三角函数与解三角形知识整合-高考理科数学二轮复习微专题讲义

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

三角函数与解三角形考纲要求：（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出απ±2、απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y sin =、x y cos =、x y tan =的图像，了解三角函数的周期性；（3）理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性；（4）理解同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+x x ，x xxtan cos sin =； （5）了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数A 、ω、ϕ对函数图像变化的影响；（6）了解三角函数是描述周期变化现在的重要函数模型，会用三角函数解决简单实际问题；（7）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．（8）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．（9）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（10）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．（11）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． （12）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 考题分析：历年高考中的三角函数题的考查内容有三大重点：①三角函数的定义与求值；②三角函数的图象与性质；③解三角形.其特点是考查三角函数的基本知识和基本思维、技巧，可能会与平面向量结合，利用平面向量知识给出角或函数的条件.而近几年广东高考理科数学则以三角函数求值问题作为重点考查的知识，尤其是对三角函数定义的掌握.在二轮的复习中，建议抓住三大基本题型的结合，抓住三角恒等变换的基本思维方式，注意解三角形问题在实际问题上的应用.题型一：三角函数的定义与求值例1．如图，以Ox 轴为始边作角α与β（παβ<<<0），它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（53-，54）. （1）求αααtan 112cos 2sin +++的值；（2）若OP ·0=OQ ，求)sin(βα+.例2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为10． （1）求tan(αβ+)的值； （2）求2αβ+的值．例3．已知向量(cos ,sin )OA αα=,02πα<<.向量)1,2(=m ，)5,0(=n ,且)(n OA m -⊥.（1）求向量OA ；（2）若sin()2πβ+=,0βπ<<，求2αβ+的值.题型二：三角函数的图象与性质例4．函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0>A ，0>ω）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .例5．把函数)(sin R x x y ∈=的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．)32sin(π-=x y ，R x ∈；B ．)62sin(π+=x y ，R x ∈；C ．)32sin(π+=x y ，R x ∈；D ．)322sin(π+=x y ，R x ∈.例６．已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调减区间 （3）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例７．设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．例8．已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到．题型三：解三角形及其应用例9．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范围为 .例10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+，//a b ，求角B ；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.例11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 6B π=，4cos ,5A b ==（1）求a 的值；（2）求sin(2)A B -的值；60ABC东西北α例12．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶 渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．专题练习二：1．下列关系式中正确的是（ ） A ．000sin11cos10sin168<<；B ．000sin168sin11cos10<<；C ．000sin11sin168cos10<<；D ．000sin168cos10sin11<<. 2．“sin α=21”是“212cos =α”的（ ）条件. A ．充分而不必要； B ．必要而不充分； C ．充要； D ．既不充分也不必要.3．已知3tan =α，则αα2cos 2sin 的值为______． 4．已知53)2cos(=+απ，且23,2(ππα∈，则=αtan ______. 5．函数R x x x y ∈+--=),6cos()3sin(2ππ的最小值是________．6．把函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数解析式为______________． 7．设函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将)(x f y =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．8．已知534sin 6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值是________． 9．如图所示，与函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω，πϕ<<0）的图象相对应的函数的解析式是__________．10．函数x x x f 52sin 52cos 3)(+=的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角θ终边上一点，且552sin -=θ，则=y ________. 