数字信号处理课件(第三版) 高西全 西安电子科技大学出版社 第二章

n
要满足收敛条件，|z|的值必须在一定范围内才行，这个范 围就是收敛域。 不同形式的序列的收敛域形式不同，现讨论如下：
1、有限长序列 x(n)在 n1≤n ≤ n2 之内，才有非零的有限值，此区间外x(n)=0
n2
X (z)
n n1
x ( n) z n
只要级数的每一项有界，级数就收敛，即要求：
n
x ( n) z n
2、讨论s 平面到 z 平面的映射关系：z=esT 设：s= +j，z=rej，而z=esT，有：
rej = e(+j)T = eTejT
即：r= eT， = T 即：z域的模r与s域的实部对应；
z域的相角与s域的虚部对应。
① r与的关系： r= eT
围线积分法求z反变换：
首先，根据留数定理，有：
1 x ( n) 2j 1 x ( n) 2j
c c
X ( z ) z n1dz

k
Re s[ X ( z ) z n1 ]z zk
— ①
X ( z ) z n1dz

m
Re s[ X ( z ) z n1 ]z zm — ②
n
② 当 n=0 时，围线内有两个极点：z=0和z=1/2
( z 2) ( z 2) x( n) Re s[ ]z 1 / 2 Re s[ ]z 0 2 z ( z 1 / 2) 2 z ( z 1 / 2)
c Re[z]
c Re[z]
双边序列：|b|<|z|<|c|
双边序列：|a|<|z|<|b|
第三节 Z反变换
概念：由X(z)求出原列x(n)，称为z反变换。表示为：
x(n) Z 1[ X ( z )]
z反变换实际上是求X(z)的幂级数展开式。 z反变换常用的三种方法： 围线积分法、部分分式法、长除法。 一、围线积分法(留数法) 由于围线积分法较为复杂，我们这里只阐述应用该方 法求z反变换的方法，原理请大家参阅教材。

仅当n=0时，(n)=1 而此时：z-n=z0=1
X (z)
n
( n) z n 1
X(z)为常数1，说明收敛域是整个z的闭平面：|z|∈[0，] (2) 序列 x(n)=anu(n) 的z变换及收敛域。
X ( z ) a n z n (az 1 ) n
a n (4) 序列 x ( n) bn
n0
的z变换及收敛域。 n 1
n
X (z)
n
x ( n) z a Nhomakorabeazn n 0

n

n
b
1
n
z
n
jIm[z]
z z za zb
a b 上式成立的条件是：|a|<|z|<|b|(收敛域)。 通常：右边序列的收敛域在模最大的极点所在的圆之外。 左边序列的收敛域在模最小的极点所在的圆之内。 Re[z]
2、右边序列
这类序列是指在n≥n1时，x(n)有值，在n<n1时，x(n)=0。
X (z)
n n1
x ( n) z n

n n1
x ( n) z n x ( n) z n
n 0
1

① 上式第一项为有限长序列的z变换，因为n1<0，故收敛域为 |z|∈[0，) ② 第二项为负幂级数，故收敛域为 |z|∈(Rx-，] 合并①、②，得右边序列的z变换为： |z|∈(Rx-，)

ˆ X a ( s)
n n

n
xa ( nT )( t nT )e st dt
xa ( nT )e st X (e sT )

若令： z e sT， xa ( nT )写作： x( n)， 有：
ˆ X ( z ) z e sT X (e sT ) X a ( s )
| x( n) z n | n1 n n2
由于x(n)为有限值，即x(n)有界，故要求：
| z n | n1 n n2
显然，收敛域为：|z|∈(0，) 或 0<|z|<
① 当n1<0， n2>0时，收敛域为：|z|∈(0，)或 0<|z|< ② 当n1≥0时，收敛域为：|z|∈(0，] 或 0<|z|≤ ③ 当n2≤0时，收敛域为：|z|∈[0，) 或 0≤|z|<
② 若 zr 是 X(z)· zn-1 的多重极点(p阶)，则有：
Re s[ X ( z ) z n 1 ]z z r 1 d p 1 [( z z r ) p X ( z ) z n 1 ]z z r ( p 1)! dz p 1
例：求z的反变换，设：
解：
1 2 z 1 1 X ( z ) 1 | z | z 2 2 1 x ( n) X ( z ) z n 1dz 2j c 1 z2 n 1 c z 2( z 1 / 2) dz 2j
3、左边序列 这类序列是指在n≤n2时，x(n)有值，在n>n2时，x(n)=0。
n2 0 n2
X (z)
n
x ( n) z n
n
x ( n ) z n x ( n) z n
n 1
① 上式第二项为有限长序列的z变换，因为n2>0，故收敛域为 |z|∈(0，] ② 第一项为正幂级数，故收敛域为 |z|∈[0，Rx+)
n 0 n 0


