2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第八节解三角形的应用 文

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(1)三角函数的奇偶性的判断技巧： 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求 三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义． ②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周
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1．函数 y＝tanπ4 －x的定义域是( D )
A.x|x≠π，x∈R
4
B.x|x≠－π，
x∈
R
4
C.x|x≠
kπ－3π，k∈Z，x∈ 4
R
D.x|x≠
kπ＋3π，k∈Z，x∈ 4
R
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2．函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是( C )
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函数
最值
奇偶性 对称
对 中心 称 性 对称
轴 周期
y＝sin x
y＝cos x
x＝_π2_＋__2_k__π_(_k_∈__Z_)
时， ymax＝ 1；
x＝－_π2_＋__2__k_π_(_k_∈__Z_ )
时， ymin＝－ 1
x＝_2_k_π_(_k_∈__Z__) __
第三章 三角函数、解三角形
第5课时 三角函数的图象和性质
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三角函数的图象和性质
函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义 域
x∈R
x∈R
{x|x∈R 且 x≠π＋ 2
kπ，k∈Z}
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2 100 3(m)；在△AMN 中，已知∠MAN＝60°， ∠MNA＝90°，AM＝100 3 m，易得 MN＝150 m.
答案(dá àn)：150
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【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解(lǐjiě)仰角、俯角的 概念(gàiniàn).
(2)分清(fēn qīng)已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理.
答案(dá àn)：C
图 D25
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考点(kǎo d测iǎn量) (cèliáng)问题 考向 1 测量(cèliáng)距离问题 例 1：某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图3-8-3所示，
其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 nmile，BC＝40＋ 30 3 nmile，CD＝250 6 nmile.现在有一艘轮船从 A 出发以
62⇒x＝100.
答案(dá àn)：100
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【规律(guīlǜ)方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在
有关的三角形中，建立一个(yī ɡè)解三角形的模型.
(2)利用正弦、余弦定理解出所需要(xūyào)的边和角，求得该数学 模型的解.
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【互动(hù dònɡ)探究】
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【互动探究(tànjiū)】
2.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分
400 别是(biéshì) 30°，60°，则塔高为_____3___m.
解析：如图 D26，由已知，可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°. ∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.∴AD＝CD.

第六节 函数y ＝Asinx知识梳理一、三角函数图象的作法1．几何法(利用三角函数线)．2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正切曲线)．(1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2k π(k ∈N *)个单位长度，即得函数的整个图象．(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象． 2．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．图象与x 轴的交点：正弦函数为________，k ∈Z ，余弦函数为________，k ∈Z ，正切函数为________ ，k ∈Z .答案：2.(2)(k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 (k π，0)二、三角函数图象的对称轴与对称中心正弦曲线y ＝sin x 的对称轴为x ＝________(k ∈Z )，对称中心为________(k ∈Z )； 余弦曲线y ＝cos x 的对称轴为x ＝________(k ∈Z )；对称中心为________，(k ∈Z )； 正切曲线y ＝tan x 的对称中心为________(k ∈Z )．其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处有最大(小)值．答案：k π＋π2 (k π，0) k π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的画法1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图．设X ＝ωx ＋φ，由X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图．2．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A >0，ω>0)的一些结论：最大值是A ＋B ，最小值是B －A ，周期是T ＝2πω，频率是f ＝ω2π，相位是ωx ＋φ，初相是φ(即当x ＝0时的相位)；其图象的对称轴是直线ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，凡是该图象与直线y ＝B 的交点都是该图象的对称中心．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．3．利用图象变换作三角函数的图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的作法．(1)________或叫做沿y 轴的伸缩变换：由y ＝sin x 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A |＞1)或缩短(当0＜|A |＜1)到原来的________倍，得到y ＝A sin x 的图象．(2)________或叫做沿x 轴的伸缩变换：由y ＝sin x 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞1)到原来的________倍，得到y ＝sin ωx 的图象．(3)________或叫做左右平移：由y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动________个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．(4)上下平移：由y ＝sin x 的图象上所有的点向上(当B ＞0)或向下(当B ＜0)平行移动______个单位长度，得到y ＝sin x ＋B 的图象．4．由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象求其解析式．给出图象确定解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)的题型，一般从寻找“五点”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．答案：3.(1)振幅变换 |A | (2)周期变换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1ω (3)相位变换 |φ| (4)|B |基础自测1．(2013·唐山模拟)函数y ＝sin 3x 的图象可以由函数y ＝cos 3x 的图象( )A ．向左平移π3个单位得到B ．向右平移π3个单位得到C ．向左平移π6个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析：因为sin 3x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π2＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以函数y ＝cos 3x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数y ＝sin 3x 的图象，故选D.答案：D2．(2013·聊城模拟)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )解析：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以当2x －π3＝0，即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D. 答案：D3．(2012·广东金山中学综合测试)如果函数y ＝3cos(2x ＋θ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|θ|的最小值是________．解析：对称中心的横坐标满足2x ＋θ＝k π＋π2(k ∈Z )，当x ＝4π3时，解得θ＝k π－13π6，当k ＝2时，|θ|最小，最小值为π6. 答案：π64．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝______.解析：由图可知A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4，ω＝2,2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π3(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3＝62. 答案：621.(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 答案：A2. 已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1⇒12≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22⇒1≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12≤1＋22，故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.1．(2013·广州二模)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω×π6＋π6＝0，∴ω×π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋2，k ∈Z . 再由ω为正整数可得ω的最小值为2，故选B. 答案：B2．(2012·长春调研)函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24解析：因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原式为y ＝sin(2x ＋φ)．又由函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.答案：A。

