简单计数问题专题

小专题（十四）计数问题【例】如图所示，直线AB 上的点数与线段的总数有如下关系：当直线AB 上有3个点时，线段总数共有3条；当直线AB 上有4个点时，线段总数共有6条；当直线AB 上有5个点时，线段总数共有10条⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）当直线AB 上有6个点时，线段总数共有__________条；（2）当直线AB 上有n 个点时，线段总数共有_________条（用含n 的式子表示）；（3）当100n =时，线段总数共有多少条？方法指导数线段时要掌握一定的方法和规律，必须做到不重不漏.一般方法是从左起第一个点数起，使第一个点和其右边的每一个点各组合一次，得到1n -（）条线段，然后再从左起第二个点数起，使它和它右边的每一个点各组合一次，得到2n -（）条线段，⋅⋅⋅，依次数下去，最后相加.若一条直线上有n 个点，则线段的条数为1123++2+1= (1)2n n n n n -+-+-⋅⋅⋅+（）（）（）. 变式训练1.下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：按此规律，6条直线相交，最多有___________个交点；n 条直线相交，最多有_________个交点.（n 为正整数）2.已知：O 为直线AB 上的一点，画出射线OC （如图1），则图中有_________个角（除平角外）；再画出射线OD（如图2），则图中有__________个角（除平角外）；再画出射线OE（如图3），则图中有__________个角（除平角外）；⋅⋅⋅，依此类推，图10中有__________个角（除平角外）.3.为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手.①条直线把平面分成2部分；②两条直线最多可把平面分成4部分；③三条直线最多可把平面分成7部分；④四条直线最多可把平面分成11部分；⋅⋅⋅把上述探究的结果进行整理，列表分析.这样就能发现每增加一条直线就把平面多分成相应直线条数的部分.（1）当直线条数为5时，最多把平面分成为_______部分，写成和的形式是__________；（2）当直线条数为10时，最多把平面分成_________部分；（3）n条直线能把平面最多分成多少个部分？（用含n的式子表示）参考答案【例】解：（1）15（2）12n n-（）（3）当100n=时，线段总数共有4950条.变式训练1.1512n n-（）2.2 5 9 653.解：（1）16 112345+++++（2）56（3）111 2n n++（）.。

