连续时间信号与系统的复频域分析-资料
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精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
4连续时间信号与系统的复频域分析
s1C IC(s)1 svC(0)
1
ICs sC
1svC0
VCs
C 1iC(1)(0)C 1 0 iC()d
vC(0)
电容元件的s模型
4 连续时间信号与系统的复频域分析
4.2.5 原函数的积分
若 L x(t)X (s)， 则
证明：
L t x (τ)d τ X s (s)x 1 s (0 )
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
4 连续时间信号与系统的复频域分析
L x ( t t0 ) u ( t t0 ) 0 x ( τ ) e s t0 e s τ d τ
X(s)est0
4 连续时间信号与系统的复频域分析
【例】
已知 ft tt u 1 ,求 F s
F s L t t 1 u L t 1 u t 1 u t 1
证明：
X(s)x(t)estdt
两边对s积分：
s X (s )d ss x (t)e s td t d s
交换积分次序:
x(t)sestdsdt
x(t)1test sdt x(t)estdt
t
4 连续时间信号与系统的复频域分析
4.2.8 尺度变换
若 L x (t)X (s), 则
4 连续时间信号与系统的复频域分析
4.2.9 初值
若 x (t)及 dx (t)可 以 拉氏变换 , 且 x (t) X (s),
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
信号与系统chapter 6连续时间信号与系统的复频域分析
，
t ∞
t ∞
故其收敛域为S平面的右半开平面。此时 0
0
常见信号的拉普拉斯变换
§冲激信号 (t)
由单边拉普拉斯变换的定义式，有:
L [ (t)]
∞
(t )e st dt
0
∞
(t)dt 1
0
即
L
(t) 1, Re[s] ∞
进一步推广，可得:
L
(n) (t) sn , Re[s] ∞
1
1
12
2
2
L
a1x1(t) a2x2 (t) a1X1(s) a2 X2 (s), Re[s] max(1,2 )
§时移特性
L
若 x(t) X (s), Re[s] ，则 ： 0 L
x(t t0 ) u(t t0 ) est0 X (s),t0 ≥ 0, Re[s] 0
设 x(t) sin t 0
适当选取 的值，使信号 x(t)et 满足绝对可积的条件。
设信号 x(t) 的傅里叶变换为：
X () ∞ x(t)e jtdt ∞
将信号 x(t) 乘以收敛因子et ，则x(t)et 的傅里叶变换为：
F [x(t)et ] ∞ x(t)ete jtdt x(t)e( j)tdt
∞
敛轴在内）则为非收敛域。
S平面的收敛域
求下列各函数的收敛域。
(1)x(t) (t)
(3)x(t) e2tu(t)
(5)x(t) cos0tu(t)
(2)x(t) u(t) (4)x(t) e2tu(t)
解：
（1）欲使 lim x(t)et lim (t)et 0 成立，则必须有
t ∞
，因
X (s) L[sin t] 0
第七章连续时间信号与系统的复频域分析
第七章连续时间信号与系统的复频域分析1、内容简介在连续时间信号与系统的复频域分析中，首先介绍了利用Laplace 变换进行连续时间信号的复频域分析和连续时间系统的复频域分析。
在此基础上，分析了系统函数及其与系统特性的关系，并介绍了系统的复频域方框图表示。
最后介绍了用MATLA实现连续时间系统的复频域分析。
2、学习目标1．熟练掌握单边Laplace 变换及其基本性质和Laplace 反变换。
（双边Laplace 变换不要求）2．掌握用单边Laplace 求解连续系统响应的零输入响应和零状态响应。
3．重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。
4．掌握连续系统的直接型、级联型和并联行模拟框图。
5•能够利用MATLA进行连续系统的复频域分析。
3、重点难点1. 单边Laplace 变换及其基本性质和Laplace 反变换。
2. 系统的传输函数，及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。
3. 连续系统的直接型、级联型和并联行模拟框图。
4、应用利用MATLA进行连续系统的复频域分析5、教案内容1、复频域分析方法的引入背景由于频域分析存在不足：其一，某些信号不存在傅立叶变换，因而无法利用频域分析法；其二，系统频域分析法只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解；其二，频域分析法中，傅立叶反变换一般较为复杂2、连续时间信号与系统的复频域（S域）分析Laplace变换的定义L[f(t)]F(s) f (t)e st dtLaplace反变换的定义L1[F(s)] f(t)1 j2 j jF (s)e st ds单边Laplace变换对L[f(t)] F(s)o f(t)est dt1 1 j stL [ F (s)] f (t)2 j jF (s)e dsLap lace变换实现从时间域到复频域的转换，而Laplace反变换实现从复频域到时间域的变换。
第四章 连续时间信号与系统的复频域表示与分析
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
北京理工大学珠海学院信息学院
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
信号与系统-连续系统的复频域分析
连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
第4章 连续时间信号和系统的复频域分析-84页文档资料
0
s 0 s
即：
u(t) 1 s
2．单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3．指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4．正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
sint
t 0
（a）
sintu(t t0)
sin(tt0)
sin(tt0)u(t)
t
