2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直

2.3.1 空间直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.如图2－3－3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．图2－3－3【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.如图2－3－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．图2－3－4【解析】 由点B 1的坐标为(a ，a ，a )知点D 1的坐标为(0,0，a )． 【答案】 (0,0，a )5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________．【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________.【导学号：41292118】【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)7.正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图2－3－5所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．图2－3－5【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，138.如图2－3－6, M －OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则M 的坐标是________．图2－3－6【解析】 由M －OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OAB 的中心知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，63a . 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫36a ，a2，63a二、解答题9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标.【导学号：41292119】【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，0，1.10．如图2－3－7，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．图2－3－7【解】 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×33＝233，BD ＝2AD ＝433，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32， AM ＝AE ·cos 60°＝12.又长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，B 1(2,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，F (1,0,1)． [能力提升]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．【答案】 (－4,0，－6)3.如图2－3－8所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．图2－3－8A ________，B ________，C ________，D ________，P ________，E ________.【解析】 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0(答案不唯一)4.如图2－3－9所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.【导学号：41292120】图2－3－9【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6 2.所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。

2．1.1 数轴上的基本公式学习目标 1.理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义.2。

掌握数轴上两点间的距离公式。

3.掌握数轴上向量加法的坐标运算．知识点一数轴（或直线坐标系）思考1数轴是怎样定义的?思考2实数集与数轴上的点有怎样的关系？梳理数轴的概念（1)数轴（直线坐标系)的定义:一条给出了________、________________和____________的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了________________．(2)数轴上的点P与实数x的对应法则点P的位置原点朝正向的一侧原点原点朝负向的一侧与点P对正数0负数依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了________________关系．(3)数轴上点P的坐标如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．知识点二数轴上的向量及有关概念思考1在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？思考2一名同学从A地直接跑到B地，用A错误!表示,你能用这种方法表示该同学从B地返回到A地吗？它们相等吗?思考3相等的向量的起点与终点相等吗？梳理数轴上的向量及有关概念（1)向量的定义如果数轴上的任意一点A沿着轴的________________移动到另一点B，则说点在轴上作了一次________，点不动则说点作了________，位移是一个既有________又有________的量，通常叫做________________,简称为________．（2）向量的描述(3）相等的向量________________________的向量叫做相等的向量．知识点三数轴上的基本公式位移的和在数轴上，如果点A作一次位移到点B,接着由点B再作一次位移到点C,则位移错误!叫做位移错误!与位移错误!的和，记作错误!＝错误!＋错误!向量坐标运算法则对数轴上任意三点A，B,C，都具有关系________向量坐标表示及距离公式已知数轴上两点A（x1),B（x2)，则AB＝________，d(A,B)＝__________________类型一数轴上的点与实数的对应关系例1(1)如果点P（x）位于点M（－2)，点N（3）之间,求x的取值范围；(2)试确定点A(x2＋x＋1）与点B错误!的位置关系．反思与感悟根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系（主要说明哪一个点位于另一个点的右侧）．（1）A（－1.5），B（－3）；（2）A（a），B（a2＋1）；(3）A（|x｜)，B(x)．类型二数轴上的向量和基本公式例2已知数轴上有A、B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3。

3．空间直角坐标系中的点的坐标：对于空间任意点 A，作点 A 在三条坐标轴上的射影，即经过点 A 作三个平 面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，它们与 x 轴、y 轴、z 轴分别交于点 P，Q，R，点 P，Q，R 在相应数轴上的坐 标依次为 x，y，z，我们把有序数组(x，y，z)叫作点 A 的 坐标，记为 A(x，y，z)．其中 x 叫作点 A 的横坐标，y 叫 作点 A 的纵坐标，z 叫作点 A 的竖坐标．
第2章 平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系 2．3.1 空间直角坐标系
[情景导入] 或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是 你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，其 生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人， 与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一 副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能 被打败”．
这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航 行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么， 怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多 远呢？
[学习目标] 1.掌握空间直角坐标系的有概念.2.会 利用空间直角坐标系表示空间中的点的坐标(重点、难 点)．
1．空间直角坐标系：从空间某一个定点 O 引三条互 相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直 角坐标系 O-xyz，点 O 叫作坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫 作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面分 别称为坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．
规律总结 1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：①让 尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上；②充分利用几 何图形的对称性．
2．点在空间直角坐标系中的位置有三种：点在坐标 轴上、点在坐标平面上、其他情形．对于前两种情形，需 要熟悉特殊点的坐标特征；对于第三种情形，一般是经过 该点作与坐标轴垂直的平面，依据平面与坐标轴的交点确 定点的坐标．

