1.4 简单计数问题

§4　简单计数问题1．进一步理解计数原理和排列、组合的概念．(重点)2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．(难点)[基础·初探]教材整理　简单计数问题阅读教材P18～P21，完成下列问题．1．计数问题的基本解法(1)直接法：以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称元素分析法)．或以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数．【答案】　(1)元素　特殊元素　其他元素　位置　特殊位置　其他位置2．解决计数问题应遵循的原则先________后一般，先________后排列，先________后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步．【答案】　特殊　组合　分类5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法总数是( )A．120 B．72 C．60 D．36【解析】　分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，243每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C种，每一种有A种放法，共2434有C A种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有A种排法．由分类加法计数原理，2434得共有放法总数C A＋A＝60种．【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]排列问题　某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A．504种　B．960种C．1 008种D．1 108种【精彩点拨】　先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工．214【自主解答】　(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A C A 4＝192种；2144(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A C A＝192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，2143若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A C A＝192种；213133若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有4×A C C A＝432种．所以共有192＋192＋192＋432＝1 008种．【答案】　C1．本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置)进行讨论．2．较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法．[再练一题]1．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) 【导学号：62690018】A．72 B．96 C．108 D．14432【解析】　第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有A A 23332233种；1,3,5均不相邻，有A种．故总的排法为A(A A＋A)＝108种，故选C.【答案】　C组合问题　某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选．【精彩点拨】　这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素．【自主解答】　(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人．由分步乘法计数原2452理，得C·C种．(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人．由分步乘法计数原理，得12552C·C种．02652(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共C·C种，即C652种．1255202652(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C·C＋C·C种，或6542452C－C·C种．03651651(5)某3人可除外，故共有C·C种，即C种．120255012550(6)C·C·C种，即C·C种．解答组合应用题的总体思路1．整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理．2．局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理．[再练一题]2．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A ．252种B ．112种C ．20种D ．56种【解析】　不同的分配方案共有C C ＋C C ＋C C ＋C C ＝112(种)．275374473572【答案】　B[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】　共有C ＝＝6(个)不同结果．244×32完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．探究2　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】　共有A －2＝10(个)不同结果．这个问题属于排列问题．完成的“这件事”24是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．探究3　完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A 种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下24非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C C C ＝18(种)不同的121313结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A ＋C C C ＝30(种)不同的结果．24121313　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．【精彩点拨】　(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．【自主解答】　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有352345135C C＋C C种，后排有A种，352345135共(C C＋C C)·A＝5 400种．474(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．47144(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360种．3613(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3336133人全排有A种，共C·C·A＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[再练一题]3．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种24232【解析】　若选择了两个城市，则有C C A＝36种投资方案；若选择了三个城市，则343有C A＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案．【答案】　D[构建·体系]1．(2016·长武高二检测)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48【解析】　(间接法)：6人中选派4人的组合数为C ，其中都选男生的组合数为C .464所以至少有1名女生的选派方案有C －C ＝14(种)．464【答案】　A2．在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有( )A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个【解析】　由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有A ＋A ＝12(个)．33【答案】　C3．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答). 【导学号：62690019】【解析】　6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A 种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A 种方法，所以425共有：A ·A ＝480.425【答案】　4804．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．【解析】　有C ·C ·A ＝36种满足题意的分配方案．其中C 表示从3个乡镇中任132421324选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一2步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．【答案】　365．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．【解】　法一：设A，B代表两名老师傅．454A，B都不在内的选派方法有：C·C＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：2254C·C·C＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：24524C·C·C＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：223534C·A·C·C＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：12354C·C·C＝20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：124534C·C·C＝40(种)．所以共有45422542452422353412354124534C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·A·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝185(种)选派方法．法二：5名钳工有4名被选上的方法有：4546C·C＝75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：354512C·C·C＝100(种)；25245名钳工有2名被选上的方法有：C·C·C＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )25262526A．C C　B．C A2522622526C．C A C A D．A A25【解析】　分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女262526生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有C A种．【答案】　B2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有( )A．22种B．56种C．210种D．420种24271427【解析】　按第一种方法有C C种不同的搭配方法，按第二种方法共有C C种不同24271427的搭配方法，故共有C C＋C C＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C.【答案】　C3．将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有( )A．15B．18C．30D．36243【解析】　间接法，所有的不同放法有C·A种．A，B两球在同一个盒子中的放法22432种数为3×A，满足题意的放法种数为C A－3×A＝6×6－3×2＝36－6＝30.【答案】　C4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720【解析】　当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C A ＝480，当甲、354乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A A ＝120，则不同的发言顺序的种数为2523480＋120＝600，故选C.【答案】　C5．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．23个B ．24个C ．18个D ．6个【解析】　各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有A ＋C A ＝24个．3133【答案】　B 二、填空题6．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A ，B 风景区门票各2张，C ，D 风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种. 【导学号：62690020】【解析】　6位游客选2人去A 风景区，有C 种，余下4位游客选2人去B 风景区，26有C 种，余下2人去C ，D 风景区，有A 种，所以分配方案共有C C A ＝180(种)．24226242【答案】　1807．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】　分两种情况：第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有C A ＋C A C ＝90个；13323314第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有C A C ＋C C A C ＝234个．共233141323313有90＋234＝324个．【答案】　3248．某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种为________种．(结果用数值表示)【解析】　在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C ＝＝10.因选255×42择方式至少为200种，设素菜为x 种，则有C C ≥200.即≥20，化简得x(x －1)2x 25x x －12≥40，解得x≥7.所以至少应准备7种素菜．【答案】　7三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？34【解】　(1)先将3名男同志安排到车上，有A种方法，在未安排男同志的那辆车上1323341323安排一名女同志，有C种方法，还有2名女同志有A种安排方法．共有A C A＝432种安排方法．2323(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种分法，将4组安排到4辆车上有423234A种方法．共有C C A＝216种安排方法．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】　(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放36143262424入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．1424(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有1424C＋C＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有35C＝10(种)不同放法．[能力提升]1．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个【解析】　分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，341334共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C A个偶341334数．故符合条件的偶数共有2A＋C A＝120(个)．【答案】　B2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有( )23A．240种B．180种C．120种D．60种【解析】　取一双同色手套有C种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，16有C22种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有C C·22＝240 251625种．【答案】　A3．(2016·孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．【解析】　若用三种颜色，有C A种染法，若用四种颜色，有5·A种染法，则不同15344的染色方法有C A＋5·A＝240(种)．15344【答案】　2404．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中46选2件排在第5和第10的位置上测试，有C A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，24224有A种测法．4所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680种．46244(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·C·A＝576种．16344。

