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数字信号处理,第二章 Z变换讲解

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第2章2.6 Z变换

第2章2.6 Z变换

外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z
变换为
X ( z ) x (n ) z n
n n1
n2
设x(n)为有界序列，由于是有限项求和， 除0与∞点 是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。
如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则收敛域
不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
也可作为
边界)，收敛域内不包含任何极点，但可以包含零点，这才能保证Z变换的
图2.43 极－零点分布相同而收敛域不同的4个可能的z变换
24
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变 换。 序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：
X ( z) x ( n)
到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：
X (e ) X ( z )
j
(2.6.4)
z e j
8
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位
圆。 (2.6.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶
变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(2.6.4)式， 很方 便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
12
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 n1<0， n2≤0时， 0≤ |z|＜∞
n1<0， n2>0时， 0< |z| ＜∞ n1≥0， n2>0时， 0< |z| ≤∞ n1= n2=0时， 0≤ |z| ≤∞ 例 3. 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：

数字信号处理DSP第二章1-z变换的定义及收敛域.ppt

数字信号处理DSP第二章1-z变换的定义及收敛域.ppt

数字信号处理
感谢阅读
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数字信号处理
2、z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
数字信号处理
1）有限长序列
数字信号处理
数字信号处理
2）右边序列
数字信号处理
因果序列
的右边序列，Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列
do
something
数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
数字信号处理
3）左边序列
数字信号处理
4）双边序列
ห้องสมุดไป่ตู้
数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内
数字信号处理
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域

数字信号处理 第2章讲解

数字信号处理 第2章讲解
36
5、共轭序列
6、翻褶序列
Z x(n) X 1 ,
z
1
1
z
Rx
Rx
37
7、初值定理 (因果序列初值）
对于因果序列，有：
8、终值定理 （因果序列终值）
对于因果序列，极点处于单 位圆 z 1 以内（单位圆上最多 在 z 1处有一阶极点），则
38
9、有限项累加特性
63
任意序列的傅立叶变换是一序列，也有类 似的分解方法：
傅立叶变换: 共轭对称序列： 共轭反对称序列：
X (e j ) Xe(e j ) Xo(e j )
X
e
(e
j
)

1 2
[
X
(e
j
)

X

(e
j
)]
X
o
(e
j
)

1 2
[
X
(e
j
)

X

(e
j
)]
64
共轭对称（偶）对应实数（部）， 共轭反对称（奇）对应虚数（部）
系统的频率响应
2
一、 Z变换的定义及收敛域
1、Z变换的定义
幂级数
记为 Z x(n) X (z)
3
2、Z变换的收敛域
Z变换所对应的幂级数收敛时， Z变换才有意义。
幂级数收敛的充分必要条件 是满足绝对可和，即：
4
1). 有限长序列
5
图1.有限长序列及其收敛域 （
除外）
6
2). 右边序列
理想冲激抽样的拉普拉斯变换为：
抽样所得序列的z变换为：


X (z) x(n)zn X (z) zesT X (esT ) X a (s)

山东大学 DSP数字信号处理PPT 第二章z变换 习题讲解

山东大学 DSP数字信号处理PPT 第二章z变换 习题讲解

1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
解：对X z的分子和分母进行因式分解，得
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1 1 z1
2
1
1 2
jz
1
1
1 2
2-13 研究一个输入为x(n)和输出为 y(n)的 时域线性离散移不变系统，已知它满足
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
并已知系统是稳定的。试求其单位抽样 响应。
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
解：对差分方程两边取z变换
z1Y (z) 10 Y (z) zY (z) X (z) 3
在围线c外有单阶极点 z 1/ 4，
且分母阶次高于分子阶次二阶以上
x(n)
Re
s
F
(
z) z 1 /
4
z
1/
4
(
z 2)zn1 z 1/4
z 1 /
4
7 4
1 4
n 1
7
4n
x(n) 8 (n) 7 4n u(n 1)
j Im[z]
C
1/ 4
0
Re[z]
③部分分式法
X (z) z
jz

数字信号处理第2章 Z变换综述

数字信号处理第2章 Z变换综述

例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0



1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3

同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换

同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换

1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z 4 x ( n ) Re s[ F ( z )] 1
z
j Im[ z ]
C
1 z n 1 ( z ) 1 4 (4 z )( z 1/ 4) z 4 n 4 15
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
当n 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z 和-(n 1)阶极点z 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
X ( z ) [a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 …] - an z n
n 1
x(n) a n u( n 1)
z 例：X ( z ) ， 1/4< z 4，求z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
2
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 n 1 解：x (n ) z dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即

