2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系的建立2130519

§3空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间直角坐标系阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.1.空间直角坐标系的建立：(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向.(3)有关名称：如图2­3­1所示，图2­3­1①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标：(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P 为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.( )(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.( )(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).( )(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√[小组合作型]如图1111F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.图2­3­2【精彩点拨】取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E ，F ，G 坐标.【自主解答】 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12.1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.[再练一题]1.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ＝3，AB ＝5，AA 1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标.【导学号：39292118】【解】 如图，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O ­xyz .∵长方体的棱长AD ＝3，DC ＝AB ＝5，DD 1＝AA 1＝4，显然D (0,0,0)，A 在x 轴上，∴A (3,0,0)；C 在y 轴上，∴C (0,5,0)；D 1在z 轴上，∴D 1(0,0,4)；B 在xOy 平面内，∴B (3,5,0)；A 1在xOz 平面内，∴A 1(3,0,4)；C 1在yOz 平面内，∴C 1(0,5,4).由B 1在xOy 平面内的射影为B (3,5,0)，∴B 1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B 1在z 轴上的射影为D 1(0,0,4)，∴B 1的竖坐标为4，∴B 1(3,5,4).【精彩点拨】 解答本题可有三种思路：①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4,2,5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M.【自主解答】法一：将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0)，再把M1沿与y 轴平行的直线且与y轴相反方向平移2个单位，得到点M2(4，－2,0)，最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点M.法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，且棱长分别为4,2,5，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M.法三：在x轴上找到坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面α；在y轴上找到坐标为－2的点，过此点作与y轴垂直的平面β；在z轴上找到坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面γ，则α，β，γ交于一点，此交点即为所求的点M.已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：(1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y0＜0)或正向(y0＞0)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向(z0＞0)或负向(z0＜0)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0)，过M1作x轴的垂直平面α；再在y轴上找到点M2(0，y0,0)，过M2作y轴的垂直平面β；在z轴上找到点M3(0,0，z0)，过M3作z轴的垂直平面γ，三个平面α，β，γ交于一点，此交点即为所求点M.[再练一题]2.在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6).【解】法一：第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.[探究共研型]探究1 111222坐标，空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的中点坐标是什么？【提示】 平面上两点P 1，P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；空间中两点P 1，P 2中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 探究2 在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？【提示】 关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数.关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数.探究3 在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？【提示】 三个坐标分别互为相反数.求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标.【精彩点拨】 解答本题可先作出点A 的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况.【自主解答】 如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使|AM |＝|CM |，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称点C (1,2,1).过A 作AN ⊥x 轴于N ，并延长到点B ，使|AN |＝|NB |，则A 与B 关于x轴对称且B (1，－2,1)，∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,1)；A (1,2，－1)关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2,1).点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：(1)P (x ，y ，z )――――――→关于原点对称P 1(－x ，－y ，－z )；(2)P (x ，y ，z )――――――→关于x 轴对称P 2(x ，－y ，－z )；P (x ，y ，z )――――――→关于y 轴对称P 3(－x ，y ，－z )；P (x ，y ，z )――――――→关于z 轴对称P 4(－x ，－y ，z ).记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.(3)P (x ，y ，z )――――――――――→关于坐标平面xOy 对称P 5(x ，y ，－z )；P (x ，y ，z )――――――――――→关于坐标平面yOz 对称P 6(－x ，y ，z )；P (x ，y ，z )――――――――――→关于坐标平面xOz 对称P 7(x ，－y ，z ).[再练一题]3.写出点P (－2,1,4)关于y 轴，z 轴，yOz 面，xOz 面的对称点的坐标.【解】 (1)点P 关于y 轴的对称点坐标为P 1(2,1，－4)，(2)点P 关于z 轴的对称点坐标为P 2(2，－1,4)，(3)点P 关于面yOz 的对称点为P 3(2,1,4)，(4)点P 关于面xOz 对称的点为P 4(－2，－1,4).1.点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，26，－13所在的位置是( ) A.x 轴上B.xOz 平面内C.xOy 平面内D.yOz 平面内【解析】 ∵M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，26，－13，x ＝0， ∴点M 在平面yOz 内.【答案】 D2.在空间直角坐标系中，点M (－2,1,0)关于原点的对称点M ′的坐标是( )A.(2，－1,0)B.(－2，－1,0)C.(2,1,0)D.(0，－2,1)【解析】 很明显点M 和M ′的中点是原点，所以点M ′的坐标是(2，－1,0).【答案】 A3.在空间直角坐标系中，已知点A (－1,2，－3)，则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是________.【解析】 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A 在yOz 平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).【答案】 (0,2，－3)4.已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________.【解析】 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1， ∴中点坐标为(4,0，－1).【答案】(4,0，－1)5.如图2­3­3，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标.【导学号：39292119】图2­3­3【解】以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).。