问题.
角函数的性质交汇命题，且多以解答题的形式呈现，
解题时要注意一些常用术语，充分结合数形结合及
转化化归思想的运用.
课时思维激活
教材知识梳理和小题探究
回扣教材
1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的角叫仰角，在水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．
又 sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°
＝ 23× 22－12× 22＝
6－ 4
2，
所以 AB＝AsCinsi1n56°0°＝3
2＋ 20
6，
因此，BD＝3
2＋ 20
6≈0.33(km)．
故 B，D 的距离约为 0.33 km.
距离问题的类型及解法 (1)类型：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、 两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题， 从而利用正余弦定理求解.
MN＝
900＋300－2×30×10
3×
3 2
＝ 300＝10 3(m)．
考点多维探究
考点 1 测量距离问题 研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档 题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余 弦定理求解，且主要有以下几个命题角度.

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理第四章 (对应学生用书(文)、(理)53～54页)考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，假设∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，那么AC ＝________．答案：23解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，那么A ＝________． 答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，假设a ＝2bcosC ，那么此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，那么∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，那么△ABC的面积为________．答案：43解析：∵cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P 〔P －a 〕〔P －b 〕〔P －c 〕，其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinCsinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsinCsinB ＝6－22.变式训练在△ABC 中，(1) 假设a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，那么b ＝________． (2) 假设b ＝3，c ＝2，C ＝45°，那么a ＝________．(3) 假设AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，那么∠A ＝________． 答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 假设b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式〔教师专享〕(2014·某某期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，c ＝2，C ＝π3. (1) 假设△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式〔教师专享〕△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴cosC cosB ＝b c. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 假设a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0.∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即〔a ＋c 〕2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 假设a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·某某)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，假设b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，那么角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，那么b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·某某)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，那么△ABC 的面积为________．答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A ＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·某某期末)在△ABC 中，假设9cos2A －4cos2B ＝5，那么BCAC＝________． 答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. △ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，那么△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°， 那么有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16〔2＋2〕2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·某某一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 假设c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12.(2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·某某期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 假设a ＝15，b ＝4，求边c 的大小． 解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12.即c 2－4c ＋1＝0. 那么c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c.(1) 假设c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求： (1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158. 因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. 所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2) 两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练〔B〕第7课时〔见活页〕.[备课札记]。

变式探究
3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(
里的 C 处的缉私船奉命以每小时 10
－1)海
里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75°方向，距离A处 2 海 海里的速度追截走私
船．此时，走私船正以每小时 10 海里的速度从 B 处向北偏东
30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
变式探究
1. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示 意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α， ∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β的值，算出了tan α＝ 1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
距离问题 【例2】 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建
第三章
第八节 解三角形的应用
高度问题 【例 1】 如下图，用同样高度的两个测角仪 AB 和CD同
时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角
是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球
的高度．
思路点拨： 在Rt△EGA中求解EG，只有角 α一个条件，需 要再有一边长被确定，而△ EAC 中有较多已知条件，故可在 △ EAC 中考虑 EA 边长的求解，而在△ EAC 中有角 β ， ∠ EAC ＝
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，
∴∠BCD ＝ 30°，即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追 上走私船．
180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA. 自主解答：
，
，
点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基 本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角 形中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选 取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，

当.
考点二
考点三
第十五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
16
探究突破
举一反三 1(2013 江苏高考改编)如图,游客从某旅游
景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一
种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.
现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.
的南偏西
75°
,则这艘船的速度是(
)
'
'
=tan 30°,


A.5 海里/时
=tan 15°,
∴BO= 3OO',AO=(2+ 3)OO'.
B.5 3海里/时
∵AO-BO=AB=10,
C.10
海里/时
3)- 3]=10,∴OO'=5,
∴OO'·[(2+
D.10
3海里/时
5
∴船的速度为 1 =10 海里/时.
考点三
第十八页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
19
考点二 测量高度问题
【例 2】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹
射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C 三地位于同一
水平面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A,B 两地
相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射声音的时间比 B
(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,
所以由余弦定理得
2
2
d =(100+50t) +(130t)
0≤t≤
12
-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50),因

2
4
2
2

关闭
∴π- 是第一或第三象限的角.
2
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
第十五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
16
探究突破
方法提炼
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k·360°的理解.
(1)k∈Z;
(2)α 是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角
方法求解,



若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= .



