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上抽样 (up-sampling)
L：上采样因子
上抽样器 (up-sampler)
(up-sampling factor)
抽样率扩展器 (sampling rate expander)
x[n]
3
xu [n]
xu
[n]
=
⎧x[n
⎨ ⎩
0,
3],
n = 0, ±3, ±6,…, otherwise
x[n]
2.2.1 基本运算
调制器 (modulator)
h∞ [k]
布莱克曼窗函数
w[k]
积 (product)
windowing (加窗)
调制 (modulation)
h[k]
乘法器 (multiplier) 标乘 (scalar multiplication)
加法器 (adder)
-
-
加法 (addition) 减法 (subtraction)
1 K
K i =1
xi
=1 K K i=1
s + di
=s+ 1 K K i=1
di
若K的取值很大，则
∑ ( ) 1 K
K i=1 di
0
xave s
Xave为信号向量s的合理近似。
Example 2.1: s
xi = s + di
di x ave
Example 2.2: x[n-3]=? x[n+2]=?
FT
=
1 T
sampling frequency (抽样频率) sampling rate (抽样率)
x[n] =
xa
(t) t =nT
=
xa (nT ),
n = , −2, −1, 0,1, 2,
{x[n]} ={ , 0.95, −0.2, 2.17,1.1, 0.2, −3.67, 2.9, −0.8, 4.1, }
如何移位?
N点序列的圆周平移:
xc [n] = x ⎡⎣ n − n0 N ⎤⎦ , n0 is an arbitrary integer
模运算 (Modulo operation): mod: 模运算的Matlab函数 m = m modulo N
N
令 r= m N, 则 余数 (residue) r = m + lN , l 是一个使 m + lN 的值位于0 和 N −1之. 间的整数.
zero-padding 定义在有限区间内：N1 ≤ n ≤ N2 (−∞ < N1, N2 < ∞, N1 ≤ N2 )
(补零)
长度（时宽）：N = N2 − N1 +1, 称为N点序列。
Z infinite-length sequence (无限长序列)
Left-sided sequence (左边序列) e.g., anticausal sequence (非因果序列)
n: 0
1
2
3
4
5
g [n] : g [0] g [1] g [2] g [3]
h[n]: h[0] h[1]
h[2] −
g [0]h[0] g [1]h[0] g [2]h[0] g [3]h[0]
− g [0]h[1] g [1]h[1] g [2]h[1] g [3]h[1]
＋
− g [0]h[2] g [1]h[2] g [2]h[2] g [3]h[2]
4
5
6
7
3
−
−2 0
1
−4 0
0 ＋
−1 3
2
−2 6
0
0
00
2
0
−1 1 −3
y[n]: − 2 − 4
1
3
1
5
1
−3
y[n] = {-2 − 4 1 3 1 5 1 -3}, 0 ≤ n ≤ 7
Example 2.7: 用列表法计算双边序列的线性卷积
{x[n]} = {3 -2 4}
{h[n]} ={4 2 -1}
y[n]: y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
Example 2.6: 用列表法计算两个单边序列的线性卷积
{x[n]} = {-2 0 1 -1 3}, 0 ≤ n ≤ 4
解：
n: 0
1
2
3
x[n]: − 2
0
1
−1
h[n]: 1
2
0
−1
{h[n]} = {1 2 0 -1}, 0 ≤ n ≤ 3
舍入或截尾
{xˆ[n]} ={ ,1, 0, 2,1, 0, − 4, 3, −1, 4, }
为简单起见，对于定义在从时间序号n=0开始且n为 正值的有限长序列，序列的第一个样本通常假定其 对应的时间序号为n=0，而不再用箭头在下面明确表 示。
后面章节在表示序列时，将不再加大括号。
若对于所有的n，x[n]均为实数，则{x[n]}是实序列。
解：
补零 (zero-padding) {ge [n]} = {−21, 1.5, 3, 0, 0}.
{c[n]⋅ ge [n]} = {−67.2, 61.5, 108, 0, 0}. {c[n] + ge [n]} = {−17.8, 42.5, 39, − 9.5, 0}.
2.2.2 基本运算的组合
离散时间序列{x[n]}的图形表示
{x[n]} ={ , 0.95, −0.2, 2.17,1.1, 0.2, −3.67, 2.9, −0.8, 4.1, }
n=0 samples (样本)
对连续时间信号xa(t)抽样产生的序列
T : sampling interval or sampling period (抽样间隔或抽样周期)
离散时间信号的强度由其范数给出。
序列的 Lp范数 ( Lpnorm of a sequence) 定义为：
∑ [ ] x
p
=
⎛ ⎜⎝
∞ n=−∞
x
n
p ⎞1 p ⎟⎠
p is an positive integer (正整数)
∞
∑ L1-norm ( L1范数):
x= 1
x[n]
norm (x,1)
xu [n]
下抽样 (down-sampling)
下抽样器 (down-sampler)
M：下采样因子 (down-sampling factor)
抽样率压缩器(sampling rate compressor)
x[n]
3
y[n] y [n ] = x [3 n ],
x[n]
y[n]
2.3 有限长序列的运算
节点 (pick-off node)
单位延时 (unit delay)
单位超前 (unit advance)
W4 ( z) = z−1X ( z)
W5 ( z) = zX ( z)
w4 [n] = x[n − N ] 时移 (time-shifting)
N >0
N <0
延时(delaying) 超前(advancing)
x[n] = 0 for n > N2, N2 ≤ 0
Righ-sided sequence (右边序列) e.g., causal sequence (因果序列)
x[n] = 0 for n < N1, N1 ≥ 0
Two-sided sequence (双边序列)
2.1.2 离散时间信号的强度
2.3.2 圆周时间反转(circular time-reversal )
N点序列 x[n], 0 ≤ n ≤ N −1 的圆周时间反转:
x ⎡⎣
−n
N
⎤⎦
=
⎧⎪x[N − n],
⎨ ⎪⎩
x[n],
for 1 ≤ n ≤ N −1, for n = 0.
circshift1: 圆周时移运算的Matlab函数
∞
∞
= ∑ x[k]h[n− k] = ∑ x[n − k]h[k]
k =−∞
k =−∞
通常，若被卷积的两个序列的长度分别为M和N， 则卷积得到的序列长度是M+N-1。
卷积和的性质：
交换律 (commutative)
x1 [n]∗ x2 [n] = x2 [n]∗ x1 [n]
结合律 (associative)
Example 2.5: 基本运算的组合示例
解：
y [n] = b0x[n] + b1x[n −1] + b2x[n − 2] + a1y[n −1] + a2 y[n − 2].
2.2.3 卷积和
两个序列x[n]和h[n]的卷积和产生的序列y[n]记为：
y[n] = x[n]∗ h[n] 线性卷积
用数字化方式改变信号抽样频率
x[n]
x′[n]
抽样率转换
FT
FT′
FT′ > FT : 抽样频率
内插 (interpolation) 内插器 (interpolator)
FT′ < FT : 抽样频率
抽取 (decimation) 抽取器 (decimator)
抽样率变换过程中利用的两种基本运算：上抽样和下抽样。
绝对值的峰值 (peak absolute value) of x[n]
范数的应用——估计一个离散时间信号x[n]逼近另一个离散 时间信号y[n]所产生的误差
均方误差 (MSE) ：
( ) ( ) ∑ MSE = 1 ∞ y[n] − x[n] 2 = 1