第6讲 计数和组合专题一、 计数问题1、枚举法枚举法就是把所有也许得状况一一列举出来，然后数一下总共有多种状况．2、加乘原理（1）加法原理——分类假如完毕一件事有几类措施，在每一类措施中又有不同样措施，那么把每类措施数相加就得到所有措施数．（2）乘法原理——分步假如完毕一件事有多种环节，在每一种环节中又有不同样措施，那么把每步措施数相乘就得到所有措施数．3、排列组合（1）排列从m 个不同样元素中取出n 个（n m ≤），并根据一定次序排成一列，其措施数叫做从m 个不同样元素中取出n 个排列数，记作n m A .其计算措施为： ()()11n m A m m m n =⨯-⨯⨯-+即从m 开始递减地连乘n 个数从m个不同样元素中取出n m个不同样元素中取出n其计算措施为：(m n⨯-4、分类法和排除法（1）分类法：分来法处理问题基础思想是通过度类拆解把一种复杂问题转化成多种相对简朴小问题来处理．（2）排除法：当题目中满足规定状况较多，分类法不好处理时，可以尝试用排除法，把不符合规定状况去掉，剩余就是符合．5、容斥原理（1）理解简朴容斥原理（两个之间重叠）和复杂容斥原理（三个之间重叠）（2）用文氏图协助解题6、递推措施（1）上楼梯模型（2）传球法——列表写出每一步中详细措施数（3）几何图形分平面——增量分析用于求解“把m个相似球放到n个不同样盒子中”此类问题（1）注意：球必需是相似，盒子必需是不同样．（2n-1个板插到m-1个空隙中）（3n个球，然后根据每个盒子至少1个去放，最终从每个盒子中拿出1个还回去）（4n个球放到3个盒子中，每个盒子至少1个）（5n个球放到3个盒子中，每个盒子可以为空）8、和旋转、翻转有关计数此类问题要想清晰与否有反复，反复了多少．一般求解时，要先固定部分对象，使其不能旋转或翻转．二、统筹计划1、安排工序问题2、最短路线或最短时间问题3、排队等待问题4、集合问题5、货品调度问题三、游戏对策（1）必胜方略往往是考虑“怎样让对方输”，即必胜方行动时怎样进行一次合适操作，把必输状态留给对方．（2）游戏对策中往往会运用对称性来处理问题，如桌子上放硬币问题（轮番在圆桌上放硬币，到谁放时候放不下了她就输了．先手方把第一种硬币用来占领圆桌中心点即可，后来后手方再怎么放，先手方所有能在桌上找到一种对称空位点可以放置硬币）四、逻辑推理解答推理问题常见措施有：排除法、假设法、反证法．一般可以从如下几方面考虑：1.选准突破口，分析时综合多种条件进行鉴定；2.根据题中条件，在推理过程中，不停排除不也许状况，从而得出规定结论；3.对也许出现状况作出假设，然后再根据条件推理，假如得到结论和条件不矛盾，阐明假设对的；4.碰到比较复杂推理问题，可以借助图表进行分析．常见题型：去伪存真题：有人说真话有人说假话，有人说真话；或每人说一部分对，一部分错．注意合适选择假设等措施协助解题．条件分析题：用列表或作图措施，对条件进行归纳整顿．体育比赛类问题：要注意弄清比赛规则，尤其是积分规则，对阵措施．若是画对阵关系图，注意箭头表胜败，虚线表达平局．例如：若是2分赛制，则获胜队2分，平局各1分，失败不得分，那么总得分为3分赛制时，获胜队得3分，平局各得1分，失败不得分．那么此时总分为“”五、抽屉原理1、最不利原则2、抽屉原理六、最值问题常见结论：（1）两数和一定，差越小，积越大（2）当多种数和一定是，越靠近乘积越大（3）两点之间线段最短（4）在周长一定封闭图形中，圆面积最大；在面积一定封闭图形中，圆周长最小七、构造论证1、构造往往用于阐明“能”，即给出也许状况；论证往往用于阐明“否”，即为何不行2、常见题型：（1）构造或论证：此类题目中一般会以“能否”等词汇发问．解答时，假如是“能”，就要构造出可行状况；假如是答“不能”，要论证为何．（2）构造和论证：常见于求最值问题，以求最大值问题，得出最大值后要先论证不能得更大值了，然后构造最大值对应可行状况，阐明这个最大值可以达到．一、枚举法例1.在所有三位数中，各位数字之和不超过4共有______个．二、加乘原理和排列组合例2.将1、2、3、4、5这五个数字填入下面五个方格中，使得阴影方格中填入数不小于相邻方格中数，共有_____种填法．例3.用0、1、2、3、4这五个数字能构成______个没有反复数字四位偶数．例4.从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填数，上面比下面大，那么符合规定共_______种．三、容斥原理例5.图，数一数，图中共有多少个长方体？四、概率初步例6.某军官参与射击比赛，她射击命中率是80%．那么她连打3枪，恰好有2枪命中概率是________．例7.甲、乙两人玩掷硬币，出现正面甲得1分，背面乙得1分．先得10分者为胜．比赛进行一段时间后，甲得9分，乙得6分，那么甲获胜概率是_______五、递推计数例8.在一种平面上画3个三角形、1个圆、1条直线，最多可以把平面提成______个部分．例9.在世界杯一场小组赛中，巴西队以7:5击败南非队，假如巴西队在比赛中从未落后过，那么这场比赛共有_____种不同样进球次序．六、对应计数例10.（1）中关村一小六年级A班30名同学投票选举优秀少先队员，投票采用不记名措施，每人只能投1票且不能投弃权票（谁所有不选）．假如候选人共3人，那么投票共_____种不同样也许．（2）假如这30名学生可以投弃权票，那么投票成果共______种不同样也许七、和翻转、旋转有关计数问题例11.用7种颜色为一种正方体6个面染色，规定每个面只能用1种颜色，且6个面颜色互不相似．那么共有______种不同样染色措施．八、统筹计划例12.北京、上海、杭州三地同步研制成了大型电子计算机若干台，除当地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台．目前决定给武汉6台，重庆8台，深圳6台．若每台计算机运费如下表，表中运费单位是“百元”．上海、北京和杭州制造机器完全相似，应当怎样调运，才能使总运费最省？最省运费是________万元．九、游戏对策例13.根火柴，甲、乙轮番取，规定每次只可以取1、3、4根．假如以取完火柴人为胜，甲先取，那么谁有必胜方略？方略是什么？十、逻辑推理例14.老师在3个盒子里各放了一种彩色球，让小明、小亮、小强、小佳四人猜一下各个盒子里放是什么颜色球．小明说：“1号盒里是黄球，2号盒里是黑球，3号盒里是红球”小亮说：“1号盒里是橙球，2号盒里是黑球，3号盒里是绿球”小强说：“1号盒里是紫球，2号盒里是黄球，3号盒里是蓝球”小佳说：“1号盒里是橙球，2号盒里是绿球，3号盒里是紫球”老师说：“你们中有一人恰好猜对了两个，其他三人每人猜对一种．”那么第三个箱子中放是______球．例15.在一列国际列车上，有A、B、C、D四位不同样国籍旅客，她们分别穿蓝、黑、灰、褐色大衣，每边两个人面对面地坐在同一张桌子上．已知：（1）英国人坐B先生左侧；（2）A先生穿褐色大衣；（3）穿黑色大衣坐在德国人右侧；（4）D先生对面坐着美国旅客；（5）俄国旅客穿着灰色大衣．那么A、B、C、D分别是哪国人？分别穿什么颜色衣服？例16.5支球队进行单循环比赛，每两队之间比一场，获胜者得3分，负者0分，平手各得1分．最终5支球队积分各不相似，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队得分从高到低依次是多少？十一、抽屉原理例17.有一种不透明魔法口袋，里面装有大小、形状完全相似小球，分为红、黄、蓝、白、黑五种颜色，每种颜色小球所有有足够多种．n个人在口袋里取球，每人随意取3个，不管怎么取，所有一定有5个人取到球种类完全相似，那么n至少是______．十二、最值问题例18.将1、2、3、4、5、6分别填在正方体6个表面上，计算具有公共棱两个面上数乘积，这样乘积共有12个，这12个乘积和最大是_______十三、构造论证例19.把图中圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上红圈个数所有是奇数？例20.有3堆小石子，每次许可进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中某一石子数是偶数堆中二分之一石子移入此外一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子所有取光？(2)3堆中所有石子所有被取走？作业1.在所有三位数中，可以被9整除，并且三个数字恰好能构成等差数列（可以变化次序，如567、756）共有______个作业2.在4000~7000内有______个没有反复数字5倍数．作业3.有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必需有一人把船划回来接剩余人．那么四人过河有______措施．作业4.图，图中只含一种☆长方形有______个？作业5.一次吃自助餐，有10道菜，每人有4个盘子可以选菜，规定每个盘子只能装1种菜，不过可以反复选菜（例如某道菜很好吃，我可以把2个盘子所有装这1种菜），那么共有_____种选菜方案．作业6.（第六届高思杯六年级，参与了高思杯不过当时没做出来同学，看看自己目前与否会做了）正方体八个顶点分别标识为A、B、C、D、E、F、G、H．目前用四种颜色给顶点染色，规定有棱相连两个顶点颜色不同样，一共有_______不同样染色措施．（旋转或翻转后相似算不同样染法）作业7.把23表达到若干个互不相似自然数之和，那么这些自然数乘积最大是______．作业8.：一种新建5层楼房一种单元每层有东西两套房；各层房号图所示，现已经有赵、钱、孙、李、周五个人入住．一天她们在小区花园里聊天：赵说：“我家是第3个入住，第1个入住就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．”孙说：“我家入住时，我家同侧上一层和下一层所有已经有人入住了．”李说：“我家是五家中最终一种入住，我家楼下那层全空着．”周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”她们说就是真话，设第1、2、3、4、5家入住房号个位数字依次为A、B、C、D、E，那么五位数．作业9.六个足球队进行单循环比赛，每两队所有要赛一场．假如踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分．目前比赛已进行了四轮(每队所有已和4个队比胜过)，各队4场得分之和互不相似．已知总得分居第三位队共得7分，并且有4场球赛踢成平局，那么总得分居第五位队最多可得分，至少可得分．作业10.(大数减小数)，直到黑板上剩余一种数为止．问黑板上剩余数是奇数还是偶数？为何？。

