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把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。
（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。
(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。
思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。
设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。
答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。
【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
第 2 课时 正、余弦定理的综合问题角度一 计算三角形的面积与三角形面积有关的问题 （多维探究 ）（1）（2019高考全国卷n ）△ ABC 的内角nA ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b = 6,a = 2c , B =-，则△ ABC 的面积为 _________ .（2）（2020福建五校第二次联考）在厶ABC 中，A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a 2+ b 2 — c 2= 3ab ,且 acsin B = 2 3sin 。
，则厶 ABC 的面积为 _______________ .【解析】（1）法一：因为a = 2c , b = 6, B = f 所以由余弦定理b 2= a 2 + c 2— 2accosB , 3 得 62= (2c)2+ c 2— 2X 2c X ccos 扌,得 c = 2 3,所以 a = 4 3,所以△ ABC 的面积n法二：因为 a = 2c , b = 6, B =-,所以由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2accos B ,得 62= (2c)2 3 + c 2 — 2 x 2c x ccos 扌，得 c = 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a 2= b 2 + c 2 ,所以 A =(所以△ ABC 的面积S = 1x 2j 3x 6= 6筋.厂 a 2+ b 2— c 2 J 3ab 肃(2)因为a 2+ b 2— c 2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C =莎=W b =2'又0 < Cv n ,所以C = f •因为acsin B = 2 Esin C ,所以结合正弦定理可得11n故 S* 1absin C =1x2.3sin6=求三角形面积的方法 S = ^acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sinabc = 2 3c ,所以 ab = 2 3.【答(1)6 .3_3 2_3 2 .(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.角度二已知三角形的面积解三角形(2020湖南五市十校共同体联考改编) 已知a, b, c分别为△ ABC的内角A, B, C的对边，(3b —a)cos C= ccos A, c是a, b的等比中项，且△ ABC的面积为 3 2，贝U ab= _________ , a+ b= ________ .【解析】因为(3b—a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得3sin Bcos C = sin Acos C1+ sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因为sin B^0,所以cos C = 3,贝卩 C 为锐角，所以sin C = ^3~.由△ ABC的面积为3 , 2,可得gabsin C= 3 2,所以ab= 9•由c是a,11b的等比中项可得c2= ab,由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,所以(a + b)2=~3ab= 33,所以a+ b= . 33.【答案】9 ■ 33已知三角形面积求边、角的方法(1) 若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2) 若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.［注意］正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用.1. （2020济南市模拟考试)在厶ABC 中，AC = 5, BC = 10, cos A =等，则△ ABC 的面积为（）5A.QB. 5C. 10D四D. 2解析：选A.由AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2+ AC2—2AC AB cos A,得AB2—4AB—5=0,解得AB = 5,而sin A = 1 —cos2A^55，故S ZABC =5X 5 X 寿5=号.选A.2. (2020长沙市统一模拟考试)已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且B + Casi n(A+ B)= csin —2 —.⑴求A;(2)若厶ABC的面积为.3,周长为8,求a.A解：⑴由题设得asin C = ccos^,由正弦定理得A sin Asin C= sin Ceos?,所以sin A = cos ?,所以2sinAcosA = cosA,所以sinA= *,所以A = 60°⑵由题设得^bcsin A= . 3,从而bc= 4.由余弦定理a2= b2+ c2—2bccos A,得a2= (b + c)2—12.13又 a + b + c= 8,所以a2= (8 —a)2—12,解得a = ~.三角形面积或周长的最值（范围）问题（师生共研）（2019高考全国卷川）△ ABC的内角A, _ _ , , 、，A+ C , . AB, C的对边分别为a, b, c.已知asin—厂 =bsin A.⑴求B;⑵若△ ABC为锐角三角形，且c= 1,求厶ABC面积的取值范围.、A+ C【解】⑴由题设及正弦定理得sin Asin~2 —= sin Bsin A.A+ C 因为sin A丸,所以sin—厂 =sin B.A + C B—B B B由A+ B + C= 180° 可得sin—= cos^,故cos? = 2sin?cos?.因为COSB M 0,故sinB = 2，因此B= 60°⑵由题设及⑴知厶ABC的面积S ZABC =丄…亠宀》口csin A sin (120 °-C) 羽1由正弦疋理得a= sin C =Sin~C =2tan~C+2.由于△ ABC为锐角三角形，故0 °A<90 ° 0°C<90 °由(1)知A+ C = 120°所以30°<C<90 ° 故2<a<2,从而^V S^BCV^3.因此，△ABC面积的取值范围是3,产8 2求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题在解决求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.