第三章 信号与系统的频域分析

在 频 域 分 析 中 ， 若 知 道 F(jω)=F ［ f(t) ］ ， H(jω)=F ［ h (t)］， 则据卷积性质可知
An ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
相位频谱：为以ω为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图 描述傅氏级数相位随频率变化的图形。
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
矩形波频谱图
f
(t)

4A π
(sin1t

1 3
sin 31t

1 5
sin
51t

)

4A π
cos(1t
其复振幅
n
Fn

1 T
T
2 T
f (t)ejn1t dt

2
当T趋于无穷大时， Fn 趋于无穷小，若上式两边同乘以T，有
FnT

Fn
2

T
2 T
2
f (t)ejn1tdt
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷
小量dω，而离散频率nω1变成连续频率ω。在这种极限情况
非周期信号的频谱为连续谱； 若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到 无限； 信号的能量主要集中在低频分量； 信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频 带越宽。
能量定理
信号f ( t ) 在1电阻上的能量满足
f 2(t)dt 1 F() 2d

2π
下且，为F一n 个趋连于续无函穷数小，量通，常但记F为n FT(jω2)，Fn即可 望 趋 于 有 限 值 ，
F
(
j)

lim
T
Fn
2
lim T
T
2 T
2
f (t)ejn1tdt
可得
F ( ) f (t)e jt dt
上式中，F(jω) 称为f( t )的频谱密度函数
f( t ) F( ω)
时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。 图15
信号的延时与相位移动（延时特性）
因为
若 f (t) F() 则 f (t t0 ) F ( )e jt0
F() F() e j()
故
F()e jt0 F() ej[()t0 ]
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信
号的频带宽度。记为

频带宽度（带宽）： 2π (rad / s) f 1 (Hz)
结论： 信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。
3.2.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻 上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信
包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。
显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
图3 图10
➢ 直流信号：
1 2π ()
图11
➢ 指数信号：
即：
f (t) et ( 0, t 0)
F ( ) e( j )t dt 1
0
j

-
2
A
T
sin( n1 )

2
( n1 )
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数： Sa(t) sin t t
Sa(0) 1
当 t k (k 1,2,3 ) 时，Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
2
j
脉冲展缩与频带变化（尺度变换）
若 f (t) F() 则 f (at) 1 F( )
aa 尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反
比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压 缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。
在尺度变换性质中， 当a=-1时，有
an

2 T
T
2 T
2
f (t)cosn1tdt 0
bn

2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt

4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1

T

4A T


cosn1t n1
2 0



4A (n 1, 3, 5, ) nπ 0 (n 2, 4, 6, )
2
n1
An：n次谐波幅度
n ：n 次谐波初相角
an An cosn
An an2 bn2
n

arctan(bn an
)
bn An sin n
例3.1-1 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。
解 由于这里f( t )是奇函数，故有
a0

1 T
T 0
f (t)dt 0
F() Sa( ) Sa( ) 2Sa2 ( )
2
2
2
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及 系统的单位冲激响应h(t), 则有
y f (t) f (t) h(t)
号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2

f (t) Fne jn1t n
因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理，有
§3.3 非周期信号的频谱
傅里叶变换
设一周期信号f(t)，将其展开成复指数形式的傅里叶级数：

f (t) Fne jn1t
et ε(t)
1
j
图12
➢ 符号函数的频谱：
符号函数定义为： 则
1 sgn(t) 1
F () 2 j
(t 0) (t 0)
图13
➢ 阶跃信号：
F ( ) π ( ) 1 j
图14
结论：
f( t )为实偶函数，F( )也为实偶函数； f( t )为奇函数，F( )为纯虚函数； f( t )为非奇非偶函数，F( )为复函数；
时-频对称性
若 f (t) F(), 则F(t) 2f () 若 f (t)为偶函数, 则有 F(t) 2f ()
例如，设有 f (t) 2 Sa(2t) ，求F(ω )。

因
g
(t)

Sa(
2
)
令 = 4，ωt， t ω ，则
4Sa(
4t 2
)

2g
表 3.1 常用傅里叶变换对
续表
§3.4 傅里叶变换的性质与应用
线性
若 f1(t) F1(), f2 (t) F2 () 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2 F2 ()
如符号函数
sgn(t) 2 (t) 1 2[π () 1 ] 2π () j
2

1 2
(an

jbn )

2A
jn
(n 1,3,5 )
图2
F0 a0 0
所以

f (t)
2A e jn1t
(n 1,3,5 )
n jn
§3.2 周期信号的频谱
3.2.1 频谱的特点 周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随
频率变化的图形。 振幅频谱：所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵坐标所 画出的谱线图；描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。
即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。
图16
信号的调制与频谱搬移（调制定理）
若 f (t) F()
则 f (t)e j0t F ( 0 )
f
(t)
c
os0t

1 2
[F
(
0
)

F
(

0
)]
图17
频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t, 从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t 的信号。因为
•收敛性：频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起 伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→ ∞时，|Fn|→0。
3.2.2 周期矩形脉冲频谱与信号的带宽
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A
f (t)
0
t
2
t
2
则复系数
图5
Fn
1 T

2
Aejn1t dt
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
(1)
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0

1 T
T
f (t) d t
0
余弦分量的幅度
2
an T
T 0
f (t) cosn1td t
正弦分量的幅度
bn


2 T
T 0
f (t)sinn1tdt