九年级数学上册课件(北师大版)： 2.4 用因式分解法求解一元二次方程习题课件

∴x1=1，x2=
（2）原方程可变形为（x+1）2-6（x+1）=0. （x+1）（x+1-6）=0，即（x+1）（x-5）=0. x+1=0，或x-5=0. ∴x1=-1，x2=5.
新知2 用因式分解法解形如x2-(a+b)x+ab=0(a，b为常数)
的一元二次方程
由于方程x2－（a＋b）x＋ab=0的左边可以分解成（x－a） （x－b），所以，这个方程的解为x1=a，x2=b.
广东学导练 数学 九年级全一册 配北师大版
上册 第二章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
ห้องสมุดไป่ตู้
课前预习
1. 分解因式：
x2-y2=___(_x_+_y_)_(_x_-_y_)____；x2-3x+2=___(_x_-_1_)_(_x_-_2_)____；
x2+2x+1=___(_x_+_1_)_(_x_+_1_)____；ax2+x=__x_(_a_x_+_1_)________.
举一反三
解方程：x2-10x+9=0. 解：原方程可变形为(x-1)(x-9)=0. ∴x-1=0或x-9=0. ∴x1=1，x2=9.
名师导学
新知1 因式分解法
1. 定义：利用因式分解的手段，将一元二次方程一边分 解成两个一次因式的乘积，另一边为0，这种解一元二次方程 的方法称为因式分解法.
2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为零.（2）将方程的左边分解为两 个一次因式的乘积.（3）令两个因式分别为零，得到两个一 元一次方程.（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解.

较适当的方法为( A )
A. ①直接开平方法, ②因式分解法, ③公式法
B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法
C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法
D. ①直接开平方法, ②公式法, ③因式分解法
练习&巩固
2. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0;
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x - 2) = 0
(x+1+5)(x+1-5)=0
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
(x + 6)(x - 4) = 0
x1 = -2，x2 = 2.
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -6，x2 = 4.
例题欣赏
例题&解析
☞
例2.用适当的方法解方程：
第二章
一元二次方程
4. 用因式分解法求解一元二次方程
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境&导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，
看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，
不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较

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解：(1)2 4； (2)把－4 分解成 1×(－4)，且 1＋(－4)＝－3.∴x2 －3x－4＝(x＋1)(x－4)＝0， ∴x＋1＝0 或 x－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4.
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大家好
1
第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2
◎学习目标 1. 会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单 的数字系数的一元二次方程． 2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方 程的解法，体会解决问题方法的多样性．
3
◎知识梳理 1. 当一元二次方程的一边为______0_______，而另 一边易于分解为两个__一__次__因__式_____的乘积时，我们就可 以采用分解因式法解一元二次方程．
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3. 用因式分解法解下列方程： (1)9x2－4＝0； 解：x1＝32，x2＝－23； (2)(x＋1)2＝4x(x＋1)． 解：x1＝－1，x2＝13.
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4. 用适当的方法解下列方程： (1)(2x－3)2＝4； 解：x1＝2.5，x2＝0.5； (2)3x2－6x＋1＝0； 解：x1＝3＋3 6，x2＝3－3 6；
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◎自主检测
知识点 ：因式分解法解一元二次方程
1. 方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
6
2. (2017·德州)方程 3x(x－1)＝2(x－1)的解为 ____1_或__23______．
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3. 用因式分解法解下列方程： (1)x2＋16x＝0； 解：x1＝0，x2＝－16； (2)5x2－10x＋5＝0. 解：x1＝x2＝1.

