正比例的认识

【学习目标：】
1、通过描点的过程，初步认识正比例的图像是一条直线，
2、利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，
3、理解图像上的点所表示的实际意义，能根据具有正比例关系的一个量的数值
看图估计另一个量的数值。

【重难点：】
重点：了解图像的制作过程，初步了解正比例图像的特点
难点：理解图像上的点所表示的实际意义，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。

【学法指导：】分析法
说一说：
什么是正比例？它的两个量有什么特点？
做一做：
1、圆的面积和圆的半径成正比例。

…………（）
2、圆的面积和圆的半径的平方成正比例。

…………（）
3、圆的面积和圆的周长的平方成正比例。

…………（）
4、正方形的面积和边长成正比例。

…………（）
5、正方形的周长和边长成正比例。

…………（）
学一学：
自学课本第63页例2并思考下面的问题。

（1）怎样看出图上的各点表示什么的？
（2）每个点反映的路程和时间的比的比值相同吗？
（3）例2第三问你是怎样解决的？有什么好法子吗？
练一练：
1、小试身手P64
2、大展身手P67第4、5题
说一说：
通过今天的学习，我知道了
评一评：
1、通过描点的过程，初步认识正比例的图像是一条直线，☆☆☆☆☆
2、利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，☆☆☆☆☆
3、理解图像上的点所表示的实际意义，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。

☆☆☆☆☆。

小学生数学练习认识和计算正比例和反比例数学是一门重要的学科，对于小学生的学习和发展具有重要的影响。

其中，正比例和反比例是数学中的基础概念，对于小学生来说，掌握正比例和反比例的认识和计算方法至关重要。

本文将介绍小学生数学练习中认识和计算正比例和反比例的方法。

正比例是指两个变量之间存在着一种呈线性关系，即当一个变量增大时，另一个变量也随之增大；当一个变量减小时，另一个变量也随之减小。

正比例的计算方法主要有两种：直接比例和间接比例。

首先，我们来介绍直接比例。

在直接比例中，两个变量之间的关系可以用等于号连接：y = kx。

其中，y表示一个变量，x表示另一个变量，k表示比例常数。

比例常数k表示了两个变量之间的比例关系。

在求解直接比例的问题时，我们可以通过已知条件来确定比例常数k，然后利用比例关系来计算未知的变量。

举个例子，小明去超市购买水果，他发现每个苹果的价格都是相同的，并且苹果的重量与价格之间存在着直接比例关系。

如果小明购买2个苹果需要支付6元，那么他购买5个苹果需要支付多少元呢？我们可以通过设置比例方程来解决这个问题：2/6 = 5/x通过交叉乘积得到：2x = 6 * 5解方程得到：x = 6 * 5 / 2因此，小明购买5个苹果需要支付15元。

除了直接比例，还存在着间接比例。

在间接比例中，两个变量之间的关系可以用倒数的形式表示：y = k/x。

在求解间接比例的问题时，我们同样可以通过已知条件来确定比例常数k，利用比例关系来计算未知的变量。

举个例子，小红骑自行车去游玩，她发现以相同的速度骑行时，自行车和距离之间存在着间接比例关系。

如果小红用2个小时骑行20公里，那么她骑行5个小时可以骑行多远呢？我们可以通过设置比例方程来解决这个问题：2/20 = 5/x通过交叉乘积得到：2x = 20 * 5解方程得到：x = 20 * 5 / 2因此，小红骑行5个小时可以骑行50公里。

