数字信号处理第二章上机题作业

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

数字信号处理答案第⼆章第⼆章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最⼩周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的⼀般公式x(n)=Acos(?ω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最⼩周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的⼀般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是⽆理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的⼀般公式x(n)=Acos(?ω+n )，⼜x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最⼩周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性⾮移变系统的输⼊和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)-1-1-1-1-1-1222222 3333 3444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===2 2knhkx)()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图⽅法，计算y(n)的每⼀个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2(b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3)(c) y(n)= ∑∞-∞=--kkn knuku a)()(=∑∞-∞=-aa n--+111u(n)2.3 计算线性线性卷积(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)= ∑∞-∞=-kknuku)(-)()(kknuku=(n+1),n≥0 即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-kk knuku)()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λy(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所⽰的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性⾮移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知⼀个线性⾮移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0系统的单位阶跃响应。

第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ） （2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解 （1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。

(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。

（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。

习题1.设X（e"。

）和r（e JC0）分别是印7）和）仞的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:(1) x("-"o) (3) x(-n) (5) x(")y(")(7) x(2n)⑵ x*(〃)(4) x(") * v(«) (6) nx(n) (8) /(〃)解：⑴00 FT[X(/7-Z70)] = £x(〃一〃o)e—S令n r = n-n0,即〃=n' + n Q,贝!J00FT[x(n-n o y\=工》(〃')以"''*""="初。

乂(烈)00 00(2)FT[x («)] = £ x* (n)e*= [ £ 戏〃)攻以]* = X* (e「W=—00 w=—00(3)00FT[x(—")]= 〃)e*"令=一〃,则00FT[x(—”)]= Zx(〃')e" =X(e—〃")”'=—00(4)00 x(〃) *'(〃)= ^\x(jrT)y(n -m)W=-0000 00FT[x(n) * v(w)] = Z【Z x("y("-初)]e""' n=-<x> w=-oo k = n-m,贝U00 00FT[x(ri)*y(ri)]= £[ £x(初) k=—CD W=-0000 00k=-<x> m=—cc= X(e5(em)_00 00 1时[x(M)贝〃)]= Z》(〃)贝〃)e「9 = Zx(〃)[-Lf/(em'"'"d 渺]e-加""=—00 〃=—00 2l "1 00=—£ Y(e j0)')2l " n=—<x>1 伙=一L "口")*?®"、技或者FT[x{n)y{ny\ = —「171 »兀oo(6)因为X(e，")= »("初,对该式两边口求导，得到叫、)=-J £仗"如=-jFT[nx(n)]因此矶孙(〃)]=j至@3)dco00⑺ FT\x(2ri)\=加n=-(x)令n' = 2n ,则FT[X(2W)]= £x(z/)e 7 %W--00,且取偶数00 1 r r・l 八1°0 . 1 00 . 1£?kO + (T)“x(")厂=| 广伽+£ef ("广伽〃=—oo 匕匕〃=—oo 〃=—00=L「xa*+x(/*E)F7[x(2z?)] = | X(e‘2") + X(—e'尸)(8) F7[X2(»)]= J X2(77)6^»=-OO利用(5)题结果，令x{n) = y{n),则F巾2(”)] = _£x(em)*X(eS) = —「X®。

2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。

数字信号处理（吴镇扬）课后习题答案（比较详细的解答过程）第二章测试训练题解1.DFT和DTFT之间的关系是2.DFT和DFS之间的关系是3.对于一个128点的DFT，最先4个DFT相应于数字频率4.某滤波器的频响为H(ω) = 0.3cos2ω- 0.2cosω+ 0.05，相应于6点的DFT的H[k]为5.采样频率为22.05kHz的1024点DFT所对应的频率分辨率为6.采样率为8kHz的信号的256点DFT的第一个周期覆盖的频率范围是从0Hz至7.信号[ 1 0 2 ]的DFT每隔3个样点值重复，为8.以1600Hz对一220Hz的信号采样，进行64点DFT，最接近的DFT频率为9.以12kHz的信号对一4.25kHz的信号抽样，其256点DFT幅谱图的基带最大峰值点所对应的下标为10.采样频率为6kHz，1kHz信号的频率分辨率要达到50Hz，需11.采样频率为16kHz，1024点DFT的窗口长度为12.关于谱泄漏与窗口长度的关系是13.频谱图是展现信号的什么14.周期性方波的频谱图15.在FFT中的乘数因子是16.与512点的DFT相比，512点的FFT只需约几分之一的计算量17、一个长度为N的有限长序列可否用N个频域的采样值唯一地确定？18、计算两个Ｎ点序列的线性卷积，至少要做多少点的ＤＦＴ？19、x(2n)与x(n)的关系20、对于高斯序列x(n)=exp[-(n-p)2/q]，取16点作FFT，其幅度谱中低频分量最多的是21、一般地说按时间抽取基二FFT的_______序列是按位反转重新排列的。

