等腰三角形性质定理（基础）【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a2.【：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG 与△GEF 中，，∴△DGB≌△EGF（AAS ），∴GD=GE．【总结升华】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．5、如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：△ABE ≌△CAD ；（2）求∠BFD 的度数．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA ，结合AE=CD ，可证明△ABE ≌△CAD （SAS ）； （2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD ，∠ABE=∠CAD ，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA ，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE 和△CAD 中，AB CA BAE C AE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABE ≌△CAD （SAS ）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD ，又∵△ABE ≌△CAD ，∴∠ABE=∠CAD ．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三：【变式】如图，将一个钝角△ABC （其中∠ABC=120°）绕点B 顺时针旋转得△A 1BC 1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．【答案】（1）解：∵∠ABC=120°，CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．。
13.3等腰三角形-13.4最短路径1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；K—重点分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形60︒【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是30︒60︒A．B．150︒30︒150︒C．D．或【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．801．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是A ．B ．或C ．或D ．80︒80︒20︒80︒50︒20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．6条3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC △AB AC D =，BC 35BAD ∠=︒C ∠=7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，如果AB =BD =DC ，且∠C =40°，那么∠A =__________°．9．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．10．如图，在△ABC 中，，是边上的中线，于，试说AB AC =AD BC BE AE ⊥E 明．CBE BAD ∠=∠11．已知在△ABC 中，AB =5，BC =2，且AC 的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，且AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．。
