河北省沧州市七县2020学年高二数学上学期期中联考试题 理

2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。

2023-2024学年河北省沧衡八校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线x 28−y 24=1的虚轴长为（ ）A ．2B ．2√2C ．4D ．4√22．已知BD ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{13BC →，BD →，√55AD →}B ．{13BC →，BD →，12BA →}C ．{BC →，BD →，√55AD →}D ．{BC →，BD →，12BA →}3．若P 为抛物线y 2＝4x 上一点，且P 到焦点F 的距离为9，则P 到y 轴的距离为（ ） A ．7B ．10C ．8D ．94．在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=（ ） A ．12OA →+14AB →+14AC →B ．OA →+14AB →+14AC →C ．12OA →+12AB →+12AC →D ．OA →+12AB →+12AC →5．“m ＞√6”是“方程x 2m 2−6+y 2m=1表示的曲线是椭圆”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆M ：x 2+（y +1）2＝1与圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1关于直线l 对称，则l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣3＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．2x +y ﹣3＝07．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为√32．若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）A ．3.6米B ．3.4米C ．4米D ．3.2米8．设A 是抛物线C ：y 2＝﹣4x 上的动点，B 是圆M ：（x +8）2+y 2＝1上的动点．则|AB |的最小值为（ ） A ．√30−1B ．4√2−1C ．2√7−1D ．27二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a 的值可能是（ ） A ．−32B ．−23C ．0D ．110．已知椭圆C ：x 24+y 225=1的两个焦点为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|＝4B ．|F 1F 2|=2√21C ．|PF 1|≤5+√21D ．|PF 1||PF 2|≤2511．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AP →=tAD 1→+(1−t)AB →，t ∈[0，1]，则（ ） A ．当BD 1⊥平面ACP 时，t =13B ．AP →⋅CP →的最小值为−13C ．当点D 到平面ACP 的距离最大时，t =23D ．当三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最大时，t =2312．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作C ′的一条渐近线的垂线，垂足为A ，该垂线与另一条渐近线的交点为B ，若|FB |＝λ|F A |（λ＞1），则C 的离心率可能为（ ） A ．√2λλ+1B ．√3λλ2+1C ．√2λλ−1D ．√3λλ2−1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线y =√33x −√73的倾斜角为 ．14．在空间直角坐标系中，已知A （5，2，1），B （4，2，﹣1），C （0，﹣1，0），D （1，0，1），则直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ．15．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面1.6m 时，水面宽6.4m ，当水面下降0.9m 时，水面的宽度为 m ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m ．16．若曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，则m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 经过直线l 1：x ﹣y +1＝0与直线l 2：2x +y ﹣4＝0的交点． （1）若直线l 经过点（3，3），求直线l 在x 轴上的截距；（2）若直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，求直线l 的一般式方桯．18．（12分）已知双曲线C 的中心在原点，过点（2，0），且与双曲线x 2−y 22=1有相同的渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知A ，B 是双曲线C 上的两点，且线段AB 的中点为M （3，3），求直线AB 的方程．19．（12分）如图，在正三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为AC ，CC 1，BC 的中点，A 1A =2√3，AB ＝2．（1）证明：DF ∥平面A 1B 1E ．（2）若B 1F ⊥平面α，求平面α与平面A 1B 1E 夹角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2． （1）求圆C 的标准方程；（2）求圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长；（3）若P （x ，y ）是圆C 上的一个动点，求z ＝x 2+y 2+4x +6y +18的最小值．21．（12分）如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABC 沿着AC 翻折至如图2所示的△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ． （1）证明：AC ⊥B 1D ．（2）若平面ACB 1⊥平面ACD ，E 为线段CD 上一点（不含端点），且B 1E 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√1510，求CE CD的值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），离心率为3√1010． （1）求C 的方程．（2）若A ，B 为C 上的两个动点，A ，B 两点的纵坐标的乘积大于0，M （﹣4，0），N （4，0），且∠AFM ＝∠BFN ．证明：直线AB 过定点．2023-2024学年河北省沧衡八校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线x 28−y 24=1的虚轴长为（ ）A ．2B ．2√2C ．4D ．4√2解：由x 28−y 24=1可得b 2＝4，b ＝2，故虚轴长为2b ＝4，故选：C ．2．已知BD ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{13BC →，BD →，√55AD →}B ．{13BC →，BD →，12BA →}C ．{BC →，BD →，√55AD →}D ．{BC →，BD →，12BA →}解：∵BD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥AB ，BD ⊥BC ．∵AB ⊥BC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，∴空间的一个单位正交基底可以为{13BC →，BD →，12BA →}．故选：B ．3．若P 为抛物线y 2＝4x 上一点，且P 到焦点F 的距离为9，则P 到y 轴的距离为（ ） A ．7B ．10C ．8D ．9解：根据抛物线的定义可得P 到焦点F 的距离等于P 到准线x ＝﹣1的距离， ∴P 到y 轴的距离为9﹣1＝8． 故选：C ．4．在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=（ ） A ．12OA →+14AB →+14AC →B ．OA →+14AB →+14AC →C ．12OA →+12AB →+12AC →D ．OA →+12AB →+12AC →解：因为D 为BC 的中点，所以AD →=12(AB →+AC →)．因为E 为AD 的中点，所以AE →=14(AB →+AC →)，所以OE →=OA →+AE →=OA →+14AB →+14AC →．故选：B ． 5．“m ＞√6”是“方程x 2m 2−6+y 2m=1表示的曲线是椭圆”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：因为方程x 2m 2−6+y 2m=1表示的曲线是椭圆，可得{m 2−6＞0m ＞0m 2−6≠m，所以m ＞√6且m ≠3．故“m ＞√6”是“方程x 2m 2−6+y 2m=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：C ．6．已知圆M ：x 2+（y +1）2＝1与圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1关于直线l 对称，则l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣3＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．2x +y ﹣3＝0解：由圆M ：x 2+（y +1）2＝1与圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1得M （0，﹣1），N （2，3）， 则MN 的中点的坐标为（1，1），k MN =3+12−0=2． 由圆M 与圆N 关于l 对称，得l 的斜率为−1k MN=−12．因为MN 的中点在l 上，所以y −1=−12(x −1)，即x +2y ﹣3＝0．故选：A ．7．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为√32．若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）A ．3.6米B ．3.4米C ．4米D ．3.2米解：由题意及椭圆的几何性质可得：椭圆的离心率为ca=√a 2−b 2a 2=√1−b 2a 2=√32，则a ＝2b ， 由该椭球横截面的最大直径为1.8米， 可知2b ＝1.8米，所以b ＝0.9米，a ＝1.8米， 所以该椭球的高为2a ＝3.6米． 故选：A ．8．设A 是抛物线C ：y 2＝﹣4x 上的动点，B 是圆M ：（x +8）2+y 2＝1上的动点．则|AB |的最小值为（ ） A ．√30−1B ．4√2−1C ．2√7−1D ．27解：A 是抛物线C ：y 2＝﹣4x 上的动点，B 是圆M ：（x +8）2+y 2＝1上的动点．设A(−m 24，m)，则|AM|2=(−m 24+8)2+m 2=116m 4−3m 2+64=116(m 2−24)2+28，当m 2＝24时，|AM |2取得最小值28，所以|AM|min =2√7， 所以|AB|min =2√7−1． 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a 的值可能是（ ） A ．−32B ．−23C ．0D ．1解：直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a +2a （a +1）＝0，解得a ＝0或a =−32．故选：AC ．10．已知椭圆C ：x 24+y 225=1的两个焦点为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|＝4B ．|F 1F 2|=2√21C ．|PF 1|≤5+√21D ．|PF 1||PF 2|≤25解：椭圆C ：x 24+y 225=1的两个焦点为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，因为4＜25，所以a 2＝25，b 2＝4，c 2＝25﹣4＝21，故a ＝5，b ＝2，c =√21， 所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10，|F 1F 2|=2c =2√21，|PF 1|⩽a +c =5+√21， |PF 1||PF 2|⩽(|PF 1|+|PF 2|2)2=25． 故选：BCD ．11．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AP →=tAD 1→+(1−t)AB →，t ∈[0，1]，则（ ）A ．当BD 1⊥平面ACP 时，t =13B ．AP →⋅CP →的最小值为−13C ．当点D 到平面ACP 的距离最大时，t =23D ．当三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最大时，t =23解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），D 1（0，1，1），C （1，1，0），所以BD 1→=(−1，1，1)，AD 1→=（0，1，1），AB →=（1，0，0），CA →=（﹣1，﹣1，0）， 所以AP →=tAD 1→+(1−t)AB →=（1﹣t ，t ，t ），即P （1﹣t ，t ，t ）， 所以CP →=（﹣t ，t ﹣1，t ），对于选项A ，当BD 1⊥平面ACP 时，BD 1→⋅CP →=t +t −1+t =0，解得t =13，即选项A 正确；对于选项B ，AP →⋅CP →=−t(1−t)+t(t −1)+t 2=3t 2−2t =3(t −13)2−13，当t =13时，AP →⋅CP →取得最小值−13，即选项B 正确；对于选项C ，当P 是BD 1的中点，即t =12时，平面ACP ⊥底面ABCD ，此时点D 到平面ACP 的距离最大，即选项C 错误； 对于选项D ，因为AD ⊥CD ，所以过斜边AC 的中点作平面DAC 的垂线，则三棱锥D ﹣ACP 外接球的球心必在该垂线上， 所以可设球心O 的坐标为(12，12，x)(0⩽x ⩽1)，球的半径为R ，因为|OP |＝|OA |＝R ，所以√(12−t)2+(t −12)2+(t −x)2=√12+x 2=R ，整理得t （3t ﹣2）＝2xt ，在三棱锥D ﹣ACP 中，t ≠0，所以3t ﹣2＝2x ，即x =3t2−1， 所以R =√12+(32t −1)2⩾√22，当且仅当t =23时，等号成立，此时三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最小，即D 错误． 故选：AB ．