必修解三角形复习讲义

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

《解三角形》全章知识复习与巩固【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】 要点一：正弦定理△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）. （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角与一边，求其它；②已知两边与一边的对角，求其它.（3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理 在△ABC 中，2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.变形为：222cos 2b c a A bc +-=， 222cos 2a c b B ac +-=， 222cos 2a b c C ab+-=. 要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角；②已知两边和一边的对角，求其它；③已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别. （3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式(1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 分别为,,a b c 边上的高； (2) 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；(3) S =2a b cp ++=. 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ， 1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于A B C ++=π，由诱导公式可知，()()()sin sin sin sin sin sin A B C B C A A C B +=+=+=，，； ()()()cos cos cos cos cos cos .A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ； ()()()tan tan tan tan tan tan A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ；sincos ,cos sin 2222A B C A B C++==. （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 3. 几种常见的判断方法（1）若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sin 2sin 2A B =，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； （3）若()sin 0A B -=，则△ABC 为等腰三角形；（4）若()sin 22=0A B -，则△ABC 为等腰三角形或钝角三角形. 要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在△ABC 中，熟记并会证明：角A ，B ，C 成等差数列⇔B =60°；△ABC 是正三角形的⇔A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问题. 【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素例1. △ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【思路点拨】确定在在△ABD 中运用正弦定理，将问题转化为求BAD ∠的正弦值. 【解析】由3cos 05ADC ∠=>知2B <π．由已知得12cos 13B =，4sin 5ADC ∠=， 从而sin sin()BAD ADC B ∠=∠-=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠412353351351365=⨯-⨯=． 由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin sin BD BAD BAD⋅=∠53313==253365⨯【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_______.【答案】由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab +-==-⇒=π 【变式2】在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC =AC ＝_______． 【答案】由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即sin 45AC °，得AC ==．类型二：判断三角形的形状（或求角）例2. 在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，已知1cos24C =-． （1）求sin C 的值；（2）当2a ＝，2sin sin A C ＝时，求b 及c 的长．【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC 的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c ，要求边b ，考虑用余弦定理，即先求出cosC 的值. 【解析】（1）因为21cos212sin 4C C =-=-，及0C <<π，所以sin C =． （2）当a ＝2，2sinA ＝sinC 时，由正弦定理sin sin a cA C=，得c ＝4． 由21cos22cos 14C C =-=-，及0C <<π得cos C = 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2120b ±-=．解得b =或所以4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或 4.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，若22a b -，sin C B =，则A 的度数为【答案 】30°sin C B c =⇒=，222222a b a b c c -=⇒--=-2222b c a c ⇒+-=，∴ 2222cos 222b c a c c A bc bc b +-====-==， ∴ A ＝30°【变式2】设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，若三边的长为连续的三个正整数，且320cos A B C b a A =＞＞，，则sin sin sin A B C ：：为（ ）A ．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 【答案】D由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为 a 、a-1、a-2．又3b=20acosA ，可得cos 20202(2)A a a a ===-解得6a =，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=6:5:4类型三：解决与面积有关的问题例3. 已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【思路点拨】（1）由正弦定理及三角形的周长，易求出边AB 的长；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用余弦定理求得角C 的余弦值.【解析】（1）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +，两式相减，得1AB =．（2）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C ⋅⋅=，得13BC AC ⋅=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅ 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，所以60C =．【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.【变式1】在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝________【答案】由2222cos a b c bc A =+-可得3AC =，故面积1==2S AB AC ⨯. 【变式2】．在△ABC 中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos2C = . 【答案】725三角形面积S =1sin 2BC AC C ⨯⨯，可得3sin =5C ，故2cos212sin C C = =725. 类型四：三角形的综合应用例4. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B 的正弦值，进而求B ；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =．（2）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3cos 2A A =3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=，2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有3A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 【总结升华】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 举一反三：【变式1】已知a b c ，，为△ABC 的三个内角A B C ，，的对边，向量m 1-），n ＝（cos sin A A ，）.若m ⊥n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B ＝ 【答案】6π【变式2】已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，△ABC 中三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.（1）求()f x 的单调增区间；（2）若()1f B C +=，1a b ==，求角C 的大小.【答案】（I ）因为21()3sin cos cos 2222x x x f x =+- 3cos 13sin sin cos 22121x x x x =+-=++ πsin()6x =+又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），(Z)k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，(Z)k ∈ （2）因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=， 所以2π3A =. 由正弦定理sin sin B Ab a=， 把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =， 又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =.类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 在2012年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a 的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如下图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【思路点拨】首先根据问题的背景，把相关数据标注在图形中，转化到解三角形中求边长的问题，然后根据已知选用相应的定理进行求解，最后把求解的结果还原为实际问题的答案．【解法】解法一：∵ ∠ADC ＝∠ADB+∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴ ∠DAC ＝60°， ∴AD CD ==， 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得sin sin DB CDBCD DBC=∠∠，sin 334sin 2BCD BD CDaDBC ∠+===∠． 在△ADB 中，由余弦定理得，2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅⋅∠22233248a a ⎫=+-=⎪⎪⎝⎭， ∴ AB =或AB =， ∴ ． 解法二：（同解法一）AD DC AC ===， 在△BCD中，∠DBC ＝45°，由正弦定理得sin30sin 45BC CD=°°， ∴ BC ， 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 45ABAC BC AC BC =+-⋅⋅°2223332488a a a =+-=， ∴ AB=或AB =（舍去）， ∴ ． 【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当．举一反三：【变式1】如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C 、D ，测得40CD m =，并且在C 、D 两点分别测得060ACB ∠=，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，求河的对岸的两点A 、B 间的距离。

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

解直角三角形复习讲义知识要点：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。

Eg ：在Rt △ABC 中，∠C=90°得：直角边： AC BC 斜边： AB 图形： .b a c锐角： ∠ B ∠A 直角：∠C二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt △ABC 中，∠C=90° 1、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。

∠A+∠B=90°2、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。

勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

若：BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2），则：△ABC 是直角三角形，且∠C=90°3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。

若：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D则：△ACD ∽△CBD ∽△ABC 对应边成比例6、射影定理：△ACD ∽△ABC AC 2=AD ·AB△CBD ∽△ABC BC 2=BD ·AB△ACD ∽△CBD CD 2=AD ·DB7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 互余两角的三角函数关系 取值范围 全称 简写锐角∠A 的正弦sinA=斜边的对边A ∠=cosB 0＜sinA ＜1 Sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 Cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 Tangent tan(或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 Cotangent cot(或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B R 2=．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin caC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角（唯一解）； 例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a =;sin sin C B c b = ;sin sin CAc a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

（解不定，需要讨论） 例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CAc a sin sin =求出c 边4.（i ）△ABC 中，已知锐角A ，a ，边b ，则先求B sin ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥<==>解解解无解1,2,,1sin 1,1sin ,1sin b a b a B B B如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。