简单计数问题

1.用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )
A．54 B． 72
C．90 D． 108
2.某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A．1860 B．1320 C．1140
D．1020
a a
b b
c c排成三行两列,要求每行字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同
3.将字母,,,,,
的排列方法共有（）
A．12种B．18种
C．24种D．36种
4.六张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为（）
A．180 B．126 C．93 D．60
5.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排2名学生, 那么互不相同的分配方案共有________种.
6.在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402，745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有个.
7.从5名候选同学中选出3名，分别保送北大小语种（每个语种各一名同学）：俄罗斯语、阿拉伯语与希伯莱语，其中甲、乙二人不愿学希伯莱语，则不同的选法共有
种。

8.把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活动二各要2人,活动三要1人,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有_____种不同分配方法.
试卷答案1.D
2.C
3.A
4.B
5.112
6.240
7.36
8.24。

动物园有哪些数学问题动物园作为一个充满生命力和活力的场所，不仅可以给我们带来欢乐和惊喜，也可以启发我们探索数学世界。

以下是一些与动物园有关的数学问题，让我们一起来探索吧。

1. 动物园里有多少头动物？这是一个简单的计数问题，但需要注意分类清晰，不重不漏地计算每个动物种类的数量。

2. 这个动物园里有多少种不同的动物？这也是一个计数问题，但需要注意不同种类之间的区分，例如同属于猫科的豹和老虎就是不同的动物种类。

3. 如果每个动物饲养员每天喂食10头动物，那么需要多少位饲养员？这是一个简单的除法问题，根据总动物数和每个饲养员的负责动物数计算出需要的饲养员人数。

4. 如果所有动物的体重总和是5000公斤，那么平均每头动物的体重是多少？这是一个平均数问题，根据总体重和动物数量计算出平均每头动物的体重。

5. 如果每个人参观动物园需要花费50元，那么需要多少游客才能支付动物园的运营费用？这是一个简单的乘法问题，根据动物园的运营费用和每个游客的花费计算出需要的游客数量。

6. 如果每天有1000名游客来到动物园，那么每个游客平均看多少只动物才能看完所有动物？这是一个平均数问题，根据动物数量和每天的游客数量计算出平均每个游客需要看多少只动物。

7. 如果每只猴子每天需要吃3个香蕉，那么这个动物园里需要多少香蕉？这是一个乘法问题，根据猴子数量和每只猴子每天需要吃的香蕉数量计算出需要的香蕉总数。

8. 如果这个动物园里的所有大象排成一列，那么这一列大象的长度是多少？这是一个长度问题，需要根据每只大象的长度和大象数量计算出整个队列的长度。

9. 如果这个动物园里的所有鸟类每天可以飞行5公里，那么每只鸟每小时可以飞多远？这是一个速度问题，需要计算每只鸟每小时可以飞行多少公里。

10. 如果这个动物园里的所有爬行动物每天需要晒太阳4小时，那么这些动物每天需要多少时间晒太阳？这是一个时间问题，需要根据每只动物的数量和每只动物每天需要晒太阳的时间计算出总时间。