X ( z)
而
Cn
n
n C z n

第二章Z变换讲义教材

第二章Z变换讲义教材

[(1 a 2 ) / a 3 ]z 2
因此得出
x ( n ) 1 a a 2 a 2 1 a 2 a 3 1 1 a 1 a n u ( n ) 1 a n 1 u ( n 1 )
２．３ Ｚ变换的性质和定理
１、线性
线性就是要满足比例性和可加性，若
３、左边序列
左边序列只有在n≤ n２时，序列值有值，n＞ n２时， 序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n) x(n)0
nn2 nn2
n 2
0
n 2
X (z) x(n )z n x(n )z n x(n )z n
n
n
n 1
是Z的正幂级数， 其收敛域为０ <|Z|< RX＋
有限长序列，其收 敛域为有限Z平面
第二章 Ｚ变换
信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域 分析法。
连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变 换和傅立叶变换；
离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和离 散傅立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是 个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差 分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
❖ 例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
Z [u (n )] z , z 1
| z | 1
Z [u (n 3)] u (n 3) z n z n
n
n3
z 3 1 z 1
z 2 ,
z 1
| z | 1
Z [ x (n )] X ( z ) Z [u (n )] Z [u (n 3)]
<|Z|<∞
若RX-是收敛域的最小半径， 则右边序列Ｚ变换的收敛域
Rx0
Re[z]

数字信号处理3第二章Z变换(OK)

数字信号处理3第二章Z变换(OK)

（４）双边序列 可看做左边序列+右边序列，故其Z 可看做左边序列+右边序列，故其Z变换收敛域 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 Ｚ变换
X ( z) =
n = −∞
∑ x( n) z
∞
−n
=
n = −∞
∑ x(n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z
n =0
−1 n
X ( z) = ∑ a z
n =0
=∑ ( az )
n =0
1 z = = , −1 1 − az z−a
| z |>| a |
（３）左边序列 仅在n n 序列有值， 仅在n≤n２时，序列有值，n＞ n２时值全为零
x(n) x(n) = 0 Ｚ变换为
X ( z) =
n = −∞
若X(z)只有一阶极点，X(z)展成 X(z)只有一阶极点，X(z)展成 只有一阶极点 k Am z X ( z ) = A0 + ∑ m =1 z − zm 最好写成
X ( z ) A0 k Am = +∑ z z m =1 z − zm
分别为X(z) z=0、 X(z)在 极点处的留数 A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm极点处的留数 X ( z) A0 = Re s[ , 0] = X ( 0) z X ( z) X ( z) Am = Re s[ , z m ] = [( z − z m ) ]z = zm z z
0 <| z |≤ ∞, 0 ≤| z |< ∞,
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
ROC 0 Re[z]
有限长序列的收敛域
(n)， 例1：矩形序列是有限长序列，x(n)=RＮ(n)， 矩形序列是有限长序列， 求其X(z) 求其X(z) 解： −N N −1 ∞

数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域

数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域

在 处收敛的z变换，
j Im[ z ]
其序列必为因果序列
R
x

R e[ z ]
0
2019/2/9
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 nn 2 x (n ) (n ) nn x 2
n n 其 z 变 换 ： X ( z ) x ( n ) z x ( n ) z n n 1 0 n 2
2019/2/9 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
极 点 ： z 0 （ N 1 ） 阶
0
R e[ z ]
R o c : 0 z
2019/2/9
数字信号处理
n 例 2 ： 求 x ( n ) a u ( n ) 的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X ( z ) = x ( n ) z = a u ( n ) z = a z
当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x 当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x
2019/2/9 数字信号处理
R
x

R e[ z ]
n1 0
0
包 括 z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: R z x 因果序列的z变换必在 处收敛