12．函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 图象的对称轴方程为______________．13．给出命题：①函数R x x x y ∈+--=),6cos()3sin(2ππ的最小值等于1-；②函数x x y ππc o s si n =是最小正周期为2的奇函数； 函数)4sin(x y +=π在区间]2,0[π上是单调递增的；③若02sin <α，0sin cos <-αα，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)14．已知ABC ∆中，内角C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c ，若a c ==75A ∠=o，则b =_____________.15．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线)0(22:≥=x x y l ． （1）求)6sin(πα+的值；（2）若点Q P ,分别是角α始边、终边上的动点，且4=PQ ，求POQ ∆面积最大时，点Q P ,的坐标．16.函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2πϕ<）的一段图象如图所示． （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）将函数)(x f y =的图象向右平移4π个单位，得到)(x g y =的图象，求直线2=y 与函数)()(x g x f y +=的图象在),0(π内所有交点的坐标．17．已知()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．18．已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b =a ·b ，（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．19．已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．20．已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++2-． （1）求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）当(0,)2πα∈时，已知()285f απ-=，求()f α的值.参考答案1.C ；2.A ；3.6；4.43；5.1-；6.x y 4sin =；7.6；8.54-； 9.)3221sin(2π+=x y ； 10.25π； 11.8-； 12.Z k k x ∈+=,1252ππ； 13.①③； 14.2；15.（1）设角α的终边)0(22:≥=x x y l 与单位圆122=+y x 的交点为),(y x A ，则有31=x ，322=y ，所以322sin =α，31cos =α， 所以2162cos 21sin 23)6sin(+=+=+ααπα. （2）依题意，设)0,(a P ，)22,(b b Q ，其中0>a ，0>b .因为4=PQ ，所以168)(22=+-b a b ，即162922+=+ab b a ， 所以ab b a ab 6916222≥+=+，所以4≤ab ， 所以POQ ∆面积2422221≤=⨯=ab b a S ，当且仅当b a 3=时等号成立. 即当32=a ，332=b 时，POQ ∆面积最大，最大值为24， 此时点P 的坐标为)0,32(，点Q 的坐标为)364,332(. 16.（1）由图可知)(x f 的最大值为2，且0>A ，所以2=A ；由)(x f 的最小正周期为πππωπ=--==)12(12112T ，且0>ω，所以2=ω； 又当6412πππ=+-=x 时，)(x f 有最大值，所以62ππϕ+=k （Z k ∈），因为2πϕ<，所以6πϕ=，所以)62sin(2)(π+=x x f . （2）依题意得)62cos(2)622sin(2)(πππ+-=+-=x x x g ，所以)122sin(22)()(π-=+x x g x f ，令2)122sin(22=-πx ，得22)122sin(=-πx ， 所以42122πππ+=-k x （Z k ∈），或432122πππ+=-k x （Z k ∈）， 所以6ππ+=k x （Z k ∈），或125ππ+=k x （Z k ∈）， 因为),0(π∈x ，所以6π=x ，或125π=x ， 即直线与函数)()(x g x f y +=的图象在),0(π内所有交点的坐标为)2,6(π和)2,125(π． 17.（1）因为)(x f 的最大值为1，且0>A ，所以1=A ；又因为)(x f 图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以21)3sin()3(=+=ϕππf ， 所以623πππϕ+=+k （Z k ∈），或6523πππϕ+=+k （Z k ∈）， 所以62ππϕ-=k （Z k ∈），或22ππϕ+=k （Z k ∈），因为πϕ<<0，所以2πϕ=，所以x x x f cos )2sin()(=+=π.（2）由（1）知53cos )(==ααf ，1312cos )(==ββf ，因为π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，所以54cos 1sin 2=-=αα，135cos 1sin 2=-=ββ， 所以()f αβ-6556135********sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯=+=-=βαβαβα. 18.（1）依题意，知23)332sin(2332cos 2332sin 213cos 33cos 3sin )(2++=++=+=πx x x x x x x f ， 令2233222πππππ+≤+≤-k x k ，Z k ∈，解得43453ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈，所以函数)(x f 的单调递增区间是]43,453[ππππ+-k k ，Z k ∈. （2）因为ac b =2，所以由余弦定理得212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a x ，当且仅当c a =时等号成立.又因为x 是△ABC 的内角，所以x 的范围是]3,0(π.从而]95,3(332πππ∈+x ，所以1)332sin(23≤+<πx ，所以123)(3+≤<x f ， 即函数)(x f 的值域是]123,3(+． 19.（1）)62sin(2cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ，所以函数()f x 的最小正周期π=T .