§4　简单计数问题1．进一步理解计数原理和排列、组合的概念．(重点)2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．(难点)[基础·初探]教材整理　简单计数问题阅读教材P18～P21，完成下列问题．1．计数问题的基本解法(1)直接法：以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称元素分析法)．或以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数．【答案】　(1)元素　特殊元素　其他元素　位置　特殊位置　其他位置2．解决计数问题应遵循的原则先________后一般，先________后排列，先________后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步．【答案】　特殊　组合　分类5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法总数是( )A．120 B．72 C．60 D．36【解析】　分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，243每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C种，每一种有A种放法，共2434有C A种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有A种排法．由分类加法计数原理，2434得共有放法总数C A＋A＝60种．【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]排列问题　某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A．504种　B．960种C．1 008种D．1 108种【精彩点拨】　先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工．214【自主解答】　(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A C A 4＝192种；2144(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A C A＝192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，2143若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A C A＝192种；213133若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有4×A C C A＝432种．所以共有192＋192＋192＋432＝1 008种．【答案】　C1．本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置)进行讨论．2．较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法．[再练一题]1．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) 【导学号：62690018】A．72 B．96 C．108 D．14432【解析】　第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有A A 23332233种；1,3,5均不相邻，有A种．故总的排法为A(A A＋A)＝108种，故选C.【答案】　C组合问题　某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选．【精彩点拨】　这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素．【自主解答】　(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人．由分步乘法计数原2452理，得C·C种．(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人．由分步乘法计数原理，得12552C·C种．02652(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共C·C种，即C652种．1255202652(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C·C＋C·C种，或6542452C－C·C种．03651651(5)某3人可除外，故共有C·C种，即C种．120255012550(6)C·C·C种，即C·C种．解答组合应用题的总体思路1．整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理．2．局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理．[再练一题]2．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A ．252种B ．112种C ．20种D ．56种【解析】　不同的分配方案共有C C ＋C C ＋C C ＋C C ＝112(种)．275374473572【答案】　B[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】　共有C ＝＝6(个)不同结果．244×32完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．探究2　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】　共有A －2＝10(个)不同结果．这个问题属于排列问题．完成的“这件事”24是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．探究3　完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A 种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下24非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C C C ＝18(种)不同的121313结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A ＋C C C ＝30(种)不同的结果．24121313　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．【精彩点拨】　(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．【自主解答】　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有352345135C C＋C C种，后排有A种，352345135共(C C＋C C)·A＝5 400种．474(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．47144(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360种．3613(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3336133人全排有A种，共C·C·A＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[再练一题]3．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种24232【解析】　若选择了两个城市，则有C C A＝36种投资方案；若选择了三个城市，则343有C A＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案．【答案】　D[构建·体系]1．(2016·长武高二检测)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48【解析】　(间接法)：6人中选派4人的组合数为C ，其中都选男生的组合数为C .464所以至少有1名女生的选派方案有C －C ＝14(种)．464【答案】　A2．在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有( )A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个【解析】　由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有A ＋A ＝12(个)．33【答案】　C3．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答). 【导学号：62690019】【解析】　6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A 种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A 种方法，所以425共有：A ·A ＝480.425【答案】　4804．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．【解析】　有C ·C ·A ＝36种满足题意的分配方案．其中C 表示从3个乡镇中任132421324选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一2步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．【答案】　365．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．【解】　法一：设A，B代表两名老师傅．454A，B都不在内的选派方法有：C·C＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：2254C·C·C＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：24524C·C·C＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：223534C·A·C·C＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：12354C·C·C＝20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：124534C·C·C＝40(种)．所以共有45422542452422353412354124534C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·A·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝185(种)选派方法．法二：5名钳工有4名被选上的方法有：4546C·C＝75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：354512C·C·C＝100(种)；25245名钳工有2名被选上的方法有：C·C·C＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )25262526A．C C　B．C A2522622526C．C A C A D．A A25【解析】　分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女262526生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有C A种．【答案】　B2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有( )A．22种B．56种C．210种D．420种24271427【解析】　按第一种方法有C C种不同的搭配方法，按第二种方法共有C C种不同24271427的搭配方法，故共有C C＋C C＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C.【答案】　C3．将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有( )A．15B．18C．30D．36243【解析】　间接法，所有的不同放法有C·A种．A，B两球在同一个盒子中的放法22432种数为3×A，满足题意的放法种数为C A－3×A＝6×6－3×2＝36－6＝30.【答案】　C4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720【解析】　当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C A ＝480，当甲、354乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A A ＝120，则不同的发言顺序的种数为2523480＋120＝600，故选C.【答案】　C5．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．23个B ．24个C ．18个D ．6个【解析】　各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有A ＋C A ＝24个．3133【答案】　B 二、填空题6．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A ，B 风景区门票各2张，C ，D 风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种. 【导学号：62690020】【解析】　6位游客选2人去A 风景区，有C 种，余下4位游客选2人去B 风景区，26有C 种，余下2人去C ，D 风景区，有A 种，所以分配方案共有C C A ＝180(种)．24226242【答案】　1807．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】　分两种情况：第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有C A ＋C A C ＝90个；13323314第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有C A C ＋C C A C ＝234个．共233141323313有90＋234＝324个．【答案】　3248．某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种为________种．(结果用数值表示)【解析】　在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C ＝＝10.因选255×42择方式至少为200种，设素菜为x 种，则有C C ≥200.即≥20，化简得x(x －1)2x 25x x －12≥40，解得x≥7.所以至少应准备7种素菜．【答案】　7三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？34【解】　(1)先将3名男同志安排到车上，有A种方法，在未安排男同志的那辆车上1323341323安排一名女同志，有C种方法，还有2名女同志有A种安排方法．共有A C A＝432种安排方法．2323(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种分法，将4组安排到4辆车上有423234A种方法．共有C C A＝216种安排方法．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】　(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放36143262424入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．1424(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有1424C＋C＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有35C＝10(种)不同放法．[能力提升]1．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个【解析】　分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，341334共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C A个偶341334数．故符合条件的偶数共有2A＋C A＝120(个)．【答案】　B2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有( )23A．240种B．180种C．120种D．60种【解析】　取一双同色手套有C种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，16有C22种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有C C·22＝240 251625种．【答案】　A3．(2016·孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．【解析】　若用三种颜色，有C A种染法，若用四种颜色，有5·A种染法，则不同15344的染色方法有C A＋5·A＝240(种)．15344【答案】　2404．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中46选2件排在第5和第10的位置上测试，有C A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，24224有A种测法．4所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680种．46244(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·C·A＝576种．16344。