正解:P(4,y)是角 θ 终边上的一点,

由三角函数的定义知 sinθ=
,
16+2
又因为
2 5

2 5
sinθ=- ,则
=- ,解得
5
5
2
16+
y=-8.
4
梳理自测
1.任意角
(1)角的分类
任意角可按旋转方向分为
正角 、 负角
、
零角 .
(2)象限角
第一象限
角的集合

α 2k < < 2 + ,k∈Z
2
第二象限
角的集合
2π + < < 2 + π,∈Z
第三象限
角的集合
2π + π < < 2π +
第四象限
角的集合

3
3
3
1 10π
1
π

第八节 解三角形的应用1．(2013·绍兴模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2 cos10°.故选C 项.答案：C2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A3．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东方向40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°.化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， ∴|x 1－x 2|＝20，即CD ＝20.故t ＝CD v ＝2020＝1.故选B.答案：B4．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时 6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟解析：t 小时后，甲、乙两船的距离为s ，s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )·cos 120°＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514(小时)＝514×60＝1507(分钟)时，甲、乙两船的距离最近．故选A.答案：A5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：如图，设塔高为h ，在Rt△AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt△AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC2＋CD 2－2 OC ·CD cos∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5 h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．答案：C6．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50 m ，设山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝____________.解析：在△ABC 中，AB ＝100 m, ∠CAB ＝15°，∠ACB ＝45°－15°＝30°.由正弦定理得100sin 30°＝BCsin 15°，∴BC ＝200sin 15°.在△DBC 中，CD ＝50 m ，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90° ＋θ.由正弦定理知50sin 45°＝200sin 15°＋θ，解得cos θ＝3－1.答案：3－17．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S 的距离为______海里(结果保留最简根式)．答案：10 2 8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30.答案：309．某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时，测量得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．解析：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD .同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6，∠BCD ＝30°，根据正弦定理得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)．所以炮兵阵地到目标的距离为42 km.10．在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5 km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4 km/h ，在水中游的速度为 2 km/h.问此人能否追上小船．若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？解析：设船速为υ，显然υ≥4 km/h 时人是不可能追上小船，当0≤υ≤2 km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2<υ<4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为kt (0<k <1)，则人在水中游的时间为(1－k )t ，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形．∵|OA |＝4kt ，|AB |＝2(1－k )t ，|OB |＝υt ，由余弦定理得|AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos 15°，即4(1－k )2t 2＝(4kt )2＋(υt ) 2－2·4kt ·υt ·6＋24， 整理得12k 2－[2(6＋2)υ－8]k ＋υ2－4＝0，要使上式在(0,1)范围内有实数解，则有0<υ2－412<1且Δ＝[2(6＋2)υ－8]2－4×12(υ2－4)≥0， 解得2<υ≤22，即υmax ＝2 2 km/h.故当船速在(2,22]内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为2 2 km/h ，由此可见当船速为2.5 km/h 时人可以追上小船．11．如图，矩形ABCD 是机器人踢足球的场地，BA ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器人先从AD 的中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均做匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？解析：设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上． 设FG ＝x cm.根据题意得BG ＝2x cm. 则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )(cm)．连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ， 所以∠EAF ＝45°，AF ＝40 2 cm. 于是∠FAG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理得FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos∠FAG .所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x ) ×cos 45°.解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70(cm)或AG ＝－2303(cm)(不合题意，舍去)．该机器人最快可在线段AB 上离点A 70 cm 处截住小球．。

A. 3
B.2
C.2 3
)
D.3
关闭
B
答案
答案
第八页，编辑于星期五：十一点 十一分。
9
梳理自测
3.在△ABC 中,B=30°,C=120°,则 a∶
b∶
c=
.
关闭
1∶
1∶3
答案
答案
第九页，编辑于星期五：十一点 十一分。
10
梳理自测
1
3
4.在△ABC 中,若 a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=
【例 2】(2013 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为(
)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
关闭
依据题设条件的特点,边化角选用正弦定理,有 sin Bcos C+cos Bsin
π
2
π
4 3
2 3
,b= .
6
3
3
1
1 4 3 2 3
3
S= absin C= ×
×
×
2
2
3
3
2
当 cos A=0 时,A= ,B= ,a=
所以△ABC 的面积
=
2 3
;
3
当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A,由正弦定理得 b=2a,
2 3
,
2
2
3