除了计算直接比例和间接比例的方法，小学生还需要通过练习来加深对正比例和反比例的理解。

正比例反比例讲解
正比例和反比例是数学中常见的两个概念,它们描述了两个变量之间的关系。

理解这两个概念对于解决实际问题非常重要。

正比例:
当两个变量的值随着彼此的变化而同步增加或减少时,我们说它们成正比例关系。

换句话说,如果一个变量增加或减少了一定数量,另一个变量也会按相同的比例增加或减少,那么这两个变量就成正比例。

例如:
- 如果一个人的工资与工作时间成正比例,那么工作时间增加10%,工资也会增加10%。

- 如果一辆汽车的行驶距离与油箱中汽油量成正比例,那么油箱中汽油量增加20%,行驶距离也会增加20%。

数学上,如果y = kx,其中k是一个非零常数,那么y与x成正比例关系。

反比例:
当一个变量的值增加时,另一个变量的值减少,反之亦然,我们说它们成反比例关系。

也就是说,如果一个变量增加了一定数量,另一个变量会按相同的比例减少,那么这两个变量就成反比例关系。

例如:
- 如果一个人完成一项工作所需的时间与工人数量成反比例,那么工人数量增加25%,完成工作所需时间会减少25%。

- 如果一个圆的面积与半径的平方成反比例,那么半径增加10%,面积会减少19%(因为面积与半径的平方成反比)。

数学上,如果y = k/x,其中k是一个非零常数,那么y与x成反比例关系。

理解正比例和反比例关系对于解决许多实际问题非常有帮助,如计算工资、距离、面积等。

掌握这些概念有助于我们更好地分析和解决现实生活中的问题。

19.2.1 正比例函数第1课时认识正比例函数教学目标：１．理解正比例函数的概念．２．掌握正比例函数解析式特点，并能准确判断正比例函数。

３．经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点：理解正比例函数的意义及解析式特点。

教学难点：正比例函数的理解及应用。

教学过程：一、情境导入：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？1318÷300≈4.4（h）.（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？y=300t（0≤t≤4.4）（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km 的南京站？y=300×2.5=750（km）, 这时列车尚未到达距始发站 1 100km的南京站.二、提出问题:1、下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．l=2πr（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．m=7.8v(3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．h=0.5n（4）冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体的温度T（单位：°C）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．T=-2t2、问题探究：在l=2πr、m=7.8v、h=0.5n 和T=-2t 中:（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？（3）这4个函数表达式与问题1的函数表达式y=300t有何共同特征？请你用语言加以描述3、（1）.如果我们把这个常数记为k ，你能用数学式子表达吗？y=kx（2）.对这个常数k 有何要求呢？为什么？k ≠0（3）.请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如 y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数（4）.这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比例系数k4、.正比例函数y=kx(常数k ≠0)的自变量x 的取值范围是什么？这与P86的问题1和P86~87的思考（1）~（4）的函数自变量的取值范围有何不同？一般情况下正比例函数自变量取值范围为一切实数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同5、如何理解y 与x 成正比例函数？反之，y=kx(k 为常数， k ≠0)表示什么意义？ y 与x 成正比例函数 y=kx(常数k ≠0)6、在正比例函数y=kx(k 为常数，k ≠0)中关键是确定哪个量？比例系数k 一经确定，正比例函数确定了吗？怎样确定k 呢？从函数关系看，关键是比例系数k ，比例系数k 一确定，正比例函数就确定了；只需知道两个变量x 、y 的一对对应值即可确定k 值．从方程角度看，如果三个量x 、y 、k 中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．三、课堂练习1.下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．（1）y=-0.1x ； （2） y=2x ；（3）y=2x 2 ； （4）y 2=4x ；（5）y=-4x+3； （6）y=2(x －x 2 )+2x 22、下列说法正确的打“√”，错误的打“×”（1）若y=kx ，则y 是x 的正比例函数（ ）（2）若y=2x2，则y 是x 的正比例函数（ ）（3）若y=2(x-1)+2，则y 是x 的正比例函数（ ）（4）若y=2(x-1) ，则y 是x-1的正比例函数（ ）3、（1）、如果y=(k-1)x ，是y 关于x 的正比例函数，则k 满足________________.（2）、如果y=kx k-1，是y 关于x 的正比例函数，则k=__________.（3）、如果y=3x+k-4，是y 关于x 的正比例函数，则k=_4、已知正比例函数y=kx ，当x=3时，y=-15，求k 的值．5、若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2.（1）求出y与x的关系式；（2）当x=6时，求出对应的函数值y.四、课堂小结：本节课，你有收获吗? 说出来与大家共享。

教案：六年级数学下册认识正比例图像教案苏教版一、教学目标1. 让学生通过观察、分析、归纳，理解正比例图像的特征及意义。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：正比例图像的特征及意义。

2. 教学难点：如何判断两种相关联的量是否成正比例。

三、教学准备1. 教具准备：正比例图像的示例、多媒体课件。

2. 学具准备：学生分组合作，准备正比例图像的相关材料。

四、教学过程1. 导入新课1.1 教师出示正比例图像，引导学生观察、分析。

1.2 学生分享观察到的图像特征。

1.3 教师总结正比例图像的特征，板书课题。

2. 探究正比例图像的特征2.1 教师引导学生通过小组合作，探讨正比例图像的特征。

2.2 学生汇报探讨成果，教师点评并总结。

3. 实例分析3.1 教师出示实际问题，引导学生运用正比例图像解决。

3.2 学生展示解题过程，教师点评并指导。

4. 练习巩固4.1 教师设计练习题，让学生独立完成。

4.2 学生展示解答，教师点评并指导。

5. 总结拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容。

5.2 学生分享学习收获，教师给予鼓励。

五、课后作业1. 完成练习册相关题目。

2. 观察生活中的正比例现象，下节课分享。

教学反思：本节课通过观察、分析、实例、练习等环节，让学生掌握了正比例图像的特征及意义。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养了学生的抽象思维能力。

结合生活实际，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

但在课堂提问环节，可以更加注重启发学生思考，提高学生的表达能力。

六、教学评价1. 知识与技能：学生能识别和理解正比例图像，能够解释实际问题中的正比例关系。

2. 过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳来探索正比例图像的特征，并能运用这些特征解决相关问题。

3. 情感态度与价值观：学生对数学学习保持兴趣和热情，能够在小组合作中积极参与，展现合作和交流的能力。

1、正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

2、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用关系式表示：x÷y=k （一定）还可表示为：x=ky以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时,应注意已知的两种量必须是两种相关联的量（也就是有关系的两种量），有些量，虽然也是一种量随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．行驶的路程和时间是成比例的量。

“正反比例”归纳：相同点：①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。

②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。

正比例中相关联的两种量的变化方向是一致的，即：同时扩大或同时缩小，关键是：相对应的两个数的“比值一定，也就是商一定”；反比例中两种量的变化方向是相反的，即：一个量扩大，则另一个量缩小，一个缩小，另一个量则扩大，关键是：相对应的两个数的“积一定”。

不同点：正比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的比值。

反比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的积。

②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。

③公式不同：正比例是（x y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。

④规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。

门诊医院：举例：当路程一定时，已行路程与未行路程成比例吗?为什么？分析：虽然这里的已行路程和未行路程也是相关联的两个量，但是它们的变化规律是增加或减少的数，换句话说已行路程与未行路程不是一个量随另一个量的扩大而扩大或缩小而缩小，也就是它们之间不能相乘，也不能相除，得不到一个积或一个商，所以它们不成比例。