2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直

2.3.1 空间直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.如图2－3－3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．图2－3－3【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.如图2－3－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．图2－3－4【解析】 由点B 1的坐标为(a ，a ，a )知点D 1的坐标为(0,0，a )． 【答案】 (0,0，a )5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________．【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________.【导学号：41292118】【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)7.正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图2－3－5所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．图2－3－5【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，138.如图2－3－6, M －OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则M 的坐标是________．图2－3－6【解析】 由M －OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OAB 的中心知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，63a . 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫36a ，a2，63a二、解答题9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标.【导学号：41292119】【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，0，1.10．如图2－3－7，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．图2－3－7【解】 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×33＝233，BD ＝2AD ＝433，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32， AM ＝AE ·cos 60°＝12.又长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，B 1(2,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，F (1,0,1)． [能力提升]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．【答案】 (－4,0，－6)3.如图2－3－8所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．图2－3－8A ________，B ________，C ________，D ________，P ________，E ________.【解析】 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0(答案不唯一)4.如图2－3－9所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.【导学号：41292120】图2－3－9【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6 2.所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。

2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式1．了解空间直角坐标系的建系方式．(重点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点)3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(重点))4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(难点[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P106～P107“练习”以上内容，完成下列问题．1．空间直角坐标系本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指轴的正方向，中指指向空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( ) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )．( ) (3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )．( ) (4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．( ) 【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 教材整理2 空间两点间的距离公式 阅读教材P 108内容，完成下列问题．1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离|P 1P 2|＝在空间直角坐标系中，A (－1,2,3)，B (2,1，m )，若|AB |＝110，则m 的值为________． 【解析】 |AB |＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m )2＝110，∴(3－m )2＝100,3－m ＝±10. ∴m ＝－7或13. 【答案】 －7或13[小组合作型]11111G 在棱CD上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标． 【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知FM ＝12、FN ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12、CK ＝18.∴DK ＝78.故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．[再练一题]1．在棱长都为2的正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC ­A 1B 1C 1各顶点的坐标.【导学号：45722118】【解】 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且OA ＝32×2＝3，以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱ABC­A1B1C1各顶点的坐标分别为：A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．【自主解答】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．任意一点P x，y，z，关于原点对称的点是P1－x，－y，－z；关于x轴横轴对称的点是P2x，－y，－z；关于y轴纵轴对称的点是P3－x，y，－z；关于z 轴竖轴对称的点是P4－x，－y，z；关于xOy平面对称的点是P5x，y，－z；关于yOz平面对称的点是P6－x，y，z；关于xOz平面对称的点是P7x，－y，z,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.[再练一题]2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x 轴、y轴对称的点M3，M4.【解】由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．[探究共研型]探究1【提示】 |PQ |＝(1－4)2＋(0－3)2＋(1＋1)2＝22.探究2 上述问题中，若在z 轴上存在点M ，使得|MP |＝|MQ |，请求出点M 的坐标． 【提示】 设M (0,0，z )，由|MP |＝|MQ |， 得(－1)2＋02＋(z －1)2＝42＋32＋(－1－z )2， ∴z ＝－6.∴M (0,0，－6)．如图2­4­1所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．图2­4­1【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点M 、N 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．【自主解答】 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[再练一题]3．如图2­4­2所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E 分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图2­4­2【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B ．(－1,0,0)，(－1,2,0)C ．(－1,0,0)，(－1,0,0)D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】 点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A (－1,2,1)在xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．【答案】 B2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对【解析】 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．【答案】 A3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________.【导学号：45722119】【解析】 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴线段AB 的中点坐标为(4,0，－1)． 【答案】 (4,0，－1)4．设A (4，－7,1)，B (6,2，z )，|AB |＝11，则z ＝________. 【解析】 由|AB |＝(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝11， 解得z ＝7或－5. 【答案】 7或－55．V ­ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．【解】 以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∵V 在z 轴正半轴上，且|VO |＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点V 的坐标是(0,0,3)．而A 、B 、C 、D 都在xOy 平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．。

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1.空间直角坐标系 (1)为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点
O , 再 作一 条数 轴 z , 使 它与 x 轴 , y 轴都 垂 直 , 这样 它 们中 的任 意 两条 都 互相垂直 ;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿
自检测
1.有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,0); ②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标可写为(a,0,c). 其中正确的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由空间直角坐标系中各坐标的定义知, ①错误,应为(a,0,0);②③④均正确.故选C.
(1)求点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标;
(2)求点N的坐标.
解 :(1)A,B,C,D 都在平面 xOy 内 ,z 坐标都为 0, 它们在 x 轴 ,y 轴所组成的直角坐标 系中的坐标分别是 (0,0),(4,0),(4,3),(0,3), 因此空间坐标分别是 A(0,0,0),
B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0).A′,B′,C′,D′同在一个垂直于 z 轴的平面内 ,
2.空间特殊平面与特殊直线 xOy平面是坐标形如(x,y,0) 的点构成的点集,xOz平面是坐标形如 (x,0,z) 的 点构成的点集,yOz平面是坐标形如 (0,y,z) 的点构成的点集,x轴是坐标形 如 (x,0,0) 的点构成的点集,y轴是坐标形如 (0,y,0) 的点构成的点集,z 轴是坐标形如 (0,0,z) 的点构成的点集.其中,x,y,z为任意的实数. 3.空间结构 三个坐标平面把空间分为 八 部分,每一部分称为一个 卦限 ,在坐标平面xOy 上方,分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限,在 下方的卦限称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.

①关于 x 轴(横轴)对称的点的坐标是 P′(x，－y，－z)． ②关于 y 轴(纵轴)对称的点的坐标是 P′(－x，y，－z)． ③关于 z 轴(竖轴)对称的点的坐标是 P′(－x，－y，z)． ④关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，y，－z)． ⑤关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(－x，y，z)． ⑥关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，－y，z)．
方法归纳 空间直角坐标系中点的对称问题要类比平面直角坐标系中点 的对称问题思考解决． (1)点 P 关于定点 G 对称点 P′的坐标，即可视 G 为线段 PP′ 的中点求解，特别地，点 P(x0，y0，z0)关于原点 O 的对称点 P′(－x0，－y0，－z0)． (2)点 P 关于坐标轴或坐标平面对称点 P′的坐标，一般遵循 “关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标的符号相反”的口 诀．特别地，在空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种 特殊对称点的坐标如下：
学法 指导
通过建立空间直角坐标系，推导出空间两点间的 距离公式，通过对公式的应用，体会其与平面内 两点间距离求法的异同.
1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的概念 从空间某一个定点O引三条___互__相__垂__直_____且有相同单位长 度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O_坐__标__轴______， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 ___x_O_y_平__面______、__y_O__z平__面_______和___z_O_x_平__面______
确定空间任一点的坐标 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点，且正方体棱长为1，请建立适当的直角坐 标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标． (链接教材P119例2)