浙教版2.3等腰三角形的性质定理(1)导学案

直角三角形
四边形及特 殊四边形
……
1、必做题：课本P58页 作业题A， B组； 2、选做题：作业本拓展提高
证角等，找等腰，巧转化
综合—提高
如图，在△ ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂 直平分线EF交BC的延长线于点F，连结AF，求 证： ∠CAF= ∠B.
感悟—展望
通过本节课的学习,请你畅所欲言, 谈谈自己学习到了哪些知识？有何收获 与体会?
感悟—展望 边
两边相等
角
两个底角 相等
整体
轴对称图形
感悟—展望 知识
能力
经验
1、等腰三角 形的两个底 角相等
2、等边三角 形的各个内角 都等于60 °
1、进行有关 角度的计算 （分类讨论 思想）
2、进行简单 的推理论证
1.证角等， 找全等，巧 构造
2.证角等， 找等腰，巧 转化
感悟—展望
全等三角形
定义 性质 判定
解决相关问题
等腰三角形
定义 性质 判定 解决相关问题
2.3 等腰三角形的性质定理（1）
回顾—思考
全等三角形
定义 性质 判定
解决相关问题
等腰三角形
定义 性质 判定 解决相关问题
回顾—思考
A
1、有两边相等的三角形叫做
顶
角
腰
腰
等腰三角形；
2、等腰三角形是 轴对称 图形，
底角 底角
B 顶角平分线所在的直线 是它的对称轴。 底边
C
发现—验证
如图在等腰三角形ABC中,AB=AC, AD平分∠BAC,交BC于D.
现将△ABC沿着AD所在的直线 对折，你发现∠B与∠C存在怎样
A
的数量关系？

3． 如图，AD，BE是等边三角形ABC
的两条角平分线，AD，BE相交于点O.
求∠AOB的度数.
120°
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_7_5_°_,_3_0_° ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
_7_0_°_,4_0_°_或__5_5_°_,5_5_°_____ ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_3_5_°_,3_5_°__
4、已知：△ABC是等边三角形，AD是高，画出图形，说 出图形中∠BAC、∠BAD、∠B、∠C的度数。
5． 已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB， AC边上的点，且AD＝AE，∠1＝∠2. 求证：∠3＝∠4.
6． 如图， 在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交AC于点E，且∠CDE＝ 25°.求∠A，∠B的度数.
1、等腰三角形的定义。有两边相等的三角形
2、等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具
有一般三角形的性质外，还有一些特殊性质。 E
1.等腰三角形两腰上的中线相等。
2.等腰三角形两腰上的高相等。
B 3.等腰三角形是轴对称图形，
顶角平分线所在直线是它的对称轴。
3、等边三角形的定义。 E
三边都相等的三角形是等边三角形
A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD
和CE是△ABC的两条角平分线。
求证：BD=CE
E
D
B
C
1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝100°，
则∠A＝____2_0_°_度.
2. 已知等腰三角形的顶角是底角的2倍， 求这个三角形各个内角的度数.
解：设底角的度数为 x，则顶角度数为2x， 由题意得x＋x＋2x＝180°，解得x＝45°，这 个等腰三角形的各个内角的度数是45°，45°， 90°.

是什么? 所得的像是△ACD
(2)找出图中的全等三角形，以及所有相等的 线段和相等的角.你的依据是什么?
A
△ABD≌△ACD
相等的线段: AB=AC,BD=CD,AD=AD
相等的角:
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC.
依据: 轴对称变换的性质—轴对称变换
不改变图形的形状和大小.
B
C D
(2)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为
BC的中点,则点D到AB,AC的距离相等.
请说明理由.
Ａ
A
Ｅ
Ｆ
100 °
B
CD
第１题
Ｂ
ＤＣ第２题Fra bibliotek复习提问
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什么叫等腰三角形？等腰三角形是什么对称
图形？它的对称轴是什么？
A
有两边相等的三角形
腰
腰 叫做等腰三角形；
等腰三角形是轴对称图形；
B
C 轴对称是等腰三角形的
顶角平分线所在的直线.
底边
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D. (1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
试一试
1.等腰三角形一个底角为75°,它
的另外两个角为7__5_°__,_3_0.°
⒉等腰三角形一个角为70°,它的
另外两个角为_7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5_°.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的 另外两个角为_3_5_°__,3_5.°
1.填空题：
(1)如图,在△ ABC中,AB=AC,外角∠ ACD=100, 则∠ B=____度
等边三角形的各个内角都等于60°.
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.