因为]2,0[π∈x ，所以]67,6[62πππ∈+x ，所以1)62sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，所以当262ππ=+x 即6π=x 时，()f x 有最大值为2；当6762ππ=+x 即2π=x 时，()f x 有最小值为1-.（2）由（1）知56)62sin(2)(00=+=πx x f ，所以53)62sin(0=+πx .因为]2,4[0ππ∈x ，所以]67,32[620πππ∈+x ，所以54)62cos(0-=+πx ， 所以6sin )62sin(6cos )62cos()662cos(2cos 0000ππππππ+++=-+=x x x x 1034321532354-=⨯+⨯-=. 20.（1）)42sin(22cos 2sin 1cos 2cos sin 22cos 2)cos (sin )(222π+=+=-+=-++=x x x x x x x x x x f ，所以()f x 的最大值为2， 此时，2242πππ+=+k x （Z k ∈），即8ππ+=k x （Z k ∈）.（2）由（1）知523sin 2)82(==-απαf ，所以53sin =α. 因为(0,)2πα∈，所以54sin 1cos 2=-=αα，所以25242sin =α，2572cos =α，所以25312cos 2sin )4sin 2cos 4cos 2(sin 2)42sin(2)(=+=+⨯=+=ααπαπαπααf .。

专题2 三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?函数y= s in x y=cos x y= tan x图象[2kπ-π, k2π]递加,区间,kk∈Z∈Z,k∈Z递减区间[2 kπ,k2π+π],k∈Z无,k∈Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ, 0)k,∈Z ,,k∈Z k∈Z对称x=kπk,∈无轴x=kπ+ ,Zk∈Z周期性2π2ππ2.求函数y=A sin(ωx+φ)的单一区间时应注意什么? (1)注意ω的符号,不要把单一性或区间左右的值弄反;(2)不要忘记写“+ 2kπ或”“+kπ等”,特别注意不要忘记写“k∈Z”;(3)书写单一区间时,不要把弧度和角度混在一同.3.三角函数的常用结论有哪些?(1)对于y=A sin(ωx+φ),当φ= kπk(∈Z)时,其为奇函数;当φ=kπ+ (k∈Z)时, 其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求得.(2)对于y=A cos(ωx+φ),当φ= kπ+ (k∈Z)时,其为奇函数;当φ=kπk(∈Z) 时,其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=πk k(∈Z)求得.(3)对于y=A tan(ωx+φ),当φ= kπk(∈Z)时,其为奇函数.4.三角函数图象的两种常有变换是什么?(1)y= sinx y= sin(x+φ) y= sin(ωx+φ) y=A sin(ωx+φ).(A> 0,ω>0)(2)y= sin x y= sin ωx y= sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ).(A> 0,ω>0)二、三角恒等变换与解三角形1.同角关系公式有哪些?怎样记忆引诱公式?(1)同角关系:sin2α+cos2α=1, = tan α.(2)引诱公式,对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“角α的三角函数值”的关系可按下边口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、协助角公式吗?(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin(α±)=βsin αcosβ±cosαsin β;cos(α±)β=cosαcos β?sin αsin β;tan(α±)β=.(2)二倍角公式:sin 2α=2sin αcosα,cos 2α=cos2α- s in2α=2cos2α-1= 1-2sin2α.(3)协助角公式: a sin x+b c os x= sin(x+φ),此中tan φ=.3.在三角恒等变换中,常有的拆角、拼角技巧有哪些?α=(α+β)-β,2α=(α+β)+ (α-β),α=[(α+β)+ (α-β)],α+= (α+β)- ,α= - .4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么?在△ABC 中,角A, B, C的对边分别为a,b,c.(1)正弦定理:在△ABC 中, = = = 2R(R 为△ABC 的外接圆半径).变形:a= 2Rsin A,sin A= ,a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C.(2)余弦定理:在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A.2+c2-a2= 2bccos A,cos A= .变形:b(3)三角形面积公式:S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B.5.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么?若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要联合详细状况进行弃取.在△ABC 中,A>B ? sin A> sin B.三角函数与解三角形是高考考察的要点和热门.三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考察.此中同角三角函数的基本关系、引诱公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具, “角”的变换是三角恒等变换的中心.解三角形多以解答题的形式考察,常与三角恒等变换联合,主要考察边、角、面积的计算及相关的范围问题.一、选择题和填空题的命题特色(一)三角函数的图象与性质是高考考察的要点和热门,考察主要从以下两个方面进行:(1)三角函数的图象,主要波及图象变换以及由图象确立分析式;(2)利用三角函数的性质求解三角函数中相关值、参数、最值、值域、单调区间等问题.1.(2018 ·全国Ⅰ卷·文T8 改编)已知函数f(x)= 2cos22x+ 5,则( ).A .f(x)的最小正周期为π最,大值为7B.f(x)的最小正周期为2π最,小值为 5C.f(x)的最小正周期为2π最,大值为7D.f(x)的最小正周期为,最小值为 5分析? f(x)= cos222x+5= cos 4x+6,故f(x)的最小正周期为,最大值为7, 最小值为 5.答案? D2.(2016 ·全国Ⅱ卷·理T7 改编)若将函数f(x)= sin 2x 的图象向右平移个单位长度,获得函数y=g (x)的图象,则y=g (x)图象的一个对称中心是( ).A. B.C. D.分析? 