第四章人寿保险的精算现值(2013327)

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保险精算第4章2 人寿保险的精算现值

签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0,
vn
,
T n T n
离散型
1
A x:n
表示 n年期生存保险的精算现值。
E nx
1
Ax:n E(Z )
方差为
Var(Z )
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
1
2
30：10 |
30：10 |
0.0431
各种死亡即付趸缴纯保费的公式归纳
n
n
A 1 vt f (t)dt vt p dt
x: n| 0
T
0
tx
xt
Ax
vt p dt
0
tx
xt
m| Ax
m
vt
fT
t
dt
A A A m|
v f (t)dt 1
m1n t
1
x: n|
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
vn ,
K n, n 1,
表示n年期两全保险的精算现值。
方差为
A1 E x: n | n x
Var(Z )2A ( A )2
x
x
两全保险的趸缴纯保费
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内
的死亡，则在死亡年末给付保险金；如果被保险人
生存满n年，则在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
基本函数关系
b 1, k 0,1, k

保险精算第二版习题及答案

保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+=Q 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

保险精算习题及答案

第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

寿险精算现值

附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要的缴费部分。
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险定期寿险两全寿险精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax

vk 1d xk
或者
n
Ax

Ax

A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保，延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx

vd x
v2dx1

vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x

第4章人寿保险的精算现值

第4章人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值也称为趸交纯保费。

4.2 死亡年末给付的人寿保险死亡年末给付的人寿保险是指保险金的支付是在死亡发生的（保险期）年末进行的人寿保险。

4.2.1 定期寿险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期定期寿险，保险金额为1元，保险金在死亡年度末给付。

设K = ][T ,即取整余命随机变量，给付函数用b K 1+表示，则有 b K 1+ = 1，当K = 0，1，2，…，n-10, 其它相应的贴现因子用v K 1+表示，保险金给付额折换成购买保险合同签单时的现值用随机变量Z 表示。

Z 的可能取值为z K 1+（K = 0，1，2，…，n-1）z K 1+ = v b K K 11++⋅ = vK 1+定期寿险的趸交纯保费用统一的精算符号1x n A 表示，那么1x nA= )(Z E =∑-=++⋅⋅11n k kx xk qp vk)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -=2211()x nx nAA-其中 21x nA= )(2Z E = ∑-=++⋅⋅1)1(2n k kx xk qp vk4.2.2 生存保险n 年期生存保险是当被保险人生存至n 年期满时，保险人在第n 年年末支付保险金的保险。

设)(x 投保n 年期生存寿险，保险金额为1元，保险金在第n 年年末给付。

精算中用1x nA表示该生存保险的趸交纯保费。

可以推出1x nA=pvnxn⋅相应的方差为)(Z Var = )]([22)(Z E Z E - = 2112()x nx n A A-= q pvn nxxn⋅⋅24.2.3 终身寿险的趸交纯保费Ax=1lim x nn A→∞=∑∞=++⋅⋅1k kx xk qp vk相应的方差为)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -= )(22A Ax x-4.2.4 两全保险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期两全保险，保险金额为1元，若)(x 在n 年内死亡，则在死亡年末给付保险金，若)(x 生存满n 年，则在第n 年年末支付满期保险金。

第四章人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档

已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概率，就可以得出期望给付额
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给付金额。它的实质是把相同风险的人视作一个总体，这个总体在统计意义上的收支平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故

保险精算第二版习题及答案

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+=Q 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳

第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

保险精算第4章2 人寿保险的精算现值

k 0 n 1
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险业经验生命表（2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费，或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n

