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精算学在人寿保险精确定价中的方法与实践引言：人寿保险是一种金融保险产品，为个人或家庭提供在被保人身故或特定健康状况发生时的经济保障。
精算学作为保险精确定价的学科，通过运用数学、统计学和概率论等方法，对人寿保险的风险进行评估、估计和管理。
本文将探讨精算学在人寿保险精确定价中的方法与实践。
一、寿险产品定价的基本原理寿险产品的定价是指根据保险公司的风险承受能力和经验数据，对保费进行测算和核算的过程。
在精确定价中，精算师需要考虑以下几个方面：1. 死亡率：精算师通过研究大量数据和经验分析，对保险期间内被保险人的死亡率进行估计。
根据不同年龄、性别和健康状况等因素，死亡率的表现会有所不同。
2. 利率：利率是影响保险产品定价的关键因素之一。
保险公司需要根据经济环境和投资收益预期来确定合适的利率水平。
3. 保险金额：保险金额是指被保险人在保险期间内享受到的保险保障金额。
精算师需要综合考虑被保险人的需求、风险承受能力和保险公司的经济实力等因素，来确定合适的保险金额。
二、精算模型与方法1. 人寿保险精算模型人寿保险精算模型是利用数理统计学和概率论等理论，通过建立数学模型，对保险公司的经验数据进行分析和预测的方法。
常见的人寿保险精算模型包括：（1）Lee-Carter模型：该模型是一种经典的死亡率预测模型，通过分析历史死亡率数据和人口统计数据，预测未来死亡率的变化趋势。
（2）Cox风险模型：该模型是一种用于估计被保险人生存时间和死亡风险的模型。
通过建立被保险人个体的生存函数和死亡风险函数，对保险公司的风险进行量化。
（3）利用马尔科夫链的模型：该模型通过建立状态转移概率矩阵，对被保险人的状态变化进行建模。
可以用于分析被保险人的年龄、性别、健康状况等因素对保险风险的影响。
2. 精算方法（1）数理统计方法：数理统计是精算学的核心方法之一。
精算师通过收集和分析大量的历史数据，运用概率论和统计学的方法，对未来的风险进行预测和估计，从而对保险产品的保费进行定价。
北京师范大学珠海分校应用数学学院寿险精算数学教案10数学精算方向2012年秋周伟2012/9/1寿险精算教案周伟2012年秋应用数学学院10级数学与应用数学专业精算方向周一 5，6节周三 3，4节单周五 3，4节丽泽楼B203课程相关：（1）要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式，在练习的过程中加深理解和记忆（2）计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不能用手机代替计算器（3）教材：寿险精算中国精算是协会组编中国财政经济出版社（4）参考书：寿险精算数学王燕中国人民大学出版社（5）预习看教材，上课认真听讲，复习看笔记，认真完成练习（6）概率基础很重要，注意温习课程考核：（1）平时30分，期中考试30分，期末考试40分。
（2）平时30分中包含考勤，作业，网上练习，思考题（问题探究）时间星期一星期二星期三星期四星期五上午1，2微积分继教2-A2043，4建模 A10310数学建模 B20210信息寿险精算 B20310数学精算微积分继教（6-11）C305寿险单B203下午5，6寿险精算B203建模综合B106 单10数学双10信息微积分继教2-C4037，8高数综合B103高数单综合B103微积分继教（6-11）C301绪论保险精算学的产生与相关概念为了准确地评估和控制风险，精算学得以产生和发展。
人类面临许多严重的风险事故，可能会使全家突然陷入经济困境。
个人通常无法预测和避免风险事故的发生，但是可以通过风险转移的方式将风险事故可能造成的财务后果降到可以接受的程度。
例10000人为了转移1年内死亡后家庭陷入经济困境的风险，每人出资100元，共计筹款100万，假设一年内有一人死亡，获得100万解决家庭经济问题。
风险转移的实质是将具有相同风险的个人聚合成一个团体，团体成员的损失共同分担，这就实现了个人风险向团体的转移。
作用原理类似与物理学中的压力与压强的关系。
另一方面，将风险聚合起来有利于风险的预测和控制。
中南大保险学：第十二章保险精算（含答案）一、填空题1、寿险精算的两个基础是___、___。
2、寿险精算的三个要素是___、___、___。
3、D x ＝___，C x ＝___。
4、N x ＝ ___，M x ＝ ___。
5、S x ＝ ___，R x ＝___。
二、名词解释1、大数法则2、生命表3、利息表4、换算函数表5、责任准备金6、保险精算学7、寿险精算学8、非寿险精算学三、问答题1、寿险精算和非寿险精算的基本任务有哪些?2、“大数”的测定有何作用?3、为什么要区分理论责任准备金和实际责任准备金?4、保险精算学有哪两大组成部分?5、保险精算的产生以什么为标志?6、保险精算学是什么时候引入我国的?7、保险精算的基本任务有哪些?8、保险精算的基本原理是什么?9、何为收支平衡（相等）原则?10、理论责任准备金与实际责任准备金的区别何在?11、有哪几种收支平衡等式?12、常见的有哪几种大数法则?13、非寿险精算的基本内容是什么?14、非寿险费率的厘定方法是什么?15、大数的测定有何作用?16、什么是财务稳定性分析?17、如何决定再保险中的自留额与分保额?18、寿险精算的基本内容是什么?19、寿险精算主要解决什么问题?20、何为单生命保险和多生命保险?21、寿险精算的思想方法是什么?22、精算现值的含义是什么?23、符号l x 、d x分别表示什么?24、符号p x 、q x分别表示什么?25、符号t p x 、t q x分别表示什么?26、1＋i ， v ＝（ 1＋i ）－1分别是什么?27、（1＋i ） t ， v t ＝（ 1＋i ）－ t分别是什么?28、常用的寿险趸缴纯保费的计算公式有哪些?29、常用的年金保险的趸缴纯保费的计算公式有哪些?30、常用的均衡纯保险费的计算公式有哪些?附：参考答案一、填空题1、利息理论（利息表）、寿命分部理论（生命表）2、利率、死亡率、费用率二、名词解释1、对于大量的随机现象（事件），由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