计数专题一．选择题（共1小题）1．小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子．A．9 B．8 C．7 D．6二．填空题（共25小题）2．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要个杯子．3．将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子，9只蓝袜子和10只绿袜子放入一个布袋里，一次至少要摸出只袜子，才能保证一定有颜色不同的两双袜子．4．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有人．5．某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，那两种都不会的有人．6．对120种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种，含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种，含甲、乙、丙的25种．问（1）仅含维生素甲的有种．（2）不含甲、乙、丙三种维生素的有种．7．六个人传球，每两人之间至多传一次，那么这六个人最多共进行次传球．8．三年级有50名学生，他们都选择订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种，则至少有名学生订阅的杂志种类相同．9．从一副扑克牌拿走大王和小王，在剩下的52张牌中至少取出张才可以保证其中必定有3张牌点数相邻（不计颜色）10．我们在玩扑克牌时，当拿到2张大小相同的牌时（如2个5），我们会说拿到了“一对5”，当拿到了三张大小相同的牌时（如3个K），我们会说拿到了“俘虏K”，当拿到4张大小相同的牌时，我们就会说拿到了“一个炸弹”．在一副扑克牌中，至少拿出张牌就能保证有“一个炸弹”．11．一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少抽出张牌，才能保证有4张是同一花色．12．一个不透明的布袋中有黑、白、黄三种颜色的筷子各10根，最少拿出根筷子就能保证有一双是同样颜色的筷子．13．袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出粒珠子，才能保证达到目的．14．黑箱中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出块才能保证期中至少有2块木块颜色相同．15．一个黑口袋中有2个红球，4个黄球和6个白球，如果小明希望能保证从中拿出2个白球，他至少需要拿出个球．16．A、B、C、D、E5人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，比赛规定：胜者得2分，负者得0分．比赛结果统计如下：（1）A和D并列第一名；（2）C 是第三名；（3）B和E并列第四名．那么，C得了分．17．甲、乙、丙三人都喜欢去图书馆看书．有一天，有人听到了他们的如下谈话：甲：“咱们真是习惯不一样啊！有人喜欢星期一、三、五去；有人喜欢星期四、五、六去；有人喜欢星期五、六、日去．”乙：“我昨天和前天都去了．”丙：“我明天再去，今天就不去了．”那么，今天是星期（请填写“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”或“日”）18．A、B、C、D、E五人一同参加飞镖比赛，其中只有一人射中飞镖盘中心，但不知是何人所射．A说：“不是我射中的，就是C射中的．”B说：“不是E射中的．”C说：“如果不是D射中的，那么一定是B射中的．”D说：“既不是我射中的，也不是B射中的．”E说：“既不是C射中的，也不是A射中的”其中五人中只有两人说得对，由此可判断射中飞镖盘中心的人是．19．天气炎热，翟老师给小朋友们买了几瓶饮料．买来后，三个小朋友对饮料数量有如下猜测：小王说：小于3瓶．小陈说：不小于5瓶．小张说：我们每人至少可以喝2瓶．结果三个人都说错了．然后翟老师把这些饮料平均分给3个人，自己也喝了一瓶，翟老师买了瓶饮料．20．薇儿的笔记本电脑的开机密码是六位数，只知道这个密码的开头和结尾的数字分别是6和7，而且还知道这个六位数密码每相邻的三个数字之和是16，请问：薇儿的密码是．21．一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是平方厘米．22．如图，有6个边长是1的小正方形，一个压着一个，上面的正方形的一个顶点恰好是下一个正方形的中心，上面正方形的中心的下面恰好是下面正方形的一个顶点，那么这个图形最后所形成的多边形的周长是；如果一共有20个边长是1的正方形按上述方法叠在一起，那么最后形成的多边形的周长是．23．5个相同正方形纸片按相同的方向叠放在一起（如图），相邻两个正方形的一个角都与另一个正方形的中心点重合，如果所构成图形的周长是120厘米，那么这个图形覆盖的面积是平方厘米．24．两个相同的三角形如图放置，已知AB=6，DG=2.5，CF=4，则图中阴影部分的面积为．25．用1角、2角、5角、1元、2元、5元各一张，可以组成种不同的币值．26．从1分，2分，5分硬币各有5枚的一堆硬币中取出一些，合成1角，共有不同的取法种．三．解答题（共2小题）27．王叔叔、李大伯、周叔叔、林阿姨和张阿姨一起参加会议，开会前他们相互握手问好．王叔叔和4人都握了手，李大伯和3人握了手，周叔叔和2人握了手，林阿姨和1人握了手，你能知道张阿姨和哪几个人握了手吗？（只写答案，不列式）28．体育课小组同学单打乒乓球比赛，小组长交来每人各打几场的统计数字．甲3场，乙5场，丙4场，丁4场，另外两名同学一个打了2场，另一个打了5场，这个统计数字正确吗？计数专题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子．A．9 B．8 C．7 D．6【分析】三位数□□□，三个位置，考虑两种情况：（1）有1个5，2个8，则5的位置有3种；（2）有2个5，1个8，则8的位置有3种，所以共有3+3=6种，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得3+3=6（次）答：他最少要试6次，才能确保打开箱子．故选：D．【点评】本题考查了排列组合知识，首先分类清楚然后根据加法原理解答即可．二．填空题（共25小题）2．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要5050个杯子．【分析】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以又100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…100，由此可得出所需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100，利用高斯求和的方法即可解决问题．【解答】解：因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，要想让杯子数量最少，那么只能是第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放3个，以此类推，第100个盒子放100个，1+2+3+4+…+100=（1+100）×100÷2=101×50=5050（个）答：那么至少有5050个杯子．故答案为：5050．【点评】解答本题，首先根据题意判断出每个盒子里的被子的数量，然后利用对称加法求和即可．3．将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子，9只蓝袜子和10只绿袜子放入一个布袋里，一次至少要摸出16只袜子，才能保证一定有颜色不同的两双袜子．【分析】从最不利的情况考虑，要先把最多的10只绿袜子全部取出，再白色、黑色、红色、黄色袜子各取1只，此时再任意多取1只，必有颜色不同的两双袜子；据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，10+5+1=16（只）答：一次至少要摸出16只袜子，才能保证一定有颜色不同的两双袜子．故答案为：16．【点评】此题属于抽屉原理应用题，解答此题应从最极端情况进行分析．4．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有104人．