人教版九年级数学上册单课件-3公式法.ppt
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人教版九年级数学上册单课件-3公式法.ppt页数:19
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九年级数学公式法课件页数:8
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九年级数学解一元二次方程公式法页数:15
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九年级数学公式法课件页数:8
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九年级数学公式法课件页数:8
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新人教版九年级数学上册全册ppt课件
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
最新人教版九年级全一册数学培优课件第4课时 解一元二次方程(3)——公式法
返回目录
变式训练
4. 用公式法解方程:3x2-8x=2（x2-10）.
解：原方程化为x2－8x+20=0.
∵a=1，b=－8，c=20，
∴Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×20=－16<0.
∴此方程无实数根．
返回目录
分层训练
A组
5. 用公式法解方程5x2=6x-8时，a,b,c的值分别是（
A. 5，6，-8
9. 用公式法解下列方程：
（1）x（x+2
）=1；
返回目录
解：原方程化为 x2+2
∵a=1，b=2
∴Δ=b2-4ac=(2
x-1=0.
c=-1,
)2-4×1×(-1)=12＞0.
∴x=
∴
返回目录
(2)(x－1)(x+2)=6．
解：整理方程，得x2+x－8=0.
∵a=1,b=1,c=-8,
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-8)=1+32=33>0.
个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4
．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5
，所以原方程的解为x1=2，x2=5．请利用这种方法解下列方程
：
（1）（2x+5）2-（2x+5）-2=0；
返回目录
解：设2x+5=y，则原方程可化为y2-y-2=0.
【例2】用公式法解方程：x2+9=6x.
解：原方程化为x2-6x+9=0.
∵a=1,b=-6,c=9，
∴Δ=b2-4ac=（-6）2-4×1×9=0.
人教版九年级数学上册《因式分解法》PPT
(1) x2 9 0
(2) x2 2x 1 0
1.理解用因式分解法解一元二次方 程的基本思想，会用因式分解法解 一些一元二次方程； 2.灵活运用适当的方法解一元二次 方程，提高分析问题和解决问题的 能力.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法就叫因 式分解法.
温馨提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; 3.理论依据是“两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零.”
交流讨论
x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
感悟新知
快速回答下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 (3)(3x 2)(2x 1) 0
(4)x2 2x
x1 0, x2 2
y1 2, y2 3
x1
2新知尝试
用因式分解法解下列方程
1.x2 36 0 2.x2 6x 9 3.3x(2x 1) (4x 2) 0 4.(x 4)2 (2x 5)2
一次方程. （4）两个一元一次方程的解 就是原方程的解.
2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 因式分解法
公式法
3.x1
1,
x2
2 3
4.x1
2,
x2
4 3
这节课，你收获了什么？
这节课上，我学会了…… 这节课上，我感到最困难的是…… 这节课上，我感受最深的是……
小结
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
人教版九年级数学上 全册课件
3600cm2,得(100 2 x)(50 2 x) 3600
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
50cm
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周 角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置 关系， 圆和圆的位置关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面 积．
第二十五 随机事件与概率 本章内容是概率初步。教科书先以学生喜闻乐见的掷骰
解析：设应邀请x个队参赛，每个
队都要与其他(x-1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共 1 x(x 1) 场.
2
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
9
一 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果 要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x
新人教版九年级上册
数学
全册课件
各单元内容分析
第二十一章 一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
50cm
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周 角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置 关系， 圆和圆的位置关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面 积．
第二十五 随机事件与概率 本章内容是概率初步。教科书先以学生喜闻乐见的掷骰
解析：设应邀请x个队参赛，每个
队都要与其他(x-1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共 1 x(x 1) 场.
2
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
9
一 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果 要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x
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数学
全册课件
各单元内容分析
第二十一章 一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二
人教版九年级数学上册优质课件-公式法(共15张PPT)
新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
精编优质课PPT人教版九年级数学上册 课件： 公式法 (共15 张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
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会熟练应用公式法解一元二次方程．
7 121 7 11 精编优质课PPT人教版九年级数学上册课件：公式法(共15张PPT)(获奖课件推荐下载)
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2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
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用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
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会熟练应用公式法解一元二次方程．
7 121 7 11 精编优质课PPT人教版九年级数学上册课件：公式法(共15张PPT)(获奖课件推荐下载)
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人教版九年级数学上册一元二次方程的解法公式法优秀ppt
方程有两个相等的实数根方程没有实数根
x ( 2) 0 2 0
2
2
x1 x2
人教版九年级数学上册2一1.元2.二2一次元方二程 次的方解程法 的公解式法 公优式秀法ppt课件
2. 2
人教版九年级数学上册2一1.元2.二2一次元方二程 次的方解程法 的公解式法 公优式秀法ppt课件
用公式法解下列方程：
8
x1
x2
b 2a
2
7 2
7 4
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解 : a 0,当b2 4ac 0时,方程的根为:
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
又 x1 x2,
b
b2 4ac b
实数根吗
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w注意: w用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0.
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0是否有实数
根，完全取决于 b2 4ac 的符号。 若 b2 4ac 0 ，则方程有实数根；
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 .