保险精算学与保险经济学中保险产品定价之比较保险产品定价是保险精算学和保险经济学重要的研究内容，研究二者的异同对于丰富保险学理论、促进保险发展具有一定的理论意义和应用价值。
本文从定价数理基础、原理等方面对其异同做了尝试性的探索。
【关键词】保险产品定价保险精算学保险经济学精算一般是指运用数学、统计学、金融学、保险学以及人口学等学科知识和原理，定量解决工作，尤其保险经营管理中的实际问题，进而为决策提供科学依据。
精算和保险的结合形成保险精算，保险精算是精算学的重要组成部分。
保险经济学是经济学的一个分支，运用经济学原理来分析、研究关于保险领域问题的一门学科。
从微观层面来看，保险经济学研究个人、保险人、保险中间人、保险监管者在市场中的行为决策，如何在有限资源下达到效用最优。
从宏观层面来看，保险经济学研究保险在整个国民经济中的作用及影响。
在这两个既有联系又有区别的学科中，保险产品定价是它们共同的重要内容，究竟这两门学科中保险产品定价有何异同，这正是本文所要尝试探讨的问题。
一、保险定价的数理基础（一）保险精算学中保险定价的数理基础大数定律在保险定价中所起的作用主要有以下几个方面：一是利用贝努里大数定律和泊松大数定律来估计风险损失发生的概率；二是利用大数定律来分散和降低风险；三是大数定律是衡量保险公司财务稳定性的数理基础；四是大数定律也是再保险的数理基础。
保险精算一般分为寿险精算和非寿险精算，它们具有不同的数理基础。
寿险保费的计算涉及的数理基础主要有概率论与数理统计、人口数学、利息理论和生存模型等。
非寿险保费的计算比寿险保费计算更为复杂，因为非寿险中损失次数和损失额都是随机变量，其涉及的数理基础主要有概率论与数理统计、信度理论等。
（二）保险经济学中保险定价的数理基础保险经济学的建立与发展有赖于不确定情况下的经济分析工具的发展。
金融定价模型，如投资组合选择模型、资本资产定价模型、最佳证券投资理论、跨时期资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价理论、折扣的现金流模型等，在保险定价中起着重要的作用，也是保险经济学中保险产品定价的重要的数理理论基础。
21世纪保险精算系列教材寿险精算学
21世纪保险精算系列教材寿险精算学：
一、简介
1、意义：寿险精算学是保险公司在实施寿险业务和制定寿险产品时，需要掌握并运用的精算技术，其目标旨在获得稳定的精算结果。
2、内容：本系列教材包括寿险精算基础知识、寿险产品设计、保费计算、条款拟定等各方面。
二、寿险精算基础知识
1、基础知识体系：此部分主要介绍了精算师的基本概念、精算的基本技术、精算的常用模型和寿险的总体概况，以及寿险精算的经济意义等。
2、工具：此部分介绍了常用的精算软件、精算计算器和其他一些专业的精算工具，主要用于计算和绘制精算图表。
三、寿险产品设计
1、基础知识：此部分介绍了寿险产品主要结构和功能，以及寿险报喜奖励计划的基本原理，如保单费率、给付条件、分红等。
2、设计方法：此部分介绍了寿险产品的设计流程、技术方法及其相关的精算工具，以及如何使用精算模型为寿险产品设计以及其他后续精算研究。
四、保费计算
1、基础知识：此部分介绍了寿险保费计算的基本原理和方法，以及如何使用精算软件和一些相关计算工具来进行计算和结果分析。
2、计算流程：此部分介绍了保费计算流程比较，以及如何实施保费计算手续、估算参数等。
五、条款拟定
1、基础知识：此部分介绍了寿险条款拟定的原则和技术，如保险条款的编制、条款精算原理与实践、条款评估与审查等。
2、实施方法：此部分主要介绍了拟定条款的实施流程，以及如何使用相关工具进行评估审查，从而保证条款的准确性。
第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。
假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。
[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。
2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。
[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。
[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。
[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。
5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。