t
0t0
0 t0
（b）
（c）
sin(t t0)u(t t0)
t
t
0 t0
0 t0
（d）
（e）
图4-5 几种时移情况
4.2.3 尺度变换
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
4.2.4 频移特性
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
表4-1 常用信号的拉氏变换
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4.2 单边拉氏变换的性质
4.2.1 线性 4.2.2 时移（延时）特性 4.2.3 尺度变换 4.2.4 频移特性 4.2.5 时域微分定理 4.2.6 时域积分定理 4.2.7 频域微分定理 4.2.8 频域积分定理 4.2.9 初值定理 4.2.10 终值定理 4.2.11 卷积定理
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
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第六章 连续时间信号与系统的复频域分析1连续时间信号的复频域分析
−∞
∞
− st
定义： X ( s ) =
∫
∞
−∞
x(t )e − st dt
拉普拉斯正变换
对x(t)e-σ t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯反变换
1 σ + j∞ x(t ) = X ( s )e st ds 2 πj ∫σ − j∞
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示 拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示及 符号表示： 符号表示：
∞ 0−
n n n − 1 n−2 n −1 L[t u (t )] = L[t u (t )] = ⋅ L[t u (t )] s s s n n −1 n − 2 2 1 0 = ⋅ ⋅ L ⋅ L[t u (t )] s s s s s
n
t u (t ) ← →
n L
n! , Re( s ) > 0 n +1 s
L
s 2 s 2 + ω0
Re( s ) > 0
sin ω 0 t u (t )
← →
L
ω0 2 2 s + ω0
1 s
n
Re( s ) > 0 Re(s) > −∞ Re(s) > −∞
δ (t ) δ
(n)
← →
L
(t )
← →
L
u (t )
← →
L
tu (t ) t n u (t )
X ( jω ) = X ( s ) s = jω + π ∑ K nδ (ω − ωn )
n
例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。
e −3t u (t ) e 3t u (t )
∞
− st
定义： X ( s ) =
∫
∞
−∞
x(t )e − st dt
拉普拉斯正变换
对x(t)e-σ t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯反变换
1 σ + j∞ x(t ) = X ( s )e st ds 2 πj ∫σ − j∞
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示 拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示及 符号表示： 符号表示：
∞ 0−
n n n − 1 n−2 n −1 L[t u (t )] = L[t u (t )] = ⋅ L[t u (t )] s s s n n −1 n − 2 2 1 0 = ⋅ ⋅ L ⋅ L[t u (t )] s s s s s
n
t u (t ) ← →
n L
n! , Re( s ) > 0 n +1 s
L
s 2 s 2 + ω0
Re( s ) > 0
sin ω 0 t u (t )
← →
L
ω0 2 2 s + ω0
1 s
n
Re( s ) > 0 Re(s) > −∞ Re(s) > −∞
δ (t ) δ
(n)
← →
L
(t )
← →
L
u (t )
← →
L
tu (t ) t n u (t )
X ( jω ) = X ( s ) s = jω + π ∑ K nδ (ω − ωn )
n
例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。
e −3t u (t ) e 3t u (t )
信号与系统第5章-连续系统的复频域分析
应用电子系
2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法
若 0时 lim f (t )e t 0 则 f (t )e t 绝对可积
t
F ( s ) 存在， 0即为F ( s ) 的收敛域。
应用电子系
3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 1. 持续时间有限的单个脉冲信号
沿路径 -j∞→+j∞(虚轴)的分解与迭加
应用电子系
应用电子系
e
st
的含义 S平面 s j
C2
C1 B2 B1
A1
A2
C1* C2*
应用电子系
拉普拉斯变换的收敛域
1、收敛域定义： 使f(t) e-σt收敛，即F(s)存在的σ 的取值范围
例如：f (t ) e (t )
3t
t t
j t
dt f (t )e( j )t dt
令 s j 则积分结果为s 的函数，所以上式表示 为：
F ( s) f (t )es tdt
拉普拉斯正变换
应用电子系
F ( s) f (t )es tdt
符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯 变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换可以相互转化。
F ( j ) F ( s) j s
j s
应用电子系
不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。
应用电子系
常用函数的拉普拉斯变换：
信号与系统 第四章 连续时间系统的复频域分析
• 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的主要性质