【分析】设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，根据“至少带一样的人数+两样都没带的人数=总人数”列方程为：80+70﹣x+6=2x，解方程即可得解．【解答】解：设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，由题意可得：80+70﹣x+6=2x156﹣x=2x3x=156x=52则2x=2×52=104答：则参加春游的同学共有104人．故答案为：104．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B+既非A 又非B．5．某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，那两种都不会的有20人．【分析】根据“其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，”两者的总人数是15+13=28人，则至少会一种的有28﹣5=23（人）；所以两样都不会的人数有：43﹣23=20（人）；据此解答即可．【解答】解：43﹣（15+13﹣5）=43﹣23=20（人）答：两种都不会的有20人．故答案为：20．【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两者都会的人数是会拉丁舞和会探戈的人数的重叠部分，知识点是：既A又B=（A+B）﹣总人数．6．对120种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种，含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种，含甲、乙、丙的25种．问（1）仅含维生素甲的有3种．（2）不含甲、乙、丙三种维生素的有9种．【分析】根据题意和容斥原理，知道仅含维生素甲的食物=含甲的﹣含甲、乙的﹣含甲、丙的+含甲、乙、丙的食物的种类；先求出含甲或乙或丙的食物的种数，即可求出不含甲、乙、丙三种维生素的数量．【解答】解：（1）62﹣48﹣36+25=3（种）；（2）120﹣（62+90+68﹣48﹣36﹣50+25），=120﹣111，=9（种）；答：仅含维生素甲的有3种，不含甲、乙、丙三种维生素的有9种．【点评】解答此题的关键是，弄清题意，找出数量关系，根据容斥原理，列式解答即可．7．六个人传球，每两人之间至多传一次，那么这六个人最多共进行15次传球．【分析】可以看做是一个一笔画问题．这六个点都是奇数点，不可能一笔画出来，因此至少需要去掉4 个点，即两条线，因此最多进行13 次传球．【解答】解：一个图形中，如果有K个奇点，那么这个图形会用笔画出来．为了让这个图形用一笔画出来，则要使它只存在2个奇点．上面的图形共有6个奇点，6×5÷2=15条线．最少可以去掉2条线（剩下13条线），使6个奇点变成2个奇点，就可以用一笔画出来了．所以6人两两传球，但每两人之间最多只能传一次，最多就能传13次．故答案为：13．【点评】掌握一笔画问题的解法是解决问题的关键．8．三年级有50名学生，他们都选择订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种，则至少有8名学生订阅的杂志种类相同．【分析】订阅杂志中的一种有3种选法、订阅二种有3种选法、订阅三种有1种选法，共有3+3+1=7（种）；把7种选法看作7个抽屉，把订阅杂志的人数（50）看元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放7个元素，共需要49个，还余1个，无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里至少有7+1=8个，所以至少要8名学生订阅的杂志种类相同；据此解答．【解答】解：3+3+1=7（种）；50÷7=7（人）…1（人），7+1=8（名）；答：至少要8名学生订阅的杂志种类相同．故答案为：8．【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答．9．从一副扑克牌拿走大王和小王，在剩下的52张牌中至少取出37张才可以保证其中必定有3张牌点数相邻（不计颜色）【分析】此题要从最不利的情况出发，先从一种花色的13张排入手，最不利的情况就是拿到1、2、4、5、7、8、10、11、13这9张牌，这里任意三张牌的点数都不相邻．【解答】解：根据上面的分析，从四种花色中，最不利的情况就是每种花色取到的数都是1、2、4、5、7、8、10、11、13，这样任意三张牌的点数都不相邻．在这4×9=36张牌中再放一张，肯定有3张牌点数相邻．36+1=37（张）故填37【点评】遇到这类题目就是要考虑极端的情况，在这种情况下，再加入一张就符合条件了．10．我们在玩扑克牌时，当拿到2张大小相同的牌时（如2个5），我们会说拿到了“一对5”，当拿到了三张大小相同的牌时（如3个K），我们会说拿到了“俘虏K”，当拿到4张大小相同的牌时，我们就会说拿到了“一个炸弹”．在一副扑克牌中，至少拿出42张牌就能保证有“一个炸弹”．【分析】扑克牌中每种花色有13张，再加上大小王一共有54张，在这题中要求拿出的炸弹是四张相同的牌，所以应将王炸排除在外．运用抽屉原理，可以将炸弹分成A到K这13个抽屉．【解答】解：13个抽屉分别是A到K，要保证这13个抽屉中至少有一个抽屉中有4张牌，那就必须有3×13+1=40（张）扑克刚才的这40张中还没包括大小王，如果加入大小王，那就必须有40+2=42张排才能保证拿出一个炸弹．故此题填42．【点评】此类题目都是从最不利情况出发，当除了大小王，拿出39张时，有可能每个抽屉中都只有3张牌，再取出一张牌时，就能保证有一个抽屉中有4张牌．11．一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少抽出13张牌，才能保证有4张是同一花色．【分析】根据最不利原则，先从4种花色中各抽取3张，这时不能满足条件，最后再抽取1张，就能保证有4张是同一花色，即最少抽取3×4+1=13张牌，才能保证有4张是同一花色．【解答】解：3×4+1=12+1=13（张）答：从中任意抽牌，最少抽出13张牌，才能保证有4张是同一花色．故答案为：13．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．12．一个不透明的布袋中有黑、白、黄三种颜色的筷子各10根，最少拿出4根筷子就能保证有一双是同样颜色的筷子．【分析】此题就相当于“往三个抽屉放筷子，至少存在有一个抽屉里放了2根，那我们必须放了多少根筷子才行？”其中最差的一种放法是：2、1、1的情况．故此题的答案为2+1+1=4根筷子．【解答】解：把三种颜色的筷子构造为三个抽屉，分别放黑、白、黄不同颜色的筷子．从最不利情况考虑，拿了3根，颜色各不同放到三个抽屉里，此时再任意拿1根，即可出现一个抽屉里能放了2根筷子．即出现一个抽屉里2根，另外两个抽屉里各1根筷子的情况，共计2+1+1=4根．故答案为：4．【点评】此类题目只要能构造出合理的“抽屉”就可轻松解题了．13．袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出17粒珠子，才能保证达到目的．【分析】要保证5粒同色，必然从最坏情况着手．最坏情况是摸了16粒，这16粒珠子中没有一种是5粒同色，现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一．即可得出结论．【解答】解：从最好的情况着手，则摸5粒刚好是同色的，但是不能保证做到．要保证5粒同色，必然从最坏情况着手．最坏情况是摸了16粒，这16粒珠子中没有一种是5粒同色，也就是说有4粒红色、4粒黄色、4粒黑色和4粒白色的．现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一．所以，至少要摸17粒．故答案为17．【点评】本题考查抽屉原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，要保证5粒同色，必然从最坏情况着手是关键．14．黑箱中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出5块才能保证期中至少有2块木块颜色相同．【分析】将木块按颜色分成60÷15=4（种），从最极端情况分析，假设前4次摸出的4种中的各1个，再摸1块只能是4种中的任意一个，进行分析进而得出结论．【解答】解：60÷15=4（种）4+1=5（块）答：一次至少取出5块才能保证期中至少有2块木块颜色相同．故答案为：5．【点评】此题做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案．15．