+

-ab
=
4,
联立方程组
解得
4 3
即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角

第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数◆考纲·了然于胸◆ 1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[要点梳理]1．角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)：角⎩⎪⎨⎪⎧正角：按照逆时针方向旋转而成的角。

负角：按照顺时针方向旋转而成的角。

零角：射线没有旋转.(2)象限角与轴线角：(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }． 质疑探究1：(1)第二象限角一定是钝角吗？(2)终边相同的角一定相等吗？提示：(1)钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角；(2)终边相同的角不一定相等． 2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式(3)规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .质疑探究[小题查验]1．－870°角的终边在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．(2016·龙岩质检)已知α为第二象限角，sin α＝45，则tan α的值为( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－433．(2016·洛阳一模)已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点P (sin A －cos B,3cos A －1)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 5．给出下列命题：①三角形的内角必是第一、二象限角．②第一象限角必是锐角．③不相等的角终边一定不相同．④若β＝α＋k ·720°(k ∈Z )，则α和β终边相同．⑤点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限． 其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)考点一 象限角及终边相同的角(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 2．表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．3．已知角α终边所在的象限，求2α、α2、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、α2、π－α等的范围，再根据范围确定象限．[题组集训]1．若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为________．2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 3．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为______________________．4．如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是____________，角2α的终边所在位置是________，角α3终边所在的位置是________．考点二 三角函数的定义(深化型考点——引申发散)[一题多变]【例1】 设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，求sin α的值． [发散1] 若本例中“a ＜0”，改为“a ≠0”，求sin α的值．[发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 活学活用 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点三 三角函数线、三角函数值的符号(重点型考点——师生共研) 【例2】 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 (2)已知cos α≤－12，则角α的集合为________．【名师说“法”】(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．跟踪训练(1)y＝sin x－32的定义域为____________．(2)已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第________象限．考点四扇形的弧长、面积公式的应用(深化型考点——引申发散)【例3】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．[发散1]去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[发散2]若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．[发散3]若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.[类题通法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．易错警示3错用三角函数的定义(2016·天津模拟)已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sin θ＝________.成功破障已知角α的终边经过点P(－3，m)，且sin α＝34m(m≠0)，则tan α的值为________．[课堂小结]【方法与技巧】1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．【失误与防范】1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．课时活页作业(十七)[基础训练组]1．(2016·南平质检)喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是() A．30°B．－30°C．60°D－60°2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>03．(2016·乌鲁木齐模拟)设函数f (x )满足f (sin α＋cos α)＝sin α cos α，则f (0)＝( )A ．－12B ．0 C.12 D ．14．(2016·潍坊模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) 5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，126．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 7．已知角β的终边在直线y ＝3x 上，则sin β＝________.8．(2016·玉溪模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[能力提升组]11．(2016·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称12．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－313．(2016·太原模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 14．(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 15．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2 sin α2 cos α2的符号．第2节 同角三角函数基本关系及诱导公式◆考纲·了然于胸◆1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[要点梳理]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系31．给出下列命题：①sin 2θ＋cos 2φ＝1.②同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．③六组诱导公式中的角α可以是任意角． ④诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关． ⑤若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.其中正确的是( )A ．①③B ．④C ．②⑤D ．④⑤2．(2015·高考福建卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.324．若cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，则tan α＝________.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2 α的值是________．考点一 同角三角函数关系式的应用(深化型考点——引申发散)[一题多变]【例1】 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[发散1] 若本例中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求sin α＋cos α的值．[发散2] 保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．[发散3] 若本例条件变为：sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，求tan α的值．[类题通法]1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 考点二 三角函数的诱导公式的应用(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)给角求值的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π4之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：(2)给值求值的原则：寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现π2的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系，然后求解．常见的互余与互补关系①常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题．[题组集训]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 2．已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.3．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos (3π2＋α)－sin 2(π2＋α)(1＋2sin α≠0)，则f (－23π6)＝________.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.考点三 同角关系式、诱导公式在三角形中的应用(重点型考点——师生共研)【例2】 在△ABC 中，若sin(3π－A )＝2sin(π－B )，cos(3π2－A )＝2cos(π－B )．试判断三角形的形状．【名师说“法”】(1)在△ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C 2，cos(A 2＋B 2)＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.(2)求角时，一般先求出该角的某一个三角函数值，如正弦值，余弦值或正切值，再确定该角的范围，最后求角． 跟踪训练在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．思想方法11 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 典例 化简：sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．即时突破 已知A ＝sin (kπ＋α)sin α＋cos (kπ＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[课堂小结]【方法与技巧】同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ(1＋1tan 2θ)＝tan π4＝….【失误与防范】利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．课时活页作业(十八)[基础训练组]1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．(2016·济南质检)α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35 D ．－353．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－25π3)的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．(2016·皖北模拟)若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－455．(2016·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010 D.136．(2016·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________．7．(2015·辽宁五校第二次联考)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈(3π2，2π)，则tan x ＝________.8．已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是________．9．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.10．设0≤θ≤π，P ＝sin 2θ＋sin θ－cos θ.