当前位置：文档之家 › C4人寿保险的精算现值.ppt

C4人寿保险的精算现值.ppt

  • 格式：ppt
  • 大小：304.01 KB
  • 文档页数：77

下载文档原格式

  / 77

合集下载

第二章人寿保险的精算现值

第二章人寿保险的精算现值
第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人寿保险的精算 现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值

人寿保险的精算现值趸缴纯保

人寿保险的精算现值趸缴纯保

第二章：人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）
教学要求：
掌握各类寿险的保险金给付模型的建立方法。
掌握各类寿险的趸缴纯保费的计算。
掌握寿险的精算现值（趸缴纯保费）的定义。
** 寿险定价的基础 ***
0
第一节 离散型人寿保险模型
** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
0
?1nn源自n0mm+n
0 n n-1 n-2 …………….. 2 1
1 1…...1 1…...1……1 1…...1……1……1 ……………………………………………... 1…...1……1……1……1………… 1……1
第五节 递推公式与换算函数
t
t
s
S=t
（2）
0 1 2 3 4 5 6……………….. 1 1 1………1………1………1….. 1 1 …… ..1………1………1….. 1………1………1………1….. ……… 1………1…… 1….. 1………1 . . 1
n
01
02
03
0
m
m+n
第二节 连续型人寿保险模型
** 讨论保额固定的连续型人寿保险 ***
第三节 连续模型与离散模型的精算现值的关系
在保险实务中，使用的是死亡即付的连续 模型，而死亡年末付的离散模型的计算更容易 和简便，以下讨论转换关系。
第四节 保额递增、递减型人寿保险
递推公式（讨论不同投保年龄的趸缴纯保费 的关系）
其它递推公式
二、换算函数（符号）
THANKS

第二章 人寿保险的精算现值PPT课件

第二章 人寿保险的精算现值PPT课件

2.4 换算函数
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
微分方程
2.2 离散型保险
等额保险
定期死亡保险 终身寿险 两全保险 延期保险
变额保险
递增保额保险 递减2.3 连续型保险与离散型保险之间的关 系
前面两节的讨论表明，离散型保险的趸缴纯 保费的计算要容易和简便很多，可编制如P467 的终身寿险精算现值表，而实务中使用的是连 续型保险，因而寻找连续型保险与离散型保险 之间的关系是有意义的。
变额保险
递增保额保险 递减保额保险
微分方程
等额保险
所谓等额保险，指保险利益的金额在保险 开始时就已经固定，只是支付的时间不确 定而已，支付时间与保险事故发生的时间 有关。
P59 2，11
作业
P59 4
作业
变额保险
变额保险，顾名思义，是指保险利益不是常 数，而是随着死亡发生的时间不同而不同的 保险。
第二章 人寿保险的精算现值
学习目标
熟悉人寿保险的数学模型 熟悉人寿保险现值随机变量及人寿保险精
算现值 掌握各种寿险产品趸缴净保费及人寿保险
现值随机变量方差的计算方法 了解趸缴净保费的实际意义及递推公式 熟悉利用换算函数计算人寿保险的趸缴净

第四章 人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档

第四章 人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档
已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概 率，就可以得出期望给付额
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故

(人寿保险的精算现值)

(人寿保险的精算现值)

1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
年龄
x
nE x
现时值
1
tE x
x+t
E n t x t
1
x+n 1 S
第二十九页，编辑于星期四：十六点 十七分。
4、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人 即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末 支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (z T ) v n n p x e n n p x
现值随机变量的方差：
Var(zT)v2nnpx(vnnpx)2
21
Ax:n
(Ax:1n)2
第二十八页，编辑于星期四：十六点 十七分。
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
(3) Pr(zT 0.9) Pr(vT 0.9)
= Pr(T
ln v
ln 0.9 )
P(T
ln0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
lnv 0.9 60
ln0.9 6ln v 0.9 v6 e6
第二十六页，编辑于星期四：十六点 十七分。
3、n 年定期生存保险
假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函(数x )关系
vt vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zTbTvT vvnT,,T Tnn
第三十页，编辑于星期四：十六点 十七分。

保险精算人寿保险的精算现值讲解

保险精算人寿保险的精算现值讲解

e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2

21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保 险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在 第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期 寿险的组合。
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期寿险
延期m年的终身寿险/延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险
4.1.2 n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付 保险金的险种，又称为n年死亡保险。
保险精算
第四章 人寿保险的精算现值
第四章 人寿保险的精算现值
4.1 死亡即付的人寿保险 4.2 死亡年末给付的人寿保险 4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保
险的精算现值的关系 4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
4.1 死亡即付的人寿保险
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
死亡年末给付的计算原理同死亡即刻给付 4.2.1 定期寿险 4.2.2 终身寿险 4.2.3 两全保险 4.2.4 延期寿险
延期m年的终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年两全保险
4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末副人寿 保险的精算现值的关系

