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信号与系统-54-§复频域分析

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信号的复频域分析

信号的复频域分析

Re( s ) 0
tu ( t )
n
s
L
L
1 s
2
Re(s) 0 Re(s) 0
1
t u (t )
n!
n 1
te
t
u (t )

L
(s )
2
Re(s)
e
0t
cos 0 t u ( t )

L
s (s 0 )
e
t
f (t ) F ( s )
L
0
0
Re( s )

2）线性加权性质
tf ( t )
L
dF (s) ds
Re( s )
0
五、单边拉普拉斯变换的性质
6. 微分特性
d f (t ) dt
L
f (t ) F ( s )
0 e
( s )t
dt
若

1 s
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
推广到一般情况
F [ f (t )e
t t j t ( j ) t
] f ( t ) e

e
dt
f ( t ) e
dt
令s= +j 定义：
f ( t ) e
L
Re( s ) 1 Re( s )
f 2 (t ) F2 ( s )
L L
2
f 1 ( t ) * f 2 ( t ) F1 ( s ) F 2 ( s )
Re( s ) max( 1 , 2 )
例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解：

实验六_信号与系统复频域分析报告

实验六_信号与系统复频域分析报告

实验六_信号与系统复频域分析报告信号与系统是电子信息类专业学科中非常重要的一门基础课程，主要研究信号和系统的性质、特点、表示以及处理方法。

本实验主要是通过对信号与系统复频域分析来深入了解信号和系统的特性和性质。

实验中，我们使用了MATLAB软件进行了信号与系统复频域分析，主要涉及到以下内容：一、信号在复频域中的表达式设x(t)是一个实数信号，那么它在频域的表达式为：$$X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$其中，$\omega $是频率，$X(\omega )$是频域中的信号，即信号的频率特性。

对于一个时不变线性系统，它在频域中的表达式为：三、信号与系统的卷积定理在时域中，两个信号$x(t)$和$h(t)$的卷积表示为：$$Y(\omega )=X(\omega )*H(\omega )$$其中，$*$表示频域中的卷积操作。

四、频域的性质频域有许多重要的性质，如频率移位、对称性、线性性、时移性、共轭对称性、能量守恒等等。

这些性质可以为信号的分析和处理提供重要的帮助。

在实验过程中，我们首先使用MATLAB绘制了一个正弦波信号及其频谱图、一个方波信号及其频谱图，以及两个不同的系统频率响应曲线。

然后，我们通过信号和系统的卷积操作，绘制了输入信号和输出信号的波形图及频谱图。

最后，我们通过MATLAB的FFT函数进行了离散频率响应分析，探究了系统的性质和特性。

实验中，我们通过理论知识和MATLAB软件的使用，深入了解了信号与系统的复频域分析。

这对于我们进一步学习和掌握信号与系统的知识，提高我们的理论水平和实践能力具有重要意义。

信号与系统第四章-连续信号复频域分析

信号与系统第四章-连续信号复频域分析

j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )




f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]



f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt


它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。

第4讲 复频域分析

第4讲 复频域分析
t
f
( 1)
(t )

f ( 1) (0 ) F ( s ) f ( )d s s
若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从 0- 到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根
据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为
( 1) t
(4.2-12)
F ( 1) (0 ) F ( s ) ( 1) f (t ) f ( )d s s (4.2-13) n 1 F ( s) (n) ( m) f (t ) n m 1 f (0 ) n s s m 1
同理： F2(s)=
+ -
-e (t )e dt e
at st -
0
( s a )t
1 ( s a )t dt e sa
0
1 [1 lim e ( a ) t e j t ] t sa 显然，只有当 a时，LT 才存在。 1 F(s)=[ f1 (t )] 1 sa ROC : Re( s ) a
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
例题：求单边正弦和单边余弦信号的LT。
e j0t (t )] [ 1 , Re( s ) 0 s j 0 1 , Re( s ) 0 s j 0
e j0t (t )] [
因此得
2 F2 ( s ) L[ f 2 (t )] s2
7. 时域积分 若f(t)←→ F(s)，Re［s］＞ζ0, 则有：
若f(-n)(t)表示从-∞到t对f(t)的n重积分，则有

西电《信号与系统》§54复频域分析

西电《信号与系统》§54复频域分析

X
第
例2: y''(t) 5 y'(t) 6 y(t) 2 f '(t) 8 f (t)求H (s), h(t)
7 页
2s 8 H(s) s2 5s 6
h(t ) [4e2t 2e3t ] (t )
例3:
H(s)

s2
2s 8 5s
6
,
y(0
M(s)
B(s)
X
第
3 页
所以： A(s)Y (s) M (s) B(s)F (s)
M(s) B(s)
Y(s)
A( s )
F(s) A( s )
Yzi (s) Yzs (s)
Yzi(s) Yzs(s)
X
例1：描述LTI系统的微分方程为：y(t) 5 y(t) 6 y(t) 2 f (t)
4
暂态响应
稳态响应
第
y(0 )与y(0 )的关系
5 页
若已知
y(i)(0 )
则：y(i)
(0
)

y(i) zi
(0
)

y(i) zs
(0
)
又因为：y
(i) zs
(0
)

