青岛版九年级上册数学《用公式法解一元二次方程》2精品PPT教学课件
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初三数学上册用公式法解一元二次方程(第1课时)课件(新版)青岛版
初三数学上册用公式法解一 元二次方程（第1课时）课
件（新版）青岛版
学习目标：
1.能用配方法推导出一 元二次方程的求
根公式；
2. 理解公式法，会用公式法解数字系数 的一元二次方程。
•探究新知
•用配方法解一般形式的一元二次方程
•ax•2+bx+ c =•0 （•a≠ 0）
••解: 把方程两边都除以 •移项，得
•配方，得
•即
•探究新知
•∵ •a≠0, •∴4a•2＞0, •当
•≥0 •时
•特别提 醒
•即
这一步如何实现的
？
•一元二次方程 的求根公式
•探究新知
•一元二次程
•的
•求根公式：
• 利用这个公式，我们可以由一元二 •次方程中系数a、b、c的值，直接求得 •方程的解，这种解方程的方法叫做公式 •法。
•探究新知
因为负数不能开平 方
为什么
？
•精讲点拨
•例 1 解方程：x2-7x18=0 •例 2解方程： 2x2=9x
•提示： •１.先确定a、b、c的值，注意符号，计算 b2-4ac的值； •２.例1直接运用公式；例2应先化为一般形 式。 •３．例２中常数项ｃ＝０，
•跟踪练习
• 1．用适当的数填空：
• ①、x2+6x+
=（x+ ）2；
• ②、x2－5x+
=（x－ ）2；
• ③、x2+ x+
=（x+ ）2；
• ④、x2－9x+
=（x－ ）2
• 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，
其结果为_________．
• 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形
件（新版）青岛版
学习目标：
1.能用配方法推导出一 元二次方程的求
根公式；
2. 理解公式法，会用公式法解数字系数 的一元二次方程。
•探究新知
•用配方法解一般形式的一元二次方程
•ax•2+bx+ c =•0 （•a≠ 0）
••解: 把方程两边都除以 •移项，得
•配方，得
•即
•探究新知
•∵ •a≠0, •∴4a•2＞0, •当
•≥0 •时
•特别提 醒
•即
这一步如何实现的
？
•一元二次方程 的求根公式
•探究新知
•一元二次程
•的
•求根公式：
• 利用这个公式，我们可以由一元二 •次方程中系数a、b、c的值，直接求得 •方程的解，这种解方程的方法叫做公式 •法。
•探究新知
因为负数不能开平 方
为什么
？
•精讲点拨
•例 1 解方程：x2-7x18=0 •例 2解方程： 2x2=9x
•提示： •１.先确定a、b、c的值，注意符号，计算 b2-4ac的值； •２.例1直接运用公式；例2应先化为一般形 式。 •３．例２中常数项ｃ＝０，
•跟踪练习
• 1．用适当的数填空：
• ①、x2+6x+
=（x+ ）2；
• ②、x2－5x+
=（x－ ）2；
• ③、x2+ x+
=（x+ ）2；
• ④、x2－9x+
=（x－ ）2
• 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，
其结果为_________．
• 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形
新用公式法解一元二次方程课件青岛版
2
配方，得 即
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
该方程一定有解吗？何时有解， 何时无解？
方程没有实数根。
一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0）
2
（1）当 b 4ac 0时，有两个不等的实数根。
2
b b2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
（2）当 b 2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。 b x1 x 2 ; 2a
b b 4ac x 2a
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 . 2a 2a
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式
前提: 1.必需是一般形式的一元二次 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 2+bx+c=0(a≠0). 方程: ax 2-4ac≥0. 2.b
1、用配方法解一元二次方程
1 x1 1,x2 2-7x+1=0 （1）6x 6 （2） x 2 3x 2 0 x1 2 ,x2 1
用配方法解一元二次方程的步骤:
化1：两边同时除以二次项系数 移项:把常数项移到方程的右边 配方:方程两边都加上一次项系 数一半的平方; 变形：化为完全平方式 开方 求解
ax2+bx+c=0(a≠0) 2 x 3 形式为______x =
用公式法解方程 7 x 18 x
配方，得 即
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
该方程一定有解吗？何时有解， 何时无解？
方程没有实数根。
一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0）
2
（1）当 b 4ac 0时，有两个不等的实数根。
2
b b2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
（2）当 b 2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。 b x1 x 2 ; 2a
b b 4ac x 2a
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 . 2a 2a
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式
前提: 1.必需是一般形式的一元二次 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 2+bx+c=0(a≠0). 方程: ax 2-4ac≥0. 2.b
1、用配方法解一元二次方程
1 x1 1,x2 2-7x+1=0 （1）6x 6 （2） x 2 3x 2 0 x1 2 ,x2 1
用配方法解一元二次方程的步骤:
化1：两边同时除以二次项系数 移项:把常数项移到方程的右边 配方:方程两边都加上一次项系 数一半的平方; 变形：化为完全平方式 开方 求解
ax2+bx+c=0(a≠0) 2 x 3 形式为______x =
用公式法解方程 7 x 18 x
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》PPT教学课件
4.1 一元二次方程
知识回顾
1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些 实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的 步骤吗?
