分线AD；2、作BC边上的高）。

12.3.1 等腰三角形第1课时花地中学古瑜青教学内容本节主要内容是等腰三角形的性质．教学目标1．知识与技能在观察、操作中认识等腰三角形的性质，感受等腰三角形“三线合一”的意义．2．过程与方法经历探索等腰三角形性质的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观让学生感悟等腰三角形的实际应用价值，激发他们的求知欲．重、难点与关键1．重点：等腰三角形的性质．2．难点：等腰三角形的性质2的应用．3．关键：借助轴对称变换来研究等腰三角形．教具准备剪刀、长方形纸片．教学方法采用“情境──探究”式教学方法．教学过程一、操作观察，探索新知【问题探究】教师叙述：请同学们把一张长方形的纸对折（如课本图14．3─1）剪去一个角，再把它展开，得到的三角形有什么特点？【学生活动】拿出事先准备好的纸和剪刀，动手操作，然后观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的．”【师生共识】有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．【媒体使用】投影显示课本图12．3─1和图1．【教学形式】操作引入，师生互动．【继续探究】上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生观察，发现．【学生活动】动手操作、观察，发现重合的线段是AB=AC，BD=CD，底边上的高、顶角的平分线，底边上的中线重合．重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD．•∠ADB=•∠ADC=90°．【媒体使用】投影显示“思考题”和图2．【形成性质】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；DCB A性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、、底边上的高相互重合．【证明】如课本图12．3─2，△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ．∵,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAD （SSS ）． ∴∠B=∠C ， ∴BD=CD ，∴∠BDA=∠CDA=90°．【评析】从这个证明也可以看出，等腰三角形底边上的中线的左、右两部分经翻转可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．【教师活动】引导学生共同完成等腰三角形性质的推理证明． 【学生活动】同教师一起分析、口述证明思路后，个别学生上台演示． 二、范例点击，应用所学【例1】如课本图12．3-3，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．【思路点拨】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC ，∠A=∠ABD ，再运用三角形内角和定理求解∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，这里可以运用代数的方法列式求解方程． 【教师活动】操作投影，分析例1，讲明推理的方法．【学生活动】参与教师的讲例分析中，踊跃发表自己的见解，并尝试用不同于课本例1的推理表达来书写例题1的解答．不设∠A=x ，然后相互讨论、比较．【教学形式】在教师引导下合作交流．【猜想】猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图3，你可以将等腰三角形ABC 沿对称轴AD，观察DE与DF的关系．如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或∠ADB、∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相等？【教师活动】操作投影仪，提出讨论的问题，引导学生思考．【学生活动】分四人小组合作交流，通过动手操作，感悟规律．（1）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等，也可以应用“AAS”证明△BDE≌△CDF．（2）如果DE，DF分别是AB，AC上的中线或∠ADB，∠ADC的平分线，它们仍然相等，这是运用轴对称图形的概念和性质得到结论，还可以通过三角形全等予以证明．（3）•由等腰三角形是对称轴图形，利用类似的方法，还可以得到：等腰三角形对称轴上任意一点到两腰的距离相等；等腰三角形顶点到两腰上的中点（高线），底角的平分线的距离相等；等腰三角形两腰上的中线（高线）的交点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线交点到两腰的距离相等．三、随堂练习，巩固深化课本P51练习第1、2、3题．【探研时空】已知：如图4所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是角的平分线，DE•⊥BC 于E，若BC=10cm，求△DEC的周长．【思路点拨】如图4，在等腰直角三角形中，可以找到许多重要的等量关系，这些关系通过证明应逐步认识，∠A=90°，∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，又由BD平分∠ABC，•DE⊥BC 可知∠ABD=∠CBD=22.5°，AD=DE，△ABD≌△EBD，则BE=AB=AC，再由∠DEC=•90°，∠C=45°，可知△ECD是等腰直角三角形，则DE=EC，在这个图形中，应注意BD•是角的平分线，而不是中线，所以AD≠DC，由上述关系就可求得△DEC的周长为10cm．【评析】有些常见图形中的数量关系应该逐步记住，如本题思路点拨中分析图中的各种关系都应记清，这样就有利于今后证明及计算有关问题．四、课堂总结，发展潜能提问：1．什么叫做等腰三角形？2．等腰三角形有哪些性质？3．你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会．五、布置作业，专题突破1．课本P56习题12．3第1、2、3、4、12题．2．选用课时作业设计．板书设计把黑板分成三等份，左边板书概念，中间板书例1，右边板书练习．疑难解析已知：如图5，AB<AC，BD是∠ABC的平分线，AD=DC，求证：∠A+∠C=180°．思路点拨：在三角形全等的判定中，要注意两边及两边所夹的角相等，•两个三角形全等，而两边及其中一边的对角相等，两个三角形不一定全等．•本题中△ABD•与△CBD正是这种情况：BD=BD，AD=DC，∠ABD=∠CBD，但△ABD与△CBD并不全等，•这样两个不全等的三角形有什么联系呢？在BC上截取BE=BA，则△BDC被分成两个三角形，•容易看到，△BDE与△BDA全等，△DEC是等腰三角形，这样问题就解决了．从这个例子可以归纳出，记住一些基本图形对于证明几何题是必要的，本题如果能深刻认识两边与其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等的关系，那么图中添加DE这条辅助线就十分自然了．第一课时作业设计一、选择题．1．如果等腰三角形的底边长大于腰长，那么这个等腰三角形的顶角是（）．A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角、直角或钝角2．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）．A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的2倍 D．底角的一半3．在等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，P是△ABC内一点，且∠PBC=∠ACP，则∠BPC为（）．A．100° B．140° C．130° D．115°4．如图，AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系满足（）．A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°二、证明题．5．如图，AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥BC．6．你能证明：等腰三角形两腰上的中线相等吗？试一试! （要求：依题意先画图，写出已知、求证，然后再证明） 三、探索题．7．已知：如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE ．请将此题改编为两道题，要求原题中的“BD=CE ”成为已知条件之一，•而原已知条件中的某一部分成为求证，并简要说明改编所得到的每一道题的证明方法．四、聚焦中考．8．如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点． （1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求证明）EDBAF。