一个黑口袋中有2个红球，4个黄球和6个白球，如果小明希望能保证从中拿出2个白球，他至少需要拿出8个球．【分析】从最不利的情况考虑，需要先把2个红球，4个黄球全部拿出，这时只剩下6个白球，再从中拿出2个球，一定能保证从中拿出2个白球，据此解答即可．【解答】解：2+4+2=8（个）答：小明希望能保证从中拿出2个白球，他至少需要拿出8个球．故答案为：8．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．16．A、B、C、D、E5人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，比赛规定：胜者得2分，负者得0分．比赛结果统计如下：（1）A和D并列第一名；（2）C 是第三名；（3）B和E并列第四名．那么，C得了4分．【分析】假设A与B四场全胜，这个不可能，因为A与E打总有一个负者．假设A与D各胜二场，总共有十场球，则另六场就得由B、E、C来赢；若B、E各赢一场，则C必须赢四场，那么排名就是第一了，显然与题目所给名次第3不符；若B、E各赢二场，则B必须赢二场，则B、E、C名次相同，不合题意；所以A 与D各胜二场的假设不成立．只有一种情况成立：就是A与D各胜三场并列排名第一，C胜二场排名第三，B和E各胜一场并列排名第四．这种情况下C的得分为4分．【解答】解：2×2=4（分）故填4．【点评】完成本题根据各队名次，得分规则之间的逻辑关系进行分析，从而得出结论．17．甲、乙、丙三人都喜欢去图书馆看书．有一天，有人听到了他们的如下谈话：甲：“咱们真是习惯不一样啊！有人喜欢星期一、三、五去；有人喜欢星期四、五、六去；有人喜欢星期五、六、日去．”乙：“我昨天和前天都去了．”丙：“我明天再去，今天就不去了．”那么，今天是星期日（请填写“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”或“日”）【分析】首先分析乙：“我昨天和前天都去了．”那么乙必定是连续去图书馆或者是四、五、六去或者是星期五、六、日去．”继续推理即可．【解答】解：依题意可知：乙：“我昨天和前天都去了．”那么乙必定是连续去图书馆或者是四、五、六去或者是星期五、六、日去．”那么今天可能是星期六或者是星期日或者周一．根据丙：“我明天再去，今天就不去了．”说明今天的日子可以是星期日星期一和星期四．那么符合条件的只能是周日和周一，又因为今天是周一的话，明天没有人去图书馆．所以今天是星期日．故答案为：日【点评】本题考查对逻辑推理的理解和分析，关键问题是找到今天可能是星期几．问题解决．18．A、B、C、D、E五人一同参加飞镖比赛，其中只有一人射中飞镖盘中心，但不知是何人所射．A说：“不是我射中的，就是C射中的．”B说：“不是E射中的．”C说：“如果不是D射中的，那么一定是B射中的．”D说：“既不是我射中的，也不是B射中的．”E说：“既不是C射中的，也不是A射中的”其中五人中只有两人说得对，由此可判断射中飞镖盘中心的人是E．【分析】读题发现，A和E说的矛盾，C和D说的矛盾，必有两对两错，那么B 说的一定是错的，则是E射中的．【解答】解：A说：“不是我射中的，就是C射中的．”E说：“既不是C射中的，也不是A射中的”，发现A和E的说法相矛盾；C说：“如果不是D射中的，那么一定是B射中的．”D说：“既不是我射中的，也不是B射中的．”发现C和D的说法相矛盾；所以AE中有1人说法是对的，CD中有1人说法是对的，这样有2人说法正确了，由此可知B的说法一定是错误的；B说：“不是E射中的．”这个说法错误，所以是E射中的．答：射中飞镖盘中心的人是E．故答案为：E．【点评】解决本题注意理解五人所说的话，找出2对矛盾的话，得出必有两对两错，从而判断出B的说法错误，进而解决问题．19．天气炎热，翟老师给小朋友们买了几瓶饮料．买来后，三个小朋友对饮料数量有如下猜测：小王说：小于3瓶．小陈说：不小于5瓶．小张说：我们每人至少可以喝2瓶．结果三个人都说错了．然后翟老师把这些饮料平均分给3个人，自己也喝了一瓶，翟老师买了4瓶饮料．【分析】首先分析三人的意思，小王说：小于3瓶．反意思就是大于等于3瓶．3，4，5，6，7等都是可以的．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：三个人都说错了；小王说：小于3瓶．反意思就是大于等于3瓶．3，4，5，6，7等都是可以的．小陈说：不小于5瓶．等于5瓶或大于5瓶反意思就是小于5瓶．可以是3瓶或者4瓶．小张说：我们每人至少可以喝2瓶，按照三人计算还是需要最少6瓶．那么只可能是3瓶或者4瓶．翟老师把这些饮料平均分给3个人，自己也喝了一瓶只能是4瓶．故答案为：4【点评】本题考查对逻辑推理的理解和运用，关键问题是找到反意思是指多少瓶，问题解决．20．薇儿的笔记本电脑的开机密码是六位数，只知道这个密码的开头和结尾的数字分别是6和7，而且还知道这个六位数密码每相邻的三个数字之和是16，请问：薇儿的密码是637637．【分析】因为每相邻的三个数字之和是16，所以密码的第二位和第三位的和是16﹣6=10，那么第四位是16﹣10=6，第六位是7，所以第五位是16﹣6﹣7=3，第三位是7，第二位是3，密码是637637；据此解答即可．【解答】解：因为每相邻的三个数字之和是16，所以密码的第二位和第三位的和是：16﹣6=10，则第四位是：16﹣10=6，因为第六位是7，所以第五位是：16﹣6﹣7=3，第三位是：16﹣6﹣3=7，第二位是：16﹣6﹣7=3，综上所述密码是：637637；故答案为：637637．【点评】本题考查了逻辑推理，关键是确定第四位数字和第六位数字．21．一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是384平方厘米．【分析】放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则被照片覆盖的部分的面积是这张相片的面积，分别求出相框和相片的面积，然后用相框的面积减去相片的面积即可．【解答】解：40×32﹣32×28=32×（40﹣28）=32×12=384（平方厘米）答：相框中没有被照片覆盖的部分的面积是384平方厘米．故答案为：384．【点评】此题考查了长方形面积公式的灵活运用．22．如图，有6个边长是1的小正方形，一个压着一个，上面的正方形的一个顶点恰好是下一个正方形的中心，上面正方形的中心的下面恰好是下面正方形的一个顶点，那么这个图形最后所形成的多边形的周长是14；如果一共有20个边长是1的正方形按上述方法叠在一起，那么最后形成的多边形的周长是42．【分析】（1）第一个和最后一个正方形各相当于3条边的长度，中间的每个正方形露在外边的长度相当于2条边的长度，所以从最后形成的多边形的周长是：3×2+2×（6﹣2）=14；（2）一共有20个边长是1的正方形的计算方法和（1）相同；列式为：3×2+2×（20﹣2）=42．【解答】解：（1）3×2+2×（6﹣2）=14；答：6个边长是1的小正方形重叠，最后所形成的多边形的周长是14．（2）3×2+2×（20﹣2）=42；答：如果一共有20个边长是1的正方形按上述方法叠在一起，那么最后形成的多边形的周长是42．故答案为：14，42．【点评】本题的解答技巧是把中间的每个正方形部分的长度看作2条边的长度．23．5个相同正方形纸片按相同的方向叠放在一起（如图），相邻两个正方形的一个角都与另一个正方形的中心点重合，如果所构成图形的周长是120厘米，那么这个图形覆盖的面积是100平方厘米．【分析】如图所构成图形的周长是图形的蓝色线段，它是三个正方形的周长，除120可求出一个正方形的周长，再除以4可得长方形边长，然后求可求出正方形的面积，图形中覆盖的是4个涂红色的小正方形的面积，就等于一个大正方形的面积．【解答】解：120÷3÷4=10（厘米）10×10=100（平方厘米）答：这个图形覆盖的面积是100平方厘米．故答案为：100．【点评】本题的重点是根据覆盖后图形的周长求出原正方形的边长是多少，再进而求出覆盖部分的面积．24．两个相同的三角形如图放置，已知AB=6，DG=2.5，CF=4，则图中阴影部分的面积为9.8．【分析】GE=6﹣2.5=3.5，因为AC∥DF，所以EC：GD=EC：4，代入数值，由此求出EC的值，进而根据三角形的面积=底×高÷2，解答即可．【解答】解：GE=6﹣2.5=3.5，因为AC∥DF，所以EC：GD=EC：4，即EC：4=3.5：2.5，CE=4×3.5÷2.5=5.6，所以图中阴影部分的面积为：5.6×3.5÷2=9.8；故答案为：9.8．【点评】根据两条线段平行，对应线段成比例，求出EC的值，是解答此题的关键；用到的知识点：三角形面积计算方法．25．用1角、2角、5角、1元、2元、5元各一张，可以组成63种不同的币值．。

