2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第八节解三角形的应用 文

第六节 函数y ＝Asinx知识梳理一、三角函数图象的作法1．几何法(利用三角函数线)．2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正切曲线)．(1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2k π(k ∈N *)个单位长度，即得函数的整个图象．(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象． 2．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．图象与x 轴的交点：正弦函数为________，k ∈Z ，余弦函数为________，k ∈Z ，正切函数为________ ，k ∈Z .答案：2.(2)(k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 (k π，0)二、三角函数图象的对称轴与对称中心正弦曲线y ＝sin x 的对称轴为x ＝________(k ∈Z )，对称中心为________(k ∈Z )； 余弦曲线y ＝cos x 的对称轴为x ＝________(k ∈Z )；对称中心为________，(k ∈Z )； 正切曲线y ＝tan x 的对称中心为________(k ∈Z )．其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处有最大(小)值．答案：k π＋π2 (k π，0) k π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的画法1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图．设X ＝ωx ＋φ，由X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图．2．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A >0，ω>0)的一些结论：最大值是A ＋B ，最小值是B －A ，周期是T ＝2πω，频率是f ＝ω2π，相位是ωx ＋φ，初相是φ(即当x ＝0时的相位)；其图象的对称轴是直线ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，凡是该图象与直线y ＝B 的交点都是该图象的对称中心．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．3．利用图象变换作三角函数的图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的作法．(1)________或叫做沿y 轴的伸缩变换：由y ＝sin x 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A |＞1)或缩短(当0＜|A |＜1)到原来的________倍，得到y ＝A sin x 的图象．(2)________或叫做沿x 轴的伸缩变换：由y ＝sin x 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞1)到原来的________倍，得到y ＝sin ωx 的图象．(3)________或叫做左右平移：由y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动________个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．(4)上下平移：由y ＝sin x 的图象上所有的点向上(当B ＞0)或向下(当B ＜0)平行移动______个单位长度，得到y ＝sin x ＋B 的图象．4．由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象求其解析式．给出图象确定解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)的题型，一般从寻找“五点”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．答案：3.(1)振幅变换 |A | (2)周期变换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1ω (3)相位变换 |φ| (4)|B |基础自测1．(2013·唐山模拟)函数y ＝sin 3x 的图象可以由函数y ＝cos 3x 的图象( )A ．向左平移π3个单位得到B ．向右平移π3个单位得到C ．向左平移π6个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析：因为sin 3x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π2＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以函数y ＝cos 3x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数y ＝sin 3x 的图象，故选D.答案：D2．(2013·聊城模拟)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )解析：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以当2x －π3＝0，即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D. 答案：D3．(2012·广东金山中学综合测试)如果函数y ＝3cos(2x ＋θ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|θ|的最小值是________．解析：对称中心的横坐标满足2x ＋θ＝k π＋π2(k ∈Z )，当x ＝4π3时，解得θ＝k π－13π6，当k ＝2时，|θ|最小，最小值为π6. 答案：π64．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝______.解析：由图可知A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4，ω＝2,2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π3(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3＝62. 答案：621.(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 答案：A2. 已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1⇒12≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22⇒1≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12≤1＋22，故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.1．(2013·广州二模)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω×π6＋π6＝0，∴ω×π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋2，k ∈Z . 再由ω为正整数可得ω的最小值为2，故选B. 答案：B2．(2012·长春调研)函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24解析：因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原式为y ＝sin(2x ＋φ)．又由函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.答案：A。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理第四章 (对应学生用书(文)、(理)53～54页)考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，假设∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，那么AC ＝________．答案：23解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，那么A ＝________． 答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，假设a ＝2bcosC ，那么此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，那么∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，那么△ABC的面积为________．答案：43解析：∵cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P 〔P －a 〕〔P －b 〕〔P －c 〕，其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinCsinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsinCsinB ＝6－22.变式训练在△ABC 中，(1) 假设a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，那么b ＝________． (2) 假设b ＝3，c ＝2，C ＝45°，那么a ＝________．(3) 假设AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，那么∠A ＝________． 答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 假设b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式〔教师专享〕(2014·某某期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，c ＝2，C ＝π3. (1) 假设△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式〔教师专享〕△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴cosC cosB ＝b c. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 假设a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0.∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即〔a ＋c 〕2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 假设a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·某某)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，假设b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，那么角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，那么b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·某某)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，那么△ABC 的面积为________．答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A ＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·某某期末)在△ABC 中，假设9cos2A －4cos2B ＝5，那么BCAC＝________． 答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. △ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，那么△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°， 那么有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16〔2＋2〕2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·某某一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 假设c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12.(2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·某某期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 假设a ＝15，b ＝4，求边c 的大小． 解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12.即c 2－4c ＋1＝0. 那么c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c.(1) 假设c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求： (1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158. 因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. 所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2) 两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练〔B〕第7课时〔见活页〕.[备课札记]。

第八节 解三角形的应用1．(2013·绍兴模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2 cos10°.故选C 项.答案：C2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A3．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东方向40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°.化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， ∴|x 1－x 2|＝20，即CD ＝20.故t ＝CD v ＝2020＝1.故选B.答案：B4．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时 6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟解析：t 小时后，甲、乙两船的距离为s ，s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )·cos 120°＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514(小时)＝514×60＝1507(分钟)时，甲、乙两船的距离最近．故选A.答案：A5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：如图，设塔高为h ，在Rt△AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt△AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC2＋CD 2－2 OC ·CD cos∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5 h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．答案：C6．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50 m ，设山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝____________.解析：在△ABC 中，AB ＝100 m, ∠CAB ＝15°，∠ACB ＝45°－15°＝30°.由正弦定理得100sin 30°＝BCsin 15°，∴BC ＝200sin 15°.在△DBC 中，CD ＝50 m ，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90° ＋θ.由正弦定理知50sin 45°＝200sin 15°＋θ，解得cos θ＝3－1.答案：3－17．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S 的距离为______海里(结果保留最简根式)．答案：10 2 8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30.答案：309．某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时，测量得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．解析：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD .同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6，∠BCD ＝30°，根据正弦定理得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)．所以炮兵阵地到目标的距离为42 km.10．在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5 km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4 km/h ，在水中游的速度为 2 km/h.问此人能否追上小船．若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？解析：设船速为υ，显然υ≥4 km/h 时人是不可能追上小船，当0≤υ≤2 km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2<υ<4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为kt (0<k <1)，则人在水中游的时间为(1－k )t ，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形．∵|OA |＝4kt ，|AB |＝2(1－k )t ，|OB |＝υt ，由余弦定理得|AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos 15°，即4(1－k )2t 2＝(4kt )2＋(υt ) 2－2·4kt ·υt ·6＋24， 整理得12k 2－[2(6＋2)υ－8]k ＋υ2－4＝0，要使上式在(0,1)范围内有实数解，则有0<υ2－412<1且Δ＝[2(6＋2)υ－8]2－4×12(υ2－4)≥0， 解得2<υ≤22，即υmax ＝2 2 km/h.故当船速在(2,22]内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为2 2 km/h ，由此可见当船速为2.5 km/h 时人可以追上小船．11．如图，矩形ABCD 是机器人踢足球的场地，BA ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器人先从AD 的中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均做匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？解析：设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上． 设FG ＝x cm.根据题意得BG ＝2x cm. 则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )(cm)．连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ， 所以∠EAF ＝45°，AF ＝40 2 cm. 于是∠FAG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理得FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos∠FAG .所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x ) ×cos 45°.解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70(cm)或AG ＝－2303(cm)(不合题意，舍去)．该机器人最快可在线段AB 上离点A 70 cm 处截住小球．。