第一章§4一、选择题1．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A．48种B．36种C．24种D．18种[答案] B[解析]本题是考查排列组合及相关分类的问题．①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A44＝24(种)．②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C24C22＝12(种)．∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.2．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．15种B．20种C．25种D．32种[答案] C[解析]就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放入一个球时，相应的放法数有C15种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放法数有C25＝10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C35＝10种．根据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5＋10＋10＝25.3．(2014·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有() A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个[答案] A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C126)2A410个．二、填空题4．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案] 90种[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种．5．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1<a 3<a 5，则不同的排列方法有________种．(用数字作答)[答案] 30[解析] 本题主要考查用排列知识解决问题的能力．第一类：a 1＝2时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第二类：a 1＝3时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第三类：a 1＝4时，a 3＝5，a 5＝6，共有A 33＝6(种)．所以总的排列方法有12＋12＋6＝30(种)． 三、解答题6．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名； (2)队长至少有1人参加； (3)至少有1名女运动员； (4)既要有队长，又要有女运动员．[分析] 此题中选的5人与顺序无关，是组合问题．[解析] (1)C 36×C 24＝120种不同的选派方法．(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：共C 12×C 48＋C 38＝196种不同的选派方法．(3)全部选法中排除无女运动员的情况：共C 410－C 56＝246种不同的选法． (4)分三类：①仅女队长：C 48； ②仅男队长：C 48－C 45； ③两名队长：C 38；∴共C 48＋C 48－C 45＋C 38＝191种不同的选派方法．[点评] 本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑.一、选择题1．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有()A．4种B．5种C．9种D．20种[答案] C[解析]游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法．第二类：选省外路线，有5种方法．由加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9种．2．(2014·重庆理，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168[答案] B[解析]分两类：(1)先排歌舞类有A33＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2A33A33＝72；(2)先排歌舞类有A33＝6种排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4A33C12＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略了第二类，导致出差．3．(2012·山东理，11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484[答案] C[解析]本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C316－4C34－C24C112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472.另解：C04C312－3C34＋C14C212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重4.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有()A．8种B．12种C．16种D．20种[答案] C[解析]如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．[点评]此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思想．二、填空题5．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]432[解析]因为10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三种．若为1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2×2×2×2种可能，然后再排列它们，每一种可能有A44种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有2×2×2×2×A44＝384种；若为2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，方法是唯一的，再排列它们有A44种排法；若为1,4,1,4也有A44种排法．所以共有384＋A44＋A44＝432种不同的排法．6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答)．[答案]1260[解析]方法一：只需找到不同颜色的球所在的位臵即可，共有C29C37C44＝1260种方法．方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有A99A22A33A44＝1260种不同的方法．三、解答题7．有四个不同的数字1,4,5，x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x的值．[解析]因为1,4,5，x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所在的1的和共为4×A33＝24.同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所以，所在的4的和共为4×4×A33＝96.所在的5的和共为5×4×A33＝120.所在的x的和为x×4×A33＝24x.即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.8．“抗震救灾，众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[分析]本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决．[解析](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．9.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在如图所示的“田”字形方格内，每格涂一种颜色，且要求相邻的两格涂不同的颜色．如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[解析]根据所需颜色种数分为三类：(1)若用四种颜色，则四格涂不同的颜色，方法种数为A45种．(2)若用三种颜色，则有且仅有两格涂相同的颜色，即一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为2C15·A24种．(3)若用两种颜色，则两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A25种．因此，总的涂法种数为：A45＋2C15·A24＋A25＝260(种)．[点评]根据用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再根据分类加法计数原理求出总的涂法种数．。