(1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ； (2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值．[能力提升组]11．(2016·厦门模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( )A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 212．(2016·太原二模)已知sin α＋cos α＝2，α∈(－π2，π2)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1 13．(2016·海淀模拟)已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．014．(2016·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 15．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tanB.第3节 三角函数的图象与性质◆考纲·了然于胸◆1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性．[要点梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝cos x 在第一象限内是减函数B ．函数y ＝tan x 在定义域内是增函数C ．函数y ＝sin x cos x 是R 上的奇函数D ．所有周期函数都有最小正周期2．(2015·新课标卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZC ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z3．(2016·三明模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0 4．函数y ＝tan (2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是________．5．(2015·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是__．考点一 三角函数的定义域、值域问题(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[题组集训]1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．2．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为________．3．当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性(重点型考点——师生共研) 【例】 (1) y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为________．(2)(2016·洛阳模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间[－π2，2π3] 上是增函数，则ω的取值范围是________．互动探究 在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 【名师说“法”】求三角函数单调区间的两种方法](1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．提醒：]求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 跟踪训练(1)y ＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用． 角度一 三角函数的周期1．函数y ＝－2cos 2(π4＋x )＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数2．(2016·长沙一模)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．角度二 求三角函数的对称轴或对称中心3．(2016·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称角度三 三角函数对称性的应用 4．(2016·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.345．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.[通关锦囊](1)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义；②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；③利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． (2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心．②若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )．③若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[题组集训]1．(2016·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π32．(2016·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是(π8，0)，则f (x )的最小正周期是________．易错警示4 三角函数单调性忽视x 的系数致错 典例 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间为________．提醒：](1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)才可．(2)求单调区间要注意定义域．即时突破 函数y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为________．[课堂小结]【方法与技巧】1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 【失误与防范】1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．课时活页作业(十九)[基础训练组]1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．[－π6，π6] B ．[k π－π6，k π＋π6]，k ∈Z C ．[2k π－π6，2k π＋π6]，k ∈Z D ．R2．(2016·南昌联考)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π6)－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π23．(2016·广州测试)若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 4．(2016·九江模拟)下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 5．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移|m |个单位，若所得的图象关于直线x ＝π6对称，则|m |的最小值为( )A.π3 B.π6 C ．0 D.π126．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．7．(2016·大庆模拟)若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是2，则ω＝________.8．(2016·荆州质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．9．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，求f (x )的值域． 10．设函数f (x )＝sin(πx 3－π6)－2cos 2πx6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．[能力提升组]11．(2014·课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④ B ．①③④ C ．①②③ D ．①③12．(2016·济南调研)已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]13．(2016·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝f (x ＋π3)为( )A ．奇函数且在(0，π4)上单调递增B ．偶函数且在(0，π2)上单调递增C ．偶函数且在(0，π2)上单调递减D ．奇函数且在(0，π4)上单调递减14．(2015·安阳模拟)已知函数y ＝A cos(π2x ＋φ)(A >0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为________． 15．(2016·荆门调研)已知函数f (x )＝a (2cos 2x 2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．第4节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用◆考纲·了然于胸◆1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．[要点梳理]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.2.函数y3．图象的对称性:函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．[小题查验]1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．(2015·高考山东卷)要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OB →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．44．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.5．把函数y ＝sin(5x －π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．考点一 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(基础型考点——自主练透)确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[题组集训]1．(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }2．(2016·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6) B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2 C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋23．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．2＋3 B.3 C.33D ．2－ 3 考点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(题点多变型考点——全面发掘)【例1】 (2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.[发散1] 将本例变为：由函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到y ＝2sin(2x －π3)的图象？[发散2] 将本例中函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为． [发散3] 将本例变为：若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．[类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[提醒] ]平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 考点三 三角函数模型的应用(重点型考点——师生共研)【例2】 (2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cosπ12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【名师说“法”】本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质． 跟踪训练如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．规范答题3 三角函数图象与性质的综合问题典例 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos (x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．即时突破 (2016·湖北八校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π6，π4]上的值域．[课堂小结]【方法与技巧】1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离) 【失误与防范】1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x 前面的系数提出来． 2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．课时活页作业(二十)[基础训练组]1．(2016·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π22．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0,2]3．(2016·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π4．(2016·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32。

