高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4.1 空间直角坐标系学案 新人教B版必修2

2．4.1 空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1 在数轴上，一个实数就能确定一点的位置．在坐标平面上，需要一对有序实数才能确定一点的位置．为了确定空间中任意点的位置，需要几个实数呢？思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？梳理(1)空间直角坐标系①定义：为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条________，使它与x轴，y轴都________，这样它们中的任意两条都________________；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿________方向转90°能与y轴的正半轴重合．这时，我们说在空间建立了一个________________Oxyz，O叫做________________．②坐标平面：每_____________分别确定的平面yOz，xOz，xOy，叫做坐标平面．③卦限：三个坐标平面把空间分为________部分，每一部分都称为________________．(2)空间中点的坐标过点P作一个平面平行于平面______(垂直于x轴)，这个平面与______的交点记为________，它在______的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标．过点P作一个平面平行于平面________(垂直于y轴)，这个平面与________的交点记为________，它在________的坐标为y ，这个数y 就叫做点P 的y 坐标．过点P 作一个平面平行于平面________(垂直于z 轴)，这个平面与________的交点记为________，它在________的坐标为z ，这个数z 就叫做点P 的z 坐标．这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作________．其中x ，y ，z 也可称为点P 的坐标分量．类型一 确定空间中任意一点的坐标例1 已知棱长为2的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．反思与感悟 (1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，点G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．类型二 空间中点的位置的确定例2 在空间直角坐标系Oxyz 中，作出点P (5,4,6)．反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上类型三空间点的对称问题例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．反思与感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记：(1)点A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，－y，－z)，关于y轴的对称点为A2(－x，y，－z)，关于z轴的对称点为A3(－x，－y，z)．(2)点A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(－x，－y，－z)．(3)点A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，－z)，关于xOz平面的对称点为A6(x，－y，z)，关于yOz平面的对称点为A7(－x，y，z)．关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”．跟踪训练3 已知点P(2,3，－1)，求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标．1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a| C．|b| D．|c|2．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为( )A ．(0，12，12)B ．(12，0，12)C ．(12，12，0)D ．(12，12，12)3.如图所示，点P ′在x 轴的正半轴上，且|OP ′|＝2，点P 在xOz 平面内，且垂直于x 轴，|PP ′|＝1，则点P 的坐标是________．4．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为__________；点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标为____________．5．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA 1|＝2|AB |＝4，点E 在CC 1上且|C 1E |＝3|EC |.试建立适当的坐标系，写出点B ，C ，E ，A 1的坐标．1．空间中确定点M 坐标的三种方法(1)过点M 作MM 1垂直于平面xOy ，垂足为M 1，求出M 1的横坐标和纵坐标，再由射线M 1M 的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．答案精析问题导学 知识点思考1 需要三个实数．思考2 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们中任意两条互相垂直． 梳理 (1)①数轴z 垂直 互相垂直 逆时针 空间直角坐标系 坐标原点 ②两条坐标轴 ③八 一个卦限(2)yOz x 轴 P x x 轴上 xOz y 轴P y y 轴上 xOy z 轴 P z z 轴上 P (x ，y ，z )题型探究例1 解 对于图①，因为点D 是坐标原点，A ，C ，D ′分别在x 轴，y 轴，z 轴的正半轴上．又正方体的棱长为2，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D ′(0,0,2)．因为点B 在xDy 平面上，它在x 轴，y 轴上的投影分别为A ，C ，所以B (2,2,0)．同理，A ′(2,0,2)，C ′(0,2,2)．因为B ′在xDy 平面上的投影是B ，在z 轴上的投影是D ′，所以B ′(2,2,2)．对于图②，A ，B ，C ，D 都在xD ′y 平面的下方，所以其z 坐标都为负，A ′，B ′，C ′，D ′都在xD ′y 平面上，所以其z 坐标都为零．因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴，y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D ′(0,0,0)，A ′(2,0,0)，C ′(0,2,0)，D (0,0，－2)．同①，得B ′(2,2,0)，A (2,0，－2)，C (0,2，－2)，B (2,2，－2)． 跟踪训练1 解 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标x 、纵坐标y 均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为(0,0，12)．过F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知识，得FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为(12，12，0)．点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又DG ＝34，故点G 坐标为(0，34，0)，过点H 作HK ⊥CG于K ，由于H 为C 1G 的中点，故K 为CG 的中点，即点H 的坐标为(0，78，12)．例2 解 方法一 第一步：从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .方法二 以O 为顶点构造长方体，使这个长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴，y 轴，z 轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求点P . 跟踪训练2 C [∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是xOz 平面上的点，故选C.] 例3 解 过点A 作AM ⊥平面xOy 于M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且C (1,2,1)．过点A 作AN ⊥x 轴交x 轴于N ，并延长到点B ，使AN ＝NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B (1，－2,1)，∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)，关于x 轴对称的点为B (1，－2,1)．跟踪训练3 解 (1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′在x 轴上的坐标及在y 轴上的坐标与点P 的坐标相同，而点P ′在z 轴上的坐标与点P 在z 轴上的坐标互为相反数．所以，点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)． (2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 在x 轴上的坐标与点P 的坐标相同，而点Q 在y 轴上的坐标及在z 轴上的坐标与点P 在y 轴上的坐标及在z 轴上的坐标互为相反数． 所以，点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)． 同理，点P 关于y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为 (－2,3,1)，(－2，－3，－1)．(3)点P (2,3，－1)关于坐标原点的对称点的坐标为(－2，－3,1)．当堂训练1．D 2.B3．(2,0,1)4．(1,1，－1) (－1，－1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．5．解以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．。