重、难点
重点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学 模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次 方程的概念. 难点：尝试的方法求简单的二元一次方程的解.
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
4.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
一般式 相同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
新课引入
问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑，占地为一边 长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面 积为900 m2的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等， 问人行道的宽度为多少米？
35cm
x
x
x
x
35cm
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
知识回顾
1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些 实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的 步骤吗?
重、难点
重点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学 模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次 方程的概念. 难点：尝试的方法求简单的二元一次方程的解.
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
4.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
一般式 相同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
新课引入
问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑，占地为一边 长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面 积为900 m2的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等， 问人行道的宽度为多少米？
35cm
x
x
x
x
35cm
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
青岛版数学九上4.3《用公式法解一元二次方程》(1)精品课件下载
2a
5、写出方程的解： x1、x2
练习2
用公式法解下列方程：
（1）x2-6x+1=0
（2）2x2-x=6
（3）3x(x-3)=2(x-1)(x+1)
例10 解下列方程：
（1）x2-x-2=0； （2）4x2+12x+5=0； （3）x2-2x=1.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax 2 bx c = 0 （a≠ 0）
思考：
当b2 4ac 0时，方程有解吗？为什么？
b2 4ac 0时，原方程无解
因为负数不能开平方
讲例
例 1 解方程： x2 7 x 18 0
解： ∵ a 1，b 7， c 18
Q b2 4ac （7）2 4×1×（18 ） 121
∴
（7）± 121 7 ± 11
2×1
2
即 ： x1 9 x2 2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
根据b2-4ac的值的符号，可以判定一元 二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的情况，
所以我们把 b2-4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的判别式.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 b2-4ac来判定：
当△> 0时，方程有两个不等的实数根，
练习
1. 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）x2+3x-1=0； （2）x2 -6x+9 =0 .
（3）2y2-3y+4=0； （4）x2+5= 2 5x .
3. k 取什么值时，方程x2-kx+4=0有两 个相等的实数根?求这时方程的根.
5、写出方程的解： x1、x2
练习2
用公式法解下列方程：
（1）x2-6x+1=0
（2）2x2-x=6
（3）3x(x-3)=2(x-1)(x+1)
例10 解下列方程：
（1）x2-x-2=0； （2）4x2+12x+5=0； （3）x2-2x=1.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax 2 bx c = 0 （a≠ 0）
思考：
当b2 4ac 0时，方程有解吗？为什么？
b2 4ac 0时，原方程无解
因为负数不能开平方
讲例
例 1 解方程： x2 7 x 18 0
解： ∵ a 1，b 7， c 18
Q b2 4ac （7）2 4×1×（18 ） 121
∴
（7）± 121 7 ± 11
2×1
2
即 ： x1 9 x2 2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
根据b2-4ac的值的符号，可以判定一元 二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的情况，
所以我们把 b2-4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的判别式.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 b2-4ac来判定：
当△> 0时，方程有两个不等的实数根，
练习
1. 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）x2+3x-1=0； （2）x2 -6x+9 =0 .
（3）2y2-3y+4=0； （4）x2+5= 2 5x .
3. k 取什么值时，方程x2-kx+4=0有两 个相等的实数根?求这时方程的根.