0
y(i)
(0
)

y(i) zi
(0
)
y(i) zi
(0
)

y(i) zi
(0
)
所以：y(i)
(0
)

y(i) zi
sL
s
1/SL S域感纳 X
电容s域模型
一般形式 串联形式 并联形式

信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析(1)(2)

信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析(1)(2)


st
st
s
例4.1-4 求 t 、 ' t 的象函数。 解： t ， ' t 均为时限信号，所以收敛域

为整个
L t t e dt t dt 1
st
s 平面。
0
de st se st s L ' t ' t e st dt dt t 0 0 t 0
Res

双边函数
的收敛域

如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带 Res 状区域 ; 如果 则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数 的收敛域
反因果函数 的收敛域
双边函数 的收敛域
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏 变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏 变换。
对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当 选取 的值使 f t e t 当 t 时,

e
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：

例如


f t e
t
dt
f t e t
2t
2t 2t



e t dt e dt
t
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 为了达到这个要求， f t 应满足：
lim f t e
t
t
0
0
0是满足 lim f t e t 0 的最小 值。 t
我们称 f t 为 0 指数阶的。 f t 可以是增长的，只要它比某些指数增长的慢， 其 拉氏变换就存在。

信号与系统 第4章 信号复频域分析


1 1 F ( s) (a ) s s a t 例4：求 f (t ) Re ct 的LT 2
e s e s F (s) ( > > ) s
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例5：求
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
由方程 可解得：
t
σ0
0
lim e
t
f (t ) 0
σ
4 信号的复频域分析
1.满足 lim f ( t ) e
t
t
0 σ > σ 0 的信号成为指数阶信号；
它是将不一定绝对可积的信号分解成的变振幅复简谐
信号的振幅密度。称为Laplace Transform，记为LT。
0 0


f (t )e
s t
dt f (t )e

s t
dt f (t )e
0
s t
dt f (t )e
0
s t
dt
4 信号的复频域分析


f ( t ) L [ F ( s )]
1
1 2 j
[
j
j
F ( s )e ds ]
st
4 信号的复频域分析
4. 收敛域
使
4.1.1 拉普拉斯变换
0r



f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t

dt
基本问题：解决不满足绝对可积的信号问题

《信号与系统》中复频域法分析求解电路响应探讨

南路元 ｌ 牛 时域 模型 ｓ 域模型 （ 串联形式 ）
电 阻 Ｒ
＋
电容 Ｃ
仁
“ ∞ 一
（ ５ ）
０ — １
眺
卜— — 。
一
—
。
１
（ ０ 一 ）
∞
一
ｉ ｉ ｓ Ｃ
∞ 一
电感 Ｌ
ｌ ∞ Ｌ
●——＾ ｒ Ｖ、 ＿ — —— — — —
信号与系统是 电子信息工程 、 通信技术 等专业重要 的基础课 ， 笔者近年来在辅导学生参加 自学考试时发现复频域法分析求解 电路题在 自考时多次 出现 ， 但是学生得分率不高 ， 反映这种题型难 ， 综合 性强 ， 有时看到题 目就想放弃 。现将复频域法分析求解电
路题举例说 明， 梳理解题思路 、 分析解题时 的注意事项 ， 并将其应用于教学 中 ， 提高学生的通过率 。
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｅ ｐ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ —ｆ ｒｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ａ ｒ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ．Ｗ ａ ｙ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｉ ｎ ｋ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ｌ ａ ｙ ｚ ｅ ｄ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ —ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； ｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｉ ｎ Ｓ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ； ｆ ｕ ｌ ｌ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ； ｚ ｅ ｒ ｏ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ

第4章 连续时间信号与系统的复频域分析



在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0



上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏 变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的 跳变。 而拉氏反变换的积分限并不改变。

信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负， 也可为零，因此这些复指数函数可以是增 幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅 里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。 复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似， 是一个频谱密度函数，它反映了信号的基 本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复 频域对信号进行分析。

4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域

若满足


0
| f (t )e t | dt



则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在 的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。 单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯 变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收 敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边 区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号 一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t

( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到 即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。

信号与系统的频域分析

信号与系统的频域分析信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。

频域分析是指将信号在频域上进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的频率成分和频率响应。

一、频域分析的基本概念和原理频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变换来实现。

傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。

在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。

二、傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术，适用于周期信号的频域分析。

傅里叶级数展开后，通过求解各个频率分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量分布。

傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的方法。

傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。

通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量，同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。