22、信号x（n）＝sin(nπ/4) - cos(nπ/7)的数字周期为23、Ｎ＝２Ｌ点基二ＦＦＴ，共有______列蝶形，每列有____个蝶形。

24、信号s(t)=sin(4000πt)+sin(600πt)，则采样频率至少应为25、用按时间抽取法计算256点的FFT时，n=233的二进制位反转值是26、FFT之所以能减少DFT的运算量，是因为：，FFT减少DFT 运算量的基本处理思想是。

————第二章————教材第二章习题解答1. 设()jw X e 和()jw Y e 分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）0()x n n -； （2）()x n -； （3）()()x n y n ； （4）(2)x n 。

解：（1）00[()]()jwnn FT x n n x n n e∞-=-∞-=-∑令''00,n n n n n n =-=+，则'00()'0[()]()()jw n n jwn jw n FT x n n x n e e X e ∞-+-=-∞-==∑（2）****[()]()[()]()jwnjwn jw n n FT x n x n ex n e X e -∞∞-=-∞=-∞===∑∑（3）[()]()jwnn FT x n x n e∞-=-∞-=-∑令'n n =-，则'''[()]()()jwn jw n FT x n x n eX e ∞-=-∞-==∑（4） [()*()]()()jwjwFT x n y n X e Y e = 证明： ()*()()()m x n y n x m y n m ∞=-∞=-∑[()*()][()()]jwnn m FT x n y n x m y n m e ∞∞-=-∞=-∞=-∑∑令k=n-m ，则[()*()][()()] ()() ()()jwk jwnk m jwkjwnk m jw jw FT x n y n x m y k eey k e x m eX e Y e ∞∞--=-∞=-∞∞∞--=-∞=-∞===∑∑∑∑2. 已知001,()0,jww w X e w w π⎧<⎪=⎨<≤⎪⎩求()jw X e 的傅里叶反变换()x n 。

解： 00sin 1()2w jwn w w nx n e dw nππ-==⎰3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)()()(),jw jw j w H e H e eθ=如果单位脉冲响应()h n 为实序列，试证明输入0()cos()x n A w n ϕ=+的稳态响应为00()()cos[()]jw y n A H e w n w ϕθ=++。