数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换

数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换

• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面

）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换

Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n

x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az

数字信号处理第二章Z变换

数字信号处理第二章Z变换
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射

dsp 数字信号处理课件 第2章Z变换及其在离散域中的应用

dsp 数字信号处理课件 第2章Z变换及其在离散域中的应用

Re[z]
b
21
第2章 Z变换及其在离散域中的应用
[例] 求序列
x(n) = δ (n) 的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1 = n2 = 0 时的有限长序列，
Z[δ (n)] =
n=−∞
∑δ (n)Z
∞
−n
= Z =1
0
其收敛域应包括 z = 0, z = ∞, 即 0 ≤ z ≤ ∞, 充满整个Z平面。
18
第2章 Z变换及其在离散域中的应用
[例] 求序列
x(n) = a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
n=−∞
解： X (z) =
∑a u(n)z
n −1∞Fra bibliotek−n= ∑a z
n=0
∞
n −n
= ∑(az )
n=0 −1 n
∞
−1 n
= 1+ az + (az ) +L+ (az ) L
当
ROC
−1 2
d Z[nx(n)] = −z X (z), Rx− < z < Rx+ dz
证明： (z) = X
n=−∞
x(n)z−n , 对 两 求 得 其 端 导 ∑
∞
∞ ∞ dX (z) d d −n = [ ∑ x(n)z ] = ∑x(n) (z−n ) dz dz n=−∞ dz n=−∞
=
n=−∞
∞
−1
∞
= − b−1z + (b−1z)2 +L+ (b−1z)n +L
[
n=−∞
]
n=1
同样当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。

数字信号处理,第二章 Z变换讲解

数字信号处理,第二章 Z变换讲解

各个变换的关系：
连续： L[h(t)]
系 统 函 数
x(t)est dt 0
x(t)e jt dt
s=jΩ
X(S)
X(j)
z=esT
=T
X(z)
z=ejω
X(ejω)
模拟：x(t)
频
率 响
t=nT
应s
离散： Z[h(t)]
x(n)z n
n
x(n)e jn
n
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴； •两平面都是复平面。
z e sT re j e( j)T eT e jT
r eT , T
(1)r与的关系 (r eT )
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射到
s平面的实轴上负无穷远处。
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1

数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换

数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换
17
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48

数字信号处理2-Z变换

数字信号处理2-Z变换

线性 ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z)
移位 x(n-a)
z-aX(z)
尺度 anx(n) 相移 ejbnx(n)
反褶 x(-n)
X(z/a) X(1/z)
乘n nx(n)
-zdX(z)/dz
共轭 x*(n) x*(-n)
卷积 x(n)*h(n)
X*(z*) X*(1/z*)
X(z)H(z)
z
z n0
z
26
Z变换旳性质: 共轭对称性
序列
Z变换
x(n)
x(0) liXm(Xz)(z)
Rx
z
Re[x(n)]
x(0) li[mXX(z()z+)X*(z*)]/2 Rx z0
jIm[x(n)]
[X(z)-X*(z*)]/2 Rx
x() lim[( z 1) X ( z)]
[x(n)+x*(-n)]/2
收敛域与极点
X(z)收敛域以极点为边界，收敛域内没有极点
4
正、逆Z变换：收敛域
不同类型序列Z变换旳收敛域
x(n)类型 有限长
右边 因果
左边 逆因果
双边
x(n)定义域 n [n1, n2 ] X(z)收敛域
n1 0, n2 n1 > - , n2 0
z (0, ] z [0, )
n1 >- , n2
1 0.5z1
0.5 z 1 0.5z1 0.25z2
0.25 z 2 0.25z2 0.125z3
0.125z3
X1(z)
X2(z)
4.合并：
X1(z) 2z 2z2 2z3 2z4... X 2 (z) 1 0.5z1 0.25z2 16 z3...

《数字信号处理》课件第2章 (2)

《数字信号处理》课件第2章 (2)

|z|>a的整个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种
关系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域
第二章 Z 变 换
1 假设该序列只有有限多个序列值不为零， 因而
n2
X (z) x(n)zn
n
n0
等式右边第一项的收敛域为0≤|z|<Rx+，第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 所以X(z)的收敛域为0<|z|<Rx+，同样处于以Rx+为半径的一个圆的 里边， 但Z平面的原点已不包括在收敛域之内。
第二章 Z 变 换 4. 双边序列 双边序列是从n=-∞ 延伸到n=∞的序列， 通常可写成
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn （2-10）
（2-5）
nn1
对这个Z变换而言，z=0及z=∞有可能是它的极点， 这要视n的具
体取值而定。首先，如果n1≥0，x(n)为因果序列, 此时z=∞将不再 是极点，因而其收敛域应该是0<|z|≤∞，即z=∞ 也在其收敛域内。
其次，如果n2<0（即n<0），这时z=0已不是极点，收敛域将是 0≤|z|<∞，Z平面的原点也处于其收敛域内。最一般的情况可能是
x(n) 1 2πj
C'
X
1 p
pn1
p2dp
（2-22）
第二章 Z 变 换
第二章 Z 变 换
对于有理Z变换而言，围线积分用留数定理求值较方便。此时
x(n) 1 X (z)zk1dz [ X (z)zn1在C之内的极点上的留数 ]