三、频域分析的应用频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。

在通信系统中，频域分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。

在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。

在自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。

四、常见的频域分析方法除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。

这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。

熟练掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。

五、总结频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统的行为。

傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。

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(s)
1 sL
U
(s)
iL
(0 s
)
u(t) L d iL (t) dt
U(s)= sLIL(s) –LiL(0-)
IL(s)
或
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsL
iL(0 -)/s
U(s)
IL(s) sL LiL(0 -)
或 U(s)
3、电容元件的s域模型
i(t) C uC(t)
i(t) C d uC (t) dt
UC
(s)
i0
j0
时域的微分 方程
n
n
i1
m
[ ai si ]Y (s) ai[ si1p y( p) (0 )] [ bj s j ]F(s)
i0
i0 p0
j0
Y (s) Yzi (s) Yzs(s)
s域的代数 方程
例1 描述某LTI系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)
系统函数H(s) = L [h(t)]
即
H
(s)
def
Yzs
(s)
F(s)
例2 已知当输入f (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响 应
yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。
解：
H
(s)
Yzs (s) F(s)
s2
1 sC
I (s)
uC
(0 s
)
I(s)=sCUC(s) – CuC(0-)
1
1
I(s)
1 sCI(s)
uC (10 ) ssC
uC (0 ) s I(s)
或
I(s)sC
sC
或CuC(0 -) CuC(0 -)
UC(s) UC(s)
UC(s) UC(s)
4、s域KCL、KVL方程
i(t) 0 u(t) 0
已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)， 求系统的全响应y(t)和yzi(t) 、yzs(t)。
解： 方程取拉氏变换
s2Y (s) sy(0 ) y, (0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) 2sF (s) 6F(s)
2
F(s)
微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t)
四、电路的s域模型
1、电阻元件的s域模型
i(t) R u(t)
I(s) R U(s)
u(t)= R i(t)
U(s)= R I(s)
电阻元件的
s域模型
2、电感元件的s域模型
iL(t) L
u(t)
IL
∫
f(t)
y(t) t f ( ) d
s–1
F(s)
Y(s) = s–1F(s)
f1(t) + +
∑
f2(t)
y(t) = f1(t)+ f2(t)
F1(s)+ ∑
+ Y(s) = F1(s)
F2(s)
+F2(s)
a
f(t)
y(t) = a f (t)
F(s) a Y(s) = a F(s)
例3 已知时域框图，列出微分方程
n
m
ai y(i) (t) bj f ( j) (t)
i0
j0
系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),…，y(n-1) (0-)。
思路：利用微分定理对微分方程两边取拉氏变换。
若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j)(t)←→ s j F(s)
n
m
ai y(i) (t) bj f ( j) (t)
1
s2X(s) sX(s)
∑
s∫-1
s∫-1
X(s)
4
Ff (ts))
3
2
∑
Yy(ts)) s域的代数方程
解 画出s域框图, 设最右边积分器输出为X(s)
s2X(s) = F(s) – 3sX(s) – 2X(s)
X
(s)
s2
1 3s
2
F(s)
Y(s)
=
4X(s)
+
s2X(s)
s2 4 s2 3s
I(s) 0 U(s) 0
例
如图所示电路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =δ(t)，起
始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。
uC(t)
iL(t)
1/s
1/s
uS(t)
1F 0.5Ω
iS(t) 1H u(t)
IS(s)
US(s) 0.5Ω
s
U(s)
2/s
2s 8 5s
6
s
4
2
2 s3
h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)
s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
三、系统的s域框图
时域框图基本单元
s域框图基本单元(零状态)
本节小结
• 微分方程的变换解
• 系统函数H(s) • 系统的s域框图 • 用拉氏变换法分析电路
yzi(t)
5 e j26.6 5 e j26.6
s j
s j
yzs (t)
y(t)= 2e–2t (t) – e–3t (t) - 4e–2t (t) + 2 5 cos(t 26.6)] (t)
暂态分量
稳态分量
二、系统函数H(s)
yzs(t)= h(t)*f (t)
Yzs(s)= L [h(t)]F(s)
整理得：
Y (s)
sy(0
)
y'(0 ) 5y(0 s2 5s 6
)
2(s 3) s2 5s 6
F(s)
Yzi(s)
Yzs(s)
将F (s)
5s 代入得 s2 1
Y
(s)
Yzi
(s)
Yzs
(s)
(s
s4 2)(s
3)
s
2
2
5s s2 1
Y(s) 2 1 4 s2 s3 s2
§5.4 复频域分析
• 微分方程的变换解
• 系统函数H(s)
• 系统的s域框图
• 用拉氏变换法分析电路
Yun Liu, Information College, Zhongkai University of Agriculture and Engineering
一、微分方程的变换解
描述n阶系统的微分方程为
解 画出电路的s域模型
Us(s)=1/s， Is(s)=1
sU (s) U (s) 1U (s) 2 1
0.5 s
s
U (s)
s2
s2 2s 1
s
1 1
3 (s 1)2
u(t) = e–t(t) – 3te–t(t) V
小结：用拉氏变换法求电路响应的步骤
• 由0-等效电路，确定初始状态量uc(0-)、iL(0-) ； • 画s域等效电路； • 列s域方程（代数方程）； • 解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)； • 拉氏反变换求u(t)或i(t)。