[最新]高中数学 2.2第1课时空间向量的线性运算练习 北师大版选修2-1试题及答案解析

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作空间向量的运算 同步练习【选择题】1.对空间任意两个向量→-a ，→-b （→-b ≠→-0），→-a ∥→-b 的充要条件是 ( )A 、→-b =λ→-aB 、→-a =λ→-bC 、→-a =→-bD 、→-a =-→-b2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(→--BD +→--BC )等于( ) A 、→--AD B 、→--GA C 、→--AG D 、→--MG3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是 （ ）（A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不确定5.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ（ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．n m n m 也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能 6.若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件【填空题】7.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+→--AB →--11C B +→--1DD =____________ 。

8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____________。

9.已知G 为△ABC 的重心，O 为空间任意一点，则→--OG 用→--OA ，→--OB ，→--OC 表示为____________。

§2 空间向量的运算1．空间向量的加减法(1)设a 和b 是空间两个向量，过一点O 作a 和b 的__________OA 和OB，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的__________就是a 与b 的和，记作____________.(2)与平面向量类似，a 与b 的差定义为a +(－b)，记作____________，其中-b 是b 的___________.(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下： ①结合律________________； ②交换律________________. 预习交流1做一做：利用空间图形验证空间向量满足结合律． 2．空间向量的数乘(1)空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个____，记作____．满足： ①|λa |＝____________；②当λ＞0时，λa 与a __________；当λ＜0时，λa 与a ________；当λ＝0时，λa ＝____. (2) 空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下： ①λa ＝______(λR )；②λ(a ＋b )＝________________，(λ＋μ)a ＝________________(λR ，μR )； ③(λμ)a ＝__________(λR ，μR )．(3)空间两个向量a 与b (b ≠0)____的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 预习交流2问题研讨：设e 1，e 2不共线，且λe 1＋μe 2＝0，那么你能够得到什么结论？ 3．空间向量的数量积(1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在______内，因此，空间两个向量a 和b 的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a 和b 的数量积是__________，等于______________________，记作______________．(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律． ①交换律：a ·b ＝______________；②分配律：a ·(b ＋c )＝______________； ③λ(a ·b )＝______________(λR )．(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论： ①|a |＝_______________；②a ⊥b ______________；③cos 〈a ，b 〉＝___________(a ≠0，b ≠0)．(4)对于任意一个非零向量a ，我们把a|a |叫作向量a 的________，记作a 0，a 0与a ________.预习交流3议一议：三个向量a ，b ，c 均不为0，则等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )成立吗？答案：1．(1)相等向量 对角线OC 对应的向量OC →a ＋b (2)a －b 相反向量(3)①(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ②a ＋b ＝b ＋a预习交流1：提示：如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则(a ＋b )＋c ＝(OA →＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →，a ＋(b ＋c )＝OA →＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．2．(1)向量 λa ①|λ||a | ②方向相同 方向相反 0 (2)①a λ ②λa ＋λb λa ＋μa ③λ(μa ) (3)共线预习交流2：提示：λ＝μ＝0.(否则e 1∥e 2，与e 1，e 2不共线矛盾) 3．(1)同一个平面 一个数 |a |·|b |cos 〈a ，b 〉 a ·b (2)①b ·a ②a ·b ＋a ·c ③(λa )·b(3)①a ·a ②a ·b ＝0 ③a·b|a ||b |(4)单位向量 同方向预习交流3：提示：不成立，因a·b ，b·c 是一个数，(a·b )·c 与c 共线，a·(b·c )与a 共线，故它们不表示同一个向量．一、空间向量的加减法运算如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为1AC的共有( )．