练习：
1、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重
合。
（X）
23、、等等腰腰三三角角形形的的顶 角角 平平 分分 线线 、一 高定 线垂和直中底线边的（。√）
总数一共能画出9条。
（X）
4、等腰三角形底边上的中线一定垂直于
底边。
（√）
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1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠ B =∠ C 3、BD = CD ，说明AD 为底边上的中线
4、∠ADB = ∠ADC = 90°，说明AD为底边上的高 5、∠BAD = ∠CAD ，说明AD为顶角平分线
A
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B DC
大胆猜想
如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线. 在图中 找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰 三角形还有哪些性质？
A
请大家尽可能多地说出结论！
B
D
C
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已知： AB=AC ∠1=∠2 (AD是顶角平分线).
结论： BD = CD, 即AD 为底边上的中线
AD⊥BC ,即AD为底边上的高
A
12
B
D
C
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C．240°
D．300°
证一证
如图，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝ CE
说说本节课你有什么收获？
分层次布置作业本1、基础题 2、提高题
求证：OB=OC.
算一算
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A．80° B．80或20° C．80°或50° D．20°
2．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是( )
A．30° B．45°
C．60°
D．90°
3．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．40°
等腰三角形的性质定理
• 请将手中的等腰三角形，通过折叠、测量 等方式，探索它的内角之间有什么关系， 小组合作交流发现的结果
命题：等腰三角形的两个底角相等
• 例1求等边三角形ABC三个内角的度数 • 推论：等边三角形的各个内角都等于60度
• 例2 求证：等腰三角形两底角的平分线相等
已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD和CE 为△ABC的两条角平分线。
B．80° C．100° D．100°或40°
4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个内角的度数是( )
A．65°，65°
B．50°，80°
C．65°，65°或50°，80° D．以上都不对
5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的
度数是( )
A．180° B．220°

[解析] .故这个三角形的顶角的度数为 .
等腰三角形的两个底角相等
典例2 如图， ， 为等边三角形， ，则 等于 ( )
A. B. C. D.
B
[解析] 为等边三角形， ， . ， ， .又 ， .
知识点2 等腰三角形的性质定理2 重点
1.等腰三角形的性质定理2：
性质定理2
几何语言
图示
等腰三角形
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
等腰三角形三线合一
典例3 如图，在 中， ， 为 边上的中线， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ， 为 边上的中线， ， . ， .
典例4 如图所示， 是等边三角形， 为 边上的中线， ，求 的度数.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
学习目标
1.掌握等腰三角形的性质定理：①在同一个三角形中，等边对等角；②等腰三角形三线合一.
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、计算.
3.掌握“等边三角形的各个内角都等于 ”.
4.会利用等边三角形的性质进行简单的推理、计算.
知识点1 等腰三角形的性质定理1及推论 重点
解： 是等边三角形， 为 边上的中线， ， ， 平分 ， ， . ， ， .
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点：等腰三角形的性质的应用，主要考查利用等腰三角形的性质求角度，证明线段相等或角相等.
选择题、填空题
考点 利用等腰三角形的性质求角度
典例5 [2021·绍兴中考] 如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交直线 于点 ，连结 ，则 的度数是____________.性质几何语言 Nhomakorabea图示

已知：在△ABC中，AB=AC.
A
求证：∠B= ∠C 思考2：
B
C
你能得出几种不同的辅助线添法？
你能用几何语言来描述性质定理1吗？
定理中“在一个三角形中”这句话能删吗？
例1 求等边三角形ABC三个内角的度数
A
B
C
学以致用
练习1:已知：在△ABC中，AB = AC， ∠AB = 80°， 求∠BA 和 ∠C的度数。
∠ B=50 ° ∠C =50 °
A
∠ A=20 ° ∠C =80 ° B
C
学以致用
练习2、等腰△ABC的一个内角为 80 °， 则另两个角的度数为
50 °、 50 ° 或 80 °、 80 °
A A
B
C
练习3:
BC
已知：等腰△ABC的一个内角为 100 °，
则另两个角的度数为 40 °、 40 ° .
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
BD和CE是△ABC的两条角平分线.
A
求证：BD=CE
E
D
B
C
学以致用
【练习5】如图，在△ABC中，
AB=AC,P为BC的中点，D,E分别
为AB,AC上的点，且AD=AE.
求证：PD=PE.
A
DE
B
P
C
课
来
风 雨
1、通过这节课的学习，我学到
声
了等腰三角形的哪些知识？
思考3： 等腰三角形已知一内角求其余两角的题目 为什么可能有两组答案？ 等腰三角形的底角能是钝角吗？
等腰三角形中已知一内角， 若没指明是底角还是顶角应 分两种情况讨论。
学以致用
练习4:如图，AD,BE是等边三角 形ABC的两条角平分线，AD,BE