青岛版初中数学九年级上册《用公式法解一元二次方程》参考ppt课件1
10
跟踪训练
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般形式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、若b2-4ac≥0，则代入求根公式:
b b2 4ac 2a
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
14
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.用公式法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1.
2
5 49 22
57 4
7
跟踪训练
1.用公式法解方程3x2+5x-2=0
【解析】 a=3, b= 5,c = .-2
b2-4ac= 52-4×3×(-2)=49
x= b b2 = 4ac 5 7
2a
6
即 x1=-2 , x2=
1
.
3
8
2.用公式法解下列方程： (1)x2 +2x=5
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
6
例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x-3=0
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
跟踪训练
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般形式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、若b2-4ac≥0，则代入求根公式:
b b2 4ac 2a
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
14
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.用公式法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1.
2
5 49 22
57 4
7
跟踪训练
1.用公式法解方程3x2+5x-2=0
【解析】 a=3, b= 5,c = .-2
b2-4ac= 52-4×3×(-2)=49
x= b b2 = 4ac 5 7
2a
6
即 x1=-2 , x2=
1
.
3
8
2.用公式法解下列方程： (1)x2 +2x=5
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
6
例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x-3=0
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
《用公式法解一元二次方程》PPT课件3-青岛版九年级数学上册
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。 3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b2 4ac 0 则方程无解 4、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
5、写出方程的解： x1、x2
一元二次方程 的求根公式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的
求根公式:
xxbb 2b2ba2a244aacc(b(b2244aacc00))
利用这个公式, 我们可以由一元二次 方程中系数a、b、c的值, 直接求得方程 的解, 这种解方程的方法叫做公式法。
思考：
当b2 4ac 0时，方程有解吗？为什么？
能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)使用这些计算步骤, 求出解 x 的公式．
运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程 的解, 取得事半功倍的效果.
探究新知
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax 2 bx c = 0 （a≠ 0）
解: 把方程两边都除以 a
移项，得
x2 b x c 0 aa
x （-2 3） 0 2 3 0
21
2
即 ： x1 x2 3
注：当 b2 4ac =0 时，方程有两相等的实数根，
注意此时方程的解的写法
讲例
例 3 解方程： x 21 3x 6
解:去括号, 化简为一般式:
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实 数根, 则m__________________ 变题1:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个相等的 实数根, 则m_______________ 2:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 没有实数根, 则m__ 3:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两实数根, 则m= __ 4:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根, 则m= __
方程没有实数解。
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。 3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b2 4ac 0 则方程无解 4、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
5、写出方程的解： x1、x2
一元二次方程 的求根公式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的
求根公式:
xxbb 2b2ba2a244aacc(b(b2244aacc00))
利用这个公式, 我们可以由一元二次 方程中系数a、b、c的值, 直接求得方程 的解, 这种解方程的方法叫做公式法。
思考：
当b2 4ac 0时，方程有解吗？为什么？
能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)使用这些计算步骤, 求出解 x 的公式．
运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程 的解, 取得事半功倍的效果.
探究新知
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax 2 bx c = 0 （a≠ 0）
解: 把方程两边都除以 a
移项，得
x2 b x c 0 aa
x （-2 3） 0 2 3 0
21
2
即 ： x1 x2 3
注：当 b2 4ac =0 时，方程有两相等的实数根，
注意此时方程的解的写法
讲例
例 3 解方程： x 21 3x 6
解:去括号, 化简为一般式:
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实 数根, 则m__________________ 变题1:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个相等的 实数根, 则m_______________ 2:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 没有实数根, 则m__ 3:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两实数根, 则m= __ 4:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根, 则m= __
【青岛版】初中数学九年级上册：4.3《用公式法解一元二次方程》ppt课件(12页)
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
这里的a、b、c 的值是什么？
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 解方程： x2 3 2 3x
4
解：原方程化为：x2 2 3x 3 0
１.先写出a，b，c
２.再求出 b2 4ac
３.最后代入公式
当 b2 4ac 0 时，有两个实数根 当 b2 4ac 0 时，方程无实数
解
一般地,对于一元二次方程 ax2+b根吗？
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
老师提示用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
已知方程 2x2 7x c 0,b2 4ac 0, 求c和x的值.