人寿保险的基本概念及其精算学PPT(31张)

人寿保险的基本概念及其精算学PPT(31张)
受益人是指人身保险合同中由被保险人或 者投保人指定的享有保险金请求权的人，投保 人、被保险人可以为受益人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。

新编第二章 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)资料PPT课件

新编第二章 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)资料PPT课件

5、精算现值（Actuarial Present Value）的定义
？ 将保险人未来随机给付“现值”的数学期望，称为精算现值。依据收支相等
（或等价交换）的原则，又将精算现值称为趸缴纯保费。 （指签单时刻）
6、涉及的变量及生命函数：
X ：新生儿寿命， T (x) ： (x) 的余命， K (x) ： (x) 的取整余命，
x
s(x) Pr(X x) ， s(x) e0 sds ，
t px 1 t qx ， fT (t) t pxxt ，
t qx P rT[ x( )t ，]
x
s( x) s(x)
第一节 离散型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后 死亡， K(x) [T (x)] ，在死亡的保单年度末给付bK 1 ，则给 付的现值随机变量为： Z K 1bK 1 （离散型随机变量）。 （以下讨论中总假设 bK 1 1，利率不变：1 i e ）
对等
2、从保险人角度看
纯保费（购买） 保险利益（保险金）
收入
- - -毛- 保费
附加保费
费用附加 利润附加 安全附加
支-出- - -
3、从保险人角度看,收入与支出的不确定性
收入的不确定 ---- 缴费年限、是否退保、缴费总额等均不确定。
支出的不确定 ---- 保险金是否给付、给付时间、费用支出等均不确定。
n
t
0
fT
(t)dt
n 0
e t
t
pxxt dt
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
en 2 t
0
fT
(t)dt

第三章 人寿保险的精算现值

第三章 人寿保险的精算现值
1
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？

人寿保险的精算现值

人寿保险的精算现值

（2）给付现值函数Z
Z= 1* ,k=V 0k,1 1,2,…n-1
0 ,其他
16
(3)K、Z的分布律
K
0 1 2 ... n-1
Z
v v2 v3 ... vn
P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx
17
A 1 x : n E Z v * q x v 2 * 1 |q x . . . v n * n 1 |q x
2
• 定期人寿保险 • 终身人寿保险 • 两全保险 • 生存保险 • 定额受益保险 • 变额受益保险
• Term life insurance • Whole life insurance • Endowment insurance • Pure endowment insurance • Level benefit insurance • Varying benefit insurance
• 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 – 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保 险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一 个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额 也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余 寿命分布。
• 被保障人群的大数性 – 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的 原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
30
连续型的人寿保险模型
基本思路: • 确定随机变量T(x)简写为T • 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT • 精算现值=给付现值函数的期望
趸缴纯保费=E（ZT）
31
n年定期保险的趸缴纯保费
• （x）投保连续型的保额为1单位元的n年定 期寿险，其有关函数:
bt= 1(t≤n)
0 (t>n)

第三章___人寿保险的精算现值

第三章___人寿保险的精算现值
l 100张保单的未来赔付支出总现值
l 平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
PPT文档演模板
第三章___人寿保险的精算现值
基本符号
l
—— 岁投保的人整值剩余寿命
l bk+1——保险金在死亡年末给付函数 l vk+1 ——贴现函数 l zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
l 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
l 精算现值（包含两层含义）：
l 保险赔付在投保时的期望现值
l 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求 期望值
l 精算现值=趸缴净保费
l 由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第三章___人寿保险的精算现值
n年定期保险的趸缴净保费
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
PPT文档演模板
第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险(一年递增一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
PPT文档演模板
第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险（连续递增）
l 给付现值随机变量
l 在UDD假设下，有
l当
时，相当于连续寿险的趸缴纯保费
PPT文档演模板
第三章___人寿保险的精算现值
例3.7
l 某人在30岁时投保了50 000元30年期两全保险， 设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表 （1990-1993年，男女混合表），求这一保单 的趸缴净保费。
l 其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死 亡赔付50 000元，后20年死亡赔付30 000元， 满期存活给付20 000元。求这一保单的趸缴净 保费。

第四章 人寿保险的精算现值(2013.3.27)

第四章 人寿保险的精算现值(2013.3.27)

v vt ,t n
t
vn ,t n
第四章 人寿保险的精算现值
人寿保险精算现值概述
一、什么是人寿保险？
狭义——是以被保险人在保障期内是否死亡
作为保险事故的一种保险
广义——是以被保险人的生命作为保险事故
的一种保险。它包括以保障期内被保险人死
亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期
内被保险人生存为保险事故的生存保险和两
全保险
本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值
二、终身寿险的精算现值 1.定义——什么是终身寿险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则
bt 1, t 0
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0
3.赔付现值变量
Zt bt .vt vt , t 0
寿险精算
18
4.趸缴纯保费的厘定
寿险精算
26
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
e 2 t
m
fT
(t )dt