①(AB BC + )+1CC ；②(111AA AD + )+11D C ；③(1AB BB + )+11B C ；④(111AA A B + )+11B C .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列各式．(1)AB BB D A D D DC ''''+-+- ； (2)AC AC AD AA ''-+- .1.充分利用空间向量的运算律及AB →＋BB ' ＝AB ' ，AC AC CC ''-= 等化简技巧．2．充分利用图形的有关性质． 二、空间向量的数乘运算如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：EF →＋GH →＋PQ →＝0.已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋MA 1→；(2)12AB →＋12AD →＋C 1M →.先用a ，b ，c 分别表示各向量，再进行向量的代数运算，用空间向量的方法处理立体几何问题，使复杂的问题代数化．正确运用向量的运算律，在向量的运算中要注意向量的方向．对向量算式的化简或证明，要结合图形，充分利用图形的性质．三、空间向量的数量积运算如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都为a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点．求下列向量的数量积：(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →；(3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.思路分析：利用数量积的定义分别求出向量的长度及两向量的夹角，再计算．如图所示，已知在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD . 求证：AD ⊥BC .1.牢记公式：a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及若a ⊥b ，则a·b ＝0.2．注意向量的夹角的大小，如〈AB →，AC →〉＝60°，而〈AB →，CA →〉＝120°.答案：活动与探究1：D 解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.迁移与应用1：解：(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →＝(AB →＋BB ′→)＋(D ′D →－D ′A ′→)－BC →＝AB ′→＋A ′D →－BC →＝AB ′→＋(A ′D →－A ′D ′→)＝AB ′→＋D ′D →＝AB ′→＋B ′B →＝AB →. (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→＝(AC ′→－AC →)＋(AD →－AA ′→)＝CC ′→＋A ′D →＝CC ′→＋B ′C →＝B ′C ′→. 活动与探究2：证明：∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c .∴EF →＝12a ＋12b ，GH →＝－12c －12a ，PQ →＝－12b ＋12c .∴EF →＋GH →＋PQ →＝12a ＋12b －12c －12a －12b ＋12c ＝0.迁移与应用2：解：∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，∴A 1B 1→＝AB →＝a ，A 1D 1→＝AD →＝b ，MA 1→＝－a 2－b 2，C 1M →＝－a 2－b 2，(1)AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋MA 1→＝c ＋12a ＋12b －12a －12b ＝c .(2)12AB →＋12AD →＋C 1M →＝12a ＋12b －12a －12b ＝0. 活动与探究3：解：(1)在空间四边形ABCD 中，|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°，∴AB →·AC →＝a ·a ·cos 60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，〈AD →，BD →〉＝60°，∴AD →·BD →＝a ·a ·cos 60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，〈GF →，AC →〉＝π，∴GF →·AC →＝12a 2cos π＝－12a 2.(4)∵|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，EF ∥BD .∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°，∴EF →·BC →＝12a 2cos 60°＝14a 2.迁移与应用3：证明：∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0.∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0. ∵AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·(BD →＋DC →) ＝AC →·BD →＋AC →·DC →＋CD →·BD →＋CD →·DC → ＝AC →·DC →＋CD →·(BD →＋DC →) ＝AC →·DC →＋CD →·BC → ＝CD →·(BC →＋CA →)＝CD →·BA →＝0， ∴AD ⊥BC .1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( )．A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→2.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，若G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )．A.BG →B.AG →C.BC →D.12BC →3．设|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则(2a ＋b )2＝( )． A ．2 3 B ．12 C ．2 D ．4 4．已知非零向量a ，b 不平行，并且|a |＝|b |，则a ＋b 与a －b 之间的位置关系是________． 5.已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .。