1＝ 19
19 38 .
在△ACD 中，由余弦定理可得 AD＝ AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD＝
76＋162－2× 76×16× 3189＝ 300＝10 3. 故选 B. 答案：B
【变式训练】 (2023 年种田地区校级期末)如图 3-8-2，为了测量河对岸两点 C，D 间的距离，现在沿岸相距 2 km 的两点 A，B 处分别测得 ∠BAC ＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°， 则 C，D 间的距离为( )
置，如图 3-8-6(1)所示，十字测天仪由杆 AB 和横档 CD 构成，并 且 E 是 CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天 仪的使用方法如下：如图 3-8-6(2)，手持十字测天仪，使得眼睛可 以从 A 点观察，滑动横档 CD 使得 A，C 在同一水平面上，并且眼 睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点 D，DE 的影子恰好是 AE.然后，通过测量 AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角
C.15 5 m
D.20 5 m
图 3-8-3
解析：在△BCD 中，cos∠BCD＝ 55，cos∠BDC＝35， 所以 sin∠BCD＝ 1－cos2∠BCD＝255， sin∠BDC＝ 1－cos2∠BDC＝45， 可得 sin∠CBD＝sin (∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD cos∠BDC ＋cos∠BCD sin∠BDC＝2 5 5×35× 55×54＝2 5 5，
∠CAD(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)
(2)
图 3-8-6
若在一次测量中，AE＝60，横档 CD 的长度为 30，则太阳高
度角的正弦值为( )
A.147

D．(15＋3 3)m
[解析] 在△PAB 中，由正弦定理，得sin（451°0－30°）＝sinPB30°，因为 sin(45°－
30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝
6－ 4
2，所以 PB＝5(
6＋
2)(m)，所以该
树的高度 h＝PBsin 45°＝(5＋5 3)(m)．
[解析] 依题意知，在△ACD 中，∠A＝30°，由正弦定理得 AC＝CDsinsin304°5°＝2 2. 在△BCE 中，∠CBE＝45°， 由正弦定理得 BC＝CsEinsin456°0°＝3 2.连接 AB(图略)， 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝10， ∴AB＝ 10. [答案] 10
解析：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC＝14x， BC＝10x，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得 x＝2. 故 AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得sinBC α＝sinA1C20°， 解得 sin α＝20sin28120°＝5143. 所以红方侦察艇所需的时间为 2 小时，角 α 的正弦值为5143.
(2)设经过 x 小时，甲、乙两物体的距离为 d. 由余弦定理得 cos 60°＝（42x×）42＋x×（（101－0－2x2）x）2－d2＝12，
∴d2＝28x2－80x＋100，0＜x≤5.
∵函数 y＝28x2－80x＋100 的图像的对称轴 x＝170∈(0，5]，∴x＝170时，d 最小．
[破题技法] 测量距离问题的解法 选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问 题，再利用正、余弦定理求解． 提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用 间接求出的量．