• 拉普拉斯反变换 • 系统的s域分析
2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法
若 0时 lim f (t )e t 0 则 f (t )e t 绝对可积
t
F ( s ) 存在， 0即为F ( s ) 的收敛域。
应用电子系
3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 1. 持续时间有限的单个脉冲信号
沿路径 -j∞→+j∞(虚轴)的分解与迭加
应用电子系
应用电子系
e
st
的含义 S平面 s j
C2
C1 B2 B1
A1
A2
C1* C2*
应用电子系
拉普拉斯变换的收敛域
1、收敛域定义： 使f(t) e-σt收敛，即F(s)存在的σ 的取值范围
例如：f (t ) e (t )
3t
t t
j t
dt f (t )e( j )t dt
令 s j 则积分结果为s 的函数，所以上式表示 为：
F ( s) f (t )es tdt
拉普拉斯正变换
应用电子系
F ( s) f (t )es tdt
符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯 变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换可以相互转化。
F ( j ) F ( s) j s
j s
应用电子系
不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。
应用电子系
常用函数的拉普拉斯变换：
信号与系统 第四章 连续时间系统的复频域分析
• 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的主要性质
• 拉普拉斯反变换 • 系统的s域分析
信号与系统第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
即
(t ) 1
如果冲激出现在 t t0 时刻（ t0 0 ） ，有
L[ (t t0 )]
0
(t t0 )e st dt e st
0
10
第4章 连续系统的复频域分析 5. 正弦函数
根据欧拉公式
sin t 1 jt e e jt 2j
初值和终值定理连续系统的复频域分析431部分分式展开法若fs为s的有理分式则可表示为43拉普拉斯反变换都为实数m和n是正整数如果分子多项式的根包含有共轭复根的情况考虑下面函数的分解的根为重根考虑下面函数的分解11121112连续系统的复频域分析432围线积分法已知拉普拉斯反变换式为4318根据复变函数理论中的留数定理可知若函数内除有限个奇点外处处解析cdssp4319其中为被积函数c为闭合曲线连续系统的复频域分析为应用留数定理计算拉普拉斯反变换的积分可把积分限从补足一条积分路径以构成一条闭合围线
f (t ) F ( s)
df (t ) sF (s) f (0 ) dt
7. 时域积分
若 则
f (t ) F ( s)
t
F (s) f ( 1) (0) f ( )d s s
15
第4章 连续系统的复频域分析 8. 复频域微分
若 则
f (t ) F ( s)
dF (s) tf (t ) Байду номын сангаасs
d n F ( s) n ( t ) f (t ) n ds
9. 复频域积分
若 则
f (t ) F ( s)
s
f (t ) F ( )d t
16
第4章 连续系统的复频域分析 10. 初值和终值定理 (1) 初值定理
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0
上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏 变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的 跳变。 而拉氏反变换的积分限并不改变。
信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负， 也可为零，因此这些复指数函数可以是增 幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅 里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。 复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似， 是一个频谱密度函数，它反映了信号的基 本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复 频域对信号进行分析。
4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域
若满足
0
| f (t )e t | dt
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在 的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。 单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯 变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收 敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边 区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号 一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t
( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到 即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。
第5章连续时间信号与系统的复频域分析
5.4.2 电路元件的复频域模型
对于比较复杂的网络（支路或结点较 多），列写微分方程本身也是一件烦琐的 事情。对于线性时不变电路，可不必列写 微分方程，直接把时域的电路模型转换为s 域电路模型，在s域内写出电路的代数方程 形式，然后进行求解。
1.电路元件的s域串联模型
图5.3 元件s域模型（串联形式）
5.4.1 应用拉普拉斯变换求解微分方 程