12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作C ′的一条渐近线的垂线，垂足为A ，该垂线与另一条渐近线的交点为B ，若|FB |＝λ|F A |（λ＞1），则C 的离心率可能为（ ） A ．√2λλ+1B ．√3λλ2+1C ．√2λλ−1D ．√3λλ2−1解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，不妨设C 的一条渐近线的方程为y =ba x ，过点F 作C ′的一条渐近线的垂线，则直线AF 的斜率为−ab，则l AF ：y =−a b (x −c)．设B （x 0，y 0），联立直线AF 的方程与y =−b a x ，可得x 0=a 2c a 2−b 2，y 0=abcb 2−a 2． 同理可得点A 的纵坐标为ab c ，因为|FB →|=λ|FA →|，所以abc b 2−a 2=±λabc ．因为e =c a ，所以e =√2λλ+1或e =√2λλ−1．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线y =√33x −√73的倾斜角为 30° ． 解：因为直线y =√33x −√73的斜率为√33，所以直线y =√33x −√73的倾斜角为30°．故答案为：30°．14．在空间直角坐标系中，已知A （5，2，1），B （4，2，﹣1），C （0，﹣1，0），D （1，0，1），则直线AB 与CD 所成角的余弦值为√155． 解：因为CD →=(1，1，1)，AB →=(−1，0，−2)， 所以cos ＜AB →，CD →＞=AB →⋅CD→|AB →|⋅|CD →|=−3√5×√3=−√155，所以直线AB与CD所成角的余弦值为√15 5．15．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为8m；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 3.2m．解：以拱顶为原点O，建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），由题意可知抛物线过点（3.2，﹣1.6），∴3.22＝﹣2p•（﹣1.6），解得2p＝6.4，∴抛物线方程为x2＝﹣6.4y，∴该抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.2m．当水面下降0.9m时，y＝﹣1.6﹣0.9＝﹣2.5，则x2＝﹣6.4×（﹣2.5），解得x＝±4，∴水面的宽度为8m．故答案为：8；3.2．16．若曲线(x+√3)(√3x−y−2)=0与圆x2+（y﹣m）2＝m2恰有4个公共点，则m的取值范围是(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)．解：因为曲线(x+√3)(√3x−y−2)=0与圆x2+（y﹣m）2＝m2恰有4个公共点，所以直线x+√3=0，√3x−y−2=0均与圆x2+（y﹣m）2＝m2相交，且两直线的交点(−√3，−5)不在该圆上，则有{√3＜|m||√3×0−m−2|3+1|m|(−√3)2+(−5−m)2≠m2，解得m∈(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)．故答案为：(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 经过直线l 1：x ﹣y +1＝0与直线l 2：2x +y ﹣4＝0的交点． （1）若直线l 经过点（3，3），求直线l 在x 轴上的截距；（2）若直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，求直线l 的一般式方桯． 解：（1）由{x −y +1=02x +y −4=0解得{x =1y =2，即l 1和l 2的交点坐标为（1，2），因为直线l 经过点（3，3），所以直线l 的斜率为3−23−1=12， 所以直线l 的方程为y −2=12(x −1)，令y ＝0，得x ＝﹣3，所以直线l 在x 轴上的截距为﹣3； （2）因为直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，可得直线l 的斜率为−45，所以直线l 的方程为y ﹣2=−45（x ﹣1），即直线l 的一般式方程为4x +5y ﹣14＝0．18．（12分）已知双曲线C 的中心在原点，过点（2，0），且与双曲线x 2−y 22=1有相同的渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知A ，B 是双曲线C 上的两点，且线段AB 的中点为M （3，3），求直线AB 的方程． 解：（1）因为双曲线C 与双曲线x 2−y 22=1有相同的渐近线，不妨设双曲线C 的方程为x 2−y 22=λ(λ≠0)，因为双曲线经过点（2，0），解得λ＝4， 则所求双曲线的标准方程为x 24−y 28=1；（2）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为线段AB 的中点为M （3，3），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝6，因为A ，B 两点都在双曲线C 上，所以{x 124−y 128=1x 224−y 228=1， 可得18(y 1+y 2)(y 1−y 2)=14(x 1+x 2)(x 1−x 2)，即18(y 1−y 2)=14(x 1−x 2)，则y 1−y 2x 1−x 2=2， 所以直线AB 的方程为y ﹣3＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣3＝0．19．（12分）如图，在正三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为AC ，CC 1，BC 的中点，A 1A =2√3，AB ＝2．（1）证明：DF ∥平面A 1B 1E ．（2）若B 1F ⊥平面α，求平面α与平面A 1B 1E 夹角的余弦值．（1）证明：因为D ，F 分别为AC ，BC 的中点，所以DF ∥AB ，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以DF ∥A 1B 1，又因为DF ⊄平面A 1B 1E ，A 1B 1⊂平面A 1B 1E ，所以DF ∥平面A 1B 1E ；（2）解：取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(−1，0，2√3)，B 1(1，0，2√3)，E(0，√3，√3)，F(12，√32，0)， 所以A 1E →=(1，√3，−√3)，A 1B 1→=(2，0，0)，设平面A 1B 1E 的法向量为n →=(x ，y ，z)，所以n →⊥A 1B 1→，n →⊥A 1E →，则{n →⋅A 1B 1→=2x =0，n →⋅A 1E →=x +√3y −√3z =0，取y ＝1，得x ＝0，z ＝1，所以平面A 1B 1E 的一个法向量为n →=(0，1，1)，因为B 1F ⊥平面α，所有B 1F →=(−12，√32，−2√3)是平面α的一个法向量， 所以|cos〈n →，B 1F →〉|=|n →⋅B 1F →||n →||B F →|=3√32√26=3√7852．故平面α与平面A 1B 1E 夹角的余弦值为3√7852． 20．（12分）已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2．（1）求圆C 的标准方程；（2）求圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长；（3）若P （x ，y ）是圆C 上的一个动点，求z ＝x 2+y 2+4x +6y +18的最小值．解：（1）∵圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，得圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，圆截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2，∴圆C 的直径为2r ＝2，即r ＝1．设圆心C 的坐标为（a ，a ）（a ＞0），则a ＝r ＝1，∴圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．（2）∵圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴圆的半径为r ＝1，圆心C （1，1）到3x ﹣y ＝0的距离d =210， ∴圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长为2√1−d 2=2√155． （3）z ＝x 2+y 2+4x +6y +18＝（x +2）2+（y +3）2+5=[√(x +2)2+(y +3)2]2+5，∵√(x +2)2+(y +3)2表示点P （x ，y ）与点A （﹣2，﹣3）之间的距离|P A |，又点P （x ，y ）在圆C 上，∴|P A |的最小值为|AC|−r =√(−2−1)2+(−3−1)2−1=4， ∴z 的最小值为42+5＝21．21．（12分）如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABC 沿着AC 翻折至如图2所示的△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ．（1）证明：AC ⊥B 1D ．（2）若平面ACB 1⊥平面ACD ，E 为线段CD 上一点（不含端点），且B 1E 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√1510，求CE CD的值．（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB 1，OD ，因为ABCD 是菱形，∠AB 1C =π3，所以△ACB 1，△ACD 为等边三角形，所以OB 1⊥AC ，OD ⊥AC ，又OB 1∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OB 1D ，因为B 1D ⊂平面OB 1D ，所以AC ⊥B 1D ；（2）解：因为平面ACB 1⊥平面ACD ，且平面ACB 1∩平面ACD ＝AC ，B 1O ⊥AC ，所以B 1O ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，OD ，OA ，OB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ＝2，则A （0，1，0），C （0，﹣1，0），D(√3，0，0)，B 1(0，0，√3)，B 1C →=(0，−1，−√3)，B 1A →=(0，1，−√3)，AD →=(√3，−1，0)，CD →=(√3，1，0)， 设CE →=λCD →(0＜λ＜1)，则B 1E →=B 1C →+CE →=(√3λ，−1+λ，−√3)，设平面AB 1D 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，由n →⊥B 1A →，n →⊥AD →，则有{n →⋅B 1A →=y 1−√3z 1=0n →⋅AD →=√3x 1−y 1=0，取z 1＝1，则y 1=√3，x 1＝1，所以n →=(1，√3，1)，由B 1E 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√1510， 可得|cos〈B 1E →，n →〉|=|B 1E →⋅n →||B 1E →||n →|=√3|λ−1|√5×√4λ−2λ+4=√1510，又0＜λ＜1，所以λ=12，则CE CD =12． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），离心率为3√1010． （1）求C 的方程． （2）若A ，B 为C 上的两个动点，A ，B 两点的纵坐标的乘积大于0，M （﹣4，0），N （4，0），且∠AFM ＝∠BFN ．证明：直线AB 过定点．解：（1）依题意可得{c=3ca=3√1010，解得a2＝10，b2＝a2﹣c2＝1，故C的方程为：x210+y2=1．（2）证明：由题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立{x210+y2=1y=kx+m，消去y得（1+10k2）x2+20kmx+10m2﹣10＝0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则Δ＝400k2m2﹣4（1+10k2）（10m2﹣10）＝40（10k2+1﹣m2）＞0，由韦达定理得x1+x2=−20km1+10k2，x1x2=10m2−101+10k2．设直线F A，FB的倾斜角分别为α，β，∵∠AFM＝∠BFN，且A，B两点的纵坐标的乘积大于0，∴α+β＝π，∴k F A+k FB＝0，则y1x1−3+y2x2−3=0，则y1（x2﹣3）+y2（x1﹣3）＝0，即（kx1+m）（x2﹣3）+（kx2+m）（x1﹣3）＝0，∴2kx1x2﹣（3k﹣m）（x1+x2）﹣6m＝0，∴2k×10m2−101+10k2+(3k−m)×20km1+10k2−6m=0，∴20km2−20k1+10k2+60k2m−20km21+10k2−6m+60k2m1+10k2=0，∴m=−103k，则直线AB的方程为y=kx−103k=k(x−103)，∴直线AB过定点(103，0)．。

