2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步2.3-2.3.1空间直角坐标系练习苏教版必修

2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步2.3-2.3.1空间直角坐标系练习苏教版必修1．点P (－2，0，3)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内解析：因为点P 在y 轴上的坐标为0，所以点P 位于xOz 平面内．答案：C2．在空间直角坐标系中，P (2，3，4)，Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：三坐标均相反时，两点关于原点对称．答案：C3．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－1，2，3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，－3)解析：关于x 轴对称，x 不变，y ，z 相反，故P (1，2，3)关于x 轴对称点的坐标为P ′(1，－2，－3)．答案：B4．点P (2，3，4)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A ．(－2，3，4)B ．(－2，－3，4)C ．(2，－3，－4)D ．(－2，3，－4)解析：关于yOz 平面对称的点，在y 轴上，z 轴上的坐标不变，在x 轴上的坐标变为原来的相反数．答案：A5．已知ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：连接AC ，BD 交于点P ，则P 为AC 与BD 的中点，由点A ，C 坐标求得中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B (2，－5，1)求得点D 的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)6．若x 轴上一点A 到z 轴上一点B 的距离为4，并且AB 的中点到平面xOy 的距离为1，则点A 的坐标为________．解析：设A (a ，0，0)，B (0，0，c )，则AB 中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，c 2，所以|c |2＝1. 所以|c |＝2.又a 2＋c 2＝16，所以a 2＝12，a ＝±2 3.答案：(±23，0，0)7．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0，0，c )；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a ，0，c )．其中正确叙述的序号是________．解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④8.如右图所示，空间直角坐标系中OABC -D ′A ′B ′C ′是棱长为2的正方体．其中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BB ′，C ′D ′，AA ′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，所以点在平面yOz 上，竖坐标为2.所以点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D ′C ′的中点G .答案：G 点9．在空间直角坐标系中，点P (2，－4，6)关于y 轴对称的点P ′的坐标为________． 解析：点P (2，－4，6)关于y 轴对称的点P ′的坐标为(－2，－4，－6)．答案：(－2，－4，－6)10．点M (2，－3，1)关于点P (1，1，1)的对称点是________．解析：点M (a ，b ，c )关于点P (1，1，1)的对称点是(2－a ，2－b ，2－c )．答案：(0，5，1)B 级 能力提升11．如图所示，三棱锥O -ABC 为一个正方体截下的一角，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，建立如图所示的坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．解析：因为A (a ，0，0)，B (0，0，b )，C (0，c ，0)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 3 12．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )，给出下面命题：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )；②点P 关于平面yOz 的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，z )；④点P 关于原点的对称点的坐标是(－x ，－y ，－z )．其中正确命题的序号是________．解析：点P 关于x 轴、平面yOz 、y 轴、原点的对称点的坐标分别是(x ，－y ，－z )，(－x ，y ，z )，(－x ，y ，－z )，(－x ，－y ，－z )，故只有命题①④正确．答案：①④13．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．解：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1.以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为各棱长均为1，所以OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. 因为A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0. 因为点A 1，C 1均在yOz 平面内，所以A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1，所以B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1. 14．如图所示，已知一长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，顶点A 的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解：因为A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2，3，－1)，C(2，3，－1)，D(2，－3，－1)．点A1，B1，C1，D1与点A，B，C，D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)，B1(－2，3，1)，C1(2，3，1)，D1(2，－3，1)．2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步2.3-2.3.2空间两点间的距离练习苏教版必修1．若A(1，3，－2)、B(－2，3，2)，则A、B两点间的距离为( )A.61 B．25 C．5 D.57解析：|AB|＝（－2－1）2＋（3－3）2＋（2＋2）2＝5.答案：C2．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( )A．|AB|>|CD| B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|解析：|AB|＝22＋12＋（m－3）2＝5＋（m－3）2，|CD|＝22＋02＋（－1）2＝ 5.因为(m－3)2≥0，所以|AB|≥|CD|.答案：D3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( )A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：因为|AB|＝（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝（x－2）2＋8＝2 6.所以x＝6或x＝－2.答案：D4．设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C ．(1，0，0)或(0，－1，0)D ．(1，0，0)或(－1，0，0)解析：因为点P 在x 轴上，所以设点P 的坐标为(x ，0，0)．由题意，知|PP 1|＝2|PP 2|， 所以（x －0）2＋（0－2）2＋（0－3）2＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2，解得x ＝±1.所以所求点为(1，0，0)或(－1，0，0)．答案：D5．在x 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点的坐标为________． 解析：设x 轴上的点的坐标为(x ，0，0)，则由距离公式得：(x ＋4)2＋(－1)2＋(－7)2＝(x －3)2＋(－5)2＋22.解得x ＝－2.答案：(－2，0，0)6．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，AB 的中点M ，则|CM |＝________． 解析：由中点公式得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， 所以|CM |＝（2－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－0）2＝532. 答案：532 7．已知空间三点A (0，0，3)，B (4，0，0)，C (4，5，0)，求△ABC 的周长． 解：因为|AB |＝（0－4）2＋02＋（3－0）2＝5，|BC |＝（4－4）2＋（0－5）2＋02＝5，|AC |＝（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2＝52，所以△ABC 的周长为10＋5 2.8．已知点A (1，－3，2)，B (－1，0，3)，在z 轴上求一点M ，使得|AM |＝|MB |，则M 的竖坐标为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：设M (0，0，z )， 则12＋32＋（z －2）2＝12＋02＋（z －3）2，解之得z ＝－2.答案：B9．已知A (1－t ，1，t )，B (2，t ，t )(t ∈R)，则A ，B 两点间距离的最小值是( )A. 2 B．2 C.22D．1解析：由两点间的距离公式，得|AB|＝[2－（1－t）]2＋（t－1）2＋（t－t）2＝2t2＋2，当t＝0时，|AB|取最小值为 2.答案：A10．一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的距离是( )A.37B.33C.47D.57解析：P关于xOy面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的路程为|P′Q|＝（3－1）2＋（3－1）2＋（6＋1）2＝57.答案：D11．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．解析：|AB|＝2|OA|＝2（－3）2＋12＋42＝226.答案：22612．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC是________三角形(填三角形的形状)．解析：|AB|＝（4－7）2＋（3－1）2＋（1－2）2＝14.|AC|＝（4－5）2＋（3－2）2＋（1－3）2＝6，|BC|＝（7－5）2＋（1－2）2＋（2－3）2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.所以2(a2＋b2＋c2)＝3.故|PO|＝a2＋b2＋c2＝32＝62.答案：6 214.如图所示，已知三棱锥P-ABC在某个空间直角坐标系中，B(3m，m，0)，C(0，2m，0)，P (0，0，2n )．(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB 与x 轴的正方向的夹角；(2)若M 为BC 的中点，n ＝32m ，求直线AM 与其在平面PBC 内的投影所成的角． 解：(1)如图所示，以A 为坐标原点O ，以AC 为Oy 轴，以AP 为Oz 轴，建立空间直角坐标系，此时AB 与Ox 轴的正向夹角为30°.(2)连接AM ，PM ，因为AB ＝AC ＝2m ，PB ＝PC ＝2m 2＋n 2，又M 为BC 中点，所以AM ⊥BC ，PM ⊥BC .所以∠AMP 为AM 与其在面PBC 内的射影所成的角．又n ＝32m ，所以PA ＝AM ＝3m . 所以AM 与其在面PBC 内的射影所成角为45°.。