有关计数法的简单问题计数问题是数学竞赛经常涉及的问题。

有关计数的方法，我们在此给大家举几个简单例子。

（一）枚举法枚举法就是把所要计数的对象一一列举出来，最后计算总数的方法。

例1有4个球，分别写上号码：1，2，3，4；有4个抽屉，也分别写上号码：一、二、三、四。

现在往每一个抽屉里放一个球，使其中恰有两个抽屉上的号码与球上的号码相同。

求满足以上放球要求的方法共有多少种？解：我们用1，2，3，4表示四个球；用一、二、三、四表示四个抽屉，则满足要求的放法为：可见满足要求的放法共有6种。

例2 某旅游团在a、b、c三个城市游览，规定今天在这个城市，明天一定去另一个城市。

问从a城出发，第5天又回到a城的旅游路线有几种？解：第一天是在a城，从a城出发有两条路线，一条是去b城，一条是去c城。

若第二天在b城，又有两条路线，一条去a城，一条去c城；若第二天在c城，同样也有两条路线，一条去a城，一条去b城，……。

见下图：可见，满足条件的路线有6条。

用枚举法计数时，一定注意遵循“不重、不漏”的原则。

（二）分组法对于数目较大的数学问题，难以用枚举法一一列举，就需要用“分组法”来计数了。

分组法是指把要计数的对象分成几组，每一个对象必须属于一个组，并且只属于一个组，把各个组的计数相加得到总数的方法。

例3用1元，5角，2角，1角四种纸币各一张，一共可以组成几种不同的币值？解：可以按照纸币的张数进行分组：只有一张纸币时，币值有4种；有两张纸币时，币值有6种；有三张纸币时，币值有4种；有四张纸币时，币值有1种。

∴共有4+6+4+1=15种不同的币值。

例4 如图所示，地图上有A，B，C，D，E，F六个地区，现在用红、黄、白、绿、蓝；五种颜色，对每一个地区涂一种颜色，且使相邻地区的颜色不同，问一共有几种不同的涂色方法？解：做此题前，大家首先应该明确计数问题中最常用、最基本的两个原理：加法原理：完成某件事情可以有两类途径，第一类途径中有 m种方法，第二类途径中有n种方法，则完成这件事共有m+n种方法；乘法原理：完成某件事需要分成两步才能完成，第一步中有m种方法，第二步中有n种方法，则完成这件事共有m×n种方法。

计数综合知识点总结一、基本概念1.1 整数的计数整数的计数是计数综合的基础，它涉及到了对一定范围内的整数进行统计和计数。

在整数的计数中，通常需要掌握一些计数的基本规则和方法，如加法原理、乘法原理、排列、组合等。

这些基本规则和方法在解决实际问题时发挥着重要作用，可以帮助我们快速有效地进行计数和统计。

1.2 排列和组合排列和组合是计数综合中常用的概念和方法。

排列是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行排列，每个元素只能用一次，且考虑元素的先后顺序。

组合是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行组合，不考虑元素的先后顺序。

在实际问题中，排列和组合经常被用来求解具体的计数问题，例如排队、选组、抽样等。

1.3 概率与计数概率与计数是紧密相关的，概率可以看作是一种特殊的计数问题。

在概率计算中，我们通常需要对一个事件发生的可能性进行估计和计算，而这种估计和计算通常涉及到了对事件的计数和统计。

因此，在概率计算中，我们经常需要运用排列、组合等计数方法来进行计算和推理。

1.4 数论与计数数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和规律。

在数论中，我们通常需要对整数的计数和排列进行研究和分析，例如素数分布、约数个数等。

因此，数论和计数综合有着密切的关系，通过对整数性质的研究，我们可以进一步深化对计数综合的理解和应用。

二、常用方法2.1 加法原理加法原理是计数综合中常用的基本规则之一，它用于求解特定情况下的计数问题。

加法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相加得到最终的计数结果。

例如，如果一个事件可以分解为两个相互独立的子事件，那么这两个子事件的计数结果之和就是该事件的计数结果。

加法原理在解决复杂的计数问题时发挥着重要作用，它能够帮助我们简化问题、降低求解难度。

2.2 乘法原理乘法原理是计数综合中另一个常用的基本规则，它也用于求解特定情况下的计数问题。

乘法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相乘得到最终的计数结果。

§4简洁计数问题1.某省博物馆欲在A地展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计作品1件.展出时,将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必需相邻,2件绘画作品不能相邻,则该展台展出这5件作品不同的排法有()A.12种B.24种C.36种D.48种解析:由于2件书法作品必需相邻,所以可用捆绑法与1件标志性建筑设计一起排列有A22A22种排法.又由于2件绘画作品不能相邻可用插空法,有A32种方法,所以该展台展出的5件作品不同的排法有A22A22A32=24种.答案:B2.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且挨次不变)的不同排列共有()种.A.120B.480C.720D.840解析:先将“qu”捆绑成一个元素,再从剩余的6个元素中取3个元素,共有C63种不同的取法,然后对取出的4个元素进行全排列,有A44种方法,由于“qu”挨次不变,依据分步乘法计数原理共有C63A44=480种不同排列.答案:B3.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有()A.288个B.240个C.144个D.126个解析:∵组成的五位数字大于20000,∴首位必需是2,3,4,5.又∵是偶数,∴组成五位数的个位是0,2,4.∴当个位是0时,首位有4种选法,有4×A43=96个.当个位是2或4时有A21种,首位有3种,∴有2×3×A43=144个.∴共有96+144=240个.答案:B4.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D.144解析:插空法,先排2,4,6共有A33种方法.①若1,3,5都不相邻,则有A33种方法;②若1,3相邻,则有A22A32种方法.所以共有A33(A33+A22A32)=108种不同的方法.答案:C5.某单位支配7位员工在10月1日至7日值班,每天支配1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日、丁不排在10月7日,则不同的排法方案有()种.A.504B.960C.1008D.1108解析:若丙排10月1日,共有A55·A22=240种排法,若丁排10月7日,共有A55·A22=240种排法,若丙排1日且丁排7日,共有A44·A22=48种排法,若不考虑丙、丁的条件限制,共有A66·A22=1440种排法,所以共有1440-240-240+48=1008种排法.答案:C6.假如在一周内(周一至周日)支配三所学校的同学参观某展览馆,每天最多只支配一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的支配方法有()种.A.50B.60C.120D.210解析:先支配甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选两天有序地支配其余两校参观,支配方法有A52种,依据分步乘法计数原理可知共有C61·A52=120种不同的支配方法.答案:C7.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有种.解析:联想一空间模型,留意到“有2个面不相邻”,既可从相对平行的平面入手正面构造,即C61·C21,也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面,即C63-8=12.答案:128.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有种不同的种法.解析:区域5有4种种法,区域1有3种种法,区域4有2种种法,若1,3同色,区域2有2种种法,若1,3不同色,区域2有1种种法,所以共有4×3×2×(1×2+1×1)=72种不同的种法.答案:729.某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生.现要将这12名同学平均安排到3个班中去,每班都分到1名篮球特长生的安排方法共有种,3名篮球特长生安排到同一班的安排方法共有种.(用数字作答)解析:3名篮球特长生分在3个班中有A33种方法,余下9名特长生平均分到3个班中有C93C63C33种方法,共有A33C93C63C33=10080种不同的安排方法.若3名篮球特长生分在同一个班中有C31种方法,再有1名特长生分在该班有C91种方法,余下8个平均分在另2个班中,有C84C44种方法,共有C31C91C84C44=1890种不同的安排方法.答案:10080189010.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个?解:(1)分步完成:第一步:在4个偶数中取3个,有C43种状况.其次步:在5个奇数中取4个,有C54种状况.第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,有A77种状况.所以符合题意的七位数有C43·C54·A77=100800个.(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有C43·C54·A55·A33=14400个.(3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有C43·C54·A33·A44·A22=5760个.(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空隙中(包括两端),共有C43·C54·A44·A53=28800个.11.有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,把小球全部放入盒子.问:(1)共有多少种放法?(2)恰有1个空盒,有多少种放法?(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?解:(1)1号小球可放入任意1个盒子内,有4种放法.同理,2,3,4号小球也各有4种放法,故共有44=256种放法.(2)恰有1个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1,1,2.先从4个小球中任选2个放在一起,有C42种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A43种放法.由分步乘法计数原理,知共有C42A43=144种不同的放法.(3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法:第一类:1个盒子内放1个球,另1个盒子内放3个球.先把小球分为两组,其中一组1个,另一组3个,有C41种分法,再放到2个盒子内,有A42种放法,共有C41A42种方法.其次类:2个盒子内各放2个小球.先从4个盒子中选出2个盒子,有C42种选法,然后把4个小球平均分成2组,每组2个,有C42种分法,共有C42C42种方法.由分类加法计数原理,知共有C41A42+C42C42=84种不同的放法.。

word§4简单计数问题（数学北师选修2-3）建议用时 实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个2．3X 不同的电影票全部分给10个人,每人至多一X,则有不同分法的种数是( ) A ．1 260 B ．120 C ．240 D ．7203．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种. A.36 B ．72 C ．90 D ．1444．从不同的5双鞋中任取4只，其中恰好凑成1双的取法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．280 D ．60二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．5．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果.6．在1,2,3，…，9这9个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.7．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出_____个不同的点.8．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.9．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题（共50分）10．（15分）集合A 中有7个元素，集合B 中有10个元素，集合A B 中有4个元素，集合C 满足： （1）C 有3个元素； （2）C A ；（3）CB ≠，C A ≠.求这样的集合C 的集合个数.11．（18分）从{}3,2,1,0,1,2,3,4---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?12．（17分）8把椅子排成一排,有4个人就坐,人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种§4简单计数问题（数学北师选修2-3）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．9． 三、解答题 10. 11. 12.§4简单计数问题（数学北师选修2-3）答案一、选择题1．C 解析：个位12A ，万位13A ，其余33A ，共计113233A A A =36.2．D 解析：相当于3个元素排10个位置，310A =720.3．A 解析：从,,,c d e f 中选2个，有24C 种，把,a b 看成一个整体，则3个元素全排列，有33A 种.共计 2343C A =36（种）.4．A 解析：先从5双鞋中任取1双，有15C 种，再从8只鞋中任取2只，有28C 种情况，但需要排除4种成双的情况，即有（28C ）种情况，则取法共计1258C C 4= （）120（种）.二、填空题5．2n 解析： 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2222=n n ⨯⨯⨯（个）2.6．60 解析： 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即13315454C C +C C =60.7．23 解析：112342C C A 1=-23，其中(1,1)重复了一次.8．4 186 解析：至少有3次是次品，即有3件次品，或4件次品，故抽法共有3241446446C C +C C =4186 （种）.9．105 解析：直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数，233241454545C C +C C +C C =105；间接法：55419554C C C C =105--. 三、解答题 10．解：AB 中有元素710413+-=（个），3331363C C C =286201=265----（个）. 11．解：抛物线经过原点，得0c =，当顶点在第一象限时，0,0,0,0,2a b a b a <⎧<->⎨>⎩即则有1134C C 种； 当顶点在第三象限时，0,0,0,0,2a ba b a >⎧>-<⎨>⎩即则有24A 种； 共计有112344C C A =24+（种）.12．解：把4个人先排，有44A 种，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有25A 种，所以共计有4245A A =480（种）.。