六校联盟高二年级期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+= D.50x y +-=3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -= B.双曲线E 的离心率为62C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为146.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.定义：设{}123,,a a a是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.68.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.511.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是912.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A .OM PD⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB 所成角的余弦值为10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.15.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.（1）求点M 的轨迹方程；（2倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”2222222(2)x y x y x y +--+-+.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P 截得的弦长为22.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足2OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.【详解】已知直线a 的方向向量是()1,0,1m = ，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，设直线a 与平面α所成角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以·sin cos ,0m n m n m nθ====，所以0θ︒=，故直线a 与平面α所成角为0︒.故选：A .2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+=D.50x y +-=【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程【详解】因为圆22:260C x y x y +--=，即()()221310x y -+-=，所以圆心为()1,3，又直线124x y +=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为12，∴所求直线的方程为()1312y x -=-，即250x y -+=.故选：C3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线sin30cos3050x y +︒-︒=的斜率sin 30cos303k ︒=-=-︒，所以该直线的倾斜角为150︒.故选：D.4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -=B.双曲线E 的离心率为2C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±【答案】A 【解析】【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【详解】由直线210y x =-过点F ，得()5,0F ，5c =，所以2225a b +=，又直线210y x =-与双曲线只有一个公共点，当直线210y x =-与双曲线渐近线平行时，2ba=，可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，双曲线方程为221520x y -=，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线22221210x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222224401000b a x a x a b a -++-=，()()()222222240441000a b a a b a ∆=---=，即2241000a b -++=，又2225a b +=，则25750a +=，无解，所以双曲线方程为221520x y -=，A 选项正确；离心率c e a ===B 选项错误；顶点坐标为()，D 选项错误；实轴长为2a =C 选项错误；故选：A.5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为25C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为14【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A 正确；根据蒙日圆方程定义可知C 正确；结合长方形G 的对角线长和基本不等式可求得BD 错误.【详解】对于A ，由椭圆M 方程知：2a =，3b =221c a b =-=，∴椭圆M 的离心率12c e a ==，A 正确；对于BC ，由A 知：椭圆M 对应的蒙日圆方程为：227xy +=，正方形G 是圆227x y +=的内接正方形，∴正方形G 对角线长为圆的直径27，∴正方形G ()227142=，B 错误，C 正确；对于D ，设长方形G 的长和宽分别为,m n ，长方形G 的对角线长为圆的直径27，2228m n ∴+=，∴长方形G 的面积22142m n S mn +=≤=（当且仅当14m n ==，即长方形G 的面积的最大值为14，D 正确.故选：B.6.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】寻找12MF F △的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据12MF F △面积的取值范围可以得到12MF F △的内切圆半径的取值范围.【详解】设12MF F △的内切圆半径为r ，椭圆方程为22221x y a b+=，则5a =，4b =，2229c a b =-=，即3c =，又()()1212121122822=++=+=△MF F S PF PF F F r a c r r ，所以1218=△MF F r S ，由于1212110641222<≤⋅=⨯⨯=△MF F S b F F ，所以302<≤r .故选：D7.定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++ ，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.6【答案】A 【解析】【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得向量p 在基底(){}2,,2a b b b c --下的坐标为：()1,2,1-，则()22222p a b b b c a b c =--+-=--，所以向量p 在{},,a b c下的坐标为：()2,2,1--，3=，故A 项正确.故选：A.①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④【答案】C 【解析】【分析】0a =时，两直线重合，①错误，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑12x x =和12x x ≠两种情况得到③正确，1λ=时不成立，④错误，得到答案.【详解】对①：当0a =时，直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=重合，错误；对②：若成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线斜率存在设为k ，则221119y x -=，222219y x -=，相减得到()()()()1212121209y y y y x x x x +-+--=，即2209k-=，解得9k =，直线AB ：98y x =-，229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得到272144730x x -+=，无解，错误；对③：当12x x =时，直线方程为1x x =；当12x x ≠时，直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，两种情况可以合并为：()()()()121121y y x x x x y y --=--，正确；对④：当1λ=时，()()1,2,1,1,2,1a b =-=--，a b =- ，夹角为π，错误；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n 为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔【答案】BCD 【解析】【分析】由()()2a b b c a c a +=++-+可判断选项A ；利用空间位置关系的向量证明判断B ，C ，D.【详解】选项A.设()()2a b x b c a y c a +=++++,即()()()1210x y a x b x y c --+--+= 由{},,a b c 为空间的一个基底，即,,a b c不共面，则101200x x y x y -=⎧⎪--=⎨⎪+=⎩，解得1,1x y ==-即()()2a b b c a c a +=++-+ ，所以,2,a b b c a c a ++++共面，即不能构成空间的另一个基底，故选项A 正确.选项B.若非零向量a与平面α平行，则所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，选项B 不正确；选项C.显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，选项C 不正确；选项D.由1v n ⊥，得直线l 与平面α平行，也可能直线l 在平面α内，选项D 不正确；故选：BCD10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.5【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离0，从而可判断求解.【详解】由题意得：圆心()2,0C ，半径：1r =，直线30kx y +-=过定点：()0,3P ，当圆心与定点P 的连线垂直直线时，M到直线有最大的距离且为：11CP r +=+=，当直线与圆相交时有最小距离0，故M到直线的距离范围为：01d ≤≤+故选项ABC 符合题意，D 项不符合题意.故选：ABC.11.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是9【答案】BC 【解析】【分析】根据2ABF △的周长为4a 即可判断A ；设()[],,5,5P x y x ∈-，根据120PF PF ⋅=求出P 点的坐标即可判断B ；根据椭圆的定义结合余弦定理求出12PF PF 即可判断C ；求出OP 的最大值，再根据max max 1PQ OP =+即可判断D.【详解】设椭圆C 的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则22225,9,16a b c ===，所以5,3,4a b c ===，对于A ，过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为420a =，故A 错误；对于B ，可取()()120,4,0,4F F -，设()[],,5,5P x y y ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则()()12,4,,4PF x y PF x y =---=--，所以222221291616916702525PF PF x y y y y ⋅=+-=-+-=-= ，解得[]575,54y =±∈-，所以椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，故B 正确；对于C ，由题意可得1212210,28PF PF a F F c +====，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，即()21212126431003PF PF PF PF PF PF =+-=-，所以1212PF PF =，所以12PF F △的面积为121sin 602PF PF ︒=C 正确；对于D ，设()[],,5,5P x y x ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则OP ==因为[]5,5y ∈-，所以[]20,25y ∈，所以[]3,5OP =，所以max max 16PQ OP =+=，故D 错误.故选：BC.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A.OM PD ⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB ，由线面平行的判定定理即可判断C ，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【详解】连接OC ，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，又PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，AD CO ⊥，又PO CO O = ，,PO CO ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又OM ⊂平面POC ，所以AD OM ⊥，又//AD BC ，所以OM BC ⊥，故B 正确；当点M 为线段PC 的中点时，取BP 的中点N ，连接,MN AN ，则//MN BC ，且12MN BC =，又O 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以//MN AO ，且MN AO =，所以四边形AOMN 为平行四边形，所以//OM AN ，又OM ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ，所以//OM 平面PAB ，故C 正确；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为正三角形，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，又OD OC ⊥，OD OP O ⋂=，,OD OP ⊂平面OPD ，所以OC ⊥平面OPD ，又PD ⊂平面OPD ，所以OC PD ⊥，显然PD 与平面OPC 不垂直，故当点M 运动到点C 位置时，才有OM PD ⊥，故A错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,2,,0,,0,0,O A B C P ，又13PM PC =，所以0,,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,,33AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，(AP =- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则0n AB x n AP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =，则1,1y z =-=，所以)1,1n =-，设直线AM 与平面PAB 的夹角为θ，则sin cos ,10n AM n AM n AMθ⋅=<>==⋅，则310cos 10θ==，所以直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】先求出AM 在AN上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可【详解】AM 在AN 上的投影向量的模长32AN AM d AN⋅==.则点M 到直线AN的距离为112==故答案为：11214.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到3c b =，即可求出离心率.【详解】圆22680x y x +-+=即()2231x y -+=，圆心为()3,0，半径1r =，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，依题意1d ==，即3c b =，又222c a b =+，所以a =，所以离心率324c e a ===.故答案为：415.