近三年广东高考中对本章考点考查的情况第三章三角函数与解三角形本章主要内容包括：三角函数基础知识、三角函数的图象和性质、简单的三角恒等变换和解三角形．1．三角函数的基础知识包括三角函数的定义、弧度制、诱导公式和同角三角函数关系式．重点掌握诱导公式和同角三角函数关系式．2．三角函数的图象和性质问题、注意以下几个方面： (1)要熟练掌握y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的图象和性质． (2)会用五点作图法画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 及y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的图象、前者是重点．(3)会用换元思想、转化思想和数形结合思想把问题转化成y ＝A sin x (或y ＝A cos x )的形式来研究．(4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 及y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 、能够通过表达式求出函数的振幅、周期、初相位、单调区间、最值、对称轴和对称中心等．3．三角恒等变形是三角函数考查的一个重点、需要注意以下几个问题：(1)熟记两角和与差的正弦、余弦和正切公式、它们是公式推导和应用的基础．(2)熟悉余弦的二倍角公式的三种不同的形式：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.其变形形式cos 2α＝12(1＋cos 2α)、sin 2α＝12(1－cos 2α)在三角恒等变换中经常用到．4．解三角形问题、主要考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用．近几年广东高考对三角函数的考查要求有所降低、高考对本章内容的考查仍会以选择、填空和解答题的形式出现、难度不大、以中、低难度的题目为主．1．立足课本、抓好基础．从前面叙述可知、近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查、而重点转移到对三角函数的图象与性质、对基础知识和基本技能的考查上来、所以在复习中首先要打好基础．近几年高考在考查利用三角公式进行恒等变形的同时、也直接考查了三角函数的性质及图象的变换、可见高考在降低对三角函数恒等变换的要求下、加强了对三角函数性质和图象的考查力度．2．重视数学思想方法的复习．如前面所述本章试题经常以选择、填空形式出现、因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法、如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等．另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论．如：关于对称问题、要利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)和对称中心为(kπ、0)(k∈Z)等基本结论解决问题、同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征．在求三角函数值的问题中、要学会用勾股数解题、因为高考试题不能查表、也不让用计算器、给出的数都较特殊、因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果．3．加强三角函数应用意识的训练．三角函数是以角为自变量的函数、也是以实数为自变量的函数、它产生于生产实践、是客观实际的抽象、同时又广泛地应用于客观实际、故应培养实践第一的观点．总之、三角部分的考查保持了内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定的特点、考查的重点是三角函数的概念、性质和图象、三角函数的求值问题以及三角变换的方法．高考总复习·数学(文科)第三章三角函数与解三角形 4.变为主线、抓好训练．变是本章的主题、在三角变换考查中、角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的变换、三角函数式表达形式的变换等比比皆是、在训练中、强化变的意识是关键、但题目不可太难、较特殊技巧的题目不做、立足课本、掌握课本中常见问题的解法、把课本中习题进行归类、并进行分析比较、寻找解题规律．针对高考中的题目、还要强化变角训练、经常注意收集角之间关系的观察分析方法．另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强、这也是高考的重点．同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目．5．注意对三角形中有关问题的复习．由于教材的变动、有关三角形中的正、余弦定理、解三角形等内容提到高中来学习、近年来加强数形结合思想的考查、降低了对三角变换的要求、对三角的综合考查将向三角形中的问题伸展、这些从近几年的高考试题中就可看出、但也不会太难、只要掌握基本知识、概念、深刻理解其中基本的数量关系即可过关．6．在复习中、应立足基本公式、在解题时、注意在条件与结论之间建立联系、在变形过程中不断寻找差异、讲究算法、才能立足基础、发展能力、适应高考．第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理 一、任意角1．角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形、叫做______．按逆时针方向旋转所形成的角叫做________、按顺时针方向旋转所形成的角叫做________、一条射线没有作任何旋转时、称它形成一个__________．射线的起始位置称为__________、终止位置称为________．射线的端点叫做角的________．2．角的分类：__________________.3．象限角的概念：在平面直角坐标系中、使角的顶点与原点重合、角的始边与x 轴的非负半轴重合、角的________在第几象限、就说这个角是第几象限的角．4．轴线角的概念：在平面直角坐标系中、使角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x 轴非负半轴重合、角的终边落在________、就说这个角是轴线角．5．区间角：区间角是介于两个角之间的所有角、如：α∈α⎪⎪⎪π6≤α≤5π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 6．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合(连同角α在内)、可以记为_________________．7二、弧度制1．1弧度角的定义：我们把长度等于________的弧所对的圆心角叫做________角.1弧度记作1 rad.用弧度作为度量角的制度、叫做________．(1度的角：把周角分成360等份、则其中1份所对的圆心角叫做1度的角．用度作为度量角的制度、叫做角度制)2．角度制与弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ；1弧度＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.3°.3.弧长公式：l ＝|α|r (α是圆心角的弧度数)． 4．扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2. 三、任意角的三角函数1.三角函数的定义：以角α的顶点为坐标原点、始边为x轴正半轴建立直角坐标系、在角α的终边上任取一个异于原点的点P(x、y)、点P到原点的距离记为r(r＝x2＋y2>0)、那么sin α＝____________、cos α＝______________、tan α＝______________.注意：上述比值不随点P在终边上的位置的改变而改变．2由三角函数的定义、以及各象限内点的坐标的符号、我们可以得到三角函数在各象限的符号如上表．也可概括为如下口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．若终边落在坐标轴上、则可用定义求出三角函数值．4.三角函数的定义域、值域.5．单位圆上角α的三角函数线． 正弦线：________、 余弦线：________、 正切线：________、即sin α＝________、cos a ________、tan α＝ ________. 注意：各三角函数线对应的有向线段的起点、终点位置、不要弄混了．一、1.角 正角 负角 零角 始边 终边 顶点 2.正角、负角、零角 3.终边 4.坐标轴上 6.{β|β＝k ×360°＋α、k ∈Z } 7.{}α|α＝k ×360°，k ∈Z {}α|α＝k ×360°＋90°，k ∈Z {}α|α＝k ×360°＋180°，k ∈Z {}α|α＝k ×360°＋270°，k ∈Z {}α|α＝k ×180°，k ∈Z {}α|α＝k ×180°＋90°，k ∈Z {}α|α＝k ×90°，k ∈Z二、1.半径长 1弧度 弧度制 2.2π3 3π4 5π6 7π6 5π4 4π3 5π3 7π4 11π6三、1.y r x r y x 3.0 12 22 32 1 0 －1 1 32 22 12 0 －1 0 0 33 1 3 04．R R{α⎪⎪⎪α∈R 且α≠π2＋k π、k ∈Z} R 5.MP OMAT MP OM AT基础自测1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°、k ∈Z } B ．{α|α＝k ·180°、k ∈Z } C ．{α|α＝k ·90°、k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°＋90°、k ∈Z }解析：当角α的终边在x 轴上时、可表示为k ·180°、k ∈Z .当角α的终边在y 轴上时、可表示为k ·180°＋90°、k ∈Z .∴当角α的终边在坐标轴上时、可表示为k ·90°、k ∈Z .答案：C2.α是第四象限的角、则下列函数值一定是负值的是( ) A ．sin α2B ．cos α2C．tan α2D．cos α解析：因为2kπ＋3π2＜α＜2kπ＋2π、k∈Z、那么kπ＋3π4＜α2＜kπ＋π、k∈Z、所以α2在第二或第四象限、tanα2＜0一定成立．答案：C3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2、则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin 2C.2sin 1D．2 sin 1解析：由已知可得该圆的半径为1sin 1.∴2弧度的圆心角所对的弧长为2×1sin 1＝2sin 1.答案：C4．已知角α的终边过点(a,3a)(a≠0)、则sinα＝_________、tan α＝________.答案：31010(a＞0时)或－31010(a＜0时) 31．若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上、则tan a 6π的值为( ) A ．0B.33 C ．1 D.3解析：∵点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上、∴9＝3a.∴a ＝2.∴tan a 6π＝tan π3＝ 3.故选D. 答案：D2．已知角θ的顶点为坐标原点、始边为x 轴的正半轴、若P ()4，y 是角θ终边上一点、且sin θ＝－255、则y ＝______.解析：根据正弦值为负数、判断角在第三、四象限、再加上横坐标为正、断定该角为第四象限角．sin θ＝y 16＋y2＝－255⇒y ＝－8.答案：－81. (2013·大连模拟)已知角2α的顶点在原点、始边与x 轴的正半轴重合、终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32、2α∈[0,2π)、则tan α＝( )A．－3 B.3 C.33D．±33解析：由角2α的终边在第二象限、知tan α>0、依题设知tan 2α＝－3、所以2α＝120°、得α＝60°、tan α＝ 3.答案：B2．在直角坐标系中、O是原点、A(3、1)、将点A绕O逆时针旋转90°到B点、则B点坐标为________．解析：依题意知OA＝OB＝2、∠AOx＝30°、∠BOx＝120°、所以x＝2 cos 120°＝－1、y＝2 sin 120°＝3、即B(－1、3)．答案：(－1、3)。