第二章上机作业1、ljdt(A,B)函数定义function ljdt(A,B)p=roots(A);q=roots(B);p=p';q=q';x=max(abs([p q 1]));x=x+0.1;y=x;clfhold onaxis([-x x -y y])w=0:pi/300:2*pi;t=exp(i*w);plot(t)axis('square')plot([-x x],[0 0])plot([0 0],[-y y])text(0.1,x,'jIm[z]')text(y,1/10,'Re[z]')plot(real(p),imag(p),'x')plot(ral(q),imag(q),'o')title('pole-zero diagram for discrete system') hold off例2.26a=[3 -1 0 0 0 1];b=[1 1];ljdt(a,b)p=roots(a)q=roots(b)pa=abs(p)程序运行结果如下：P=0.7255+0.4633i0.7255+0.4633i-0.1861+0.7541i-0.1861-0.7541i-0.7455q=-1pa=0.86080.86080.77680.77680.7455例2.27b=[0 1 2 1];a=[1 -0.5 -0.005 0.3];subplot 311zplane(b,a);xlabel('实部');ylabel('虚部'); num=[0 1 2 1];den=[1 -0.5 -0.005 0.3];h=impz(num,den);subplot 312stem(h);xlabel('k');title('单位脉冲响应'); [H,w]=freqz(num,den);subplot 313plot(w/pi,abs(H));xlabel('频率\omega');title('频率响应')例2.28a=[1,-1];b=[1];subplot 321impz(b,a);a1=[1,-0.8];b1=[1];subplot 322impz(b1,a1,10);a2=[1,-2];b2=[1];subplot 323impz(b2,a2,10);a3=[1,-2*0.8*cos(pi/4),0.8^2];b3=[1];subplot 324impz(b3,a3,20);a4=[1,-2*0.8*cos(pi/8),1];b4=[1];subplot 325impz(b4,a4,20);a5=[1,-2*1.2*cos(pi/4),1.2^2];b5=[1];subplot 326impz(b5,a5,20);例2.29b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];figure(1)subplot(2,1,1);dimpulse(b,a,50);ylabel('h(n)'); subplot(2,1,2);dstep(b,a,50);ylabel('g(n)'); figure(2)w=[0:1:500]*pi/500; freqz(b,a,w)例2.30b=[1,0,0,0,0,0,0,0,-1];a0=1;a1=[1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.8)^8];a2=[1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.9)^8];a3=[1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.98)^8];[H,w]=freqz(b,a0);[H1,w1]=freqz(b,a1);[H2,w2]=freqz(b,a2);[H3,w3]=freqz(b,a3);subplot(4,2,1);zplane(b,a0);xlabel('实部');ylabel('虚部');title('FIR梳状滤波器零点图')subplot(4,2,2);zplane(b,a1);xlabel('实部');ylabel('虚部');title('IIR梳状滤波器零点图a=0.8')subplot(4,2,3);plot(w/pi,abs(H));title('FIR梳状滤波器幅频响应曲线') subplot(4,2,4);plot(w/pi,abs(H1));title('IIR梳状滤波器幅频响应曲线a=0.8')subplot(4,2,5);zplane(b,a2);xlabel('实部');ylabel('虚部');title('IIR梳状滤波器零极点图a=0.9')subplot(4,2,6);zplane(b,a3);xlabel('实部');yalbel('虚部')title('IIR梳状零极点图a=0.98')a4=[1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.9)^8];a5=[1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.98)^8];[H4,W4]=freqz(b,a4);[H5,W5]=freqz(b,a5);subplot(4,2,7);plot(w/pi,abs(H4));title('IIR梳状滤波器频幅响应曲线a=0.9')subplot(4,2,8);plot(w/pi,abs(H5));title('IIR梳状滤波器零极点图a=0.98')例2.31num=[0.45 0.4 -1];den=[1 -0.4 -0.45];x0=[1 2];y0=[0 1];N=50;n=[0:N-1]';x=0.8.^n;Zi=filtic(num,den,y0,x0);[y,Zf]=filter(num,den,x,Zi);plot(n,x,'r-',n,y,'b--');title('响应');xlabel('n');ylabel('x(n)-y(n)'); legend('输入x','输入y',1);grid;例2.32num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den) 程序运行结果如下：r =0.36000.24000.4000p =0.5000-0.3333-0.3333k =[]（1）f=sym('cos(a*k)');F=ztrans(f)程序运行结果如下：F =(z-cos(a))*z/(z^2-2*z*cos(a)+1) （2）F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果如下：f =a^n*n例2.34(1)f=sym('a^n')F=ztrans(f)程序运行结果如下：f =a^nF =-z/(a - z)(2)f=sym('1');F=ztrans(f)程序运行结果如下F =z/(z - 1)b=1;a=poly([0.9 0.9 -0.9]);[r,p,k]=residuez(b,a)程序运行结果如下：r =0.25000.50000.2500p =0.90000.9000-0.9000k =[]例2.36x1=[1,2,3];n1=-1:1;x2=[2,4,3,5];n2=-2:1;[y,n]=conv_m(x1,n1,x2,n2);运行结果如下：y =2 8 17 23 19 15。

第二章 习题及参考答案 一、习题1、 序列x(n)的表达式如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=其它,040,414,32)(n n n n x（1） 画出序列x(n)的波形，并标出各序列值。

（2） 请用延迟的单位抽样序列及其加权和表示序列x(n)。

（3） 令y(n)=2x(n-2),请画出y(n)的波形。

2、 判断下列序列是否是周期序列，并求出周期序列的周期。

（1）是常数αππα,)843sin()(-=n n x（2）是常数ββπ,)()16(-=n j en x3、设x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，试判断下列差分方程所描述的系统是否是线性移不变的？ （1）y(n)=x(n)+5x(n-2) （2）y(n)=3x(n)+1（3）y(n)=x(n-n 0) , n 0为整数 （4）y(n)=x(-n) （5）y(n)=x 2(n) （6）y(n)=x(n 2) （7）∑==ni 0x(i)y(n)4、试判断下列差分方程所描述的系统是否具有因果性、稳定性，并说明理由。

（1）y(n)=x(n)+x(n+2) （2）∑+-==x(m)y(n)n n n n m（3）y(n)=x(n-m) （4）y(n)=e x(n) （5）∑-==20k)-x(n y(n)N k5、输入序列x(n)及线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)如下所示：)3(2)1()2()(-+-++-=n n n n x δδδ )2(5.0)1()(2)(-+-+=n n n n h δδδ求该系统的输出序列y(n),并画出y(n)的波形。

6、设由下列差分方程描述的系统为因果系统， 3)1()(3)1()(-++-=n x n x n y n y 要求用递推法求系统的单位脉冲响应。

7、设)()(3n R n x =, 试求x(n)的共扼对称序列)(n x e 和共扼反对称序列)(n x o ，并分别用波形图表示。

8、根据系统的单位脉冲响应h(n),分析下列系统的因果稳定性： （1）)(0n n -δ （2）)(n u （3）)(3n u n （4）)(3n R N n（5）)(31n u n - （6）n n u )(（7）!)(n n u9、已知线性移不变系统的单位脉冲响应h(n)以及输入序列x(n)，求输出序列y(n),并画出y(n)的波形图。