自主学习
① 等腰三角形的 ② 等腰三角形的 ③ 等腰三角形是 、
角相等.（简称“ 、
” ） ” ） .
互相重合.（简称“
对称图形，它的对称轴是：
探究点一：证明等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C
A
B 合作探究
C
探究点二： 证明等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、 底边上的高互相重合. 思考：如何证明文字命题的正确性?
1、等腰三角形的一个角为 50° ，那么它的一个底角为______．
☆2、如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD• 将这个等腰三角 形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
测评达标
《等腰三角形的性质》导学案
课题 授课人 知识与能力 等腰三角形的性质 课时 授课时间 1 课时 课型 授掌握等腰三角形“三线合一”的特殊性质并能运用其解决 相关问题 了解分析的思考方法并学会合理添加辅助线 经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明过程， 不断感受证明的必要性、 感受合情推理和演绎推理都是人们认 识事物的重要途径
学习目标
过程与方法
情感态度价值观 学习重点 学习难点 学习方法 学 具 学习过程 导入新课
等腰三角形的性质 等腰三角形的性质的应用 自主学习、合作探究、练习法 导学案 学生活动 什么叫等腰三角形？等腰三角形又有何性质？这节课我们来探究等腰三角形 的性质 阅读教材 P61，完成下列问题： 等腰三角形的性质：
交流指导
这节课你有什么收获？还有什么疑惑？ 1、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,点 D,E 在边 BC 上，且 AD=AE。 求证：BD=CE

【解析】 (1)AF＝BD．证明如下： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ BCA＝60° ． 同理，CD＝CF，∠ DCF＝60° ． ∴∠ BCA－∠ DCA＝∠ DCF－∠ DCA， 即∠ BCD＝∠ ACF． BC＝AC， 在△ BCD 和△ ACF 中，∵∠ BCD＝∠ ACF， CD＝CF， ∴△ BCD≌ △ ACF(SAS)．∴BD＝AF．
图 232
【解析】 如解图，先根据角平分线的定义得到∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，再根据三 角形外角的性质得∠ 1＋∠ 2＝∠ 3＋∠ 4＋∠ A，∠ 1＝∠ 3＋∠ D，则 2∠ 1＝2∠ 3 1 ＋∠ A，利用等式的性质得到∠ D＝ ∠ A，然后把∠ A 的度数代入计算即可． 2 ∵AB＝AC，∴∠ ACB＝∠ ABC＝75° ． ∴∠ A＝30° ． ∵∠ ABC 的平分线与∠ ACE 的平分线相交于点 D，∴∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4． ∵∠ ACE＝∠ A＋∠ ABC， 即∠ 1＋∠ 2＝∠ 3＋∠ 4＋∠ A， ∴2∠ 1＝2∠ 3＋∠ A． ∵∠ 1＝∠ 3＋∠ D， 1 1 ∴∠ D＝ ∠ A＝ × 30° ＝15° ． 2 2( Nhomakorabea 2 解)
【答案】 A
【例 3】 操作发现：
(1)如图 233①，D 是等边三角形 ABC 的边 BA 上一动点(点 D 与点 B 不重合)，连结 DC，以
DC 为边在 BC 上方作等边三角形 DCF，连结 AF．你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系 吗？并证明你发现的结论．
图 233 类比猜想：
解 题 指 导
【例 1】 如图 231，已知 AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【解析】 ∵AB＝AC，∴∠ B＝∠ C． ∵AD＝AE，∴∠ ADE＝∠ AED， ∴180° －∠ ADE＝180° －∠ AED， 即∠ ADB＝∠ AEC． ∠ B＝∠ C， 在△ ABD 和△ ACE 中，∵∠ ADB＝∠ AEC， AB＝AC， ∴△ ABD≌ △ ACE(AAS)． ∴BD＝CE．