A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。
6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。
A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。
A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。
【解3.1】因为()()ln ()Pr Pr Pr T z F z Z z e z T δδ-⎛⎫=≤=≤=≥ ⎪-⎝⎭且由条件知剩余寿命服从De Moivre 分布,即()0,70T U ，故70ln ln 1ln ()Pr 17070z z z F z T dt δδδ-⎛⎫=≥==+ ⎪-⎝⎭⎰密度函数等于分布函数求导()ln 117070Z z f z zδδ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭已知0.05δ=，0.6z =代入上式得()0.60.48Z f =【解3.2】（40）的剩余寿命T 服从均匀分布（0，70），其生存函数为407070t tP -=，070t ≤≤由题意，可得ln 70ln ln ()Pr()Pr()Pr()ln 70t z z v F z Z z v z t v-=≤=≤=≥=Z 的90％置信上限即为使()0.9F z =的z 值，即ln 70ln 0.970zv -=解得exp[(70700.9)ln ]0.84z v =-⨯=【解3.3】在恒定死亡力和恒定利息力场合，容易验证趸缴净保费等于x A μδμ=+在调整以前有0.60.05μμ=+则求得0.075μ=调整以后0.0750.020.095μ'=+=，0.04δ'=则调整后的趸缴净保费为0.0950.7040.0950.04x A μμδ'===''++【解3.4】（1）()()tx A E Z E v ==,则()()2200.055001 1.250.031252500.0312522Pr[0]t x T x tt t A e f t dtedte dte Y δ∞-∞--+⎛⎫∞- ⎪⎝⎭====≥⎰⎰⎰其中~( 1.25,25)Y N -，则()1.25Pr(0)Pr(0.25)10.255Y Y +≥=≥=-Φ()0.031252[10.25]0.83x A e =-Φ=（2）因为22()x x Var Z A A =-，其中()()()2220.100.15001 2.50.1252500.12522[10.5]0.70t x T x tt t A e f t dte dte dte ∞-∞--+⎛⎫∞- ⎪⎝⎭====-Φ=⎰⎰⎰所以222()0.700.830.014x x Var Z A A =-=-=【解3.5】给付函数和贴现函数都已知，容易得到现时值函数为1(10.2)t t Z b v t -==+密度函数已知()()40400.02,050T t f t p t t μ=+=≤≤则趸缴净保费等于()()505000ln 10.21110.020.2410.2500.210t E Z dt t +⎛⎫=⨯=== ⎪+⎝⎭⎰两倍利息力下，趸缴净保费等于()()50502200110.020.020.091(10.2)0.210.2E Z dt t t -=⨯=⨯=++⎰所以现值变量的方差等于222()()[()]0.09090.23980.0334Var Z E Z E Z =-=-=【解3.6】一般情况下，如果剩余寿命T 服从()0,ω的均匀分布，即1(),0T f t t ωω=≤≤可以得到()0111t x T tt A e f t dte dtev a δωδωδωωωωδωδω∞---==-=-==⎰⎰本题中，T 服从（0，60）的均匀分布，故所求的净保费为604040100010001000666.76060a A =⨯=⨯=【解3.7】令3z 为()x 岁的人投保期末赔付1的n 年定期生存保险的现时值变量，根据已知条件有3()0.20.450.09n n x E z v p =⋅=⨯=223()0.040.450.018n n x E z v p =⋅=⨯=根据定期两全保险与定期寿险和定期生存险的关系，有213z z z =+则213123()()()()()()0.350.090.26E z E z E z E z E z E z =+⇒=-=-=[][]222213222212322()()()()()()()()0.060.0180.350.1645Var z E z E z E z E z Var z E z E z =+-⇒=-+=-+=推导出()[]2221110.16450.260.0969Var Z E Z E Z ⎡⎤=-=-=⎣⎦【解3.8】因为死亡服从De Moivre 分布，故40岁的人剩余寿命的密度函数为()160T f t =，060t ≤≤由于延期20年，所以赔付现值变量为0,020,2060TT Z e T δ-≤≤⎧=⎨<≤⎩所以，0z =点为重概率点，该点概率值为20201Pr(0)Pr(020)()603T Z T f t dt ==≤≤===⎰【解3.9】该保单可以视为一个10000元的终身寿险和10000元的20年定期寿险的组合，则该保单趸缴净保费为14545:201000010000A A +已知450.25A =，下面求145:20A 的值。