解： a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》PPT课件
a 称为二次 b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0， b、c 可以为零吗？
当a=0时
bx＋c = 0
当a≠0，b=
ax2＋c = 0
0当时a，≠ 0 ， c = 0
ax2＋bx = 0
时 当 ，a ≠ 0 ，b = c
ax2 = 0
=0时 ， 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？
一元一次方程
一元二次方程
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系 数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
随堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2 √
3y2=(3y+1)(y-2) ×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
(1) (2) (3)
（1） （2）整理得： （3）整理得：
课堂练习
1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列 方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0； (2)x2－4x＋3＝7； (3)5x2－3＝10x＋4.
2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋ m2＋5＝0的两实数根． (1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是 △ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
数学：3.3用公式法解一元二次方程课件2(青岛版9年级上)
（3）2x2-7x=0
（4）4x2+1=-4x
你对刚才的解法有什么看法？
（1）3x2+5x-1=0 解：a=3，b=5，c=-1， b2-4ac=52-4×3×（-1）=37>0
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
解： a=1，b=2，c=2 ∵ b2-4ac=22-4×1×2=4<0
∴此方程无实数解
?
b2 ? 4ac 4a2
2
b
b ? 4ac
x? ? ? 2a
4a2
即
b
b2 ? 4ac
x? ? ?
一元二次方程的
2a
2a
求根公式
? b ? b2 ? 4ac ? x?
2a
(a≠0, b2-4ac≥0)
你有什么不同的看法或补充？
二、规定动作
例1.用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0
（2）x2+2x+2=0
2、关于x的一元二次方程 x2-mx-5=0。 当m 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
五、总结提高
1、解一元二次方程有通法 ——公式法 2、解一元二次方程各式各法
一、真实感知
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0
解: 把方程两边都除以 a
x2 ? b x ? c ? 0 aa
移项，得 配方，得 即
x2 ? b x ? ? c
a
a
x2
?
b a
x
?
? ??
b 2a
2
? ??
?
?
c a
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课堂小结
一元二 次方程
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
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达标测试
1.下列一元二次方程属于一般形式的是 （）
A. x2 =1 C. x2 -9=0
B.3-2x= x2 D. x2 -2x=3
2.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k 一元二次方程．
时，是
3.指出下列一元二次方程的二次项、一次项和常数项及二次项系数、一 次项系数.
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1、必做题：P129 T1.2 2、选做题：T6 课后论讨：
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注意 系数和项均包含前面的符号.
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将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和 常数项及二次项系数、一次项系数.
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0
不是整式方程 B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
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最新青岛版九年级数学上册4.3用公式法解一元二次方程公开课优质PPT课件(3)
跟踪练习
1.用配方法解下列方程 （1）x2 -3x-1=0 （2）x2 –0.5x-0.5=0 （3）(3x-1)(x+6)=1
2. 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个 完全平方式。求k的值。
系统总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值，值的范围为实数 。 3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b2 4ac 0 则方程无解 4、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
5、写出方程的解： x1、x2
2a
5、写出方程的解： x1、x2
复习巩固
公式法 解方程：
（1）x2-7x-18=0 （2） 9x2+6x+1=0
精讲点拨
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
注：当 b2 4ac =0 时，方程有两相等的实数根，
注意此时方程的解的写法。
精讲点拨
例 3 解方程： x 21 3x 6
注：当 b2 4ac ＜ 0 时，方程没有实数根。
４.３用公式法解一元二次方程
（第２课时）
学习目标： 1.巩固公式法解一元二次方程的步骤。 2. 利用根的判别式判断方程根的情况 。 3.利用公式法熟练解方程。
复习巩固
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。 3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b2 4ac 0 则方程无解 4、代入求根公式 : x b b2 4ac
青岛数学九年级上册《用公式法解一元二次方程2》课件
青岛版九年级第四章
４.３用公式法解一元二次方程
（第２课时）
学习目标： 1.巩固公式法解一元二次方程的步骤。 2. 利用根的判别式判断方程根的情况 。 3.利用公式法熟练解方程。
复习巩固
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习巩固
公式法 解方程：
（1）x2-7x-18=0 （2） 9x2+6x+1=0
精讲点拨
例 2 解方程： x232 3x
注：当 b2 4ac =0 时，方程有两相等的实数根，
注意此时方程的解的写法。
谢谢观赏
You made my day!