奥数专题练习之计数原理与方法练习1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。

问：一共有多少种不同的方法？2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。

问：一共有多少种可能的情况？3：经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。

打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？4 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。

例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。

问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？5设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。

6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。

求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？7。

有8个队参加比赛，如果采用下面的淘汰制，那么在赛前抽签时，实际上可以得到多少种不同的安排表？8.在8×8的方格棋盘中，取出一个由 3个小方格组成的“L”形（如图1），一共有多少种不同的方法？9.数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。

问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？10在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？11在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？12。

10个三角形最多将平面分成几个部分？13.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。

小学二年级数学计数与比较题数学是一门让我们探索数字和关系的学科。

在小学二年级，学生们开始学习基本的计数和比较概念。

本文将围绕小学二年级数学计数与比较题展开讨论。

一、计数计数是数学中最基本的概念之一，帮助我们了解对象的数量。

在计数过程中，我们使用数字进行标记。

下面是一些小学二年级常见的计数题型。

1. 计数练习题：（1）请数一数，看到多少只小鸟？（2）某教室里有15张桌子，每张桌子上有7本书，请你计算一下一共有多少本书？（3）在一棵树上，有5个苹果。

另外掉了3个苹果在地上，请问一共有多少个苹果？通过这些计数题，学生们可以培养对数量的敏感性，同时也锻炼了他们的基本数学运算能力。

二、比较比较是指将两个或多个对象进行对比，找出它们之间的关系，确定大小、长短或其他特征上的差异。

下面是一些小学二年级常见的比较题型。

1. 比较练习题：（1）请比较一下两个数字的大小：8、15。

（2）小明身高是120厘米，小红身高是125厘米，请问谁比较高？（3）请你在下面的方框中填上“<”、“>”或“=”来比较大小：13 __ 21。

通过比较题的练习，学生们能够培养对大小关系的认知能力，并学会使用不同的符号进行比较。

三、综合题在小学二年级数学练习中，常常会涉及到将计数和比较结合起来的综合题。

这些综合题要求学生们能够综合运用计数和比较概念，解决更为复杂的问题。

1. 综合题示例：（1）请你数一数，教室里有多少只红色的椅子和蓝色的椅子？哪种颜色的椅子更多？（2）小明昨天做了8道数学题，小红做了10道数学题，请比较一下他们做的数学题数量。

（3）根据下面的图示，请比较一下每个形状的大小。

通过综合题的练习，学生们能够将计数和比较的知识应用到实际问题中，并培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

结语数学计数和比较是小学二年级数学学习的重要内容。

通过这些练习题的学习，学生们不仅能够掌握基本的计数和比较技巧，还能够培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