保险精算1-10章答案(第二版)李秀芳

我是发老师给我们的答案上来的，老师姓周，供大家下载使用。

第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

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寿险精算 7
六、基本符号约定
在以上三个假定条件满足的情况下，趸缴净保费是这样厘定的：
假定风险事故会在t时刻发生（t为余命），则 bt ——给付额 ——折现因子或贴现因子 t Zt ——给付额在保单签发之日的现值那么给付额的现值函数为：
v
Zt bt vt
t取不同的值，现值函数有不同的表达式
t 0 1 1.1 10 1.1 t dt 1 0.092 70 70 ln1.1
1 1 （） 2 Var ( zt ) 2 A30:10 ( A30:10 )2
t 0 1.21 1 10 0.0922 0.055 70 ln1.21
寿险精算
17
二、终身寿险的精算现值 1.定义——什么是终身寿险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则
寿险精算 9
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费也就是精算现值，即精算现值＝ E(Zt )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给付金额。它的实质是把相同风险的人视作一个总体，这个总体在统计意义上的收支平衡
寿险精算
10
§4.1
死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。连续型寿险
第四章人寿保险的精算现值人寿保险精算现值概述
一、什么是人寿保险？狭义——是以被保险人在保障期内是否死亡作为保险事故的一种保险广义——是以被保险人的生命作为保险事故的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为保险事故的生存保险和两全保险本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值
寿险精算
6
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给出了以下三条假设：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故
保险赔付时间与赔付金额的不确定性
人寿保险的赔付金额与赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡是一个随机变量，这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计原理计算出平均赔付并可预测将来的风险寿险精算
bt 0,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0 3.赔付现值变量
Z t bt .vt
寿险精算
v t ,t n 0,t n
13
4.趸缴纯保费的厘定 1 记 Ax:n 为n年定期保险即刻赔付的趸缴纯保费赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 n 1 所以 A E ( Z ) z f (t ) d
寿险精算 8
余命有两种形式，所以 K 1 Zt bK 1v ——死亡年末给付
Zt＝bT v ——死亡时立即给付
已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概率，就可以得出期望给付额
T
E (Zt ) E (bK 1v
K 1
)＝ Zt . k qx
E (Zt ) E (bT vT ) Zt . fT (t )dt
3
四、人寿保险精算现值的概念
——也称为趸缴纯保费，是指在保单生效日被保险人或投保人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。
就是投保人或被保险人在保单签发之日一次性交付的纯保险费。精算现值＝毛保费－附加保费
寿险精算
4
五、厘定原理——保费净均衡原则
保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金，即保费收入的期望现值正好等于将来的保险赔付金的期望现值。它的实质是在统计意义下的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现值等于支出期望现值
2 m 10

0.04 e 0.16 t dt 0.147
10

Var ( zt )
2 m
Ax ( m Ax ) 2 0.0288
寿险精算
30
四、n年期纯生存保险的精算现值 1.定义——什么是纯生存保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 0,t n 限n年，则
2 0

v 2t t px x t d t
0

e 2 t t px x t dt
0

记 Ax e2 t t px xt dt ，则 0
2

Var(Z ) Ax ( Ax )
2
寿险精算
2
20
例
• 设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 • 保险金在死亡即刻赔付 • 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
• 假设有100个相互独立的年龄为x岁的被保险人都投了保险金额10元的终身保险，随 t f e ( 0.04, t 0) 机变量T的概率密度是 T (t ) 保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项基金中按利息强度为 0.06 计息支付。试计算这项基金在最初（即t=0) 时的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到95%?
x t

0
t T
t
v t p x x t d t
t 0

e
0

t
t x x t t
寿险精算 19
p d
5.赔付现值变量的方差
Var (Z ) E(Z ) [E(Z )] E(Z ) ( Ax )
2 2 2
2
E ( Z ) zt2 fT (t )d t
寿险精算 24
三、延期终身寿险
• 定义 –保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 • 假定：( x ) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 • 基本函数关系
寿险精算
25
延期寿险趸缴纯保费的厘定
• 符号： m Ax • 厘定：
m
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
1 , 0 t 60 fT (t) 60 , 其它 0
• 计算
（） 1 Ax (2)Var ( zt ) (3) Pr( z 0.9 ) 0.9的0.9 .
寿险精算 21
(1) Ax e
0
60 0

t
fT ( t )dt e
0
60
t
bt 1, t 0
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt v , t 0
t
寿险精算 18
4.趸缴纯保费的厘定记 Ax 为终身寿险即刻赔付的趸缴纯保费赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付发生的概率就等于剩余寿命的密度函数所以 A E (Z ) z f (t )d
t
ln 0.9 = Pr( t ln v ln 0.9 ) P ( t ) ln v
ln 0.9
ln v
60
ln 0.9 60 ln v 0.9 fT ( t )dt 60
ln 0.9 6ln v 0.9 v6 e 6
寿险精算
23
例
2 m
Ax e 2 t fT (t )dt
m

• 所以方差等价于
Var ( zt )
2 m
Ax ( m Ax )2Fra bibliotek寿险精算
27
• 延期m年的n年定期寿险：
m| Ax:n mn m
vt fT t dt

mn
m
mn
e
t
t px xt dt
bt 1,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt v n , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt
寿险精算
0,t n vn ,t n
31
4.趸缴纯保费的厘定记 Ax:n 为n年期生存保险的趸缴纯保费在n年定期生存保险情况下，赔付事件发生的概率就等于剩余寿命大于等于n年的概率
寿险精算 11
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算 12
一、n年定期保险的精算现值 1.定义——什么是定期保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 1,t n 限n年，则
Ax
(2)Var( zt )
寿险精算 29
S ( x t ) (1) fT ( t ) 0.04e 0.04 t S( x)
0.06 t 0.04 t A e 0.04 e dt x m 10
0.04e 0.16 t 0.16
10
0.05047
(2) Ax e 0.12 t 0.04e 0.04 t dt
1 dt 60
e
2 t
60 1 2 1e dt ( Ax ) 60 60
（） 2 Var( zt ) Ax ( Ax )
2

第四章人寿保险的精算现值(2013327)

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