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A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
a 2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
Ⅵ
2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下,任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
z
r
x
i
y
j
z
k
(
x
,
y
,
z
)
C
Q
R
r
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
o
O
M By
xA
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
ab b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
设 a ( ax , ay , az ),
b (bx ,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax
bx
,ay
by
, az
bz
)
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当
ar
r 0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
例2.已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
规定: 零向量与任何向量平行 ; 向量共线：当两个平行向量的起点放在同一
点时，它们的终点和公共起点应在一条直
线上 .因此，两向量平行又称两向量共线. 向量共面：当把 k(k 3)个向量的起点放在同一 点
时，如果 k 个终点和公共起点在一个平面 上 . 就称这 k 个向量共面.
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
解得
故所求点为
M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考:
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
平行向量： 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ;
a 0， 故 0， 即 .
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o 由, 三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
向量及其线性运算
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
r b
平行于
ar
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
r b
ar.
证 充分性显然；
当
必要性
设
b‖
a
取
b
与
a同向时
取正值，
b a ,
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
的唯一性.
a同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
两个向量的平行关系
定理
设向量
ar
0，那么向量
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
四、利用坐标作向量的线性运算
由勾股定理得
r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例3.在 z 轴上求与两点
及
离的点 .
解: 设该点为M (0,0, z),因为 M A MB ,
等距
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
AHale Waihona Puke 得OM11
(OA
OB
B
即
1
1
( x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2 )
M
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
2. 向量的减法
a
一般地，任给向量
uuur AB
及点 O
uuur uuur uuur uuur uuur AB AO OB OB OA
三角不等式
3、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, a与a同向，| a| | a|
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a反向，| a|| | | a|