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得CF =，再在CDF 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD，且AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 2142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+--= ⎪⎝⎭，即CF =又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .【答案】4-【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线EF 的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到4MB MC AC +≥-，由此得解.【详解】如图，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，由题意得46MA MB -=<，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故24,2,26,3,a a c c b =====所以曲线EF 的轨迹方程为221(0)45x y x -=>，因为AC =所以244MB MC MC MA a AC +=+-≥-=，当且仅当,,A M C 共线时，等号成立，所以从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为()4km .故答案为：634-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 2倍.（1）求点M 的轨迹方程；（22倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.【答案】（1）22(6)32x y -+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；（2）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.【小问1详解】设点M 的坐标为(),x y ，由2MA =，2222(2)2(2)x y x y ++=-+221240x x y -++=，即22(6)32x y -+=.【小问2详解】设点M 的坐标为(),x y ，由MA k MB =，得2222(2)(2)x y x y ++=-+化简得()()()()2222221411410kxk x k y k -+++-+-=，当1k =时，方程为0x =，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当0k >且1k ≠时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥++=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以()2221,01k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241kk -的圆.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.【答案】2105.【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线AB 的方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由题意得23c a a ==，解得2,a c b ====，所以椭圆方程为22162y x +=，因为221121623+=<，所以()1,1P 在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB += ，所以点P 为线段AB 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以()()()()2121212130y y y y x x x x +-++-=，所以()()2121260y y x x -+-=，即()()212130y y x x -+-=，所以21213y y x x -=--，所以直线AB 为()131y x -=--，即340x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离5d ==.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证；（2）利用向量法求点面距离；（3）利用向量法求两个平面的夹角.【小问1详解】以点1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C ，()10,0,1,0,1,2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()111,1,0,0,0,1,1,1,2DB A A AE ⎛⎫===-- ⎪⎝⎭ ，所以10,0DB A A DB AE ⋅=⋅= ，所以1,BD AA BD AE ⊥⊥，又1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面1A AE ，因此BD ⊥平面1A AE .【小问2详解】平面1AB E 的法向量为()123,,m x x x =，()1110,1,1,1,0,2B A B E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则1231130,10,2m B A x x m B E x x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取11x =，可得()1,2,2m =，又()10,0,1B B = ，则点B 到平面1AB E 的距离为123B B m d m ⋅== .【小问3详解】设平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角为θ，因为平面1111D C B A 的一个法向量为()0,0,1n = ，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，故3sin θ=，所以平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值为3.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”.【答案】（1）10x y +-=（2）a ⎡∈⎣（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.【小问1详解】因为AC BC =，所以ABC 是等腰三角形，由三线合一得：ABC 的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设ABC 的欧拉线为l ，则l 过AB 的中点，且与直线AB 垂直，由()()1,01,2A B -､可得：AB 的中点1102,22D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()200,1,111AB D k -==--，所以1l k =-，故l 的方程为10x y +-=.【小问2详解】因为l 与圆222:(5)M x y r ++=相切，故r ==圆22()2x y a +-=的圆心坐标为()0,a，半径1r =，则要想圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤a ⎡∈⎣.【小问3详解】，所以该式子是表示点(),x y 到点()1,1、点()2,0的距离之和，又10x y +-=，所以上述式子表示直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值.设点()1,1E 关于直线10x y +-=的对称点为(),G s t ，则有11,11110,22t s s t -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得00s t =⎧⎨=⎩，即()0,0G .所以2FG =，所以直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值为2FG =.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P截得的弦长为.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.【答案】（1）224x y +=（2）（3）4【解析】【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为(),P a a -，结合圆与直线2x =相切得到半径，再利用弦长公式求解即可；（2）由（1）可知点P 即为原点，根据条件得到原点O 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式求解即可；（3）根据当1PQ l ⊥时，PQ 最小，此时四边形PMQN 的面积最小进行求解.【详解】（1）设圆P 的圆心为(),P a a -，半径为r ，因为圆P 与直线2x =相切，所以2r a =-.又直线20x y --=被圆P 截得的弦长为，=0,2,a r =⎧⎨=⎩即圆心坐标为()0,0,2r =，所以圆P 的方程为224x y +=.（2）依题意，P 即为坐标原点,2O OC OD ==，且30OCD ∠= ，则点()0,0O 到CD 的距离为1，于1=，解得k =，所以直线l 的斜率为（3）由切线长定理可得QM QN =，又因为PM PN =，所以PMQ PNQ ≅ ，所以四边形PMQN 的面积22PMQ S S PM MQ MQ ==⋅= ，因为||MQ =1QP l ⊥时，QP 取最小值，且min ||QP ==，所以四边形PMQN 的面积的最小值为4S ==.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）设()(),,,A A B x y A x y，根据OA = ，把B 点的坐标用A 点的坐标表示，再代入曲线22:186x y C +=即可得解；（2）设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再结合120k k +=可求出m ，即可得直线l 的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设()(),,,A A B x y A x y ，因为点A 在曲线22:186x y C +=上，所以22186A A x y +=，因为OA =，所以A A x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186A A x y +=可得22(2)(2)186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）知，Γ的右焦点为()1,0F ，令1x =，则21143y +=，解得32y =±，所以31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据题意设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，则121212112233232322,22y y y y k k my my my my ----====，于是由120k k +=得12122323022y y my my --+=，化简得()()121243*y y y y =+，由221,34120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消去x 整理，得()2234690m y my ++-=，()()222Δ(6)363414410m m m =++=+>，由根与系数的关系得12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，代入()*式得：2218363434m m m -=-++，解得2m =，所以直线l 的方程为210x y --=，方法一：()2121239Δ14421720,,416y y y y =+=+=-=-，所以154PQ ===，点M 到直线l的距离355d ==，所以1115359522458MPQ S PQ d ==⨯⨯= .方法二：由题意可知1324MPQ MPF MQF P Q P Q S S S MF x x x x =+=-=- ，210x y --=代入2234120x y +-=消去y ，得242110x x --=，所以()2111Δ(2)44111800,,024P Q P Q x x x x =--⨯⨯-=>+==-<，所以33448MPQ P Q S x x =-=== .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；,x y所满足（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则下列说法不正确的是三、填空题四、双空题五、问答题⊥(1)求证：AA BD六、证明题(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)求平面PAB 与平面PAO 夹角的余弦值．22．已知圆22:5C x y +=，过圆上一点()2,1P -作直线PA 设直线,PA PB 的斜率为12,k k ．参考答案：故选：A 5．B【分析】利用点线距离公式求圆心与直线的距离，【详解】由圆22:4C x y +=所以(0,0)C 到直线4mx ny +=又(),m n 在圆22:4C x y +=上，则所以直线4mx ny +=与圆C 相切故选：B 6．D【分析】先根据圆的方程得到两圆的圆心和半径，于半径之和，进而列出不等式可得【详解】圆M ：2(2)x y ++圆N ：2264x y y a +-+-=则13a <，圆心坐标为()0,3因圆M 与圆N 外离，所以圆心距大于半径之和，即得913a <<，故选：D 7．B【分析】在四面体中，用向量加法法则表示【详解】在四面体中，因为设2,1AC BD ==，且AB BD ⋅故选：B 9．BCD【分析】由正方体的性质，结合线面垂直、可.【详解】由题设//EF AC ，AC 由1DD ⊥面ABCD ，EF ⊂面又1DD BD D =I ，1,DD BD ⊂EF ⊂面1B EF ，故平面1B EF ⊥由1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面1AA AC A = ，1,AA AC ⊂面BD ⊂面1A BD ，则面1A BD ⊥故选：BCD 10．AC【分析】由直线方程求定点可判定【详解】直线方程可化为(3故直线l 恒过定点()1,1P ，A 易知圆心()1,2C -，半径r 显然当直线l 过圆心时，AB 故B 错误；当CP l ⊥时，此时弦AB 最短，即故C 正确；当35m =-时，则弦长AB =故选：AC 11．