第一章§4一、选择题1．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A．48种B．36种C．24种D．18种[答案] B[解析]本题是考查排列组合及相关分类的问题．①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A44＝24(种)．②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C24C22＝12(种)．∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.2．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．15种B．20种C．25种D．32种[答案] C[解析]就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放入一个球时，相应的放法数有C15种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放法数有C25＝10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C35＝10种．根据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5＋10＋10＝25.3．(2014·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有() A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个[答案] A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C126)2A410个．二、填空题4．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案] 90种[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种．5．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1<a 3<a 5，则不同的排列方法有________种．(用数字作答)[答案] 30[解析] 本题主要考查用排列知识解决问题的能力．第一类：a 1＝2时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第二类：a 1＝3时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第三类：a 1＝4时，a 3＝5，a 5＝6，共有A 33＝6(种)．所以总的排列方法有12＋12＋6＝30(种)． 三、解答题6．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名； (2)队长至少有1人参加； (3)至少有1名女运动员； (4)既要有队长，又要有女运动员．[分析] 此题中选的5人与顺序无关，是组合问题．[解析] (1)C 36×C 24＝120种不同的选派方法．(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：共C 12×C 48＋C 38＝196种不同的选派方法．(3)全部选法中排除无女运动员的情况：共C 410－C 56＝246种不同的选法． (4)分三类：①仅女队长：C 48； ②仅男队长：C 48－C 45； ③两名队长：C 38；∴共C 48＋C 48－C 45＋C 38＝191种不同的选派方法．[点评] 本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑.一、选择题1．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有()A．4种B．5种C．9种D．20种[答案] C[解析]游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法．第二类：选省外路线，有5种方法．由加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9种．2．(2014·重庆理，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168[答案] B[解析]分两类：(1)先排歌舞类有A33＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2A33A33＝72；(2)先排歌舞类有A33＝6种排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4A33C12＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略了第二类，导致出差．3．(2012·山东理，11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484[答案] C[解析]本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C316－4C34－C24C112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472.另解：C04C312－3C34＋C14C212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重4.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有()A．8种B．12种C．16种D．20种[答案] C[解析]如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．[点评]此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思想．二、填空题5．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]432[解析]因为10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三种．若为1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2×2×2×2种可能，然后再排列它们，每一种可能有A44种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有2×2×2×2×A44＝384种；若为2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，方法是唯一的，再排列它们有A44种排法；若为1,4,1,4也有A44种排法．所以共有384＋A44＋A44＝432种不同的排法．6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答)．[答案]1260[解析]方法一：只需找到不同颜色的球所在的位臵即可，共有C29C37C44＝1260种方法．方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有A99A22A33A44＝1260种不同的方法．三、解答题7．有四个不同的数字1,4,5，x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x的值．[解析]因为1,4,5，x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所在的1的和共为4×A33＝24.同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所以，所在的4的和共为4×4×A33＝96.所在的5的和共为5×4×A33＝120.所在的x的和为x×4×A33＝24x.即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.8．“抗震救灾，众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[分析]本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决．[解析](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．9.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在如图所示的“田”字形方格内，每格涂一种颜色，且要求相邻的两格涂不同的颜色．如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[解析]根据所需颜色种数分为三类：(1)若用四种颜色，则四格涂不同的颜色，方法种数为A45种．(2)若用三种颜色，则有且仅有两格涂相同的颜色，即一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为2C15·A24种．(3)若用两种颜色，则两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A25种．因此，总的涂法种数为：A45＋2C15·A24＋A25＝260(种)．[点评]根据用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再根据分类加法计数原理求出总的涂法种数．。