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49﹥. 0
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
人教版九年级数学课件《公式法》
2a
写出一元二次方程的根.
b
(2)当∆=0时，代入求根公式： x1 x2
2a
写出一元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
巩固练习
用公式法解方程：
3x 6 x 2 0
2
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(2)=60. 6 60
b2 −4ac= − m−1 2 −4 −3 m+3
=m2 +10m+37
=m2 +10m+52 −52 +37
= m+5 2 +12.
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
链接中考
1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数
根，则实数m的取值范围是（ D
A．m≥1
C．m＞1
）
B．m≤1
D．m＜1
链接中考
2. 解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
−b± b −4ac 2±2 2
x=
=
＝1± 2，
2a
2
则x1=1+ 2, x2=1− 2.
4 2
2
2
由此可得
x
2
1
2.
2
x1
1
2
2， x2
1
2.
2
写出一元二次方程的根.
b
(2)当∆=0时，代入求根公式： x1 x2
2a
写出一元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
巩固练习
用公式法解方程：
3x 6 x 2 0
2
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(2)=60. 6 60
b2 −4ac= − m−1 2 −4 −3 m+3
=m2 +10m+37
=m2 +10m+52 −52 +37
= m+5 2 +12.
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
链接中考
1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数
根，则实数m的取值范围是（ D
A．m≥1
C．m＞1
）
B．m≤1
D．m＜1
链接中考
2. 解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
−b± b −4ac 2±2 2
x=
=
＝1± 2，
2a
2
则x1=1+ 2, x2=1− 2.
4 2
2
2
由此可得
x
2
1
2.
2
x1
1
2
2， x2
1
2.
2
人教版九年级上册数学课件
人教版九年级上册数学课件一、一元二次方程。
1. 定义与一般形式。
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项。
- 举例：x^2+3x - 4 = 0，这里a = 1，b = 3，c=-4。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
- 例如，对于方程(x - 2)^2=9，则x - 2=±3，解得x = 5或x=-1。
- 配方法。
- 步骤：先将方程化为x^2+bx = - c的形式，然后在等式两边加上((b)/(2))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2))^2，再进行求解。
- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
- 公式法。
- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 例如，解方程2x^2-5x+3 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 3，代入公式得x=frac{5±√((-5)^2)-4×2×3}{2×2}=(5±1)/(4)，解得x = 1或x=(3)/(2)。
- 因式分解法。
- 把方程化为(mx + n)(px+q)=0的形式，那么mx + n = 0或px+q = 0。
- 例如，解方程x^2-3x+2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
新人教版九年级数学上册《公式法》课件
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
二、探索新知 用配方法解方程： (1)ax2－7x＋3＝0 (x2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用 上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根 x1＝ －b＋ 2ba2－4ac，x2＝－b－ 2ba2－4ac(这个方程一定有解吗？什么情 况下有解？)
直接开平方，得：x＋2ba＝±
b2－4ac 2a
即
x＝－b±
b2－4ac 2a
∴x1＝－b＋
2ba2－4ac，x2＝－b－
b2－4ac 2a
由上可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a，b，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c 二次项系数化为 1，得 x2＋bax＝－ca
人教版数学九年级上册公式法课件
21.2.2 公式法
教学目标
一、知识与技能了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方
差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和
完全平方公式将多项式因式分解.
二、过程与方法培养学生的视察和联想能力，进一步了解换元的
思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解.
三、情感态度和价值观积极参加探索活动，并在此过程中培养自
∴方程有两个相等的实数根
∴x =
−b± b2 −4ac
2a
=
即
.
x = x = 3
2 3± 0
2
= 3
例题讲授
（3） 3 2 + 4 + 2 = 0
解：∵a = 3，b=4 ，c=2
.
∴△= 2 − 4=42 − 4 × 3 × 2 = −8 < 0.
∴方程无实数根.
根的判别式
例3: 若关于x的一元二次方程(m-3)x2-4x-1=0有实数根，
则m的取值范围是 m≥-1且m≠3 .
例题讲授
例4: 不解方程，判断下列方程根的情况.
（1）3x2+4x－3=0；
（2）4x2=12x－9;
（3） 7y=5(y2+1);
（4）x2+kx+k-2=0
巩固训练
1. 解下列方程：
（1）x2-4x-2=0；
∴方程有两个不相等的实数根
−b± b2 −4ac
6± 16
∴x =
=
=3±2
2a
即 x =5 ，x =
.
2
例题讲授
（2） 2 + 3 = 2 3
教学目标
一、知识与技能了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方
差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和
完全平方公式将多项式因式分解.
二、过程与方法培养学生的视察和联想能力，进一步了解换元的
思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解.
三、情感态度和价值观积极参加探索活动，并在此过程中培养自
∴方程有两个相等的实数根
∴x =
−b± b2 −4ac
2a
=
即
.
x = x = 3
2 3± 0
2
= 3
例题讲授
（3） 3 2 + 4 + 2 = 0
解：∵a = 3，b=4 ，c=2
.
∴△= 2 − 4=42 − 4 × 3 × 2 = −8 < 0.