BD3B 选项，连接,AC BD 相交于点Q ，连接111,A C B D 连接QK ，则四棱台外接球的球心O 在直线QK 上，连接1,OA OA ，则1OA OA R ==，因为114,2A A D D ==，所以1142,22,C C A A ==由A 选项知，3QK =，设OK m =，则OQ =由勾股定理得22221A K OK OQ AQ +=+，即2m +C 选项，过点N 作NW ⊥平面ABCD 于点W ，则则2223MN NW WM WM =+=+，由几何关系知，当W 与点G 重合，且,,M G H 三点共线时，最小值为1，故MN 的最小值为2312MN =+=，D 选项，连接1111,,A B A C BC ，则点1A 到平面1B BCC 其中由A 选项，可知正四棱台的高为3，侧高为故1111111111123323333A BBC B A B C A B C V V S --==⋅=⨯= 故三棱锥111A BB C -的高为1111132332A BBC BB C V S -== ，故选：BD 12．ABD【分析】设动点坐标，根据13PA PB =可求得动点轨迹方程，求得切线长；B 选项可知PO 是APB △内角APB ∠以求得动点M 的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；小可以求解.【详解】设P 点坐标为(,)x y ，由13PA PB =，则((2260x y x ++=，所以动点轨迹是以(3,0)C -为圆心，A 选项，过点B 作曲线C 的切线，切线长为81-B 选项，当,,A B P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，的角平分线，所以APO BPO ∠=∠.故B 选项正确C 选项，因为2MO MA =，设(,)M x y ，则()222x x ++所以动点M 的轨迹为圆心2C 8(,0)3-，半径为2r =2213CC r r =<-，所以两圆位置关系为内含，所以在故C 错误.D 选项，因为13PA PB =，所以（2）11BD BD DD b =+= ()(BD AC b a c b ∴⋅=-+⋅20．(1)证明见解析(2)64．【分析】(1)取1A B 的中点F ，连接DF (2)建立空间直角坐标系，求出平面ABE 【详解】（1）取1A B 的中点F ，连接DF ,D F 分别为1,AB A B 的中点，1DF AA ∴∥，且112DF AA =，又11C E AA ∥且1112C E AA =，1DF C E ∴∥且1DF C E =，∴四边形1DEC F 为平行四边形，则DE DE ⊄ 平面111,A BC FC ⊂平面11A BC ，DE ∴ 平面11A BC ．所以()(11,2,3,1,0,BA AB =-=- 设平面ABE 的法向量为(,,m x y =以O 为原点，OA 、ON 、则()()33,0,0,3,0,0,A H()）当直线AB 斜率存在时，设直线()(11:,,,AB y kx m A x y B =+将直线:AB y kx m =+代入圆C 的方程得()22212k x kmx m +++-()()22222222441502151k m k m km x k m k -+->=-+-=+1221211,22y y k x x --==++，1221211122y y k x x --+=+=++．。

河北省沧州市沧衡名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题一、单选题1．抛物线2:C y =的焦点坐标为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭2．已知直线1:200l x ay +-=与()2:21100l x a y ++-=.若12//l l ，则a =（）A ．1-B ．1C ．13D ．23．已知双曲线222:1(0)y C x a a-=≠的焦距为C 的渐近线方程为（）A ．7y x =±B ．17y x =±C ．y =D ．7y x=4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为棱A ，11A C 的中点.设BA a =，1BB = b ，BC c =，则EF = （）A ．1122a b c++B ．1122a b c ++C ．1122a b c ++D ．12b c+ 5．已知向量()()()2,,32,5,00,2,1a k b c ===，，，若,,a b c 共面，则k =（）A ．11B ．1-C ．9D ．36．已知点A 在直线0x y -=上，点B 在直线10x +=上，点P 的坐标为()2,4，且A ，B ，P 三点不共线，则ABP 周长的最小值为（）A ．B C ．D ．87．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为π3的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点.若8MN =，则p =（）A ．6B ．3C ．32D ．348．当θ变动时，动直线2:cos sin cos02l x y θθθ+-=与定圆C 相切，则圆C 的面积为（）A ．π16B ．4πC ．π4D ．2π二、多选题9．已知直线()():2350l m x m y ++--=过定点.P 则下列结论正确的是（）A ．P 的坐标为()1,1B ．当1m =时，l 在y 轴上的截距为52C ．若l 与直线630x y ++=垂直，则3m =D ．点P 在圆22420x y x y ++-=的外部10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 满足1114A D ED =，则（）A ．AO ⊥平面1A BDB ．//EO 平面1A BDC ．1DC 在1DA 上的投影向量为12DAD ．平面1DA B 与平面1A AB 11．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的两个焦点为1F ，2F ，过1F 作圆222:O x y a +=的切线，切线与C 交于A ，B 两点.若1212cos 13F BF ∠=，则C 的离心率可能为（）A B C D 三、填空题12．已知圆22:260C x y x y m +-++=，则m 的取值范围为.13．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为13，左焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的线段长为163，则椭圆C 的标准方程为．14．已知(1,1,1)A ，(2,0,1)B ，(1,0,2)C 是球M 上三点，球心M 的坐标为(1,0,1)，P 是球M 上一动点，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为.四、解答题15．已知圆22:(2)(2)4C x y -+-=，直线l 过点()2,4P .(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于A ，B 两点，且ABC （C 为圆C 的圆心）为直角三角形，求l 的方程.16．已知(0,2)F ，点A 与点B 的横坐标相等，点B 在直线2y =-上，且BA BF FA FB ⋅=⋅.(1)求点A 的轨迹方程；(2)若(0,8)M ，求AM 的最小值.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a B a b-=>>的实轴长为(.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 的右焦点F 作斜率为1的直线l ，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求AB ；(3)若M ，N 是双曲线C 上不同的两点，且直线MN 的斜率为2，线段MN 的中点为P ，证明：点P 在直线60x y -=上.18．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，111224AB AA A B ===，点P 在线段1C D 上运动.(1)证明：111B D CC ⊥.(2)求异面直线1AB 与1DD 所成角的余弦值.(3)求直线1D P 与平面11AB D 所成角的正弦值的取值范围.19．若将任意平面向量()EF x y =，绕起点E 逆时针方向旋转α角，得到向量()cos sin sin cos EK x y x y αααα=-+，，则称点F 绕点E 逆时针方向旋转α角得到点K .在平面直角坐标系中，已知曲线2277224x y xy +-=是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆Ω.(1)求椭圆C 的方程.(2)已知M ，N 是椭圆C 长轴上的两个顶点，P ，Q 为椭圆C 上异于M ，N 的两点，且关于x 轴对称，若直线MP 与直线NQ 交于点T ，证明：点T 在某定曲线上，并求出该曲线的方程.(3)已知()20H ，，不过点H 的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线HA 与HB 的斜率之积恒为14，证明直线l 过定点，并求出这个定点的坐标.。

2023-2024学年河北省沧州市运东七县部分学校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线l 1，l 2，l 3，l 4的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 42．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），M 是双曲线上一点且||MF 1|﹣|MF 2||=2√5，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 211−y 25=1 B ．y 25−x 211=1C ．y 211−x 25=1D ．x 25−y 211=13．若圆x 2+y 2﹣4x +8y +2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为（ ） A ．﹣9B ．﹣8C ．9D ．84．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，m →=2a →+3b →−c →，n →=x(a →−b →)+y(b →−c →)+4(a →+c →)，若m →∥n →，则x +y ＝（ ） A ．0B ．﹣6C ．6D ．55．已知直线l 1：ax +y +a ＝0与l 2：（a ﹣6）x +（a ﹣4）y ﹣4＝0，则“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在四面体ABCD 中，点E 满足DE →=λDC →，F 为BE 的中点，且AF →=12AB →+13AC →+16AD →，则实数λ＝（ ） A ．14B ．13C ．12D ．237．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O （0，0），A （3，0），动点P （x ，y ）满足|PO||PA|=12，则点P 的轨迹与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1的公切线的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c 2，则椭圆C 的离心率的最大值是（ ） A ．14B ．12C ．35D ．45二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年河北省唐山市十县高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．直线l ：230x y -+=的斜率和在x 轴上的截距分别为（）A ．12，3B ．12，3-C ．12-，3D ．12-，3-【正确答案】B【分析】由230x y -+=可得322x y =+，据此可得答案.【详解】323022x x y y -+=⇔=+，则直线斜率为12，又令0y =，则30322x x +=⇒=-，故直线在x 轴上的截距分别为3-.故选：B2．已知点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则BC =（）A B ．5CD ．【正确答案】A【分析】求出点B 、C 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得BC 的值.【详解】因为点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则()3,4,0B 、()0,4,5C ，因此，BC =.故选：A.3．直线1l ：16x y -+=，直线2l ：30x y --=，则1l 与2l 之间的距离为（）A B ．2C ．D ．4【正确答案】C【分析】根据平行线的距离公式d .【详解】d =故选:C.4．已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A ．8B ．4C ．D ．【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB 的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，所以OA ==，2OB =，1,2),OA OB ==-11221cos ,2OA OB -+⨯== ，所以sin ,2OA OB = ，以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5．已知圆M 的半径为r 且圆心在x 轴上，圆M 与圆22:220N x y x y +--=相交于AB 两点，若直线AB 的方程为y x =，则（）A ．AB =r B ．AB 4=，rC ．AB =2r =D ．AB 4=，2r =【正确答案】C【分析】分析可知圆心N 在直线AB 上，可求得AB ，求出圆心M 的坐标，可求得圆心M 到直线AB 的距离，利用勾股定理可求得r 的值.【详解】圆N 的标准方程为()()22112x y -+-=，圆心为()1,1N易知点N 在直线AB 上，所以，AB =因为圆心N 在直线AB 上，则圆心N 为线段AB 的中点，易知过圆心N 且与直线AB 垂直的直线的方程为20x y +-=，该直线交x 轴于点()2,0M ，点M 到直线AB 的距离为d ==2r ∴==.故选：C.6．已知直线1l 与直线2:20l x y a -+=关于x 轴对称，且直线1l 过点()2,1，则=a （）A ．5-B ．5C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】分析可知，直线2l 经过点()2,1关于x 轴的对称点，由此可求得实数a 的值.【详解】点()2,1关于x 轴的对称点的坐标为()2,1-，由题意可知，直线2l 过点()2,1-，则2210a ⨯++=，解得5a =-.故选：A.7．在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A ．2B CD ．【正确答案】B【分析】将MN 用AB、AC 、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN .【详解】因为2AM MB =，所以，23AM AB = ，又因为2CN ND =，则()2AN AC AD AN -=- ，所以，1233AN AC AD =+ ，所以，122333MN AN AM AC AD AB =-=+- ，由空间向量的数量积可得293cos602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==，因此，1223MN AC AD AB =+-==故选：B.8．已知P 是圆()22:54C x y -+=上一动点，()1,0A -，M 为线段AP 的中点，O 为坐标原点，则（）A ．22MA MO +为定值B ．22MA MC +为定值C ．22MO MC +为定值D ．222MA MO MC ++为定值【正确答案】B【分析】设点()00,P x y ，可得220001021x y x +=-，求出点M 的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.【详解】设点()00,P x y ，则()220054x y -+=，可得220001021x y x +=-，则点001,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭.圆C 的圆心为()5,0C ，半径为2.对于A 选项，()22222200000022022********M x y x x y y A M x O +++-⎛⎫=+++=⎝+ ⎪⎭()0002102121224144x x x -++-==不是定值，A 错；对于B 选项，222222000002021110611524242M x y x y x y x A MC --+-+⎛⎫⎛⎫=++-+=⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭0010211061202x x --+==，B 对；对于C 选项，()()2222220000020020022212121021221214441524x y x x x x y MO M x y C +-+--+++=+==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭7924x -=不是定值，C 错；对于D 选项，()222222222220000000003201221115244244x y x x y x y x y MA MO MC +-+-+-⎛⎫⎛⎫++=++++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0003102120122105944x x x --++==不是定值，D 错.故选：B.二、多选题9．已知平行六面体111ABCD A B C D -，则下列各式运算结果是1AC uuu r的为（）A ．1AB AD AA ++B ．11111AA A B A D ++C ．1AB BC CC ++ D ．1AB AC CC ++ 【正确答案】ABC【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，111AB AD AA AB BC CC AC ++=++=，A 对；对于B 选项，1111111A C A B B A B C C A A D =+++=+，B 对；对于C 选项，11AB BC CC AC =++，C 对；对于D 选项，111AB AC CC AB BC C AC C +=+++≠，D 错.故选：ABC.10．直线:310l x ++=，则（）A ．点(3-在l 上B ．l 的倾斜角为5π6C ．l 的图象不过第一象限D ．l 的方向向量为)3,1【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，22310-++≠ ，所以，点(3-不在l 上，A 错；对于B 选项，直线l 的斜率为33k =-，故l 的倾斜角为5π6，B 对；对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点30,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；对于D 选项，直线l 的一个方向向量为)1-，而向量)1-与这里(不共线，D 错.故选：BC.11．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别为棱A 1D 1，B 1B ，AB ，D 1D 的中点，则（）A ．MN PQ=B ．直线MN 与直线BQ 相交C ．点Q 到直线MND ．点D 到平面MNP 的距离为11【正确答案】AC【分析】A 选项：用勾股定理可求出长度；B 选项：作BQ 的平行线与MN 相交，则可判断是否为异面直线；C 选项：求出三边长度，即可求出结果；D 选项：过点M 做//MH DP ，利用线面平行将点M 到平面DPN 的距离转化为点H 到平面DPN 的距离，等体积转化得到D MPN V -=D HPN V -，求体积和面积计算距离.【详解】A 选项：MN PQ =，故A 正确；B 选项：连接1D N ，则1D N 与MN 相交，1//BQ D N ，则MN 与BQ 为异面直线，故B 错误；C 选项：连接,MQ QN，则MQ =，QN =MN =MQ MN ⊥，所以Q 到直线MN 的距离即为MQ ，故C 正确；D 选项：过点M 做//MH DP ，DP ⊂平面DPN ，MH ⊄平面DPN ，则//MH 平面DPN ，所以点M到平面DPN 的距离等于点H 到平面DPN 的距离，点H 到直线PN 3424+=，1524HPN S == ，又点D 到平面HPN 的距离为2，所以1552346M DPN H DPN D HPN V V V ---===⨯⨯=，又D MPN V -=M DPN V -，MP =PN =MN =1222PMN S ==，设点M 到平面DPN 的距离为h ，则有15326h ⨯⨯=，所以11h =，故D 错误.故选：AC12．已知()1,0A 、()4,0B ，P 为圆22:4C x y +=上一动点，则（）A ．PAB S 的最大值为3B ．PA PB +的最大值为9C ．A 到直线PB 距离的最大值为43D ．2PB PA=【正确答案】ABD【分析】求出点P 到直线AB 的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A 选项；求出PBA ∠的最大值，可得出A 到直线PB 距离的最大值，可判断C 选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D 选项；利用圆的几何性质可判断B 选项.【详解】对于A 选项，圆C 上的一点P 到直线AB 的最大距离为圆C 的半径2，故PAB S 的最大值为1232AB ⨯⨯=，A 对；对于C 选项，如下图所示：点A 到直线PB 的距离为sin AB PBA ∠，圆C 的圆心为原点O ，当直线PB 与圆C 相切时，此时PBA ∠最大，则点A 到直线PB 的距离取最大值，连接OP ，则OP PB ⊥，则122OP OB ==，故30PBA ∠=o ，因此，点A 到直线PB 的距离为33sin 302=，C 错；对于D 选项，设点()00,P x y ，则22004x y +=，所以，2PB =2PA ===，D 对；对于B 选项，()33369222PA PB PB PO OB +=≤+=⨯=，当且仅当点P 为直线BO 与圆C 的交点，且点O 在线段BP 上时，等号成立，所以，PA PB +的最大值为9，B 对.故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2,1a =- ，()2,,1b k =，()()a b a b +⊥- ，则k =__________．【正确答案】1±【分析】分析可得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥- ，则()()()222650a b a b a b k +⋅-=-=-+= ，解得1k =±.故答案为.1±14．设直线1l ：210ax y -+=，直线2l ：()30x a y a +-+=，若1l ∥2l ，则实数a ＝____________．【正确答案】2【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得12210A B A B -=，由此列式求出a 的值，然后再检验即可．【详解】若1l ∥2l ，则(3)(2)10a a ---⨯=，解得2a =或1a =，当2a =时，直线1l ：2210x y -+=，直线2l ：20x y -+=，符合题意；当1a =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：210x y -+=，两直线重合，不符合题意.故2．15．已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，空间一动点Q ，满足()1PQ xPA yPB x y PC =++--，则PQ 的最小值为____________．【分析】化简向量关系式证明,,,Q A B C 四点共面，结合轴截面特征可求PQ的最小值.【详解】因为()1PQ xPA yPB x y PC =++--，所以x PQ PC xPA y P PB P C C y --+-= ，CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面，又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点，由已知PO ⊥平面ABC ，所以PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以PO =，所以PQ16．设直线l ：()()110R a x ay a +--=∈与圆C ：224x y +=交于,A B 两点，则AB 的取值范围是___________．【正确答案】4]【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到AB 的取值范围．【详解】直线l ：()()110R a x ay a +--=∈即为()10a x y x -+-=，由010x y x -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩,可得直线l 过定点(1,1)P ，圆C ：224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径2r =，由于22114+<,故(1,1)P 在圆C ：224x y +=内，||CP ==，则当直线l CP ⊥时，AB 最小，min ||AB =AB 的最大值即为圆的直径，∴AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦故⎡⎤⎣⎦．四、解答题17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,4A 、()1,1B -、()9,3C -，求：(1)BC 边上的中线所在直线的方程；(2)BC 边上的高所在直线的方程；(3)BAC ∠的平分线所在直线的方程．【正确答案】(1)52180x y +-=(2)5220x y --=(3)2x =【分析】（1）求出线段BC 的中点坐标，利用两点式可得出BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求出直线BC 的斜率，可得出BC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（3）分析可得0AB AC k k +=，数形结合可得出BAC ∠的平分线所在直线的方程.【详解】（1）解：BC 的中点为()41-,，所以BC 边上的中线所在直线的方程为421442y x --=---，整理可得52180x y +-=.（2）解：132195BC k +==--- ，则BC 边上的高所在直线的斜率为52，所以BC 边上的高所在直线的方程为()5422y x -=-，整理可得5220x y --=.（3）解：41121AB k -==+ ，43129AC k +==--，所以0AB AC k k +=，所以，BAC ∠的平分线所在直线的方程为2x =.18．已知长方体111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，13AA =，点M ，N 分别在棱CD ，11A D 上，且11A N =，DM a =．(1)若1MN B N ⊥，求a ；(2)若MN 平面1A BD ，求a ．【正确答案】(1)32a =(2)12a =【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）得出MN 与1B N 的坐标，由已知得出10MN B N ⋅= ，即可列式解出答案；（2）得出MN 与1A B uuu r 的坐标，求出平面1A BD 的法向量，即可根据已知MN 平面1A BD ，列式求解得出答案.【详解】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,4,0D ，()12,0,3B ，(),4,0M a ，()0,1,3N ，所以(),3,3MN a =-- ，()12,1,0B N =- ，1MN B N ⊥ ，10MN B N ∴⋅= ，即230a -=，解得32a =；（2）由（1）得(),3,3MN a =-- ，()10,0,3A ，()2,0,0B ，()12,0,3A B =- ，设平面1A BD 的法向量为n，则100BD n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，取()6,3,4n = 由MN 平面1A BD ，得0n MN ⋅= ，解得12a =.19．在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =2，AA 1=M 为BB 1的中点．(1)求AB 与平面MAC 所成角的正弦值；(2)证明：平面MA 1C 1⊥平面MAC ．【正确答案】4(2)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.【详解】（1）解：取AC 的中点O ，则OB AC ⊥，以O 为原点．以OA ，OB 为x ，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．即O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (-1，0，0)，B (030)，M (033所以()1,3,0AB =- ，()2,0,0AC =- ，(1,3,3AM =- 设平面MAC 的法向量为n，则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1n =- 所以()36cos 4,22AB n ==⨯ 故AB 与平面MAC 64（2）解：由（1）得A 1(1，0，23，C 1(-1，0，23，则()(1112,0,01,3,3A C A M =-=-- 设平面11MA C 的法向量为m ，则11100A C m A M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1m = 所以0m n ⋅= ，即m n ⊥ ，故平面MA 1C 1⊥平面MAC ．20．已知圆O ：221x y +=与圆C ：22680x y x y m +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若直线l 与圆O 和圆C 都相切，求满足条件的所有l 的方程．【正确答案】(1)9m =(2)10x +=或724250x y --=或3450x y +-=【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.【详解】（1）圆O 的圆心为O (0，0)，半径1r =由圆C ：22680x y x y m +--+=得()()223425x y m -+-=-，25m <．所以圆C 的圆心C (3，4)，半径R 因为两圆相外切，所以1OC R =+，5OC ==,4=，解得9m =（2）由（1）得圆C ：()()223416x y -+-=①当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t=依题意134t t ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1t =-，即l 的方程为=1x -②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，依题意14⎧=⎪⎪=，所以344k b b +-=当344k b b +-=时，334b k =-，代入上式可得()223491)(k k -=+，解得724k =，即2524b =-所以此时l 的方程为7252424y x =-当344k b b +-=-时543b k =-，代入上式可得()()2243251k k -=+，解得34k =-即54b =所以此时l 的方程为3544y x =-+故满足题设的l 的方程为10x +=或724250x y --=或3450x y +-=．21．如图，四边形ABCD 为正方形，以BD 为折痕把BCD △折起，使点C 到达点P 的位置，且二面角A BD P --为直二面角，E 为棱BP 上一点．(1)求直线AD 与BP 所成角；(2)当PE EB 为何值时，平面ADE 与平面PAB 23【正确答案】(1)60 (2)12PE EB =【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，推导出PO ⊥底面ABD ，然后以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设1OA =，利用空间向量法可求得直线AD 与BP 所成角；（2）设PE PB λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【详解】（1）解：连接AC 、BD ，设AC BD O = ，则O 为BD 的中点，由已知AB AD =，PB PD =，则OP BD ⊥，AO BD ⊥，所以AOP ∠为二面角A BD P --的平面角，所以90AOP ∠= ，因此AO OP ⊥，因为AO BD O = ，AO 、BD ⊂平面ABD ，故PO ⊥底面ABD ．以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OA =．则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，()1,1,0AD =-- ，()0,1,1BP =- ，所以1cos ,222AD BP AD BP AD BP ⋅<>===⨯⋅ ，故直线AD 与BP 所成角为60 ．（2）解：设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AB =-uu u r ，()1,0,1AP =- ，则111100m AB x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设()()0,1,10,,PE PB λλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，()()()1,0,10,,1,,1AE AP PE λλλλ=+=-+-=-- ，()1,1,0AD =-- ，设平面ADE 的法向量为()222,,x n y z = ，则()22222010n AD x y n AE x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,1,1n λλλ=--+ ，由题意可得cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅ ，因为01λ≤≤，解得13λ=，则13PE PB = ，故12PE EB =，因此，当12PE EB =时，平面ADE 与平面PAB 夹角的余弦值为23.22．已知圆C ：()222(0)x a y r r -+=>，四点P 1(1，1)，P 2(0，2)，P 3(1，P 4(1，中恰有三点在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)设以k 为斜率的直线l 经过点Q (4，-2)，但不经过点P 2，若l 与圆C 相交于不同两点A ，B ．①求k 的取值范围；②证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值．【正确答案】(1)224x y +=(2)①413k -<<-或10k -≤<；②证明见解析【分析】（1）先判断出2P ，3P ，4P 在圆C 上，然后通过列方程组的方法求得,a r ，从而求得圆C 的方程.（2）①将直线l 的方程代入圆C 的方程，化简后利用0∆>求得k 的取值范围.②利用根与系数关系证得22P A P B k k +为定值.【详解】（1）显然圆C 关于x 轴对称，3P (1，4P (1，关于x 轴对称，所以3P 、4P 在圆C 上，因此1P 不在圆C 上，即2P ，3P ，4P 在圆C 上，代入圆的方程可得:()2222413a r a r ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得02a r =⎧⎨=⎩．所以圆C 的方程为224x y +=．（2）直线l ：2(4)y k x +=-，1k ≠-．①将直线l ：2(4)y k x +=-代入圆C 的方程得()()222218416160k x k k x k k +-+++=．()()()2222844116160k k k k k ∆=+-++>，解得403k -<<，又1k ≠-，所以413k -<<-或10k -≤<，②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122841k k x x k ++=+，212216161k k x x k +⋅=+，2112P A y k x -=，2222P B y k x -=，112(4)y k x +=-，222(4)y k x +=-，所以()()22121221244244144P A P B x x k k k k k k k x x k +++=-+⋅=-+⋅=-+，圆直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值.。

河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{25},{2126}A xx B x a x a =-<<=-<<+∣∣，若{35}A B x x =<< ∣，则a =A.1B.2C.3D.42.已知a b c >>，则下列不等式一定成立的是A.ab bc> B.22ac bc> C.a ba c a c>-- D.()()a a cb bc ->-3.在等比数列{}n a 中，42327a a a ==，则6a =A. B.81C. D.2434.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知2cos(),tan tan 33αβαβ-==，则cos()αβ+=A.13-B.23-C.13D.236.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH 值来表示溶液的酸碱度．pH 的计算公式为()pH lg Hc +=-，其中()H c +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A 溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A 溶液的pH 值约为（参考数据：lg 20.301,lg30.477)≈≈A.0.268B.0.87C.1.13D.1.877.如图，AB 是圆O 的一条直径，CD 是圆O 的一条弦，点P 在线段CD 上，若10,AB CD ==6，则22PA PB+ 的最小值是A.41B.50C.82D.1008.已知函数π()3cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在(0,π)内恰有两个零点，则ω的取值范围是A.47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.47,33⎛⎤⎥⎝⎦D.1117,66⎛⎤⎥⎝⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知复数53i1iz -=-，则A.4i z =-B.15z z ⋅=C.|2|5z z -= D.3z -在复平面内对应的点位于第一象限10.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3a =(2)cos cos b c A a C -=，则下列结论正确的是A.π6A =B.ABC 的外接圆的面积是πC.ABC 的面积的最大值是334D.2b c -的取值范围是(3,3)-11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()(4)f x f x =-，当02x < 时，2()2f x x x =-，则A.(3)1f =- B.()f x 的图象关于直线1x =对称C.()f x 的图象关于点(4,0)中心对称D.当46x 时，2()1024f x x x =-+-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(1,1),(2,1)a b =-= ，若()ka b a +⊥，则k =______．13.正偶数排列如图所示，()(,),a m n m n +∈N 表示第m 行第n 个数，如(4,3)a 18=，若(,)2024a m n =，则m n -=______.14.已知函数()ln e axf x x a =-，若对任意的1,()0ex f x 成立，则正数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且πsin sin 3b A a B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小；（2）若4a =，且ABC的面积是，求b c +的值.16.（15分）已知函数32()25f x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若过点(1,)(3)m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求m 的取值范围.17.（15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3, log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（17分）已知函数π()cos()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调递减区间；（3）若存在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得不等式2()210f x a a ++-成立，求a 的取值范围.19.（17分）若存在有限个0x ，使得()()00f x f x -=，且()f x 不是偶函数，则称()f x 为“缺陷偶函数”，0x 称为()f x 的偶点.（1）证明：5()h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．（2）对任意,x y ∈R ，函数(),()f x g x 都满足2()()()2()f x f y g x g y x y ++-=+.①若()g x y x=是“缺陷偶函数”，证明：函数()()F x xg x =有2个极值点.②若(3)2g =，证明：当1x >时，()21()ln 12g x x >-.参考数据：1ln2.2362+≈≈.沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试数学参考答案1.B 由题意可得265,213a a +⎧⎨-=⎩，解得2a =.2.C 对于A ，当1,1,2a b c ==-=-时，不满足ab bc >，则A 错误.对于B ，当0c =时，2ac =2bc ，则B 错误.对于C ，因为a b c >>，所以0a c ->，所以10a c >-，则a ba c a c>--，故C 正确．对于D ，当1,2,3a b c =-=-=-时，不满足()()a a c b b c ->-，则D 错误.3.D 设数列{}n a 的公比为q ，则3211127a q a q a q =⋅=，解得11,3a q ==，故561243a a q ==．4.B 若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军.故“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件．5.A 由题意可得2cos cos sin sin 3sin sin 3cos cos αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11cos cos ,sin sin 62αβαβ==，则cos(α+1)cos cos sin sin 3βαβαβ=-=-.6.B 由题意得pH lg 0.135lg13533lg3lg533lg3lg 220.87=-=-+=--+=-++≈.7.C 如图，连接PO .由题意得O 是线段AB 的中点，所以OA OB =-.因为,PA PO OA PB PO OB PO OA =+=+=-，所以22PA PO =+ 22222,2PO OA OA PB PO PO OA OA ⋅+=-⋅+ ，所以22PA PB += 2222PO OA + .因为10,6AB CD ==，所以圆心O 到直线CD 的距离d=4=，所以4||5PO，所以228222PO OA +100，故22PA PB + 的最小值是82.8.D 因为0π,0x ω<<>，所以ππππ333x ωω-<-<-.因为()f x 在(0,π)内恰有两个零点，所以3ππ5ππ232ω<- ，解得111766ω< .9.ACD因为2253i (53i)(1i)55i 3i 3i 4i1i (1i)(1i)1i z --++--====+--+-，所以4i z =-，所以24z z ⋅=2i 17-=，则A 正确，B 错误.因为243i z z -=-+，所以|2|5z z -=，则C 正确.因为3z -=1i +，所以3z -在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限，则D 正确．10.BCD 因为(2)cos cos b c A a C -=，所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以cos A =12，又0πA <<，所以π3A =，则A 错误.设ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理可得22sin aR A==，则ABC 的外接圆的面积是2ππR =，则B 正确.