当电路或系统的输入输出微分方程已 知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉 斯变换，利用时域微分性质求出s域输出 Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(t)。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。通 过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以 避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是 对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计 算量大大减小。
图5.17
（9） 若二阶共轭极点位于虚轴， 即p1，2=jω0，p3，4=-jω0
图5.18
综上所述，若系统函数H(s)的极点位 于s左半平面，则冲激响应h(t)的波形呈衰 减变化，若H(s)的极点位于s右半平面，则 h(t)呈增幅变化。当一阶极点位于虚轴时， 对应的h(t)成等幅振荡或阶跃变化。若二阶 极点位于虚轴，则相应的h(t)呈增幅变化。
以上讨论的稳定性条件都是在时域判 定的。在s域中，对于线性非时变因果系统， 可根据上述定义和系统的零极点分布与系 统冲激响应的关系得出系统极点分布与稳 定性的关系如下。
（1）稳定因果系统的系统函数H(s)的极点 只能在s左半平面，不能在s右半平面有极 点，否则不满足式（5-36），系统不稳定。
（2）如果H(s)的一阶极点位于虚轴， 则该系统为临界稳定系统。
信号与系统第5章-连续系统的复频域分析
0 sin 0t (t ) 2 2 s 0
s 同理可得 cos0t (t ) 2 2 s 0
收敛域为 0
衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出
应用电子系
5、t 的正幂函数 tnε(t) （n为正整数）
1 n st L[t (t )] t e dt t de 0 s 0 1 n st n n 1 st [t e n t e dt ] L[t n 1 (t )] 0 0 s s
信号与系统 第四章 连续时间系统的复频域分析
• 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的主要性质
• 拉普拉斯反变换 • 系统的s域分析
应用电子系
第四章 连续时间系统的复频域分析
基于傅里叶变换的频域分析法引入了信号频 谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意 义。但频域分析有其局限性： 1、要求函数绝对可积(狄里克雷条件)
拉普拉斯变换和傅里叶变换变换的性质有些是 相似的，而有些是有区别的，要注意它们的相似 之处和不同之处不要混淆。 这些性质都是针对单边拉普拉斯变换的。
应用电子系
1、线性 若： f1 (t ) F1 (s), f2 (t ) F2 (s) 则： a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 ( s) a2 F2 ( s)
1 又如： t (t ) 2 s
1 (t ) (s )2
5、时域微分
df (t ) 若： f (t ) F ( s ) 则 sF ( s ) f (0 ) dt
df (t ) df ( t ) st st 证明： L e dt e df (t ) 0 0 dt dt
连续信号与系统的复频域分析
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2023 WORK SUMMARY
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REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
连续时间信号与系统的复频域分析课件
子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为 从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为 从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带 状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯 变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1
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t 0
s
例：
2020/6/3
4.2.10 终值定理
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
例：
2020/6/3
4.2.11 卷积定理
• 1．时域卷积定理 • 2．复频域卷积定理
2020/6/3
1．时域卷积定理
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则： f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4.1 拉普拉斯变换
• 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 • 4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
2020/6/3
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4.1.1 从傅里叶变换到拉普 拉斯变换
• 由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利 条件时，便存在一对傅里叶变换式：
F() f (t)ejt dt -
2020/6/3
2．复频域卷积定理
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则：
f1(t)f2(t) 21 jF1(s)F2(s)
2020/6/3
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4.3 单边拉氏反变换