2.3.1 空间直角坐标系 2.3.2 空间两点间的距离[学业水平训练]1．在空间直角坐标系中，点P (3,1,5)关于平面yOz 对称的点的坐标为________．解析：由于点关于平面yOz 对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3,1,5)．答案：(－3,1,5)2．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为________．解析：由题意知，点Q 就是点P 在平面xOy 上的射影，所以横坐标、纵坐标不变，竖坐标为0，故点Q 的坐标为(1，2，0)答案：(1，2，0)3．点M (4，－3,5)到原点的距离d 1＝________，到z 轴的距离d 2＝________.解析：利用两点间距离公式可得d 1＝42＋－2＋52＝5 2.过M 作MN ⊥平面xOy 于N ，则N (4，－3,0)，故d 2＝ON ＝42＋－2＝5.答案：5 2 54．设球心C (0，－1,0)，球面经过一点M (－1,3,1)，则球的半径为________． 解析：r ＝CM ＝－1－2＋＋2＋－2＝3 2.答案：3 25．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且AB ＝26，则实数x 的值是________． 解析：∵ AB ＝x －2＋－2＋－2＝x －2＋8＝26，∴x ＝6或－2.答案：6或－26．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：分别以x 轴、y 轴、z 轴上的单位长度为正方体的相邻的棱作正方体，则点P 在正方体与O 相对的顶点上，所以OP ＝ 3.答案： 37．已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为l ，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解：设正四棱锥底面中心点为O ，∵OA ⊥OB ，点P 在平面ABCD 上的射影为O ，∴以O 为坐标原点，以直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则OA ＝22a ，PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝l ， ∴PO ＝PA 2－OA 2＝l 2－12a 2.故各顶点坐标依次为A (22a,0,0)．B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)，D (0，－22a,0)， P (0,0, l 2－12a 2)． 8.三棱锥P －ABC 中，侧面PAC ⊥底面ABC ，△ABC 是以角B 为直角顶点的直角三角形，AB ＝BC ＝22，又PA ＝PB ＝PC ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：(1)求点A ，B ，C ，P 的坐标；(2)求AB ，PC 的中点之间的距离．解：(1)取AC 的中点O ，连结OB ，OP .∵△ABC 是直角三角形，且AB ＝BC ＝2 2.∴AC ＝4，OB ＝2.∵PA ＝PB ＝PC ，∴点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即点O .故PO ⊥平面ABC .∵PA ＝3，∴PO ＝PA 2－AO 2＝32－22＝ 5.以O 为坐标原点OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0，5)．A (0，－2,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)．(2)AB 的中点坐标为(1，－1,0)，PC 的中点坐标为(0,1，52)． 这两个中点之间的距离为d ＝12＋22＋522＝52. [高考水平训练]1．已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．解析：点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)． 答案：(2，－3,1) 2．对于任意实数x 、y 、z ，则 x 2＋y 2＋z 2＋ x ＋2＋y －2＋z －2的最小值为________．解析：设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)则x 2＋y 2＋z 2＋x ＋2＋y －2＋z －2＝PO＋PM ，由于x 、y 、z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则PO ＋PM ≥OM ＝1＋4＋1＝6，则所求的最小值为 6.答案： 63.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究PQ 的最小值；(2)当点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动时，探究PQ 的最小值．解：设正方体的棱长为a ，连结OA ，在平面AOB 内，作PH ⊥OA 于H .∵OB ⊥平面xOy ，∴PH ⊥平面xOy .设P (x ，x ，z )，则z a ＝2a －2x 2a， ∴z ＝a －x .故P (x ，x ，a －x )．(1)由题意知Q (0，a ，a2)，P (x ，x ，a －x )，PQ ＝x 2＋x －a 2＋x －a 22 ＝3x 2－3ax ＋54a 2 ＝x －a22＋a 22. 故当x ＝a 2，即P 为AB 中点时，PQ min ＝2a 2.(2)由题意知P (x ，x ，a －x )，设Q (0，a ，t )． 则PQ ＝x 2＋x －a 2＋x －a ＋t 2＝x －2a －t 32＋23t －a 22＋a 22. 故当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －t 3，t ＝a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2，t ＝a 2，时，PQ min ＝2a 2. 此时，P 、Q 分别为AB ，CD 的中点．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离． 解：如图，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近点A 1，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式，得|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212.。