由余弦定理可得22a b =+22cos c bc A -，即223b c bc +-=.因为222b c bc + ，当且仅当b c =时，等号成立，所以bc 3，所以ABC 的面积1333sin 244S bc A bc ==，则C 正确.由正弦定理可得sin a A =2sin sin b c B C ==，则2π2sin ,2sin 2sin sin3b B c C B B B ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭，所以2b c -=π3sin6B B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为2π03B <<，所以πππ662B -<-<，所以12-<πsin 16B ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以π6B ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，即2b c -的取值范围是(，故D 正确．11.ACD 因为()(4)f x f x =-，所以(3)(1)f f =，因为2()2(02)f x x x x =-< ，所以(3)(1)1f f ==-，则A 正确．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(1)(1)1f f -=-=．因为(1)(3)f f -≠，所以()f x 的图象不关于直线1x =对称，则B 错误．因为()(4)f x f x =-，所以()(4)f x f x -=+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)(4)f x f x +=--，所以()f x 的图象关于点(4,0)中心对称，则C 正确．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以当02x时，2()2f x x x =-．设46x ，则042x - ，所以22(4)(4)2(4)f x x x x -=---=1024x -+.因为()(4)f x f x =-，所以2()(4)1024f x f x x x =--=-+-，则D 正确.12.12因为(1,1),(2,1)a b =-= ，所以(2,1)ka b k k +=-+ .因为()ka b a +⊥ ，所以()ka b + (2)10a k k ⋅=--++= ，解得12k =.13.23由题意可知第n 行有n 个数，则前n 行一共有(1)2n n +个数.当44n =时，(1)2n n +=9901012<，当45n =时，(1)103510122n n +=>，则2024在第45行，即45m =.因为101299022-=，所以22n =，则452223m n -=-=.14.1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由()0f x，即ln e 0ax x a - ，得ln e axx a .因为1ex ，所以ln e axx x ax e ln e ax ax =.设()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+.因为1e x ，所以()0g x ' ，所以()g x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为ln e ln e ax ax x x ，所以()()e ax g x g .因为0ax >，所以e ax >1，又因为()g x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以e axx ，所以ln x ax ，所以ln x a x .设h ln ()x x x =，则21ln ()x h x x'-=.由()0h x '<，得e x >，则()h x 在(e,)+∞上单调递减；由()0h x '>，得0e x <<，则()h x 在(0,e)上单调递增.故1()(e)e h x h = ，即1ea .15.解：（1）因为πsin sin 3b A a B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πsin sin sin sin .3B A A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π…………………1分因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以πsin sin 3A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，………………………………………2分所以1sin cos sin 22A A A -=，即1sin cos 22A A =-，………………………………………4分所以tan A =，又0πA <<，所以2π3A =.……………………………………………………6分（2）因为ABC 的面积是1sin 24bc A bc ==4bc =.……………………8分由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc ++=，…………………………………9分则2()16b c bc +-=，…………………………………………………………………………………11分即2()1620b c bc +=+=，…………………………………………………………………………12分故b c +=分16.解：（1）因为32()25f x x x x =-+-，所以2()322f x x x '=-+，……………………………1分所以(1)3,(1)3f f '=-=，………………………………………………………………………………3分则所求切线方程为(3)3(1)y x --=-，即36y x =-（或360x y --=）.………………………5分（2）设过点(1,)(3)m m ≠-的切线的切点为()00,x y .由（1）可知2()322f x x x '=-+，则所作切线斜率()2000322k f x x x '==-+.…………………6分由直线的斜率计算公式可得320000002511y m x x x mk x x --+--==--，……………………………………7分则322000000253221x x x m x x x -+--=-+-，所以3200024230x x x m -+++=.………………………8分因为过点(1,)(3)m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，所以关于0x 的方程320024x x -+0230x m ++=有三个不同的实数根．……………………………………………………………………………………9分设函数32()2423g x x x x m =-+++，则2()6822(31)(1)g x x x x x '=-+=--.………………10分由()0g x '>，得13x <或1x >，则()g x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增；……………………11分由()0g x '<，得113x <<，则()g x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.…………………………………………12分由题意可得3232111124230,3333(1)21412130,g m g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯-⨯+⨯++<⎧⎪⎨⎪⎩………………………………………14分解得89327m -<<-，即m 的取值范围为89,327⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………………………………………15分17.解：（1）因为231n n S a =-，所以当2n 时，11231n n S a --=-，………………………………1分所以1233(2)n n n a a a n -=- ，即13(2)n n a a n -= .……………………………………………………3分当1n =时，1112231S a a ==-，解得11a =，………………………………………………………4分则{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，……………………………………………………………5分故1113n n n a a q --==．……………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可知当n 为奇数时，13n n n b a -==；当n 为偶数时，3log 1n n b a n ==-.……………………………………………………………………8分当n 为奇数时，()()1352461n n n T b b b b b b b b -=+++++++++ ()2411333(1352)n n -=+++++++++- 11221(12)1932412;1928n n n n n n ++-+-⋅-+-+=+=-…………………………………………………11分当n 为偶数时，()()1351246n n n T b b b b b b b b -=+++++++++ ()2421333(1351)n n -=+++++++++- 22(11)1932121928n n nn n +-⋅-+-=+=-.………………………………………………………………14分综上，1223241, , 8321, 8n n n n n n T n n +⎧+-+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数.………………………………………………………15分18.解：（1）由题意可得311π1π3π412234T =-⨯=，则πT =.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.………………………………………………………………2分由图可知11π11πcos 0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11πππ()62k k ϕ+=+∈Z ，解得4ππ()3k k Z ϕ=-∈.因为π02ϕ-<<，所以π3ϕ=-.……………………………………………………………………3分由图可知π1(0)cos 132f A A ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，解得2A =.……………………………………………4分故π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.……………………………………………………………………………5分（2）令π2π 2.2ππ()3k x k k -+∈Z ，…………………………………………………………7分解得π2πππ()63k x k k ++∈Z ，…………………………………………………………………9分故()f x 的单调递减区间是π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………………………10分（3）因为π02x -，所以4πππ2333x --- ，…………………………………………………11分所以当π2π3x -=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值-2.…………………………………………13分因为存在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得不等式2()210f x a a ++-成立，所以2221a a -++- 0，……15分即2230a a +- ，解得31a - ，故a 的取值范围是[3,1]-．………………………………………17分19.证明：（1）由()()h x h x -=，得55()x x x x -+-=+，则()()542210x xx x +=+=，…………………………………………………………………………1分解得0x =，所以()h x 只有1个偶点，且偶点为0，所以5()h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．……………………………………………………3分（2）由题意得2()()()2()f x g x x f y g y y +-=-++对,x y ∈R 恒成立，………………………4分所以存在常数a ，使得2()()()2().f x g x x f y g y y a +-=-++=…………………………………5分令y x =，得2()(),()2(),f x g x x a f x g x x a ⎧+-=⎨-++=⎩解得22()3x x ag x -+=.……………………………………6分①()21333g x x a y x x ==+-，由()()g x g x x x -=-，得2033x ax+=，即22(0)x a x =-≠，则20a ->，即0a <．…………………………………………………………7分3222322()()()33x x ax x x aF x xg x F x '-+-+===，因为4240a ∆=->，所以()0F x '=必有两根12,x x （设12x x <），………………………………8分当1x x <或2x x >时，()0F x '>，当12x x x <<时，()0F x '<，所以函数()()F x xg x =有2个极值点12,x x ．…………………………………………………………9分②若62(3)23a g +==，则20,()3x x a g x -==，…………………………………………………10分当1x >时，要证()21()ln 12g x x >-，只需证()223ln 12x x x ->-.因为22(34)(2)0x x x x ---=- ，所以234x x x --，所以只需证()2334ln 12x x ->-.……………………………………………………………………12分设函数()23()34ln 1(1)2p x x x x =--->，则()()222316()3(1)121x x x p x x x x '--=-=>--.当112x <<时，()0p x '<，则()p x在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，当12x +>时，()p x '>0，则()p x在1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，………………………………………………………………14分所以min 1()2p x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.因为211122⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以min 3353153 2.23653()4ln 0.4810.132522222p x +⨯-=--≈-⨯=，………………16分所以min ()0p x >，从而()23()34ln 102p x x x =--->，故当1x >时，()21()ln 12g x x >-.……………………………………………………………………17分。