必修解三角形复习讲义

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

《解三角形》全章知识复习与巩固【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】 要点一：正弦定理△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）. （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角与一边，求其它；②已知两边与一边的对角，求其它.（3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理 在△ABC 中，2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.变形为：222cos 2b c a A bc +-=， 222cos 2a c b B ac +-=， 222cos 2a b c C ab+-=. 要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角；②已知两边和一边的对角，求其它；③已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别. （3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式(1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 分别为,,a b c 边上的高； (2) 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；(3) S =2a b cp ++=. 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ， 1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于A B C ++=π，由诱导公式可知，()()()sin sin sin sin sin sin A B C B C A A C B +=+=+=，，； ()()()cos cos cos cos cos cos .A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ； ()()()tan tan tan tan tan tan A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ；sincos ,cos sin 2222A B C A B C++==. （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 3. 几种常见的判断方法（1）若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sin 2sin 2A B =，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； （3）若()sin 0A B -=，则△ABC 为等腰三角形；（4）若()sin 22=0A B -，则△ABC 为等腰三角形或钝角三角形. 要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在△ABC 中，熟记并会证明：角A ，B ，C 成等差数列⇔B =60°；△ABC 是正三角形的⇔A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问题. 【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素例1. △ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【思路点拨】确定在在△ABD 中运用正弦定理，将问题转化为求BAD ∠的正弦值. 【解析】由3cos 05ADC ∠=>知2B <π．由已知得12cos 13B =，4sin 5ADC ∠=， 从而sin sin()BAD ADC B ∠=∠-=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠412353351351365=⨯-⨯=． 由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin sin BD BAD BAD⋅=∠53313==253365⨯【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_______.【答案】由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab +-==-⇒=π 【变式2】在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC =AC ＝_______． 【答案】由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即sin 45AC °，得AC ==．类型二：判断三角形的形状（或求角）例2. 在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，已知1cos24C =-． （1）求sin C 的值；（2）当2a ＝，2sin sin A C ＝时，求b 及c 的长．【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC 的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c ，要求边b ，考虑用余弦定理，即先求出cosC 的值. 【解析】（1）因为21cos212sin 4C C =-=-，及0C <<π，所以sin C =． （2）当a ＝2，2sinA ＝sinC 时，由正弦定理sin sin a cA C=，得c ＝4． 由21cos22cos 14C C =-=-，及0C <<π得cos C = 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2120b ±-=．解得b =或所以4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或 4.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，若22a b -，sin C B =，则A 的度数为【答案 】30°sin C B c =⇒=，222222a b a b c c -=⇒--=-2222b c a c ⇒+-=，∴ 2222cos 222b c a c c A bc bc b +-====-==， ∴ A ＝30°【变式2】设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，若三边的长为连续的三个正整数，且320cos A B C b a A =＞＞，，则sin sin sin A B C ：：为（ ）A ．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 【答案】D由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为 a 、a-1、a-2．又3b=20acosA ，可得cos 20202(2)A a a a ===-解得6a =，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=6:5:4类型三：解决与面积有关的问题例3. 已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【思路点拨】（1）由正弦定理及三角形的周长，易求出边AB 的长；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用余弦定理求得角C 的余弦值.【解析】（1）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +，两式相减，得1AB =．（2）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C ⋅⋅=，得13BC AC ⋅=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅ 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，所以60C =．【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.【变式1】在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝________【答案】由2222cos a b c bc A =+-可得3AC =，故面积1==2S AB AC ⨯. 【变式2】．在△ABC 中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos2C = . 【答案】725三角形面积S =1sin 2BC AC C ⨯⨯，可得3sin =5C ，故2cos212sin C C = =725. 类型四：三角形的综合应用例4. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B 的正弦值，进而求B ；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =．（2）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3cos 2A A =3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=，2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有3A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 【总结升华】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 举一反三：【变式1】已知a b c ，，为△ABC 的三个内角A B C ，，的对边，向量m 1-），n ＝（cos sin A A ，）.若m ⊥n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B ＝ 【答案】6π【变式2】已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，△ABC 中三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.（1）求()f x 的单调增区间；（2）若()1f B C +=，1a b ==，求角C 的大小.【答案】（I ）因为21()3sin cos cos 2222x x x f x =+- 3cos 13sin sin cos 22121x x x x =+-=++ πsin()6x =+又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），(Z)k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，(Z)k ∈ （2）因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=， 所以2π3A =. 由正弦定理sin sin B Ab a=， 把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =， 又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =.类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 在2012年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a 的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如下图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【思路点拨】首先根据问题的背景，把相关数据标注在图形中，转化到解三角形中求边长的问题，然后根据已知选用相应的定理进行求解，最后把求解的结果还原为实际问题的答案．【解法】解法一：∵ ∠ADC ＝∠ADB+∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴ ∠DAC ＝60°， ∴AD CD ==， 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得sin sin DB CDBCD DBC=∠∠，sin 334sin 2BCD BD CDaDBC ∠+===∠． 在△ADB 中，由余弦定理得，2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅⋅∠22233248a a ⎫=+-=⎪⎪⎝⎭， ∴ AB =或AB =， ∴ ． 解法二：（同解法一）AD DC AC ===， 在△BCD中，∠DBC ＝45°，由正弦定理得sin30sin 45BC CD=°°， ∴ BC ， 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 45ABAC BC AC BC =+-⋅⋅°2223332488a a a =+-=， ∴ AB=或AB =（舍去）， ∴ ． 【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当．举一反三：【变式1】如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C 、D ，测得40CD m =，并且在C 、D 两点分别测得060ACB ∠=，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，求河的对岸的两点A 、B 间的距离。