题多解）（2020福州市质量检测）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若角A , B ,C 成等差数列，且b = j.（1）求厶ABC 外接圆的直径； ⑵求a + c 的取值范围.解：⑴因为角A , B , C 成等差数列，所以2B = A + C ,n又因为A + B + C = n 所以B = 3.b 2根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R = T~- == 1.sin B n⑵法一：由B = n 知A + C =竽，可得0 v Av ¥ 由⑴知厶ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得 a b c= = = 1 sin A sin B sin C'所以 a + c = sin A + sin C 2n=sin A + sin 3 — Asin A + ； cos A2 nn n 5 n因为0vA v-3-,所以6v A+ 6v 孑sin 3- 1 n ,所以2< sin A+ 6 W 1，从而 #< . 3sin A+ 6 < 3,所以a+ c的取值范围是Y， 3 .n法二：由⑴知，B = 3，b2= a2+ c2—2accos B= （a+ c）2—3ac>（a + c）2—3* = 4（a+ c）2（当且仅当a = c时，取等号），因为b=¥,所以（a+ c）2 W 3，即a+ c W、.;3,又三角形两边之和大于第三边，所以丁<a+ c W 3,所以a+ c的取值范围是^3, . 3 .解三角形与三角函数的综合应用（师生共研）(2020湖南省五市十校联考)已知向量1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x), x€ R，设函数f(x) = m n +(1) 求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2) 设a，b，c 分别为△ ABC 的内角A, B，C 的对边，若f(A) = 2, b+ c= 2 2,^ ABC1的面积为步，求a的值.1 n【解】(1)由题意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ ~= sin 2x+ 6 + 1.n n n n n令2x+ 点€ —o+ 2 k n, o + 2k n , k € Z ,解得x€ —k n, a + k n , k€ Z,6 2 2 3 6n n所以函数f(x)的单调递增区间为—3+ k n, "+ k n , k€ Z.n(2)因为f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2,n所以sin 2A+ 6 = 1.因为0v A< n 所以6< 2A + n< 所以2A+ n= § 即A= £6 6 6 6 2 6标注条件，合理建模1 1由厶ABC 的面积S= ?bcsin A = ?,得bc= 2,又 b + c= 2 . 2 ,所以a2= b2+ c2—2bccos A = (b + c)2—2bc(1 + cos A),解得a= .3—1.解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.△ ABC中的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b= 2a—2ccos B.⑴求角C的大小；⑵求.3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值时角A, B的值.解：⑴法一：在厶ABC中，由正弦定理可知sin B= 2sin A—2sin Ccos B,又A+ B + C= n则sin A= sin( —(B + C)) = sin(B+ C),于是有sin B = 2sin(B + C)—2sin Ccos B = 2sin BcosC+ 2cos Bsin C—2sin Ceos B,整理得sin B= 2sin Bcos C,又sin B 丸，小1贝U cos C= 2，n 因为0<C< n则C = 3.a2+ c2—b2法二：由题可得b= 2a —2c -2ac整理得a2+ b2—c2= ab,1即cos C= 2，n因为0<C< n则C = 3.(2)由⑴知C=n，贝y B+n= n—A ,于是3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( —A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因为A = -3——B,所以0<A<-3n,所以3<A+n<nn n n故当A = 2时，2sin A+7的最大值为2,此时B=:.6 3 2［基础题组练］则厶ABC 的面积等于（ ）C . 9 D. |解析：选 B.因为 cos A =~47,则 sin A = 3,所以 S ZABC = 1 x bcsin A = ^^,故选 B. 2.在△ ABC 中，已知C = n b = 4, ABC 的面积为2^3,贝V c =（）3A. 2,7B. .7 C . 2 ,2D . 2.3解析：选 D.由 S = ^absin C = 2a x 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c 2= a 2+ b 2— 2abcos C = 12,故 c = 2 3.3. （2020河南三市联考）已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边，sin A : sin B = 1 ： •,3, c = 2cos C =・.3,则厶 ABC 的周长为（）A . 3+3 ,3B . 2 ,3C . 3 + 2 ,3D . 3+ . 3解析：选C.因为sin A : sin B = 1 :3,所以b =・，3a ,a 2 +b 2—c 2 a 2 +（寸da ） 2— c 2由余弦定理得cosC =2ab = 2a x 3a又c = . 3,所以a = . 3, b = 3,所以△ ABC 的周长为4. （2020湖南师大附中4月模拟）若厶ABC 的内角A , b = 2, c = 5, △ ABC 的面积 S=jcos A ，则 a =（）B. .5C. 13D . . 175 1 1 解析：选 A.因为 b = 2, c = 5, S = ^2cos A = ?bcsin A = . 5sin A ,所以 sin A =?cos A.「△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 b = •, 7, c = 4,3 + 2 3,故选 C.B ,C 的对边分别为a , b , c ,且的面积为4 3,且2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,则其周长为（）A. 10B. 12C. 8 + 3D. 8+ 2 31 解析：选B.因为△ ABC的面积为4二3,所以qacsin B = 4 3.因为2bcos A+ a = 2c,所以由正弦定理得2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以2sin Bcos A + sin A = 2sin1 、Acos B + 2cos Asin B,所以sin A = 2cos B sin A,因为sin A工0,所以cos B =刁因为0< B<n所以B= n,所以ac= 16,又a+ c= 8,所以a= c= 4,所以△ ABC为正三角形，所以△ ABC 3的周长为3X 4= 12.