东平县初中数学
我们，还在路上……
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值，值的范围为实数 。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
４.３用公式法解一元二次方程
（第２课时）
学习目标： 1.巩固公式法解一元二次方程的步骤。 2. 利用根的判别式判断方程根的情况 。 3.利用公式法熟练解方程。
复习巩固
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习巩固
公式法 解方程：
（1）x2-7x-18=0 （2） 9x2+6x+1=0
精讲点拨
例 2 解方程： x232 3x
注：当 b2 4ac =0 时，方程有两相等的实数根，
注意此时方程的解的写法。
谢谢观赏
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东平县初中数学
我们，还在路上……
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值，值的范围为实数 。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
《用公式法解一元二次方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (3)
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习稳固
公式法 解方程： 〔1〕x2 -7x -18 =0
〔2〕 9x2 +6x +1 =0
精讲点拨
例 2 解方程： x232 3x
注：当 b2 4ac =0 时，方程有两相等的实数根，
注意此时方程的解的写法。
精讲点拨
x o
所以：a(0 +1)(0 -1) =1
得： a = -1
故所求的抛物线表达式为 y = - (x＋ 1即)：(xy -=1－) x2 +1
封面 例题
小组探究
1、二次函数对称轴为x =2 ,且过〔3 ,2〕、〔 1,10〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -2)2 -k
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、 〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
封面 例题
例题选讲
例2
已知点A（－1,6）、B（2,3）和C（2,7）， 求经过这三点的二次函数表达式。
解： 设所求的二次函数为 y =ax2 +bx +c y
将A、B、C三点坐标代入得：
a -b +c =6
16a +4b +c =6 9a +3b +c =2
ox
解得：
a =1, b = -3,
c =2
解：设y =a(x -h)2 +2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱 ,这个桥拱的最||大高
度 为16m ,跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 解：(设如抛以物以线以的下表图达)式,为求y抛物=线ax的2＋表b达x＋式c．,
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• 练习:用公式法解方程 • 1、 x²- x -1= 0 • 2、 2x²- 4 x+2= 0
2020/11/26
小结
用公式法解一元二次方15 程的 一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2
b
x
b
2
b
2
c.
3.配方:方程两边都加上一次项
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
当b2 4ac 0时,
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2020/11/26
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
5
当b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
∴x=
= 即 x1= - 3
= x2=
2020/11/26
8
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
练习：用公式法解方程
2x2+x-6=0
2020/11/26
9
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方
这里的a、b、
程x2+4x=2
c的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
2020/11/26
17
想一想：
关于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的解为：
x1 b
b2 2a
4ac , x2
b
b2 4ac 2a
x1 x2
b b2 4ac b b2 4ac
2020/11/26
学习是件很愉快的事
6
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5,b 4, c 12
1.变形:化已知
b
2
4ac
42
4
5
(12)
256
0.
方程为一般形式; 2.确定系数:
x b b2 4ac 2a
4 256 4 16 .
25
10
用a,b,c写出各 项系数;
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
=
= 即 x1=2,
x2= -
13
例 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3
b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
==
x1 = x2 =
2020/11/26
14
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
2020/11/26
11
练习: 用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5 2、6t2 -5 =13t
2020/11/26
12
例4 解方程：x2 3 2 3x
解：原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1,b 2 3,c 3
b2
x
4ac
2
23
3 2
4
0
1
23
3
0
3
2 1
2
x1 x2 0
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
2020/11/26
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac=
= . 42-4×1×(-2) 24
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6, x2= 2 6 .
2020/11/26
10
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。
2020/11/26
1
用公式法解
一元二次方程
一、用配方法解下列方程 2x²-12x&11/26
2
2020/11/26
3
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边 都除以二次项系数)；
2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，
3.计算: b24ac的值;
4.代入:把有
28
5
x1
6 5
;
x2
2.
关数值代入公 式计算;
5.定根:写出 原方程的根.
2020/11/26
7
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
2020/11/26
16
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解
之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
2020/11/26
4
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c .
上面这个式子称为一元二次方程的 PPT模板：
PPT素材：
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化学课件： 生物课件：
地理课件：
历史课件：
求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法 称为公式法
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
2020/11/26
18
提高练习
已知方程2X²+7X+c=0,方程的根为一个实数， 求c和x的值.