有关计数法的简单问题计数问题是数学竞赛经常涉及的问题。

有关计数的方法，我们在此给大家举几个简单例子。

（一）枚举法枚举法就是把所要计数的对象一一列举出来，最后计算总数的方法。

例1有4个球，分别写上号码：1，2，3，4；有4个抽屉，也分别写上号码：一、二、三、四。

现在往每一个抽屉里放一个球，使其中恰有两个抽屉上的号码与球上的号码相同。

求满足以上放球要求的方法共有多少种？解：我们用1，2，3，4表示四个球；用一、二、三、四表示四个抽屉，则满足要求的放法为：可见满足要求的放法共有6种。

例2 某旅游团在a、b、c三个城市游览，规定今天在这个城市，明天一定去另一个城市。

问从a城出发，第5天又回到a城的旅游路线有几种？解：第一天是在a城，从a城出发有两条路线，一条是去b城，一条是去c城。

若第二天在b城，又有两条路线，一条去a城，一条去c城；若第二天在c城，同样也有两条路线，一条去a城，一条去b城，……。

见下图：可见，满足条件的路线有6条。

用枚举法计数时，一定注意遵循“不重、不漏”的原则。

（二）分组法对于数目较大的数学问题，难以用枚举法一一列举，就需要用“分组法”来计数了。

分组法是指把要计数的对象分成几组，每一个对象必须属于一个组，并且只属于一个组，把各个组的计数相加得到总数的方法。

例3用1元，5角，2角，1角四种纸币各一张，一共可以组成几种不同的币值？解：可以按照纸币的张数进行分组：只有一张纸币时，币值有4种；有两张纸币时，币值有6种；有三张纸币时，币值有4种；有四张纸币时，币值有1种。

∴共有4+6+4+1=15种不同的币值。

例4 如图所示，地图上有A，B，C，D，E，F六个地区，现在用红、黄、白、绿、蓝；五种颜色，对每一个地区涂一种颜色，且使相邻地区的颜色不同，问一共有几种不同的涂色方法？解：做此题前，大家首先应该明确计数问题中最常用、最基本的两个原理：加法原理：完成某件事情可以有两类途径，第一类途径中有 m种方法，第二类途径中有n种方法，则完成这件事共有m+n种方法；乘法原理：完成某件事需要分成两步才能完成，第一步中有m种方法，第二步中有n种方法，则完成这件事共有m×n种方法。

