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高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，(T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(T α＋β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)【知识拓展】1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.( √ )(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2.( √ )(5)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × )(6)在非直角三角形中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．( √ )1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.22 B.12 C.32D ．－22答案 A解析 sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°) ＝sin 45°＝22. 2．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°等于( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2.3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α，得tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.5．(2016·江西玉山一中期中)已知f (x )＝－3sin x cos x －sin 2x ，则f (x )在[－π4，π6]上的最大值为( )A ．－12B ．0 C.12 D ．1答案 C解析 ∵f (x )＝－3sin x cos x －sin 2x ＝－32sin 2x －1－cos 2x 2＝－sin(2x －π6)－12，∵x ∈[－π4，π6]，∴2x －π6∈[－2π3，π6]，∴f (x )的最大值为12.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用例1 (1)(2016·广州模拟)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ .(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B.22C.12D ．－12答案 (1)－75 (2)B解析 (1)cos 2α2sin (α＋π4)＝cos 2α－sin 2α2(22sin α＋22cos α)＝cos α－sin α， ∵sin α＝35，α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.(2)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1， 又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625(2)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32答案 (1)A (2)B解析 (1)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. (2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换例2 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.命题点2 三角函数式的变形例3 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)(sin θ2－cos θ2)2－2cos θ (0<θ<π)．解 ∵0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)∴原式＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)(sin θ2－cos θ2)2sinθ2＝－cos θ.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)(2016·宿州模拟)若sin(π4＋α)＝13，则cos(π2－2α)等于( )A.429 B ．－429 C.79 D ．－79(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋1tan α)·12sin 2α－2cos 2α等于( )A ．cos 2αB ．sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2α(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ . 答案 (1)D (2)D (3)1解析 (1)∵sin(π4＋α)＝13，∴cos(π4－α)＝13，∴cos(π2－2α)＝cos 2(π4－α)＝2×19－1＝－79.(2)原式＝1sin αcos α·12sin 2α－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3sin 10°cos 10°)＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2(12cos 10°＋32sin 10°)cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.8．利用联系的观点进行角的变换典例 (1)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．(2)若tan α＝2tan π5，则cos (α－3π10)sin (α－π5)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4思想方法指导 角的变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；α＝(α－β)＋β；α＋π12＝(α＋π3)－π4；15°＝45°－30°等． 解析 (1)∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45>0，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. (2)cos (α－3π10)sin (α－π5)＝sin (α－3π10＋π2)sin (α－π5)＝sin (α＋π5)sin (α－π5)＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5 ＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sinπ5cos π5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3，故选C.答案 (1)17250(2)C1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( ) A.725 B.15 C ．－15D ．－725答案 D解析 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.4．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)等于( ) A.118B.1718C.89D.29 答案 B解析 由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin 2α＝19， 解得sin 2α＝－89， 所以sin 2(π4－α)＝1－cos (π2－2α)2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. 5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D. 2答案 C 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 6．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α. 7．(2016·江西玉山一中模拟)已知α，β为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝ .答案 －73 解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， ∴α<β，∴(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝12， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝12， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝34， ∴tan(α－β)＝－73. 8．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为 ． 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(β＋5π4)＝ .答案 7210解析 依题意可将已知条件变形为sin [(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35. 又β是第三象限角，因此有cos β＝－45. sin(β＋5π4)＝－sin(β＋π4) ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 10.(2016·宝鸡模拟)已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 答案 58解析 因为cos(π4＋θ)cos(π4－θ) ＝(22cos θ－22sin θ)(22cos θ＋22sin θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝(1－cos 2θ2)2＋(1＋cos 2θ2)2 ＝116＋916＝58. 11．已知α∈(0，π2)，tan α＝12，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值． 解 ∵tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈(0，π2)，∴sin α＝55，cos α＝255.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin(2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2， 故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. 13.(2016·合肥质检)已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2)． (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos(π6＋α)·cos(π3－α) ＝cos(π6＋α)·sin(π6＋α) ＝12sin(2α＋π3)＝－14， 即sin(2α＋π3)＝－12. ∵α∈(π3，π2)，∴2α＋π3∈(π，4π3)， ∴cos(2α＋π3)＝－32， ∴sin 2α＝sin[(2α＋π3)－π3] ＝sin(2α＋π3)cos π3－cos(2α＋π3)sin π3＝12. (2)∵α∈(π3，π2)，∴2α∈(2π3，π)， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