迎战2年高考模拟
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考向二 测量高度问题
例2 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位
研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空
中进行气象观测．如右图所示，A，B，C三地位于同一水平面
上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100
米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚
既清楚又不易出错．
第三章 第8讲
第22页
第二十二页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
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1. 如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河 两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需 要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC＝ 105°，∠BCA
2 17
秒．在
A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.
第三章 第8讲
第26页
第二十六页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
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(1)求 A，C 两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度 HC(已知声音的传播速度为
(4)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾
斜角改为10°，则斜坡长为2cos10°.(√)
第三章 第8讲
第15页
第十五页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
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由已知 A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在 △A1B2B1
中
，
由
余
弦
定
理
，
B1B
2 2
＝
A1B
2 1
＋
A1B
2 2
－
2A1B1·A1B2·cos 45°
＝202＋(10 2)2－2×20×10 2× 22＝200.
∴B1B2＝10 2.
∴乙船的速度的大小为10202×60＝30 2(海里/小时)．
第三页，共37页。
4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(dù shu)[如图(3)， 角θ为坡角].
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比
(3) 二、正、余弦定理可以解决的实际问题 距离(jùlí)或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、 角度(航海或航空定位)、面积等．
第四页，共37页。
第三章 三角函数(sānjiǎhánshù)与解 三角形
第八节 解三角形的应用(yìngyòng)
第一页，共37页。
考纲要求
能够(nénggòu)运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
第二页，共37页。
课前自修
知识(zhī shi)梳理
一、实际问题中的相关术语、名称 1．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角[如图 (1)]. 2．方向角：相对(xiāngduì)于某正方向的水平角，如南偏东30°， 北偏西45°，西偏北60°等． 3．仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的 角叫仰角．视线在水平线下方的角叫俯角[如图(2)]．
常在基线上选取两个观测点，在同一平面内至少测量(cèliáng) 三个数据(角边角)，解两个三角形，运用解方程思想解决问 题．