• 4.3.1 查表法 • 4.3.2 部分分式展开法
2020/6/3
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4.3.1 查表法
例：已F知 (s)2ss22
0
s
s
2020/6/3
4.2.7 频域微分定理
若 f(t)F(s)
则 tf(t)d F(s) ds
2020/6/3
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4.2.8 频域积分定理
若 f(t)F(s)
则
f(t)F()d
t
s
2020/6/3
返回本节
4.2.9 初值定理
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f(0)lim f(t)lis m F (s)
9s18,求其拉氏反变换。 4s8
解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2 s2 (s2)222
查表得：
22(t)
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
收敛域
图4-1 收敛域的划分
f1(t) A
0
j
t
a
0
图4-2 右边指数衰减信号与其收敛域
f2(t)
t 0
A
j
a 0
图4-3 左边指数增长信号与其收敛域
f3(t) 1
t 0
j
b
0
b
图4-4 双边信号与其收敛域 返回本节
4.1.3 常用信号的单边拉氏 变换
• 1．单位阶跃信号 • 2．单位冲激信号 • 3．指数信号 • 4．正弦信号 • 5．t的正幂信号
2020/6/3
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4.2.1 线性
若 f 1 ( t) F 1 ( s ),f2 ( t) F 2 ( s ) 则对于a1 任 和 a2,有 意常数
a1f1(t)a2f2(t) a1F 1(s)a2F 2(s)
2020/6/3
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4.2.2 时移（延时）特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
2020/6/3
1．单位阶跃信号
F(s)Lu(t) estd test 1
0
s 0 s
即：
u(t) 1 s
2020/6/3
2．单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
2020/6/3
3．指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
tne sd t ttne stn tn 1e sd t tn tn 1e sd t t
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
2020/6/3
表4-1 常用信号的拉氏变换
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4.2 单边拉氏变换的性质
• 4.2.1 线性 • 4.2.2 时移（延时）特性 • 4.2.3 尺度变换 • 4.2.4 频移特性 • 4.2.5 时域微分定理 • 4.2.6 时域积分定理 • 4.2.7 频域微分定理 • 4.2.8 频域积分定理 • 4.2.9 初值定理 • 4.2.10 终值定理 • 4.2.11 卷积定理
f (t) 1 F()e jt d
2
2020/6/3
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4.1.2 拉普拉斯变换的收敛 域
• 连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以
下简称拉氏变换）式f(s)是否存在，取
决于f(t)乘e 以t 衰减因子
以后是否
绝对可积f，(即t)：eat dt
2020/6/3
j
收 敛 轴
0 0收
敛 坐 标
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
2020/6/3
4．正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
0 si ntes
td t
ejt ejt 0 2j
es
tdt
21js1js1js2 2
即： sintu(t) s2 2
2020/6/3
5．t的正幂信号
F(s)Ltnu(t)tnesd t t 0 利用分部积分法，得：
2020/6/3
f(t) A
t
0
T
f(1)(t)
A
T
T
t
0
A(tT)
f(2)(t)
A(t)
T 0
T
t
A(tT)
T
A(1)(tT)
（a）三角脉冲
（b）三角脉冲的一阶导数 （c）三角脉冲的二阶导数 图4-7 三角脉冲及其导数
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4.2.6 时域积分定理
若 f(t)F(s)
则t f ()d F(s源自 f (1)(0)第4章 连续时间信号与系统的 复频域分析
• 4.1 拉普拉斯变换 • 4.2 单边拉氏变换的性质 • 4.3 单边拉氏反变换 • 4.4 连续系统的复频域分析 • 4.5 系统函数H(s) • 4.6 系统函数的零、极点分布与时域
响应特性的关系 • 4.7 系统的稳定性 • 2020/6/3 4.8 系统函数与系统频率特性
f(a)t 1 aF(a s) a0
2020/6/3
4.2.4 频移特性
若 f(t)F(s)
则
f(t)eatF(sa)
2020/6/3
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4.2.5 时域微分定理
若 f(t)F(s) 则
d f (t) sF(s) f (0) dt f (n)(t) snF(s)sn1 f (0)
sn2 f '(0) f n1(0)
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
2020/6/3
sint
t 0
（a）
sintu(t t0)
sin(tt0)
sin(tt0)u(t)
t
t
0t0
0 t0
（b）
（c）
sin(t t0)u(t t0)
t
t
0 t0
0 t0
（d）
（e）
图4-5 几种时移情况
4.2.3 尺度变换
若 f(t)F(s)
则