小学数学《计数问题》练习题（含答案）知识点：1. 图形的计数.2. 排列组合3. 容斥原理图形计数中常见的几类：1、数线段、三角形，（锐）角的个数.①我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条).②我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条.数线段时线段的条数与图上的点存在一定的关系.例题中共有4个点，线段的条数为3+2+1=6(条). 由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有N个点，那么线段的总条数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1即：(1)2n n⨯-第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是：4+3+2+1=10（个）数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公式，同样也适用于数三角形和数（锐）角.2、数长方形的个数.以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)(CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；同理：以AB、AC为宽的长方形有15个.共有长方形15+15+15=45(个).注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽： (5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)由此，我们可以推广到一般情况：当一边上含有n条基本线段，另一边上含有m条基本线段时，长方形的总数为(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+2+1)．3、数正方形的个数.图中共有正方形9×3+8×2+7×1=50(个)．由此，我们可以推广到一般情况：如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．如果长方形的两条边都相等，那么就成了一个正方形，如下图：图中共有正方形4×4＋3×3＋2×2＋1=30（个）由此我们可以得出：如果一个大正方形的每条边都被分成n等份，那么这个大正方形中所有正方形的总数为：n2+(n一1)2+(n一2)2+…+32+22+12．在数学竞赛和小升初的考试中，会出现一些比较复杂的图形，这就需要我们根据图形的构成方法和自身特点，选择适当的方法．常见的计数图形的方法有多退少补法、分类法、列表法、转化法等．遇到一些复杂的图形计数问题时，常常需要把几种方法结合起来使用，下面我们就通过一些例题来进行分析.【例1】数一数图中有多少条线段?仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点，运用上面的公式易求线段的总条数．【分析】图中共有线段：49+48+47+46+…+3+2+1=50×(50—1)÷2=1225(条)说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个点，就可以直接运用上面的公式求出线段的总条数．【巩固】数一数，右图中共有线段_______条．【分析】AG，AB中共有线段： (3+2+1)×2=12(条)EF，CD，BC，AC中共有线段(2+1)×4=12(条)所以，总共有线段： 12+12=24(条)．【例2】分别数出图中每个图形中三角形的总个数？【分析】仔细观察图中的两个图形可以发现：每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或HI上的线段，BC或HI上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是数三角形个数的问题可以转化为数线段条数的问题．先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3+2+1)=15条线段，也就是说图(1)中有15个三角形．再看图(2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构成的；同样的道理，HI边上也有15条线段，因此以HI边上的线段为第三边的三角形也有15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个三角形．解：(1)5+4+3+2+1=15(个)(2)(5+4+3+2+1)×2=30(个)【例3】（北京市第七届“迎春杯”决赛试题）下图中共有____个正方形.【分析】这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形的个数减掉.这就利用了多退少补的方法.每个4×4正方形中有：边长为1的正方形42个；边长为2的正方形32个；边长为3的正方形22个；边长为4的正方形12个；总共有42+32+22+12=30(个)正方形．现有3个4 × 4的正方形，它们重叠部分是2个2 ×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×3—5×2=80（个）【例4】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛试题）数一数，右图中三角形共有______个．【分析】利用对称性，分情况计算．类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．【例5】（第二届“华数杯”决赛试题）图中有多少个平行四边形?【分析】这个题要用分类法来计数更合适，不妨把图1转变为图2来讨论．仔细观察和分析图2可以从以下两个方面来对平行四边形分类：(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代表三种基本平行四边形，它们组成的平行四边形分别以A、B、C类表示．(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表统计如下：图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)=39(个)．说明：在用分类法计数图形时，如何合理地选择分类的标准是非常重要的；恰当地结合列表法来统计，可以化繁为简，一目了然．1、关于排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+14444244443共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==⨯-⨯⨯2、关于组合一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作(1) (1)!mmnn n n mCm⨯-⨯⨯-+=64444744448个数这就是组合数公式.【例6】（1）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【分析】这是个排列问题.由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，有44P=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【分析】这是组合问题.一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法.【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第1阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1到4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛?C=15场，共8个小组，有【分析】第l阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26C=6场，共4个小组，15×8=120场；第2阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24有6×4=24场；第3阶段赛2+2=4场．根据加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛．【例8】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?C=20种选法．由【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例9】如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？【分析】从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“容斥原理”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了.因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2.(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝20(个)点.这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法.当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉.在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.我们用|A|表示有限集A 的元素个数.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A ∪B|=|A|+|B|-|A ∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如右:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A ∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.【例10】 某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人，那么语文成绩得满分的有多少人？【分析】 数学或语文至少有一科得满分的有45 - 29=16人，这16个人中数学得满分的有10人，那么数学没有得满分的有6人，这些人必定是语文得了满分，又知有3人两科均得满分，则语文得满分的一共有6+3=9人.【例11】 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？【分析】“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”.记A ：1～100中5的倍数，205100=÷，有20个； B ：1～100中6的倍数，4166100ΛΛ=÷，有16个；B A I ：1~100中5和6的公倍数，即30的倍数，10330100ΛΛ=÷，有3个.依据公式，1~100中5的倍数或6的倍数共有3331620=-+个，则既不是5的倍数也不是6的倍数的数有6733100=-个.【例12】 学而思画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的.现在知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？【分析】不是六年级的画中包括五年级的画，同样不是五年级的画中也包括了六年级的画，又16比15大1，说明五年级比六年级多1幅，又知两个年级共有25幅画，则五年级的画有132)125(=÷+幅，因此其他年级的画有31316=-幅.【例13】 某校五年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组.已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人？【分析】设参加语文小组的人组成集合为A ，参加英语小组的人组成集合为B ，参加数学小组的人组成集合为C.A CB 语文数学英语那么不只参加一种小组的人有：110－16－15－21＝58，为|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 不只参加语文小组的人有：52－16＝36|A ∩B|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 不只参加英语小组的人有：61－15＝46|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩B ∩C|； 不只参加数学小组的人有：63－21＝42|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 于是，三组都参加的人|A ∩B ∩C|有36+46+42－2×58＝8人.【附1】数一数，右图中共有多少条线段？【分析】数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”.“个人”：5条 ；“集体”：3+2+1=6 （条）；共5个这样的集体， 所以共5×（3+2+1）+5=35（条）.【附2】（第六届迎春杯决赛）用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？【分析】注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三层用了3×3=9根火柴；…… 从上向下数第20层用了3×20=60根火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．【附3】（北京市第六届“迎春杯”决赛）如图是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有____种不同的放置方法．【分析】设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有72×90=6480种不同的放置方法．【附4】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【分析】法1 ：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.法 2 ：学会把公式进行适当得变换，由容斥原理，得：|A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=75+83-90=68（人）.【附5】三年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【分析】因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)＝63.由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-63＝13(人).也可画图分析.1. 如右图，数数有多少个三角形？【分析】法1：常规方法（分类数），第一类（含1个基本三角形，最小的）：1+3+5=9（个）；第二类（含4个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个.法2：我们可以换个角度分层，将右图从上到下分成最基本的3层，第一层有1个小三角，第一层有3个小三角，第一层有5个小三角，第一层+第二层有1个较大的三角形，第二层+第三层有2个较大的三角形，第一层+第二层+第三层有最大的一个三角形，所以共：1+3+5+1+2+1=13（个）三角形.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.2. （第十一届迎春杯决赛）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？【分析】分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．3. 从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?C=20种选法．由【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？分析由组合数公式，共有种不同的选法；由排列数公式，共有p＝42×41×40＝68880342种不同的站法.5. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【分析】A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人：43-37=6，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人：58-37=21.6. 一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【分析】45-(26＋22-12)=9(人).。