∴方程无实数根.
根的判别式
例3: 若关于x的一元二次方程(m-3)x2-4x-1=0有实数根，
则m的取值范围是 m≥-1且m≠3 .
例题讲授
例4: 不解方程，判断下列方程根的情况.
（1）3x2+4x－3=0；
（2）4x2=12x－9;
（3） 7y=5(y2+1);
（4）x2+kx+k-2=0
巩固训练
1. 解下列方程：
（1）x2-4x-2=0；
∴方程有两个不相等的实数根
−b± b2 −4ac
6± 16
∴x =
=
=3±2
2a
即 x =5 ，x =
.
2
例题讲授
（2） 2 + 3 = 2 3
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方程有两个不相等的实数根： x b b2 4ac
2a
4 44 4 2 11 .
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
3.计算: △=b24ac的值;
4.代入:把有关数
例 2(2)2x222x10 这里的a、b、
c的值分别
解：a2,b2 2,c1
x
36 6 6 ,
24
8
5 x24x84x1 1
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1,b 0,c 3.
b2 4ac 02 413 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
6 x2x45 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 . a 2,b 4,c 5.
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
b x1 x2 2a
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
x22x40
解这个方程，得
x 2 2 2 4 1 4 2 2 0 1 5 ,
2 1
2
x11 5,x2 1 5(x不能为负数，舍
练习
（1）解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0; 5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1,b 1, c 6.
b2 4ac 12 416 25.
2 x2 3x10
4
解： a 1,b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
41 44.x 3 4 32,21
2
3 3x2 6x20
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 432 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
4 4x2 6x0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
bb24ac bb24ac x1 2a ,x2 2a ;
（2）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
b x1 x2 ;
归 纳 一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通 常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。 由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时， 方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
b2 4ac 42 4 25 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
则：方程有两个不相等的实数根
x b b 2 4 a c ( 4 )3 64 6
2 a
2 5
10
例 （ 24） x21 78x
解 ： 原 方 程 可 化 为 x 2 8 x 1 7 0
a1,b8,c17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b 2 4 a c ( 8 )2 4 1 1 7 4 ＜ 0
ax2 bx c 0 （a 0）. ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方
x2 b x
b
2
c
b
2
,
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
新课导入
一元二次方程的 一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
如果使用配方法解 出一元二次方程一般形
任何一元二次方程都可以写成一般形式
解一元二次方程
回顾旧知
利用配方法解一元二次方程 x2 x 7 0。 4
解： 移项，得 x 2 x 7 4
配方
x2 x122 74122
x
1 2
2
2
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
是什么？
△ b 2 4 a c ( 22 )2 4 2 1 0
则：方程有两个相等的实数根：
x1x2b22 2
例 （ 23 ） 5x23xx 1
解：原方程可化为： 5x2 4x10
a5 ,b 4 ,c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b 2 4 a ( c 4 ) 2 4 5 ( 1 ) 3 ＞ 0 6
2a
4 44 4 2 11 .
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
3.计算: △=b24ac的值;
4.代入:把有关数
例 2(2)2x222x10 这里的a、b、
c的值分别
解：a2,b2 2,c1
x
36 6 6 ,
24
8
5 x24x84x1 1
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1,b 0,c 3.
b2 4ac 02 413 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
6 x2x45 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 . a 2,b 4,c 5.
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
b x1 x2 2a
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
x22x40
解这个方程，得
x 2 2 2 4 1 4 2 2 0 1 5 ,
2 1
2
x11 5,x2 1 5(x不能为负数，舍
练习
（1）解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0; 5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1,b 1, c 6.
b2 4ac 12 416 25.
2 x2 3x10
4
解： a 1,b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
41 44.x 3 4 32,21
2
3 3x2 6x20
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 432 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
4 4x2 6x0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
bb24ac bb24ac x1 2a ,x2 2a ;
（2）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
b x1 x2 ;
归 纳 一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通 常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。 由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时， 方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
b2 4ac 42 4 25 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
则：方程有两个不相等的实数根
x b b 2 4 a c ( 4 )3 64 6
2 a
2 5
10
例 （ 24） x21 78x
解 ： 原 方 程 可 化 为 x 2 8 x 1 7 0
a1,b8,c17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b 2 4 a c ( 8 )2 4 1 1 7 4 ＜ 0
ax2 bx c 0 （a 0）. ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方
x2 b x
b
2
c
b
2
,
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
新课导入
一元二次方程的 一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
如果使用配方法解 出一元二次方程一般形
任何一元二次方程都可以写成一般形式
解一元二次方程
回顾旧知
利用配方法解一元二次方程 x2 x 7 0。 4
解： 移项，得 x 2 x 7 4
配方
x2 x122 74122
x
1 2
2
2
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
是什么？
△ b 2 4 a c ( 22 )2 4 2 1 0
则：方程有两个相等的实数根：
x1x2b22 2
例 （ 23 ） 5x23xx 1
解：原方程可化为： 5x2 4x10
a5 ,b 4 ,c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b 2 4 a ( c 4 ) 2 4 5 ( 1 ) 3 ＞ 0 6