由题意可知函数f(x)= sin 2x 的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)= sin = sin 的图象.令2x- =kπk(∈Z),得x= + (k∈Z),由此可得y=g (x)图象的一个对称中心是,应选D.答案? D(二)三角函数的化简与求值是高考的命题热门,此中同角三角函数的基本关系、引诱公式是解决问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换.“角”的变换是三角恒等变换的中心.3.(2018 ·全国Ⅱ卷·理T15 改编)已知sin α+cos β=,sin β- c os α=1,则sin(α-β)= ( ).A.-B.-C. D.2αcos+2β+2sin αcosβ=, 分析? 将sin α+cos β=的等式两边平方得sin①将sin β-cos α=1 的等式两边平方得sin2β+cos2α-2sin βcosα=1. ②①+②得sin(α-β)=- ,应选B.答案? B4.(2018 ·全国Ⅲ卷·文T4 改编)已知tan θ=,则sin 2θ-2cos2θ=( ).A .-1 B.- C. D.-解析? sin2θ-cos22θ= = = =- ,应选B.答案? B(三)正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及相关的范围问题.5.(2018 ·全国Ⅰ卷·文T16 改编)在锐角△ABC 中,角A, B, C所对的边分别为a,b,c,若bsin C+ csin B= 4asin Bsin C,且2bsin B+ 2csin C=bc+ a,则△ABC 面积的最大值为( ).A. B. C. D.分析? 依据题意,联合正弦定理可得sin Bsin C+ sin Csin B= 4sin Asin Bsin C,即sin A= .∵2bsin B+ 2csin C=bc+ a,∴bsin B+c sin C= bc+ a,∴bsin B+c sin C= bcsin A+asin A,2+c2= abc+a2.则b由余弦定理可得2bccos A= abc,解得a=2 cos A= .由b2+c2=bc+ 3≥2bc,得b c≤3从, 而S= bcsin A≤,应选C.△ABC答案? C6.(2018 ·全国Ⅲ卷·文T11 改编)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若△ABC 的面积为S,且2S=(a+b )2-c2,则tan C= ( ).A.-B.-C.D.分析? ∵2S=(a+b )2-c2,∴absin C= (a+b)2-c2=a2+b2-c2+ 2ab=2abcos C+ 2ab,∴sin C= 2cos C+ 2,2C= (2cos C+ 2)2= 1-cos2C,∴sin2C+ 8cos C+ 3= 0,即5cos∴cos C=- (cos C=- 1 舍去),∴sin C= ,tan C= =- ,应选B.答案? B二、解答题的命题特色高考全国卷中相关解三角形的解答题,主要波及利用正、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,两个定理与三角恒等变换的联合.这种试题一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及相关三角形的性质.(2018 ·全国Ⅰ卷·理T17 改编) 如图, 在四边形ABCD中,cos∠DAB=- , = ,BD= 4,AB⊥BC.(1)求sin∠ABD 的值;(2)若∠BCD= ,求CD 的长.分析? (1)由于= ,因此设AD= 2k,AB= 3k,此中k> 0.在△ABD 中,由余弦定理得BD2=AB2+AD 2- 2AB·AD·cos∠DAB,因此16= 9k2+ 4k2-2×3k×2k×,解得k= 1,则AD= 2,而sin∠DAB= = .在△ABD 中,由正弦定理得sin∠ABD= sin∠DAB= ×= .(2)由(1)可知,sin∠ABD= ,而AB⊥BC,则sin∠CBD= sin = cos∠ABD= = .在△BCD 中,∠BCD= ,由正弦定理得CD= ·BD= ×4= .对于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常有的三角恒等变换方法和原则都合用,同时要注意“三统一”即,“一致角、一致函数、一致构造”.。

二轮专题复习（二）：三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向（1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心（4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题：一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45变式1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15B CD ．1变式2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )（A ）πsin()2α+ （B ）πcos()2α+（C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+变式1.若tan 0α>，则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α>例3.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( )A ． BCD变式1．若 ，则( ) A ．B ．C ．1D ． 变式2．若，则tan2α=（ ） A ．−B ．C ．−D ． 变式3．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．变式4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π变式1. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ） 2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是_________________ 例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ ． 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若，则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时，函数的最小值为__________.例4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到．变式1.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移则ϕ=_________。