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

解直角三角形复习讲义知识要点：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。

Eg ：在Rt △ABC 中，∠C=90°得：直角边： AC BC 斜边： AB 图形： .b a c锐角： ∠ B ∠A 直角：∠C二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt △ABC 中，∠C=90° 1、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。

∠A+∠B=90°2、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。

勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

若：BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2），则：△ABC 是直角三角形，且∠C=90°3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。

若：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D则：△ACD ∽△CBD ∽△ABC 对应边成比例6、射影定理：△ACD ∽△ABC AC 2=AD ·AB△CBD ∽△ABC BC 2=BD ·AB△ACD ∽△CBD CD 2=AD ·DB7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 互余两角的三角函数关系 取值范围 全称 简写锐角∠A 的正弦sinA=斜边的对边A ∠=cosB 0＜sinA ＜1 Sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 Cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 Tangent tan(或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 Cotangent cot(或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角.
例 1、在△ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 5 : 7 : 8 ，
则最大角与最小角之和是___1_2__0____.
D． 0 k 12 或 k 8 3
已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况：
A的范围 A为钝角或直角
a,b关系 a＞b
a≤b a＜bsinA
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
a≥b
解的情况 一解 无解 无解 一解 两解 一解
a
b A
a b
bsinA A
例3、在ABC中，BC 5，AC 4，cos CAD 31 32
整理得 a2 4a 3 0
解得 a=1或a=3
练习、已知在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的 对边长，若( a b c )(sin A sin B sin C ) 2a sin B ，
则 C ＝ 90o .
变题：若是 ( a b c )(sin A sin B sin C ) 3a sin B 呢？
sin(B C ) sin( A) sin A
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
2sin Acos B sin A 0
小结论：
任意△ABC中，a : b : c =__si_n_A__:_s_in__B_:__si_n_C__

第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B R 2=．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin caC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角（唯一解）； 例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a =;sin sin C B c b = ;sin sin CAc a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

（解不定，需要讨论） 例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CAc a sin sin =求出c 边4.（i ）△ABC 中，已知锐角A ，a ，边b ，则先求B sin ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥<==>解解解无解1,2,,1sin 1,1sin ,1sin b a b a B B B如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

a2＝b2＋c2－2bccosA 余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
第一章 解三角形
余弦定理的推论
cosA＝b2＋2cb2c－a2 cosB＝a2＋2ca2c－b2 cosC＝a2＋2ba2b－c2
解三角形 利用余弦定理解三角形已知两边及其夹角解三角形 已知三边解三角形 三角形面积公式：S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA 测量距离问题 应用举例测量高度问题 测量角度问题
第一章 解三角形
已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之积 等于两根之和，且 a、b 为△ABC 的两边，A、B 为两内角，试 判定这个三角形的形状．
[解析] 解法一：设方程的两根为 x1、x2，由韦达定理知 x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，
由题意得 bcosA＝acosB，根据余弦定理，得 b·b2＋2cb2c－a2＝a·a2＋2ca2c－b2. ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2， 化简得 a＝b，∴△ABC 为等腰三角形．
第一章 解三角形
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA
＝4＋1－2×2×1×12＝3，
∴a2＋c2＝b2，B＝2π.
∵BD＝ 23，AB＝1，
∴AD＝
1＋34＝
7 2.
第一章 解三角形
[点评] 本题考查了三角恒等变换、正弦、余弦定理、勾 股定理等基础知识，解三角形的基本方法，考查了逻辑推理能 力及运算求解能力．
第一章 解三角形
三、解三角形的应用． 解三角形应用题常见的几种情况： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的 三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． 常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问 题、计算面积问题等．