∴x1=0，x2=-16．
∴x1=x2=1．
想一想
先胜为快
• 已知一个数的平方等于这个数的3倍，求这个数.
解：设这个数是x，根据题意，得 x2=3x，即x2-3x=0，x（x-3）=0 解得x=0或x=3． 即这个数是0或3
独立
解下列方程
作业
（1）x2+x=0；
（2）（x-4）2=（5-2x）2．
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化 为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用因式分解法解下列方程吗？
1.x2-4=0;
解：（x+2）(x-2)=0 x1=-2，x2=2
2.(x+1)2-25=0.
用因式分解法求解一元二次方程
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏 ☞
因式分解法
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
因式分解法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2.（x+1+5）（x+1-5）=0 （x+6）（x-4）=0 x1=-6，x2=4

当 Δ=b2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两

4.解下列方程：
( ) ( ) (1)5 x2 - x = 3 x2 + x ;
x1 = 0, x2 = 4；
(3)( x - 2) ( x - 3) =12;
x1 = - 1, x2 = 6； (5)2 y2 +4 y = y +2.
x1
=
-
2,
x2
=
1； 2
(2)( x - 2) 2 =( 2x +3) 2 ;
你知道小亮这一步的依据吗？ 如果agb = 0.
那么a = 0,或b = 0. a=0或b=0包含了哪些情况？
(1)a = 0,b ? 0; (2)a ? 0,b 0; (3)a = 0,b = 0.
a=0且b=0呢？
二、探究新知
因式分解法
由方程x2 = 3x，得：
x2 - 3x = 0.
即x( x - 3) = 0.
x - 3 = 0,或x +2 = 0. x1 = 3, x2 = - 2.
四、随堂练习
(3)( 2x +3) 2 = 4( 2x +3) ;
解：原方程可变形为：
( 2x +3) 2 - 4( 2x +3) = 0. ( 2x +3) ( 2x - 1) = 0.
2x +3 = 0,或2x - 1 = 0.
31
x1
=-
2 , x2
=
. 2
(4)2( x - 3) 2 = x2 - 9.
解：原方程可变形为：
2( x - 3) 2 - ( x +3) ( x - 3) = 0. ( x - 3) ( x - 9) = 0.
x - 3 = 0,或x - 9 = 0. x1 = 3, x2 = 9.

用因式分解法求解一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0

人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。
目标 1
用因式分解法求解某些类型的一元二次方程
例2：用因式分解法解下列方程. (1) (x-2)2-(2x+3)2 =0；(2)(x+1)2-10(x+1)+25=0 解:(1)原方程可化为 [(x-2)+ (2x+3)][(x-2)- (2x+3)]=0, 即 (3x+1)(-x-5)=0, ∴3x+1=0 或 -x-5=0, 1 ∴x1=- , x2=-5. 3 (2)原方程可化为 (x+1-5)2=0, 即 (x-4)2=0, ∴ x-4=0, ∴ x1=x2=4.
目标 2
根据一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法
用适当的方法解一元二次方程.
(1) x2- 2x-8=0； (2)5(x2-x)=3(x2+x)
x1=4, x2=-2.
x1=0, x2=4.
人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。
本节课你都学到了什么？
布置作业：
习题2.7
第1题，第2题 ，第3题.
人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。
人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。
目标 1
用因式分解法求解某些类型的一元二次方程
小亮是这样解的:
由方程 x 2 3 x，得 x 2 - 3 x 0， 即x( x - 3) 0， x 0，或 x 3 0, x1 0, x2 3.
是提公因 式法的因 式分解噢！
人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。
目标 1
用因式分解法求解某些类型的一元二次方程
例1：用因式分解法解下列方程: (1) 5x2=4x; (2) x(x-2)=x-2.

因式分解，得
x5x 4 0.
x1
0，x2
4 5
.
移项，得
典例精讲
因式分解，得 于是得
简记：右化零，左分解， 两因式，各求解.
归纳因式分解法解一元二次方 程的步骤： （1）方程右边化为0； （2）将方程左边因式分解； （3）根据至少有一个因式为 零，得到两个一元一次方程； （4）两个一元一次方程的解 就是原方程的解．
平行四边形 一组 邻边 相等
矩形
菱形
一组 邻边 相等
正方形
一个 角为
直角
试着用一个图直 观地表示他们之 间的关系！
2. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多 少个等腰直角三角形？ 解：共有 8 个等腰直角三角形.
A
D
O
B
C
3. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4条
.
同学们拿出准备 好的正方形纸片， 折一折，观察并
思考.
针对训练 1. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点， 且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
F
C
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
10x - 4.9x 2 = 0
x (10-4.9x ) = 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10-4.9x = 0
至少有一个因式为零
因式分解法：

(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )