简单计数问题()

【导语】成功根本没有秘诀可⾔，如果有的话，就有两个：第⼀个就是坚持到底，永不⾔弃；第⼆个就是当你想放弃的时候，回过头来看看第⼀个秘诀，坚持到底，永不⾔弃，学习也是⼀样需要多做练习。

以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼩学奥数计数问题练习与答案【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇：整体法经典练习题】经典例题展⽰1：有⼀类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字⽐左右两个数字⼤，⼗位数字也⽐左右两个数字⼤；另有⼀类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字⽐左右两个数字⼩，⼗位数字也⽐左右两个数字⼩。

请问符合要求的数M和W，哪⼀类的个数多？多多少？ 经典例题展⽰2：游乐园的门票1元1张，每⼈限购1张。

现在有10个⼩朋友排队购票，其中5个⼩朋友只有1元的钞票，另外5个⼩朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。

问有多少种排队⽅法,使售票员总能找得开零钱?【第⼆篇：递推⽅法的概述及解题技巧】在不少计数问题中，要很快求出结果是⽐较困难的，有时可先从简单情况⼊⼿，然后从某⼀种特殊情况逐渐推出与以后⽐较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的⽅法叫递推⽅法。

线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上⼀共有多少条不同的线段？ 分析与解答：从简单情况研究起： AB上共有2个点，有线段：1条 AB上共有3个点，有线段：1＋2＝3（条） AB上共有4个点，有线段：1＋2＋3＝6（条） AB上共有5个点，有线段：1＋2＋3＋4＝10（条） …… AB上共有10个点，有线段：1＋2＋3＋4＋…＋9＝45（条） ⼀般地，AB上共有n个点，有线段： 1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＝n×（n－1）÷2 即：线段数＝点数×（点数－1）÷2【第三篇：计数习题标数法和加法原理的综合应⽤】★★★★）有20个相同的棋⼦，⼀个⼈分若⼲次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋⼦数不是3或4的倍数，有（）种不同的⽅法取完这堆棋⼦. 【分析】把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成⼀串，⽤标号法把所有的⽅法数写出来： 考点说明：本题主要考察学⽣对于归纳递推思想的理解，具体来说就是列表标数法的使⽤，难度⼀般，只要发现了题⽬中的限制条件，写出符合条件的剩余棋⼦数，然后进⾏递推就可以了。

4岁韦氏智力测试题目
1. 颜色识别：请孩子指出以下颜色中哪一个是红色：黄色、蓝色、红色。

2. 形状识别：展示圆形、正方形和三角形，然后问孩子：“哪一个是
圆形？”
3. 数字识别：展示数字1、2、3，然后问孩子：“哪个是数字2？”
4. 简单计数：给孩子看两组物品，每组有不同数量（比如一组有3个，另一组有5个），然后问：“哪一组物品更多？”
5. 模式识别：展示一系列模式（如红-蓝-红-蓝），然后问孩子：
“接下来应该是什么颜色？”
6. 简单分类：给孩子一些不同种类的玩具（如动物、车辆、食物），
然后问：“你能把所有的动物放在一起吗？”
7. 记忆测试：给孩子看一组物品，然后遮住物品，问孩子：“你能告
诉我我刚才给你看了哪些物品吗？”
8. 简单逻辑问题：问孩子：“如果你饿了，你会怎么做？”
9. 模仿动作：向孩子展示一些简单的动作（如拍手、跳跃），然后让
孩子模仿。

10. 简单问题解决：给孩子一个简单的问题，如：“如果你想要喝水，但是水杯在桌子上，你够不到，你会怎么做？”
11. 基本数学概念：问孩子：“如果你有两块饼干，妈妈又给了你两块，你现在有几块饼干？”
12. 社交理解：展示一些表情图片（如开心、生气、悲伤），然后问孩子：“这个人现在感觉怎么样？”
13. 基本词汇：问孩子：“你知道什么是苹果吗？”
14. 空间理解：问孩子：“你能指出桌子的上面和下面吗？”
15. 基本指令遵循：给孩子一些简单的指令，如：“请把这本书给我。

”然后观察孩子是否能够理解并执行指令。

请注意，这些题目只是示例，实际的韦氏智力测试是一个标准化的评估工具，需要由专业的心理学家或教育工作者在特定环境下进行。

第一章§4一、选择题1．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A．48种B．36种C．24种D．18种[答案] B[解析]本题是考查排列组合及相关分类的问题．①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A44＝24(种)．②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C24C22＝12(种)．∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.2．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．15种B．20种C．25种D．32种[答案] C[解析]就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放入一个球时，相应的放法数有C15种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放法数有C25＝10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C35＝10种．根据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5＋10＋10＝25.3．(2014·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有() A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个[答案] A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C126)2A410个．二、填空题4．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案] 90种[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种．5．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1<a 3<a 5，则不同的排列方法有________种．(用数字作答)[答案] 30[解析] 本题主要考查用排列知识解决问题的能力．第一类：a 1＝2时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第二类：a 1＝3时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第三类：a 1＝4时，a 3＝5，a 5＝6，共有A 33＝6(种)．所以总的排列方法有12＋12＋6＝30(种)． 三、解答题6．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名； (2)队长至少有1人参加； (3)至少有1名女运动员； (4)既要有队长，又要有女运动员．[分析] 此题中选的5人与顺序无关，是组合问题．[解析] (1)C 36×C 24＝120种不同的选派方法．(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：共C 12×C 48＋C 38＝196种不同的选派方法．(3)全部选法中排除无女运动员的情况：共C 410－C 56＝246种不同的选法． (4)分三类：①仅女队长：C 48； ②仅男队长：C 48－C 45； ③两名队长：C 38；∴共C 48＋C 48－C 45＋C 38＝191种不同的选派方法．[点评] 本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑.一、选择题1．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有()A．4种B．5种C．9种D．20种[答案] C[解析]游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法．第二类：选省外路线，有5种方法．由加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9种．2．(2014·重庆理，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168[答案] B[解析]分两类：(1)先排歌舞类有A33＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2A33A33＝72；(2)先排歌舞类有A33＝6种排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4A33C12＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略了第二类，导致出差．3．(2012·山东理，11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484[答案] C[解析]本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C316－4C34－C24C112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472.另解：C04C312－3C34＋C14C212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重4.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有()A．8种B．12种C．16种D．20种[答案] C[解析]如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．[点评]此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思想．二、填空题5．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]432[解析]因为10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三种．若为1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2×2×2×2种可能，然后再排列它们，每一种可能有A44种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有2×2×2×2×A44＝384种；若为2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，方法是唯一的，再排列它们有A44种排法；若为1,4,1,4也有A44种排法．所以共有384＋A44＋A44＝432种不同的排法．6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答)．[答案]1260[解析]方法一：只需找到不同颜色的球所在的位臵即可，共有C29C37C44＝1260种方法．方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有A99A22A33A44＝1260种不同的方法．三、解答题7．有四个不同的数字1,4,5，x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x的值．[解析]因为1,4,5，x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所在的1的和共为4×A33＝24.同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所以，所在的4的和共为4×4×A33＝96.所在的5的和共为5×4×A33＝120.所在的x的和为x×4×A33＝24x.即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.8．“抗震救灾，众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[分析]本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决．[解析](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．9.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在如图所示的“田”字形方格内，每格涂一种颜色，且要求相邻的两格涂不同的颜色．如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[解析]根据所需颜色种数分为三类：(1)若用四种颜色，则四格涂不同的颜色，方法种数为A45种．(2)若用三种颜色，则有且仅有两格涂相同的颜色，即一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为2C15·A24种．(3)若用两种颜色，则两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A25种．因此，总的涂法种数为：A45＋2C15·A24＋A25＝260(种)．[点评]根据用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再根据分类加法计数原理求出总的涂法种数．。

§4简洁计数问题1.某省博物馆欲在A地展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计作品1件.展出时,将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必需相邻,2件绘画作品不能相邻,则该展台展出这5件作品不同的排法有()A.12种B.24种C.36种D.48种解析:由于2件书法作品必需相邻,所以可用捆绑法与1件标志性建筑设计一起排列有A22A22种排法.又由于2件绘画作品不能相邻可用插空法,有A32种方法,所以该展台展出的5件作品不同的排法有A22A22A32=24种.答案:B2.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且挨次不变)的不同排列共有()种.A.120B.480C.720D.840解析:先将“qu”捆绑成一个元素,再从剩余的6个元素中取3个元素,共有C63种不同的取法,然后对取出的4个元素进行全排列,有A44种方法,由于“qu”挨次不变,依据分步乘法计数原理共有C63A44=480种不同排列.答案:B3.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有()A.288个B.240个C.144个D.126个解析:∵组成的五位数字大于20000,∴首位必需是2,3,4,5.又∵是偶数,∴组成五位数的个位是0,2,4.∴当个位是0时,首位有4种选法,有4×A43=96个.当个位是2或4时有A21种,首位有3种,∴有2×3×A43=144个.∴共有96+144=240个.答案:B4.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D.144解析:插空法,先排2,4,6共有A33种方法.①若1,3,5都不相邻,则有A33种方法;②若1,3相邻,则有A22A32种方法.所以共有A33(A33+A22A32)=108种不同的方法.答案:C5.某单位支配7位员工在10月1日至7日值班,每天支配1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日、丁不排在10月7日,则不同的排法方案有()种.A.504B.960C.1008D.1108解析:若丙排10月1日,共有A55·A22=240种排法,若丁排10月7日,共有A55·A22=240种排法,若丙排1日且丁排7日,共有A44·A22=48种排法,若不考虑丙、丁的条件限制,共有A66·A22=1440种排法,所以共有1440-240-240+48=1008种排法.答案:C6.假如在一周内(周一至周日)支配三所学校的同学参观某展览馆,每天最多只支配一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的支配方法有()种.A.50B.60C.120D.210解析:先支配甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选两天有序地支配其余两校参观,支配方法有A52种,依据分步乘法计数原理可知共有C61·A52=120种不同的支配方法.答案:C7.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有种.解析:联想一空间模型,留意到“有2个面不相邻”,既可从相对平行的平面入手正面构造,即C61·C21,也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面,即C63-8=12.答案:128.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有种不同的种法.解析:区域5有4种种法,区域1有3种种法,区域4有2种种法,若1,3同色,区域2有2种种法,若1,3不同色,区域2有1种种法,所以共有4×3×2×(1×2+1×1)=72种不同的种法.答案:729.某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生.现要将这12名同学平均安排到3个班中去,每班都分到1名篮球特长生的安排方法共有种,3名篮球特长生安排到同一班的安排方法共有种.(用数字作答)解析:3名篮球特长生分在3个班中有A33种方法,余下9名特长生平均分到3个班中有C93C63C33种方法,共有A33C93C63C33=10080种不同的安排方法.若3名篮球特长生分在同一个班中有C31种方法,再有1名特长生分在该班有C91种方法,余下8个平均分在另2个班中,有C84C44种方法,共有C31C91C84C44=1890种不同的安排方法.答案:10080189010.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个?解:(1)分步完成:第一步:在4个偶数中取3个,有C43种状况.其次步:在5个奇数中取4个,有C54种状况.第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,有A77种状况.所以符合题意的七位数有C43·C54·A77=100800个.(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有C43·C54·A55·A33=14400个.(3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有C43·C54·A33·A44·A22=5760个.(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空隙中(包括两端),共有C43·C54·A44·A53=28800个.11.有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,把小球全部放入盒子.问:(1)共有多少种放法?(2)恰有1个空盒,有多少种放法?(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?解:(1)1号小球可放入任意1个盒子内,有4种放法.同理,2,3,4号小球也各有4种放法,故共有44=256种放法.(2)恰有1个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1,1,2.先从4个小球中任选2个放在一起,有C42种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A43种放法.由分步乘法计数原理,知共有C42A43=144种不同的放法.(3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法:第一类:1个盒子内放1个球,另1个盒子内放3个球.先把小球分为两组,其中一组1个,另一组3个,有C41种分法,再放到2个盒子内,有A42种放法,共有C41A42种方法.其次类:2个盒子内各放2个小球.先从4个盒子中选出2个盒子,有C42种选法,然后把4个小球平均分成2组,每组2个,有C42种分法,共有C42C42种方法.由分类加法计数原理,知共有C41A42+C42C42=84种不同的放法.。

计数问题（一）1.张华、李明等七个同学照相，分别求出下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，张华必须站在中间；（3）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；（4）七个人排成一排，张华、李明必须站在两边；（5）七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；2.学校乒乓球队有5名男生、3名女生，现在要选3人参加区里的比赛，（1）共有多少种不同的选法？（2）3人中没有女生，有多少种不同的选法？（3）3人中恰有一名女生，有多少种不同的选法？（4）A、B两名女生必须入选，有多少种不同的选法？（5）A、B两名女生不能同时入选，有多少种不同的选法？（6）至少1名女生入选，有多少种不同的选法？3.（1）用1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个不同的三位数？（数字允许重复）（2）用1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）用1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个没有重复数字的七位数？（4）从1、2、3、4、5、6、7中选出三个不同数字，有多少种不同的选法？4.（1）用1、2、3、4、5、6可以组成多少个六位数？（2）用1、1、2、3、4、5可以组成多少个六位数？（3）用1、1、2、2、3、4可以组成多少个六位数？（4）用1、1、2、2、3、3可以组成多少个六位数？（5）用1、1、1、2、3、4可以组成多少个六位数？（6）用1、1、1、2、2、3可以组成多少个六位数？（7）用1、1、1、1、2、3可以组成多少个六位数？（8）用1、1、1、1、2、2可以组成多少个六位数？（9）用1、1、1、2、2、2可以组成多少个六位数？5.（1）将五枚相同的棋子，放入5×5的方格内。

使每行每列均有一枚棋子，有多少种不同情况？（每个方格内最多放一枚棋子）（2）将五枚不同的棋子，放入5×5的方格内。

使每行每列均有一枚棋子，有多少种不同情况？（每个方格内最多放一枚棋子）（3）将A、B两个字母，填入4×4的方格内，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）（4）将A、B两个字母，填入4×4的方格内，使每行每列最多有一个字母，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）（5）将两个A填入4×4的方格内，使每行每列最多有一个字母，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）（6）将两个A和两个B填入4×4的方格内，使每行每列最多有一个字母，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）6.小明从1、2、3、4中选出两个数字组成两位数，小刚从6、7、8、9中选出两个数字组成两位数，若用小明组成的两位数做分子，小刚组成的两位数做分母，那么所得到的分数（不进行约分）共有多少种不同情况？7.圆周上有7个点，以这些点为顶点连三角形，一共能画出多少个不同的三角形？以这些点为顶点连四边形，一共能画出多少个不同的四边形？8.有6个足球队进行单循环比赛，一共要赛多少场？9.从1至9这9个数字中选出3个数字，使得它们的和为偶数，有多少种不同情况？10.从1～7七个数字中，选出4个不同的数字，组成大于2000且小于7000的四位数，共有多少种不同情况？11.（1）右图是某地的街道示意图，从A点到B点的最短路线共有多少种不同的走法？（2）右图中有多少个长方形（包括正方形）？12.用皮筋在3×3的钉板上套出三角形，共有多少种不同情况？13.（1）将7名同学分成两组，共有多少种不同分法？（2）将6名同学分成两组，共有多少种不同分法？14.个位数字大于百位数字的且各位数字均不相同的四位数有多少个？1.电视台在两节目之间连续插播7条广告。

word§4简单计数问题（数学北师选修2-3）建议用时 实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个2．3X 不同的电影票全部分给10个人,每人至多一X,则有不同分法的种数是( ) A ．1 260 B ．120 C ．240 D ．7203．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种. A.36 B ．72 C ．90 D ．1444．从不同的5双鞋中任取4只，其中恰好凑成1双的取法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．280 D ．60二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．5．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果.6．在1,2,3，…，9这9个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.7．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出_____个不同的点.8．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.9．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题（共50分）10．（15分）集合A 中有7个元素，集合B 中有10个元素，集合A B 中有4个元素，集合C 满足： （1）C 有3个元素； （2）C A ；（3）CB ≠，C A ≠.求这样的集合C 的集合个数.11．（18分）从{}3,2,1,0,1,2,3,4---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?12．（17分）8把椅子排成一排,有4个人就坐,人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种§4简单计数问题（数学北师选修2-3）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．9． 三、解答题 10. 11. 12.§4简单计数问题（数学北师选修2-3）答案一、选择题1．C 解析：个位12A ，万位13A ，其余33A ，共计113233A A A =36.2．D 解析：相当于3个元素排10个位置，310A =720.3．A 解析：从,,,c d e f 中选2个，有24C 种，把,a b 看成一个整体，则3个元素全排列，有33A 种.共计 2343C A =36（种）.4．A 解析：先从5双鞋中任取1双，有15C 种，再从8只鞋中任取2只，有28C 种情况，但需要排除4种成双的情况，即有（28C ）种情况，则取法共计1258C C 4= （）120（种）.二、填空题5．2n 解析： 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2222=n n ⨯⨯⨯（个）2.6．60 解析： 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即13315454C C +C C =60.7．23 解析：112342C C A 1=-23，其中(1,1)重复了一次.8．4 186 解析：至少有3次是次品，即有3件次品，或4件次品，故抽法共有3241446446C C +C C =4186 （种）.9．105 解析：直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数，233241454545C C +C C +C C =105；间接法：55419554C C C C =105--. 三、解答题 10．解：AB 中有元素710413+-=（个），3331363C C C =286201=265----（个）. 11．解：抛物线经过原点，得0c =，当顶点在第一象限时，0,0,0,0,2a b a b a <⎧<->⎨>⎩即则有1134C C 种； 当顶点在第三象限时，0,0,0,0,2a ba b a >⎧>-<⎨>⎩即则有24A 种； 共计有112344C C A =24+（种）.12．解：把4个人先排，有44A 种，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有25A 种，所以共计有4245A A =480（种）.。

简单计数问题【要点梳理】要点一：排列计数问题有限制条件的排列问题常见命题形式：（1）“在”与“不在”的问题：“（不）在”指的是（不）存在特殊元素或特殊位置，如“甲在乙的左边”、“甲必须入选”等.（2）“邻”与“不邻”的问题：“邻”指若干元素必须相邻；“不邻”指若干元素不能相邻.要点诠释：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空法”，即将其他剩余元素排列，然后用互不相邻的元素插空.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.排列问题的解题方法：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）优限法：特殊元素优先考虑；特殊位置，优先考虑。

对有附加条件的排列组合问题，一般采用该方法。

（3）捆绑法：对相邻问题可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：对不相邻问题先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）直排法：分排问题直排处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.流程图：要点二：组合计数问题有限制条件的组合问题常见命题形式：(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.要点诠释：1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.要点三：排列组合混合题型解答排列、组合问题的思维模式：（1）是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； （2）是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 要点诠释：（1）排列与组合问题的区别：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题.（2）两个计数原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 解答排列、组合问题的一般策略：解决简单计数问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏． 解排列组合的应用题的一般步骤(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类； (2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决.(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同. 要点诠释：排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【典型例题】类型一、排列计数问题例1. 六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端． 【思路点拨】本题是排列问题.【解析】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14A 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有55A 种站法，根据分步计数原理，共有1545A A 480g ＝种站法． 法二：若对甲没有限制条件，共有66A 种站法，甲在两端共有255A 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有66A －255A ＝480种站法．(2)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有55A 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22A 种站法，根据分步计数原理，共有55A ·22A ＝240种站法． 法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站，有15A 种站法，最后让甲、乙全排列，有22A 种方法 ，共有44A ·15A ·22A ＝240种站法．(3)法一：因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有44A 种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有25A 种站法，故共有44A ·25A ＝480种站法． 法二：“间接法”：6个人全排列有66A 种站法，由(2)知甲、乙相邻有55A ·22A ＝240种站法，所以不相邻的站法有 66A －55A ·22A ＝720－240＝480种．(4)法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，然后将甲、乙按条件插入站队，有322A 种站法，故共有44A ·322A ＝144种站法．法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24A 种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有33A 种站法；最后对甲、乙进行排列，有22A 种站法，故共有24A ·33A ·22A ＝144种站法．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22A 种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有44A 种站法，根据分步计数原理，共有22A ·44A ＝48种站法． (6)法一：间接法。

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：课题：第一章§4简单计数问题【学习目标】1.能区分排列问题与组合问题。

2.能结合两个基本计数原理解决排列组合的综合性问题【重点、难点】重点：利用两个基本计数原理和排列组合的规律解决实际问题。

难点：把实际问题正确地抽象成排列或组合的问题。

【学法指导】1、根据学习目标，自学课本p18-p21内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3、带*号的为选做题。

【自主探究】不看不讲1. 排列与组合的区别在于： .2．解排列组合应用题最常用的方法与技巧：（1）.解决无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是二是（2）.解决有限制条件的排列组合应用题，通常从三个途径分析：①②③3. 排列组合问题用到的基本方法与技巧⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻4. 排列组合问题的解题思路：⑴⑵【合作探究】不议不讲1.在高二年级中的16个班中组织一个20人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？2.某班有43位同学，从中任抽5人，正、副班长和团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？3.学校组织老师和学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师。

要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？4.用0,1,2,3,4,5这六个数字（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且比31245大的五位数？【巩固提高】不练不讲1.有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有（）A．120种 B.60种 C.48种 D.150种2.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）A．16种 B.18种 C.37种 D.48种3.2011年西安世园会期间，某校举行世园知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有4.对某种产品的6件不同正品和4件次品一一进行测试，直至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？.※5.从集合｛1,2,3，…，20｝中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？【方法小结】：1.解决有限制条件的排列问题的常用方法：（1）特殊优先（2）排除法（3）捆绑法（4）插空法2.解决组合问题常用方法：（1）直接分类讨论法（不明确就讨论）（2）间接排除法（正难则反）3.解决排列组合的综合问题的方法：（1）先选后排、边选边排法（2）先分组后分配。