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a²b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 由a²b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a²b ＝±|a ||b |.故a²b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件．【答案】 A2．如图2­2­7所示，已知三棱锥O ­ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )图2­2­7A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13OA →＋23³12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 【答案】 D3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.12B ．14C ．1D ．2【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)²(e 1－2e 2)＝0.又e 1⊥e 2，∴e 1²e 2＝0.∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2，∴4λ－8＝0，∴λ＝2.【答案】 D4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) 【导学号：32550026】 A. 2B ． 3 C. 5 D ．7 【解析】 依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a²b ＝5＋4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3. 【答案】 B5.如图2­2­8所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )图2­2­8A.12B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →²BC →＝OA →²(OC →－OB →)＝OA →²OC →－OA →²OB →＝|OA →|²|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|²|OB →|²cos〈OA →，OB →〉又OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →²BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.【答案】 D二、填空题6．如图2­2­9，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AM →＋12A 1A →＝________.(用a 、b 、c 表示)图2­2­9【解析】 AM →＋12A 1A →＝AA 1→＋A 1M →－12AA 1→＝12AA 1→＋12A 1C 1→＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ＝12(a ＋b ＋c )． 【答案】 12(a ＋b ＋c ) 7.如图2­2­10，在45°的二面角α­l ­β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．。

2.2 空间向量的运算[基础达标]1.如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 解析：选A.∵A 1M →＝12(a ＋b )，∴BM →＝BA →＋AA 1→＋A 1M →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .2.已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |＝( ) A. 5 B ．5 C ．6D ． 6解析：选A.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴|a －b ＋2c |2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b －4b ·c ＋4a ·c ＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5. 3.设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同解析：选A.∵n ＝1－m ，∴OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝mOA →＋OB →－mOB →， 即OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，∴BP →＝mBA →，选A.4.已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →＞0，BC →·CD →＞0，CD →·DA →＞0，DA →·AB →＞0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形解析：选D.∵AB →·BC →＞0，∴〈AB →，BC →〉为锐角，∴∠B 为钝角，同理可得∠C ，∠D ，∠A 均为钝角，则有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＞360°. ∴该四边形为空间四边形．5.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.令BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝m (m ＞0)，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，EF →＝12(c －a )，BC 1→＝b ＋c ，又|EF →|＝22m ，|BC 1→|＝2m ，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝12m 222m ·2m ＝12，∴直线EF 和BC 1所成的角为60°. 6.化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法则求解)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：07.设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝6(e 1＋e 2)，∵A 、B 、D 三点共线，可令AB →＝λBD →，即e 1＋k e 2＝6λ(e 1＋e 2)，又e 1，e 2不共线，故有⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝16λ＝k ，∴k ＝1.答案：1 8.如图，已知四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：149.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列条件下，判断点P 是否与A ，B ，C 三点共面．(1)OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →；(2)OP →＝2OA →－2OB →－OC →.解：(1)OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →＝25OA →＋15(OA →＋AB →)＋25(OA →＋AC →)＝OA →＋15AB →＋25AC →，即OP →＝OA →＋15AB →＋25AC →，AP →＝15AB →＋25AC →，所以点P 与A ，B ，C 三点共面．(2)OP →＝2OA →－2OB →－OC →＝2OA →－2(OA →＋AB →)－(OA →＋AC →)＝－2AB →－OA →－AC →， 即OP →＝－OA →－2AB →－AC →， 而AP →不能由AB →和AC →表示，所以不能把OP 化为OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →的形式， 所以点P 不与A ，B ，C 三点共面． 10.如图所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解：∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，且四边形ABCD 、ABEF 都是平行边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →. ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →.∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．[能力提升]1.已知在空间四边形OABC 中(如图所示)，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则OC 和AB 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．90°解析：选D.由已知得 OA →⊥BC →，OB →⊥AC →，∴OA →·BC →＝0，OB →·AC →＝0，∴OA →·(OC →－OB →)＝0，OB →·(OC →－OA →)＝0， ∴OA →·OC →＝OA →·OB →，OB →·OC →＝OB →·OA →，∴OA →·OC →－OB →·OC →＝0，(OA →－OB →)·OC →＝0，BA →·OC →＝0， ∴OC →⊥AB →，即OC 和AB 成90°角．2.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则向量a ，b 的夹角为________． 解析：∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴1＝|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴a ，b 的夹角为120°.答案：120°3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0.同理，BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos 〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4，〈BA →，CD →〉＝60°，2，〈BA →，CD →〉＝120°，∴|BD →|＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2.4.如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c ，则MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →－12PC → ＝12AB →＋AD →－12(PA →＋AD →＋DC →)＝12AB →＋AD →＋12AP →－12AD →－12AB →＝12(AD →＋AP →)＝12(b ＋c )， ∴MN →·CD →＝12(b ＋c )·(－a )＝－12(a ·b ＋a ·c )，∵四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， ∴a ⊥b ，a ⊥c ，∴a ·b ＝a ·c ＝0， ∴MN →·CD →＝0， ∴MN →⊥CD →，故MN ⊥CD .(2)由(1)知，MN ⊥CD ，MN →＝12(b ＋c )，∵PD →＝AD →－AP →＝b －c ， ∴MN →·PD →＝12(b ＋c )·(b －c )＝12(|b |2－|c |2)， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ， 又∠PDA ＝45°， ∴PA ＝AD ，∴|b |＝|c |， ∴MN →·PD →＝0，∴MN →⊥PD →， ∴MN ⊥PD ， ∵CD ，PD平面PCD ，且CD ∩PD ＝D ，∴MN⊥平面PCD.。