三角形中线、高、角平分线性质
三角形中线性质
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重 心，且重心分每条中线的比为2:1。
三角形高性质
三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三 角形的垂心。
三角形角平分线性质
三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形 的内心，且内心到三角形三边的距离相等。
02
寻找证明方法
根据已知条件和所学过的 定理、性质等，寻找合适 的证明方法。
规范书写证明过程
按照逻辑顺序，规范书写 证明过程，确保每一步都 有理有据。
THANK YOU
感谢聆听
正弦定理及其应用
正弦定理内容及证明
正弦定理内容
在任意三角形ABC中，有$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$，其中$a, b, c$分别是三角形 ABC的三边，$A, B, C$是三角形ABC的三个内角，$R$是三角形ABC的外接圆半径。
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形 、直角三角形、钝角三角形。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
推论
直角三角形的两个锐角互余。
三角形外角性质
三角形外角性质
三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和。
推论
三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角。
高一数学必修复习课件单元复 习解三角形
汇报人:XX
20XX-01-13
目
CONTENCT
录
• 三角形基本概念与性质 • 正弦定理及其应用 • 余弦定理及其应用 • 三角形面积公式与计算 • 三角形全等与相似性质 • 典型例题分析与解题技巧

sin PAB 6 122 16
答：AB方向的方位角的正弦值为 6 122 。 16
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
课堂小结
1、正弦定理、余弦定理的简单应用； 2、利用正、余弦定理、三角形面积公式解 三角形问题； 3、解三角形的实际应用问题
平衡膳食与膳食指南
一、膳食结构的类型与特点
典型例题
例 在ABC中，a2 （b b c），求A与B满足的关系
解答
例 在ABC中，a2 （b b c），求A与B满足的关系
解：由已知a2 （b b c） a2 b2 bc，移项得：b2 a2 bc
由余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA，移项：2bccosA=b2 a2 c2
B A B或B （A B） （舍去）
即A与B满足的关系为A 2B
本题启示
典型例题
例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
且 tan A tan B 3 tan A • tan B 3，又ABC的面积为
SABC
3 3 ，求a 2
b的值
例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
1 2
ab sin C
3 3 ，ab 2
6
由余弦定理得：c2 a2 b2 2ab cos C
c2 （a b）2 2ab 2ab cos C 代入计算得：a b 11
2
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
求解三角形应用题的一般步骤：
1、分析题意，弄清已知和所求； 2、根据提意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。

解三角形复习一、知识点复习1、正弦定理及其变形a b c sin A sin B sin C 2R(R为三角形外接圆半径）（1）a2R sin A,b2R sin B,c2R sin C(边化角公式）a b c（2）sin A,sin B,sin C(角化边公式）2R2R2R（3）a:b:c sin A:sin B:sin Ca sin A a sin Ab sin B(4),,b sin Bc sin C c sin C2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况:如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA<sinB<1，则B有两解；如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.3、余弦定理及其推论222a b c2bc cos A 222b a c2ac cosB 222c a b2ab cosC cos Acos Bcos C222b c a2bc222a c b2ac222a b c2ab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式1（1）底高S；ABC2111（2）SABCab C bc A ca sin Bsin sin222（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）a b c,b c a,a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）在ABC中，A B a b sin A sin B(即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

sin A B2cosC A2,cos2BsinC2（4）二、典型例题题型1 边角互化[例 1 ]在ABC 中，若sin A : sin B : sin C 3 : 5:7，则角C 的度数为[例 2 ] 若a、b 、c是ABC 的三边，2 2 ( 2 2 2 ) 2f ( x) b x b c a x c ，则函数 f (x) 的图象与x轴【】A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点 D 、至少有一个交点题型2 三角形解的个数[ 例3] 在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、a 7 ，b 14 ，A 30 ；B、b 25 ，c 30 ，C 150 ；C 、b 4 ，c 5，B 30 ；D、a 6，b 3 ，B 60题型3 面积问题例4．在ABC 中，sin A cos A 22 ，AC 2，A B 3 ，求tan A 的值和ABC 的面积题型4 判断三角形形状[例5] 在ABC 中，已知 2 2 2 2(a b ) sin( A B) (a b ) sin( A B), 判断该三角形的形状。