几何的计数问题专题练习：在圆周上有7个点A ，B ，C ，D ，E ，F 和G ，连接每两个点的弧共可有___42___条．以A 为起点：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、AG 、以B 为起点：、BC 、BD 、BE 、BF 、BG 、BA 、、以C 为起点：CD 、CE 、CF 、CG 、CA 、CB 、以D 为起点：DE 、DF 、DG 、DA 、DB 、DC以E 为起点：EF 、EG 、EA 、EB 、EC 、ED 以F 为起点：FG 、FA 、FB 、FC 、FD 、FE 、以G 为起点：GA 、GB 、GC 、GD 、GE 、GF共有42条弧一般化：n 个点，n （n －1）例1：已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形__7___个解：3、5、7；3、7、9；3、9、11；5、7、9；5、9、11； 5、7、11；7、9、11练习一：有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？解：等腰三角形：6、6、11；8、8、11；9、9、11；10、10、11。

―――――4 11、11：10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。

―――――10等边三角形：11、11、11。

―――――1任意三角形： 10、11：9、8、7、6、5、4、3、2。

―――――89、11：8、7、6、5、4、3。

―――――68、11：7、6、5、4。

―――――47、11：6、5。

―――――2共有35个。

例2． 图1－66中有多少个三角形？解： 以OA 为一边的三角形有△OAB ，△OAC ，△OAD ， △OAE ，△OAF 共5个；以OB 为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC ，△OBD ，△OBE ， △OBF；B G以OC 为一边的三角形有△OCD ，△OCE ，△OCF 共3个；以OD 为一边的三角形有△ODE ，△ODF 共2个；以OE 为一边的三角形有△OEF 一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．一般化：不同的三角形数目等于线段AF 中不同线段的条数．当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.练习二：图中三角形的个数？解：如图所示，标上字母A 、B 、C 、D.当不考虑BD 时，△ABC 被从顶点A 引出的五条线分成的三角形个数是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个.当考虑BD 时，在BD 上方也可以数出21个三角形，而在BD 下方只可以数出6个三角形.总计，共有21＋21＋6＝48个三角形.例3．(1)图 (a)中有多少个三角形？ (2)图 (b)中又有多少个三角形？解(1).图 (a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图 (b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1 (b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．B C说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．例4(1)图67中一共有多少个长方形？ (2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)：图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)长的一边上10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1。

计数原理的十二个技巧的典型例题摘要：一、引言二、计数原理概述1.分类计数原理2.分步计数原理三、典型例题解析1.分类计数问题a.例题1：颜色的分配b.例题2：排列组合问题2.分步计数问题a.例题3：组合数的计算b.例题4：事件的相互独立性四、解题技巧总结1.善于运用分类讨论思想2.掌握分步计数原理的应用3.利用数学公式和性质简化计算4.注意审题，挖掘题目信息五、结论正文：一、引言计数原理是高中数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们解决各种计数问题。

掌握计数原理的十二个技巧，可以让我们在解决典型例题时更加游刃有余。

本文将详细解析这些技巧，并给出典型例题的解答。

二、计数原理概述计数原理主要包括分类计数原理和分步计数原理。

1.分类计数原理当我们面临一个问题时，可以将其分为若干个类别，然后分别计算每个类别的方案数，最后求和得到总方案数。

2.分步计数原理分步计数原理适用于一个问题可以分为多个步骤完成的情况。

我们可以按照每个步骤的方案数计算乘积，得到总方案数。

三、典型例题解析1.分类计数问题例题1：有5个不同的颜色，要将这些颜色分配给8个物体，问有多少种分配方法？解：可以将问题分为两类，一类是每个物体都分配到颜色，另一类是有一个物体没有颜色。

计算可得，第一类的分配方法有5^8种，第二类的分配方法有8种。

所以总的分配方法为5^8 + 8 = 391,729种。

例题2：从5个人中选出3个人参加比赛，问有几种不同的选法？解：这个问题可以采用组合数的计算公式解决。

根据组合数公式，C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，可得C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种。

2.分步计数问题例题3：有一个盒子，可以装下1~4个球。

现在有5个球，问有多少种放法？解：可以将问题分为四个步骤：a.第一个球可以放入盒子，有4种放法；b.第二个球可以放入盒子，有4种放法；c.第三个球可以放入盒子，有4种放法；d.第四个球可以放入盒子，有4种放法。

一年级数学计数题在一年级的数学学习中，计数是一个基础而重要的概念。

通过计数，孩子们可以学会认识数字，并掌握数数的方法，培养数学思维和逻辑推理能力。

本文将介绍一些适合一年级学生的数学计数题目，帮助他们巩固基本的计数概念和技巧。

1. 基础计数题1) 从1数到10，并写下每个数字。

2) 从10数到1，并写下每个数字。

3) 从1数到20，并写下每个数字。

4) 从20数到1，并写下每个数字。

2. 给定起始数字的计数题1) 从5开始，数到15。

2) 从10开始，倒数到0。

3) 从3开始，数到18。

4) 从12开始，倒数到2。

3. 随机数计数题1) 从一个随机的数字开始，数到比它大5个数。

2) 从一个随机的数字开始，倒数到比它小3个数。

3) 从一个随机的数字开始，数到比它大10个数。

4) 从一个随机的数字开始，倒数到比它小8个数。

4. 跳数计数题1) 每隔2个数字数一个数，数到20。

2) 每隔3个数字倒数一个数，倒数到1。

3) 每隔4个数字数一个数，数到32。

4) 每隔5个数字倒数一个数，倒数到5。

5. 数字序列计数题1) 2, 4, 6, 8, __, __, __, __, __, __, __2) 1, 4, 7, 10, __, __, __, __, __, __, __3) 10, 8, 6, 4, __, __, __, __, __, __, __4) 20, 17, 14, 11, __, __, __, __, __, __, __通过以上的一系列数学计数题目，一年级的学生可以巩固认识数字的能力，掌握数数的方法，并培养他们的数学思维和逻辑推理能力。

这些题目既包括了基础的计数技巧，也涉及了加减法的初步运算，对孩子们的数学综合能力提升有很大的帮助。

在解答这些题目的过程中，老师可以采用互动的方式，引导学生思考和交流，并鼓励他们在不会的地方寻求帮助。

此外，老师还可以设计一些游戏或竞赛，增加趣味性，激发学生的兴趣和学习动力。