(az 1 )0 [1 (az 1 ) ] [1 (az 1 ) ] 1 1 az 1 az 1
当|az-1|<1，即：|z|>|a|时，(az-1) = 0，此时X(z)为：
1 X (z) 1 az 1
说明： ① 序列 x(n)=anu(n) 是一个右边序列，而且是因果序列， 它的收敛域应该是 |z|>Rx- 的形式，从本题的结果中也 得到了验证：|z|>|a|。 我们再来分析X(z)：
说明： 序列 x(n)=-bnu(-n-1) 是一个左边序列，它的收敛 域的形式 |z|<|b|验证了这一点。
分析例(2)和例(3)：
右边序列 x(n)=anu(n)
左边序列 x(n)=-bnu(-n-1)
z X (z) za z X (z) za
|z|>|a| |z|<|b|
若有：a=b，则两个X(z)是一样的。而我们知道，这两 个X(z)所对应的x(n)是完全不同的。这就说明： 仅由X(z)的表达式不能推断x(n)，必须再已知X(z)收 敛的条件(即收敛域)，才可以得出x(n)。
① 当 n≥1 时，围线内有一个极点：z=1/2
z n 1 ( z 2) x( n) Re s[ ]z 1 / 2 2( z 1 / 2)
z
n 1
( z 2) 1 2 2 z 1 / 2
n 1
3/ 2 2
31 2 2
设x(n)=an,则: x(n)z-n =(a/z)n 故|z|>|a|
因果序列是重要的右边序列，它是当n<0时x(n)=0的序列。
X (z)
n n1
x ( n) z n x ( n) z n x ( n) z n
n 0 n 0
1


因为是因果序列，所以n1=0，这样，只剩下第二项，故 收敛域为： |z|∈(Rx-，]，或写为：|z|> Rx-
X (z)
n
b
1
n
z
n
b z (b z )
n n 1 n 1 n 1


n
(b 1 z )[1 (b 1 z ) ] 1 b 1 z
当|b-1z|<1，即：|z|<|b|时，(b-1z) = 0，此时X(z)为：
( b 1 z ) z z X (z) 1 1 b z b z zb
第二章
Z变换与离散时间系统
Z变换是离散系统与信号分析的重要工具，其地位 犹如拉普拉斯变换在连续信号与系统中的地位。
第一节 Z变换的定义
Z变换的定义可以从理想信号(离散信号)的拉 普拉斯变换引出，也可以独立地对离散信号(序列) 给出其定义。
1、序列的Z变换的由来
ˆ 设连续信号为xa(t)，理想抽样后得到 x a ( t ) ，它们的拉氏变换
=0 (s平面虚轴)
<0 (s左半平面)
r=1 (z平面单位圆)
r<1 (z平面单位圆内部)
>0 (s右半平面)
r>1 (z平面单位圆外部)
=0 (s平面虚轴)
<0 (s左半平面) >0 (s右半平面) j
r=1 (z平面单位圆)
r<1 (z平面单位圆内部) r>1 (z平面单位圆外部) jIm[z]
n

n
x ( n) z
n
x ( n) z
n 0
n
① 第一项为左边序列(n2≤0)，其收敛域为： |z|∈[0，Rx+) ② 第二项为因果序列，其收敛域为 |z|∈(Rx-，]
合并①、②，只有当： Rx-<Rx+ 时,才存在公共的环状收敛域：
|z|∈(Rx-，Rx+)
jIm[z]
②
1 z X (z) 1 1 az za
可以从X(z)的解析式中看出，z=a处为极点。由于在收敛 域内一定没有极点，所以对于一般的右边序列而言，其z变换的 收敛域一定在模最大的有限极点所在的圆之外(若为因果序列， 收敛域还包括点)。