故选B.6. _____________________________________________________________ 在△ ABC 中，A = ^, b2sin C = 4 2sin B,则厶ABC 的面积为___________________________________解析：因为b2sin C = 4.2sin B ,所以b2c=4 ,2b,所以bc= 4 .J2,1 1 2S^\BC= qbcsin A= 5x4,2 x = 2.答案：27. (2020江西赣州五校协作体期中改编)在厶ABC中，A =扌，b = 4 , a = 2,3 ,贝V B= _________ ,△ ABC的面积等于________ .bsin A4X sin3解析：△ ABC中，由正弦定理得sin B= —a —=--------- = 1.又B为三角形的内角，所以B=才,所以c= b2- a2= 42-( 2 .'3) 2= 2 ,1所以S ZABC = 2X 2^3= 2.3.答案：才2 3sin A 5c的对边，且B为锐角，若赢=畐,sin解析：由sinA =5c?a= 5c?a=5c ① sin B 2b b 2b 2c,①4 ,b的值为S A ABC= ^4^,则&在△ ABC 中，a , b,c分别是内角A , B ,厂厂由S A\BC = ?acsin B = ~且sin B =：得~ac= 5 ,联立①，②得a = 5,且c = 2. 由sin B=J 且B 为锐角知cos B =3443由余弦定理知 b 2= 25+ 4 — 2X 5X 2X 4= 14, b = .14. 答案：• 1439.在△ ABC 中，/ A = 60° c = 7a.⑴求sin C 的值；⑵若a = 7,求厶ABC 的面积.3解：⑴在厶ABC 中，因为/ A = 60° c = 7a ,csin A 3 x/33\[3所以由正弦定理得sin C = —7— =玄—=荷3. 3⑵因为a =乙所以c = 7X7= 3.1 由余弦定理 a 2= b2 + c 2—2bccos A 得 72 = b 2 + 32— 2b X 3 X -, 解得b = 8或b =— 5(舍).所以△ ABC 的面积 S = ^bcsin A = *X 8X 3X^ = ^3.10. (2020福建五校第二次联考)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且 3 acos C = (2b — . 3c)cos A.(1)求角A 的大小；⑵若a = 2，求△ ABC 面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A — 3sin Ccos A , 从而.3s in (A + C) = 2si n Bcos A ,即.3sin B = 2sin Bcos A.n又A 为三角形的内角，所以A = 6.⑵由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A ,得 4 = b 2 + c 2— 2bc X 牙 >2bc — , 3bc , 1所以bc w 4(2 + .3),所以S MBC = ^bcsin A < 2 + .3,故厶ABC 面积的最大值为 2+ .3.又B 为三角形的内角,所以sin B 丸,于是cos A =1 5 2亦所以sin2A +cos2A= 4cos2A +cos2A= 4cos2A =1.易得cos A=T.所以a2= b2+c2-2bccos A= 4+5- 2x 2x 5x^= 9- 8= X 所以a= 1.故选A.5. （2020开封市定位考试）已知△ ABC的内角A, B , C的对边分别为a , b , c , △ ABC。
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos（α∓β）＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝错误!。
2.有关公式的逆用、变形等(1）tan α±tan β＝tan(α±β）(1∓tan αtan β）。
（2)tan αtan β＝1－错误!＝错误!－1.3。
式子f(α）＝a sin α＋b cos α（a，b为常数),可以化为f（α)＝错误! sin（α＋φ）错误!或f(α）＝错误!·cos（α－φ）错误!.特别地，sin α±cos α＝错误!sin错误!.［常用结论与易错提醒]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2）变名：尽可能减少函数名称;（3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等。
2。
运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1"的各种变通.如tan错误!＝1，sin2α＋cos2α＝1等。
3。
在(0，π)范围内，sin α＝错误!所对应的角α不是唯一的.4。
在三角求值时,常需要确定角的范围.诊断自测1。
判断下列说法的正误.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的。
(）（2)存在实数α,β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立。
(）（3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同。
（）(4）公式tan（α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β），且对任意角α，β都成立。
()解析（4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.答案(1）√（2)√（3）√（4）×2.（2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝（）A.－2－错误!B.－2＋错误!C.2－错误!D。
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。
了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
卜人入州八九几市潮王学校第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2021年高考会这样考】1．考察三角函数的定义及应用．2．考察三角函数值符号确实定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这局部的高考试题大多为教材例题或者习题的变形与创新，因此学习中要立足根底，抓好对局部概念的理解．根底梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边一样的角终边与角α一样的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的间隔为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，那么点M是点P在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或者其反向延长线相交于点T，那么tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能那么取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(A教材习题改编)以下与的终边一样的角的表达式中正确的选项是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析与的终边一样的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在()．A．第一或者第三象限B．第一或者第二象限C．第二或者第四象限D．第三或者第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．假设sinα＜0且tanα＞0，那么α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或者y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．角α的终边过点(－1,2)，那么cosα的值是()．A．－B.C．－D．－解析由三角函数的定义可知，r＝，cosα＝＝－.答案A5．(2021·)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，那么y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝＝－⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的断定【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)假设角θ的终边与角的终边一样，求在[0,2π)内终边与角的终边一样的角；(3)角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．[审题视点]利用终边一样的角进展表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为.(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与一样的角为，，.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或者角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴为第一或者第三象限角．(1)相等的角终边一定一样，但终边一样的角却不一定相等，终边一样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，那么()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，那么α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±，故角θ是第二或者第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝＝＝－，tan＝＝＝.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．假设角α已经给出，那么无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2021·课标全国)角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，那么cos2θ＝()．A．－B．－C.D.解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案B考向三弧度制的应用【例3】►半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，∴S＝S扇形－S△AOB＝50.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要纯熟地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，那么2r＋rθ＝40，S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，S max＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适宜以下条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；(2)cosα≤－.[审题视点]作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围．解(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，那么OA与OB围成的区域(图中阴影局部)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，那么OC与OD围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公一共的局部；(4)写出角的表达式．【训练4】求以下函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)．∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)，∴定义域为(k∈Z)．标准解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的间隔是r(r＝＞0)，那么sinα＝、cosα＝、tanα＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【例如】►(此题总分值是12分)(2021·月考)角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范]∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的间隔r＝，(2分)又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；(9分)当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进展分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋tanα.[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，那么|OP1|＝5，那么sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，故sinα＋cosα＋tanα＝－＋＋×＝－；取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，那么sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.故sinα＋cosα＋tanα＝－＋×＝－.综上，sinα＋cosα＋tanα的值是－或者－.。
第21讲-正弦定理和余弦定理一、 考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、 知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、 经典例题考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、 课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30° B ．45°C ．45°或135°D ．60°【答案】B【解析】由正弦定理得2,sinC ,45sin 60sin 2c a C C =∴=<∴=.2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（ ）A ．2BC ．D【答案】D 【解析】依题意11sin 1sin 60322S bc A c ==⋅⋅=，解得4c =，由余弦定理得13a ==.3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60 B ．30C ．60或120D ．120【答案】B【解析】222c a b =+，222a b c ∴+-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， 0180C <<，因此，30C =.4．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5BC ．2D ．1【答案】B【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC =故选B.5．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)2【答案】A【解析】由正弦定理得c sinC sin2B sinB sinBb ===2cosB ，∵△ABC 是锐角三角形，∴三个内角均为锐角， 即有 0＜B ＜2π， 0＜C=2B ＜2π，0＜π-A-B=π-3B ＜2π，解得6π＜B ＜4π，余弦函数在此范围内是减函数．故2＜cosB ∴c b ∈，故选A ．6．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 【答案】A【解析】因为在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为所以12bcsinA =，因此4c =， 所以22212416224122a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 由正弦定理可得：a b sinA sinB=，所以sin sin sin 14A B Aa b a +===+. 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（ ）A B C ．2 D ．12【答案】A【解析】由sin 2sin B A =，据正弦定理有2b a =，又3C π=，根据余弦定理有222cos 2a b c C ab +-=，即222214222a a c a+-=⨯，223c a =故ca=9．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由已知和正弦定理得sin sin cos 2sin sin B A A B B C -=-，sin sin cos 2sin sin()B A A B B A B -=-+，()sin sin cos 2sin sin cos cos sin B A A B B A B A B -=-+sin 2sin cos sin B A B A B =-，因为sin 0B ≠，cos 2A A +=，即sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以262A k πππ+=+，即23A k ππ=+，又(0,)A π∈，所以3A π=，故选C ．10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A．2B ．1 CD ．2【答案】C 【解析】在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c且a =60A ︒=,45B ︒=由正弦定理sin sin a b A B= 得:sin sin a Bb A===故选:C.11．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:3【答案】D【解析】设A x =，则,4B x C x ==，所以4180x x x ++=︒，解得30x =︒， 则30,30,120A B C =︒=︒=︒，则::sin :sin :sin sin 30:sin 30:sin1201:1:3a b c A B C ==︒︒︒=，故选:D. 12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ． B ．C ．D ．1【答案】B【解析】由正弦定理得，故选B ．13．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．22B 5C ．25D 25【答案】D【解析】∵22265b c a bc +=+，即22265a b c bc -=+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， ∴62cos 5bc A bc =， ∴3cos 5A =，则02A π<<， ∵ABC π++=， ∴1cos 25sin cos 222B C A A ++⎛⎫===⎪⎝⎭，故选：D ． 14．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.235【答案】B【解析】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈,故选：B 15．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形 D ．A 为锐角的三角形【答案】C【解析】因为cos cos a cA C b++=， 所以22222222b c a a b c a c bc ab b+-+-++=， 所以222222()()2()a b c a c a b c ac a c +-++-=+， 所以233()()()b a c a c ac a c +-+=+，所以222()()()()b a c a c a ac c ac a c +-+-+=+， 因为0a c +>，所以222()b a ac c ac --+=， 所以222a c b +=， 所以B 为直角.16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23B ．(22,23C ．()2,4D ．()23,4【答案】B【解析】由题得3,C B A A ππ=--=-因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 2642032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.17．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC 面积最大时，此时的ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断 【答案】C【解析】1sin 23ABC S ab π==，当ab 取最大值，面积最大， 由余弦定理可得，2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，解得4ab ≤，当2a b ==等号成立，所以ABC 为等边三角形.故选：C.18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理得222a cb ac +-=-，所以2221cos 22a c b B ac +-==-，120B =︒，所以b 边最大， 设ABC 外接圆半径为R ，则23R ππ=，R =， 由2sin b R B=得2sin 3b R B ==︒=． 