清华大学数字信号处理课件--第二章3 z变换的基本性质与定理

清华大学数字信号处理课件--第二章3 z变换的基本性质与定理
n
a为 任 意 常 数
理解零极点的移动
n
证： ZT [ a n x ( n )]

a x(n ) z
n
n
z x(n ) a n
z X a
Rx
z a
Rx a Rx z a Rx
4、序列的线性加权（z域求导数）
1
z
n

nx ( n ) z
z ZT [ nx ( n )]

ZT [ nx ( n )] z
dX ( z ) dz
Rx z Rx
5、共轭序列
若 则
ZT [ x ( n )] X ( z )
* * *
Rx z R x Rx z Rx

n
[ x ( m 1) x ( m )] z
m
lim[( z 1) X ( z )] lim
z 1
n
n
m 1

n
[ x ( m 1) x ( m )] 1
m
lim{[ x (0) 0] [ x (1) x (0)] [ x (2) x (1)] [ x ( n 1) x ( n )]} lim[ x ( n 1)] lim x ( n )
若 则
ZT [ x ( n )] X ( z ) Rx z R x
ZT [ nx ( n )] z
d dz
X (z)
Rx z Rx
同理：
ZT [ n x ( n )] ZT [ n nx ( n )]
2
z
d dz
{ ZT [ nx ( n )]}
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二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
1
4
z
z 2 1
3z
2
X (z)
z2
1 4z3Biblioteka (z1 1)( z
3)
1 2
1 z 1
z
1 3
利用z变换的时移性质： Z 1 z 1 X (z) x(n 1) u(n 1)
令： 则：
X (z) z 1 X ' (z) z 1 1 z z 2 z 1 z 3
z
z k1 z zk
X (z) Ak (z zk ) z zzk
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法：
例2-4-1：X
(z)
1
z 1 4z1
3z
2
,|
z
|
3
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
X (z)
z2
z 4z
3
(z
z 1)( z
3)
1 2
z
z 1
z
z 3
x(n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
n
n0
n0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。
q az 1,
S
a1 1 q
1 1 az 1
z。 za
z a为极点，当 | az1 | 1时， 即 z a时，在圆 z a 外，收敛。
三、左边序列
例5：求序列 x(n) bnu(n 1)的Z变换及收敛域。
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换： 单边z变换：
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n0
Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
零极点
X (z) N(z) 为有理分式，
D(z) D(z)=0的根称为z变换的极点，
N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
1
Z[x(n)] x(n)Z n bnZ n
n
n
n1
bnZ n
1
b
1z b1z
z b
z
z zb
q b1z, 当| b1z | 1时，即 z b时，
在圆 z b内，收敛。 z b为极点
左边～圆内 右边～圆外
四、双边序列
例6： x(n) a n ，|a|<1
1
Z[x(n)] a|n|Z n anZ n anZ n
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根
②计算系数Ak时，要写成：
X (z) A0 N Ak
n
n
n0
az 1 az
1
1 az
1
1 a2 (1 az)(1 az1)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ (z 1)2
作业2.1(2)(6)
sin(n0
)u(n)
~
z2
sin z sin(0 ) z2 2z cos0 1
x' (n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
x(n) h(n) y(n)
X (Z) H(Z) Y(Z)
系统函数： H (Z ) Y (Z )
X (Z)
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、D(z)
一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式
X (Z ) Ak z
求系数Ak
X (z) z
z
z2 4z 3 (z 1)( z 3)
A1
X (z) z
(z
zk )
zzk
X (z) A2 z (z zk ) zzk
(z
1 1)(z
3)
(z
1)
z 1
(z
1 1)(z
3)
(z
3)
z 3
1 1 13 2
1 1 31 2
第二章 Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
N
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器，
要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接解
起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化为 代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程