E(zt
)2
•记
2
m
Ax

m
e2 t
fT
(t )dt
• 所以方差等价于
Var(zt )

2 m
Ax
(m
Ax )2
寿险精算
27
• 延期m年的n年定期寿险：

e 60 t 1 dt
0
60

e 60 2 t
0
1 60
dt

( Ax )2
1 e60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2

《寿险精算现值》幻灯片

《寿险精算现值》幻灯片

位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用IA 表示这种保险的现值，则 x
IA x
(t 1)vt1t qx
t0
1 vxlx
(t 1)vxt1dxt
t0
1 Dx
(t 1)Cxt
t0
1
Dx
Cxt
t0
Cx1t
t0
Cx2t
t0
1 Dx
Mxt
t0
引进转换函数：Rx Mxt t0
《寿险精算现值》幻灯片
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
保费:是投保人购置保险产品支付的价格，它是由保险公司的精算师根据保险 产品的本钱、利润目标、市场竞争因素等制定的。理论上，保险费又称为总保费或 毛保费，可以分为净保费和附加保险费两局部。
1
vt
t
px
x
t
dt
k 0
v p 1 k s
0
ks x
xk sds
k 0
vk 1 k
px
v p 1 s1
0
s xk
xk sds
k 0
在死亡均匀分布假设下，有
p q s xk xk s
xk
0 s 1
then
Ax
vk 1 k
px
qxk
k 0
1vs1ds i
0
Ax .
2、定期寿险
x:n
x:n
,where
n1
2A1 x:n
e2k1 k qx

保险精算课件 第3章寿险精算现值

保险精算课件 第3章寿险精算现值
0 k= 0 k=
ω−x− 1
ω−x− 1
延期m年的 延期 年的n 年的 年定期寿险 延期m年的 延期 年的 终身寿险 n年期两全 年期两全 保险
A =A m
1 xn :
1 xm n : +
−A
1 xm :
1 xm :
m
A = A −A x x
1 xn :
A: = A +A xn
1 xn :
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 延期m年的 延期 年的n 年的 年期两全保险
k+ 1
(x) 的1单位元 年两全保险的精算现值为 单位元n年两全保险的精算现值为 单位元
A:n =∑ ⋅ k q +v ⋅ n p v x x x
k+ 1 n k= 0
n− 1
=A +A
1 x:n
1 x: n
其中 A 精算现值。 精算现值。
1 x: n
表示1单位元给付纯生存险的 表示 单位元给付纯生存险的 单位元给付
☆两全保险现值随机变量的方差 为两全保险现值随机变量， 设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 为两全保险现值随机变量 年 定期现值随机变量， 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 年纯生存保险现值 随机变量， 不会同时发生， 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
V r(Z) =V r(Z +Z ) a a 1 2 =V r(Z )+V r(Z )−2E Z )⋅ E Z ) a 1 a 2 ( 1 ( 2
1. 终身寿险
对 (x 的1单位元死亡年末赔付终身寿 ) 表示。 险，其精算现值以 A 表示。 x 记 K(x) =k 为 x岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 A x
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