word§4简单计数问题（数学北师选修2-3）建议用时 实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个2．3X 不同的电影票全部分给10个人,每人至多一X,则有不同分法的种数是( ) A ．1 260 B ．120 C ．240 D ．7203．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种. A.36 B ．72 C ．90 D ．1444．从不同的5双鞋中任取4只，其中恰好凑成1双的取法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．280 D ．60二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．5．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果.6．在1,2,3，…，9这9个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.7．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出_____个不同的点.8．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.9．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题（共50分）10．（15分）集合A 中有7个元素，集合B 中有10个元素，集合A B 中有4个元素，集合C 满足： （1）C 有3个元素； （2）C A ；（3）CB ≠，C A ≠.求这样的集合C 的集合个数.11．（18分）从{}3,2,1,0,1,2,3,4---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?12．（17分）8把椅子排成一排,有4个人就坐,人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种§4简单计数问题（数学北师选修2-3）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．9． 三、解答题 10. 11. 12.§4简单计数问题（数学北师选修2-3）答案一、选择题1．C 解析：个位12A ，万位13A ，其余33A ，共计113233A A A =36.2．D 解析：相当于3个元素排10个位置，310A =720.3．A 解析：从,,,c d e f 中选2个，有24C 种，把,a b 看成一个整体，则3个元素全排列，有33A 种.共计 2343C A =36（种）.4．A 解析：先从5双鞋中任取1双，有15C 种，再从8只鞋中任取2只，有28C 种情况，但需要排除4种成双的情况，即有（28C ）种情况，则取法共计1258C C 4= （）120（种）.二、填空题5．2n 解析： 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2222=n n ⨯⨯⨯（个）2.6．60 解析： 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即13315454C C +C C =60.7．23 解析：112342C C A 1=-23，其中(1,1)重复了一次.8．4 186 解析：至少有3次是次品，即有3件次品，或4件次品，故抽法共有3241446446C C +C C =4186 （种）.9．105 解析：直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数，233241454545C C +C C +C C =105；间接法：55419554C C C C =105--. 三、解答题 10．解：AB 中有元素710413+-=（个），3331363C C C =286201=265----（个）. 11．解：抛物线经过原点，得0c =，当顶点在第一象限时，0,0,0,0,2a b a b a <⎧<->⎨>⎩即则有1134C C 种； 当顶点在第三象限时，0,0,0,0,2a ba b a >⎧>-<⎨>⎩即则有24A 种； 共计有112344C C A =24+（种）.12．解：把4个人先排，有44A 种，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有25A 种，所以共计有4245A A =480（种）.。

简单计数问题【要点梳理】要点一：排列计数问题有限制条件的排列问题常见命题形式：（1）“在”与“不在”的问题：“（不）在”指的是（不）存在特殊元素或特殊位置，如“甲在乙的左边”、“甲必须入选”等.（2）“邻”与“不邻”的问题：“邻”指若干元素必须相邻；“不邻”指若干元素不能相邻.要点诠释：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空法”，即将其他剩余元素排列，然后用互不相邻的元素插空.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.排列问题的解题方法：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）优限法：特殊元素优先考虑；特殊位置，优先考虑。

对有附加条件的排列组合问题，一般采用该方法。

（3）捆绑法：对相邻问题可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：对不相邻问题先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）直排法：分排问题直排处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.流程图：要点二：组合计数问题有限制条件的组合问题常见命题形式：(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.要点诠释：1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.要点三：排列组合混合题型解答排列、组合问题的思维模式：（1）是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； （2）是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 要点诠释：（1）排列与组合问题的区别：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题.（2）两个计数原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 解答排列、组合问题的一般策略：解决简单计数问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏． 解排列组合的应用题的一般步骤(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类； (2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决.(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同. 要点诠释：排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【典型例题】类型一、排列计数问题例1. 六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端． 【思路点拨】本题是排列问题.【解析】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14A 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有55A 种站法，根据分步计数原理，共有1545A A 480g ＝种站法． 法二：若对甲没有限制条件，共有66A 种站法，甲在两端共有255A 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有66A －255A ＝480种站法．(2)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有55A 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22A 种站法，根据分步计数原理，共有55A ·22A ＝240种站法． 法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站，有15A 种站法，最后让甲、乙全排列，有22A 种方法 ，共有44A ·15A ·22A ＝240种站法．(3)法一：因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有44A 种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有25A 种站法，故共有44A ·25A ＝480种站法． 法二：“间接法”：6个人全排列有66A 种站法，由(2)知甲、乙相邻有55A ·22A ＝240种站法，所以不相邻的站法有 66A －55A ·22A ＝720－240＝480种．(4)法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，然后将甲、乙按条件插入站队，有322A 种站法，故共有44A ·322A ＝144种站法．法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24A 种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有33A 种站法；最后对甲、乙进行排列，有22A 种站法，故共有24A ·33A ·22A ＝144种站法．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22A 种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有44A 种站法，根据分步计数原理，共有22A ·44A ＝48种站法． (6)法一：间接法。