用正余弦定理解 三角形
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．

《解三角形》知识要点1．内角和定理A B C π++= 2．正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径⑴变形公式：(1)2sin ,2sin ,2sin (2)sin ,sin ,sin 222(3)::sin :sin :sin a R A b R B c R Ca b c A B C R R Ra b c A B C======= ⑵应用①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 ②已知两角和任一边，求其它两边和角 (3)注意：已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3．余弦定理22222222222222222222()2cos cos 1222cos cos 22cos cos 2b c a b c a a b c bc A A bc bc c a b b c a ca B B ca a b cc a b ab C C ab +-+-=+-⇔==-+-=+-⇔=+-=+-⇔=应用:①已知两边与它们的夹角,求第三边和其它两角 ②已知三边,求三角4．三角形面积公式 1(1)2111(2)sin sin 2221(3)()2(4),()(5)4aS ah S ab C bc A casimBS p a b c S pr r abcS R======++==是内切圆的半径.6．ABC ∆形状的判定(1)锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)直角三角形⇔有一角等于090⇔有一角的余弦值为零⇔勾股定理(3)钝角三角形⇔有一角090> ⇔有一角的余弦值0<⇔任意两边的平方和小于第三边的平方. (4)等腰三角形⇔有两边相等或两角相等 (5)利用余弦定理判定①锐角三角形222222222a b c b c a c a b ⎧+>⎪⇔+>⎨⎪+>⎩②直角三角形222a b c ⇔+=或222a cb +=或222b c a += ③钝角三角形222a b c ⇔+<或222a c b +<,或222b c a +< 总之,求最大的角α的余弦值 cos α0>⇔锐角三角形;cos 0α<⇔钝角三角形; cos 0α=⇔直角三角形.7．在ABC ∆中，有以下常用结论⑴三角恒等变形:22sin cos 1αα+=⑵两角和差公式:sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ±=±±=⑶0000sin15cos 7575sin105cos15===== ⑷sin sin sin a b c A B C A B C >>⇔>>⇔>>⑸sin sin(),sin sin(),sin sin()A B C B A C C A B =+=+=+⑹sin cos ,cos sin2222A B C A B C ++== ⑺tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= ⑻sin sin a b A B A B =⇔=⇔=⑼ABC ∆中三内角,,A B C 成等差数列060B ⇔=⑽锐角三角形中任两角之和090>8．在实际问题中的有关术语⑴仰角与俯角:在同一铅直平面(与水平面或海平面垂直的平面)内,视线与水平线的夹角.视线在水平线之上时,称为仰角;视线在水平线之下时,称为俯角⑵方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东030. ⑶坡角:坡面与水平面的夹角,坡角α的正切值叫坡度tan α.9. 解三角形的应用⑴距离问题 ⑵高度问题 ⑶角度问题10.2011年江西高考题在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（1）求A cos 的值； (2)若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值． 解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=,正弦定理得：)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=sin A =, 所以31cos =A 。

教学内容必修5 第一章《解直角三角形》1、正弦定理： ＝ ＝ ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径. 由正弦定理可以变形为：（1）a ∶b ∶c ＝ ； （2）a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（3）sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ 等形式，以解决不同的三角形问题. 2、余弦定理：a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ . 余弦定理可以变形为：cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝ . 3、S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )。

r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4、在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角. 情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分. 余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5、解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：6、判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一． ① 等腰三角形：a ＝b 或A ＝B .② 直角三角形： b 2＋c 2＝a 2或 A ＝90° . ③ 钝角三角形： a 2＞b 2＋c 2或 A ＞90° .④ 锐角三角形：若a 为最大边，且满足 a 2＜b 2＋c 2或A 为最大角，且 A ＜90° .7、由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 【典型例题讲解】题型一、利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值) 【例1】（1）在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .（2）在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .（3）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A . ① 求角B 的大小； ② 求cos A ＋sin C 的取值范围．【探究提高】（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角， 这是解题的难点，应引起注意. 【变式训练1】（1）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为（2）在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；（3）在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝______。

(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sinA sinB.
(9)sin sin 或 若、是 三角 形 的内 角 则有
正余弦推论的应用
sinA
sinA sinB
b
2
2
又b a, B A, A 60或120
当A 60时 ，C 75 c b sinC s i nB
2 sin75 sin45
6 2
2
当A 120时 ，C 15 c b sinC s i nB
2 sin15 sin45
6 2
2
方 法 二用 余 弦 定 理
k k 1 2k
与 第 三 边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小 于 第 三 边 解 得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝 角ABC中 ，a 1, b 2,则 最 大 边c的 取 值 范围是 5 c3
解：由余弦定理得cosC a2 b2 c2 5 c2
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
a b c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解