=
n 0
vt
t
pxuxt
dt
=
n 0
e
t t
pxuxt
dt
• v e ,δ 为利力。
2020/5/14
33
fT
(t)
F
' T
(t
)
s'
(x t s(x)
)
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t pxxt
ln(1 i) 1 e
1 i
2020/5/14
34
2020/5/14
5
人寿保险的性质
• 保障的长期性
– 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息） 成为不容忽视的因素。
• 保险赔付金额和赔付时间的不确定性
– 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保 险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一 个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额 也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余 寿命分布。
– 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
– 假定三：保险公司可以预测将来的投资收益 （即预定利率）。
2020/5/14
8
纯保费厘定原理
保费净均衡原则
– 净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数 场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值.
31
n年定期保险的趸缴纯保费
• （x）投保连续型的保额为1单位元的n年定 期寿险，其有关函数:
bt= 1(t≤n)
0 (t>n)
vt= vt
ZT= 1*vT T≤n 0 T＞n
• 趸缴纯保费用 A 1x:表n] 示。
2020/5/14
32
1
• Ax:n]
• •
•
=E(ZT)=
n
0 zt fT (t)dt
• P48:例4.1.1
设生存函数 s( x) (01≤x<1x00),年
利率为0.1,计算:
100
1
A30:10 ]
2020/5/14
35
终身寿险
•
Ax
表示（x）投保终身寿险，保险金额为1
元，死亡时立即给付保险金的趸缴纯保费。
Z bT vT t≥vT 0
Ax =
0 zt fT (t )dt
=
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
2020/5/14
11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
n 1
v k 1 k | qx
k 0
A1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 x:1 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A1 x:1
cx
vqx
2020/5/14
18
• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验生 命表CL1（2000-2003）和利率6%, 计 算：
20
两全保险的趸缴纯保费
• Ax:n] 表示（x）投保保险期限为n年，保 险金额为1元的两全保险的精算现值。
• （1）K • （2）Z= 1*vk+1 k=0,1,2 …n-1
1*vn k≥n
2020/5/14
21
（3）K、Z的分布律 k 0 1 2 … n-1 ≥ n Z v v2 v3 … vn vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx npx
m1
m
A1
| x:n]
vk 1 qx
vk 1 qx vk 1 qx
k m
k|
k 0
k|
k 0
k|
m n 1
m1
vk 1 pxqxk vk 1 pxqxk
k 0
k
k 0
k
A1 x:m n ]
A1 x:m ]
2020/5/14
25
延期m年的终身寿险 m| A表x 示(x)投保延期m年保险金额为1单
m | x:n]
1
1
x:m] xm:n]
2020/5/14
28
离散型的人寿保险模型 各种寿险趸缴纯保费计算公式小结
（P60）
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
2020/5/14
29
4.1连续型的人寿保险模型（P46）
• 死亡即刻赔付 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意
n 1
EZ
v k 1 k | qx
k 0
+ vn* npx
=
A1 x:n
]+
A1 x:n]
2020/5/14
22
• 例：设（35）购买离散型保额为10000 元的5年期两全保险，年利率i=6%,利用 附表1计算该保单的趸缴纯保费。
2020/5/14
23
延期寿险的趸缴纯保费
延期m年的n年定期人寿保险
2020/5/14
12
4.2 离散型的人寿保险模型（P56）
• 保险金死亡年末赔付 • 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的
当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一 个离散随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的整值剩 余寿命加一。
2020/5/14
13
思路方法 • 引入随机变量K • 写出关于随机变量K的给付现值函数
• ZT= 0 T≤m
•
1*vT T＞m
m
|
A x
m zt fT (t)dt
m
e tt
pxuxt dt
0
e t t
pxuxt
dt
m 0
e t t
pxuxt dt
1
Ax Ax:m]
2020/5/14
P53： 例4.1.4 （1期寿险，保险
金额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴
纯保费用 表示。 1 A m | x:n]
1
mn
m A | x:n] m zt fT (t)dt
mn 0
e t t
pxuxt dt
m 0
e t t
pxuxt
dt
1
1
Ax:mn] Ax:m]
2020/5/14
P52:4.1.9
40
• 若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保 险金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。 趸缴纯保费用 m| A x表:n]示。
0
e
t t
pxuxt
dt
2020/5/14
36
• 例题:4.1.2
• 设（x）投保连续型的保险金额为1元的终 身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数
• fT (t) = 1/60 , 0<t<60 ，利力为δ。
•
0 , 其他
• 求趸缴纯保费。
2020/5/14
37
两全保险的趸缴纯保费
• Ax:n] :表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内 死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n 年末支付满期保险金1元的趸缴纯保费。
• (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。
• (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
2020/5/14
19
终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保 险期限为终身，死亡年末给付的寿险的
趸缴纯保费。
Ax EZ
vk 1 k | qx
k 0
• 将上例定期寿险改为终身寿险
2020/5/14
时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。
2020/5/14
30
连续型的人寿保险模型
基本思路: • 确定随机变量T(x)简写为T • 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT • 精算现值=给付现值函数的期望
趸缴纯保费=E（ZT）
2020/5/14
• 则：ZT= 1*vT T≤n
vn T＞n
•
Ax:n]
=
E（ZT）= n
0
zt
fT (t)d+t
vn
p nx
•
=
1
1
Ax:n] Ax:n]
2020/5/14
38
延期寿险的趸缴纯保费 P52
•m | Ax:表示（x）投保延期m年的终身寿险，保 险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的趸 缴纯保费，则：
A1
m | x:n]
表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险金
为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。
（1）K
1, k=m,1,2,…m＋n-1
= bK 1 0, 其他
（2）给付现值函数Z
Z= 1* vk+1,k=m,1,2,…m＋n-1
0 , 其他
2020/5/14
24
m n 1
m n 1
E(Z ) bk 1vk 1k|qx
2020/5/14
15
定期寿险的趸缴纯保费
A1 x:n
表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为
1单位元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。
（1）随机变量为K. k=0,1,2,…n-1,n,n+1......
bK=1 1,k=0,1,2,…n-1