一年级数学练习题吃苹果史蒂夫喜欢吃苹果，他的妈妈给了他一筐苹果作为奖励。

为了帮助他练习数学，他的妈妈将一些数学题与吃苹果的活动相结合。

下面是一些一年级数学练习题，帮助史蒂夫练习数学的同时也享受着美味的苹果。

一、简单的计数问题问题1：史蒂夫有5个苹果。

他吃掉了3个。

还剩下几个苹果？问题2：史蒂夫有8个苹果。

他吃掉了5个。

还剩下几个苹果？问题3：史蒂夫有10个苹果。

他吃掉了8个。

还剩下几个苹果？二、简单的加法问题问题1：史蒂夫有3个苹果，他从果篮里拿了5个苹果，他一共有几个苹果？问题2：史蒂夫有4个苹果，他从果篮里拿了6个苹果，他一共有几个苹果？问题3：史蒂夫有2个苹果，他从果篮里拿了7个苹果，他一共有几个苹果？三、简单的减法问题问题1：史蒂夫有10个苹果，他给了他的朋友6个苹果，他还剩下几个苹果？问题2：史蒂夫有8个苹果，他给了他的弟弟3个苹果，他还剩下几个苹果？问题3：史蒂夫有6个苹果，他给了他的妹妹4个苹果，他还剩下几个苹果？四、组合运算问题问题1：史蒂夫有5个苹果和3个橘子。

他吃掉了2个苹果和1个橘子。

他还剩下几个水果？问题2：史蒂夫有8个苹果和4个橙子。

他吃掉了3个苹果和2个橙子。

他还剩下几个水果？问题3：史蒂夫有6个苹果和2个梨。

他吃掉了4个苹果和1个梨。

他还剩下几个水果？通过这些练习题，史蒂夫可以巩固他的数学知识，同时也享受到了美味的苹果。

数学练习可以变得有趣并与生活相结合，提高孩子学习的参与度。

家长可以利用各种活动和游戏，将学习与现实生活联系起来，从而更好地培养孩子的数学能力和兴趣。

数学练习题吃苹果的方法可以延伸到其他领域，比如语文、科学等。

通过将学习与生活场景结合，孩子们可以更好地理解和应用所学知识。

我们应该鼓励孩子们在有趣的环境中学习，培养他们的学习兴趣和创造力。

通过简单而有趣的数学练习题，孩子们不仅可以提高他们的数学技能，还可以体验到数学在日常生活中的应用。

希望这些练习题能够激发孩子们的学习热情，让他们在数学学习中收获更多的乐趣。

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：课题：第一章§4简单计数问题【学习目标】1.能区分排列问题与组合问题。

2.能结合两个基本计数原理解决排列组合的综合性问题【重点、难点】重点：利用两个基本计数原理和排列组合的规律解决实际问题。

难点：把实际问题正确地抽象成排列或组合的问题。

【学法指导】1、根据学习目标，自学课本p18-p21内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3、带*号的为选做题。

【自主探究】不看不讲1. 排列与组合的区别在于： .2．解排列组合应用题最常用的方法与技巧：（1）.解决无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是二是（2）.解决有限制条件的排列组合应用题，通常从三个途径分析：①②③3. 排列组合问题用到的基本方法与技巧⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻4. 排列组合问题的解题思路：⑴⑵【合作探究】不议不讲1.在高二年级中的16个班中组织一个20人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？2.某班有43位同学，从中任抽5人，正、副班长和团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？3.学校组织老师和学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师。

要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？4.用0,1,2,3,4,5这六个数字（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且比31245大的五位数？【巩固提高】不练不讲1.有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有（）A．120种 B.60种 C.48种 D.150种2.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）A．16种 B.18种 C.37种 D.48种3.2011年西安世园会期间，某校举行世园知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有4.对某种产品的6件不同正品和4件次品一一进行测试，直至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？.※5.从集合｛1,2,3，…，20｝中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？【方法小结】：1.解决有限制条件的排列问题的常用方法：（1）特殊优先（2）排除法（3）捆绑法（4）插空法2.解决组合问题常用方法：（1）直接分类讨论法（不明确就讨论）（2）间接排除法（正难则反）3.解决排列组合的综合问题的方法：（1）先选后排、边选边排法（2）先分组后分配。