正余弦定理知识要点：3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A 、 B 、 C ），由 A+B+C = π求 C ，由正弦定理求 a 、b ； （2）已知两边和夹角（如 a 、b 、c ），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a 、b 、A ），应用正弦定理求 B ，由 A+B+C = π求 C ， 再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a 、b 、c ，应余弦定理求 A 、B ，再由 A+B+C = π，求角 C 。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解” 。

6、已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C ，则 S ＝1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC 中， b a cosC c cosA ，⋯8、两内角与其正弦值：在△ ABC 中， A B sin A sinB ，例题】在锐角三角形 ABC 中，有 (A ． cosA>sinB 且 cosB>sinAC ． cosA>sinB 且 cosB<sinA正弦定理专题：公式的直接应用1、已知 △ ABC 中， a2，b 3， B 60o ，那么角 A 等于（ ）A ． 135oB ． 90oC ．45oD ．30o2、在△ ABC 中， a ＝ 2 3 ，b ＝ 2 2 ， B ＝ 45°，则 A 等于（ C ）A ．30°B ． 60°C ．60°或 120°D ． 30°或 150°3、△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 c 2，b 6，B 120o ，则 a1、 正弦定理a sin Ab sin B 2R 或变形： a:b:c sinCsin A :sin B :sin C .2a b 22c 2bc cos AcosA2、余弦定理：b 22a 2 c 2accosB 或 cosB2cb 2 2 a 2ba cosCcosCb 22c 2 a2bc222a cb 22ac222b 2a c2abB )B ． cosA<sinB 且 cosB<sinA D ． cosA<sinB 且 cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：2S bc，特别地， r 直a b c 斜616、已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若sin A ，b3sinB ，33则 a 等于 ． （ 3 ）336 12 6,12 6 24)2、已知 △ ABC 的周长为 2 1，且sinA sinB 2sinC ．（1）求边 AB 的长；1（2）若 △ ABC 的面积为 sin C ，求角 C 的度数．专题：三角形个数4、已知△ ABC中，A 30o ， C 105o ， b 8，则 a 等于（B ）A ． 4B.4 2C.4 3D.4 55、在△ ABC 中，a＝10，B=60°,C=45° ,则 c 等于 （ B）A ． 10 3B ． 10 3 1C ． 3 1D ． 10 3C ． 3D ． 2等于（ ）A ． 6B ．27、△ ABC 中， B 45o，C60o ， c 1，则最短边的边长等于（B.3: 2两部分，则 cosA （ C ）1 13 A .B .C .324cos2Acos2B119、在△ ABC 中，证2222ab 2a 2b 2D .0证明：cos2Acos2B 1 2sin 2 Ab 21 2sin2 Bb 21 1 sin2 A sin 2 B 222 2 2a b a b由正弦定理得：sin 2 Aa 22sinb 2cos2A 2a专题：两边之和1、在△ ABC 中，A ＝60°， B ＝45°， cos2B b 21b 2ab 12， a ＝；b ＝ .8、△ ABC 中，A:B1: 2，C 的平分线 CD 把三角形面积分成1、△ ABC中，∠ A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC （ C ） A.有一个解 B.有两个解C.无解D.不能确定2、Δ ABC中,a=1,b= 3 , ∠ A=30° ,则∠ B等于（ B ）A．60°B．60°或120° C．30°或150° D．120°3、在△ ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）A．b = 10，A = 45°， B = 70°B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80°D．a = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= 2 ,∠ A=30°专题：等比叠加D. 32专题：变式应用1、在△ ABC中，若∠ A:∠ B:∠C=1:2:3,则a : b : c 1: 3:22、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3 ∶2，则A∶B∶C等于( A )A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：23、在△ ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① a:b:c4:5:6② a:b:c 2: 5 : 6 ③a2cm,b 2.5cm,c 3cm④ A: B:C 4:5:6其中成立的个数是( C )A．0 个B． 1 个C．2个D．3个5、C．a=1,b=2,∠ A=100°C．b=c=1, ∠B=45°在△ ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（A．无解B．一解C．二解B）D．不能确定6、满足A=45 ,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为m, 则 a m 的值为（ A ）7、8、A．4 B．2 C．1 D．不定已知△ ABC 中，a181,b 209,A 121 ，则此三角形解的情况是无解在△ ABC中，已知50 3 ，c 150 ，B 30o，则边长a。