19．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos C A B A +=，则ABC S =（ ） A．B． C． D．【答案】B 【解析】由2sin tan tan cos C A B A +=，得sin cos cos sin 2sin cos cos cos A B A B C A B A +=，即sin 2sin cos C C B=. 因为sin 0C ≠，所以1cos ,(0,)2B B π=∈，所以3B π=，因此11sin 622ABC S ac B ==⨯⨯△=20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ） A ．2π B ．2π CD．4【答案】A【解析】∵由余弦定理可得：222222cos 1bc A b c a b c =+-=+-， 又∵1sin 2S bc A =，可得42sin S bc A =， ∵2241S b c =+-，可得：2cos 2sin bc A bc A =，即tan 1A =，∵()0,A π∈，∴4A π=，设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得： 2sin R Aa =，22R =得：2R =，∴ABC 外接圆的面积22S R ππ==，故选：A.21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC △的面积．【解析】（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：若ABC △同时满足①，②． 因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②．故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-， 所以222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos 1cos 2A C B +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？（2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？【解析】（1）由()22cos=1+cos 2A C A C ++， 即()22cos =1+cos 1cos 2A C A CB ++=-又)22cos 1cos 2A C B +=所以cos 2B =，又()0,180B ∈ 所以45B =，则180456075C =--=（2）由sin sin sin a b c A B C ==且a =所以可知2sin 2sin a B b A ===由()6sin 75sin 4530+=+=所以62sin sin 2a C c A +=== （3）只能用c 若用b =sin sin aB A b == 那么60A =或120，故有两个值，所以不能用b =23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a ac c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.【解析】（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-2222cos b a c ac B =+-1cos 2B ∴= (0,)B π∈3B π∴=（2）由sin sin a c A C ==可得，2sin ,2sin a A c C ==24sin 2sin a c A C ∴+=+ 2+3A C π= 23C A π∴=- 224sin 2sin 3a c A A π∴+=+-（） 5sin A A=)A ϕ=+（其中tan ϕ=） 203A π<< 2ac ∴+的最大值为24．（2020·山东省高三其他）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A B b a c --=+；②2cos cos cos c C a B b A =+. (1)求角C(2)若c =a b +=求ABC ∆的面积. 【解析】（1）选择①根据正弦定理得a c a b b a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =， 因为()0,πC ∈，故π3C =. 选择②根据正弦定理有sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =因为()0,πC ∈，故sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故π3C = （2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab =+-，即()233a b ab =+-，解得83ab =， 又因为ABC 的面积为1sin 2ab C ， 故ABC 的面积为23. 25．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.【解析】（1）在四边形ABCD 中，因为AD AB ⊥，120BCD ∠=，15ABC ︒∠=所以135ADC ︒∠= ，在ACD ∆中,可得906030CAD ︒︒︒∠=-=，135ADC ︒∠=，2AC =由正弦定理得:sin sin CD AC CAD ADC=∠∠,解得：2CD = . （2）因为60CAB ∠=，AD AB ⊥可得30CAD ∠=,四边形内角和360得150ADC θ∠=-，∴在ADC ∆中，()()21sin 30sin 150sin 150DCDC θθ=⇒=--. 在ABC ∆中，2sin 60sin sin BC BC θθ=⇒=， ()131sin12024sin 150sin BCDS DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯- 334422444==)34360=+, 当75θ=时，S 取最小值6-.。
第7讲解三角形应用举例［考纲解读］1。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型,将实际问题转化为数学问题．(难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。
1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错误!上方的角叫仰角,在水平线错误!下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③）．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1）东北方向就是北偏东45°的方向．（)（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()（4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是错误!。
（)答案（1）√(2）×（3）√（4）√2．小题热身（1）在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的() A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′。
