2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程 2.2.2 直线与圆的位

也可以综合运用几何方法和代数方法，这种综合是充 分借助图形的几何性质，一定程度上简化代数运算，最后 得到图形之间的位置关系.
本章选学内容
本章还安排了 1. “方向向量与直线的参数方程” 2. “笛卡儿与解析几何” 3. “坐标法与数学机械化”等选学内容，
目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度 认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过 程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几 何定理机器证明的杰出贡献.
1. 用向量方法推导点到直线的距离公式， 2. 以及对直线与直线的方程， 3. 圆与圆的方程之间关系的认识，
坐标法是解析几何最基本的研究方法
• 本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法. • 坐标法是解析几何最基本的研究方法， • 它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结 合的思想.
七、本章学业要求
准方程. • 把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程. • 圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们
各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位 置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以 严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法， 通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
• 通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画 直线的倾斜程度（方向）；
• 然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线 上两点的坐标刻画倾斜角；
• 把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的 差的商，进而引出直线斜率的概念；
• 建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向 量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以 由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. ’

所以点 N 的轨迹是以(1，0)为圆心，2 为半径的圆．
规范解答
圆的一般方程的应用
(本题满分12分)已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－ 1＝0. (1)若此方程表示圆，求实数a的取值范围； (2)求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程．
[解] (1)由条件知 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0. 2 分
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
所以圆心为(2，－3)．
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲 线关于y＝x对称，那么必有( A ) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：由题得该方程表示圆，且圆心在y＝x上，再结合一般 方程的意义，可得D＝E.
第二章 解析几何初步
2．2 圆的一般方程
1．问题导航 (1)当 m 为何值时，方程 x2＋y2＋mxy－2x＝0 表示圆？ (2)任何圆的方程都可以写成二元二次方程的形成吗？ (3)如何选择圆的方程形式？
2．例题导读 P80例4.通过本例学习，学会利用待定系数法求圆的一般方程 的方法,解答本例时要注意，利用待定系数法求圆的方程时， 如何选择圆的方程形式要视题目中所给条件而定．
综合应用
已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求
顶点C的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建 立坐标系，则 A(－a，0)，B(a，0)，设 C(x，y)，BC 中点为 D(x0，y0)， 则 x0＝x＋2 a，y0＝2y，① 因为|AD|＝m，所以(x0＋a)2＋y20＝m2.② 将①式代入②式整理得 (x＋3a)2＋y2＝4m2. 因为 C 不能在 x 轴上， 所以 y≠0，故所求轨迹方程为(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0)．

思路点拨:依据数轴上两点间的距离公式首先判定不等式或方程表示的点集,然后 在数轴上表示出来. 解:如图 (1)d(x,2)<1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合.所以d(x,2)<1表示线段BC(不 包括端点); (2)|x-2|>1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,所以|x-2|>1表示射线BO和射 线CD(不包括端点); (3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点 C(3).
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的 长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;

跟踪训练 1 关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置
解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆 心距 d＝ 42＋1＝ 17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交． 答案：B
类型二 两圆的公共弦的问题 [例 2] 已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－ 8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
2．两圆 C1，C2 有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系
两圆相离
0 两圆内含
d>r1＋r2 d<|r1－r2|
图示
两圆相交
2
|r1－r2|<d<r1＋r2
两圆内切 1
两圆外切
d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( × ) (2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．( √ ) (3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．( √ ) (4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．( × )