2020_2021学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.

第一章 1.1 1.1.11．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→的运算结果是( B )A ．A 1C →B ．AC 1→C ．BD 1→D ．B 1D →[解析]AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→．2．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同，因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件．3．(2020·某某某某市高二质检)三棱锥P －ABC 中，M 是棱BC 的中点，若PM →＝xAP →＋yAB →＋zAC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z 的值为( B )A ．－1B ．0C ．12D ．1 [解析]由题可知，PM →＝xAP →＋yAB →＋zAC →(x ，y ，z ∈R )，由向量线性运算得：PM →＝PA →＋AM →＝－AP →＋AM →，即PM →＝－AP →＋12AB →＋12AC →，所以，x ＝－1，y ＝12，z ＝12，则x ＋y ＋z ＝0． 故选B ．4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( A )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形[解析]∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →．∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|．∴四边形ABCD 为平行四边形．5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__b －a －c __(用a ，b ，c 表示)．[解析]A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－CC 1→＋CB →－CA →＝b －a －c ．。

测固双基含解析新人教A 版选择性必修第一册第一章 1.1 1.1.21．下列命题中，不正确的有( D )①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b ；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ；④a 2b ＝b 2a ． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个[解析] ④中a 2b ≠b 2a ，①②③均正确，选D ．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |等于( A ) A ．7 B ．10 C ．13 D ．4[解析] |a －3b |＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×1×1×12＋9＝7．3．已知空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( D )A ．12B ．22C ．－12D ．0[解析] OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0， 所以OA →⊥BC →．所以cos 〈OA →，BC →〉＝0．4．若a ，b ，c 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a －b ＋2c |＝__5__． [解析] |a －b ＋2c |2＝(a －b ＋2c )2 ＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c ＝5． ∴|a －b ＋2c |＝5．测固双基含解析新人教A 版选择性必修第一册5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →与A 1P →所成角的大小为__60°__，B 1C →·A 1P →＝__1__．[解析] 方法一：连接A 1D (图略)，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角，连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°，因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1．方法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1．由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，即cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝12，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°．。

解析新人教A 版选择性必修第一册第一章 1.2请同学们认真完成练案 [3]A 组·素养自测一、选择题1．(多选题)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( ABD )A ．{a,2b,3c }B ．{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }C ．{a ＋2b,2b ＋3c,3a －9c }D ．{a ＋b ＋c ，b ，c }[解析] 由于a ，b ，c 不共面，易判断A ，B ，D 中三个向量也不共面，可以作为一组基向量．对于C ，有3(2b ＋3c )＋(3a －9c )＝3(a ＋2b )，故这三个向量是共面的，不能构成基底．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与C 1M →相等的向量是( C )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b －cD ．－12a －12b ＋c[解析] C 1M →＝AM →－AC 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋BC →＋CC 1→)＝－12a －12b －c ．3．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则不能与a ，b 构成空间的一个基底的是( C )A ．OA →B ．OB →C ．OC →D ．OA →与OB →[解析] ∵a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，解析新人教A 版选择性必修第一册∴OC →＝12(a －b )，∴OC →与向量a ，b 共面，∴OC →，a ，b 不能构成空间的一个基底．4．(2020·四川广元高二期中)已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，且BP →＝mOA →＋OB →＋OC →，则m 的值为( C )A ．－1B ．2C ．－2D ．－3[解析] ∵O 为空间任意一点，BP →＝mOA →＋OB →＋OC →，∴OP →＝mOA →＋2OB →＋OC →．∵A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，∴m ＋2＋1＝1，解得m ＝－2．5．(2020·陕西咸阳高二期末)如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上，且满足OM →＝2MA →，BN →＝NC →，点G 是线段MN 的中点，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应为( A )A ．OG →＝13OA →＋14OB →＋14OC →B ．OG →＝13OA →－14OB →＋14OC →C ．OG →＝13OA →－14OB →－14OC →D ．OG →＝13OA →＋14OB →－14OC →[解析] OG →＝OM →＋MG →＝23OA →＋12MN →＝23OA →＋12(MA →＋AN →)＝23OA →＋12⎣⎡⎦⎤13OA →＋12(AB →＋AC →)＝23OA →＋16OA →＋14(OB →－OA →)＋14(OC →－OA →)＝13OA →＋14OB →＋14OC →． 二、填空题6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1→的表达式中：①AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→；解析新人教A 版选择性必修第一册②AB →＋DD 1→＋D 1C 1→； ③AD →＋DD 1→＋D 1C 1→； ④12(AB 1→＋CD 1→)＋A 1C 1→． 正确的个数有__3__个．[解析] AB →＋DD 1→＋D 1C 1→＝AB →＋DC 1→＝AB →＋AB 1→≠AC 1→，②不正确；12(AB 1→＋CD 1→)＋A 1C 1→＝12(AB 1→＋BA 1→)＋A 1C 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→，④正确；①③显然正确．7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝__1__，y ＝__－1__．[解析] 因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝__－12__．[解析] 如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，所以EF→＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，所以λ＝－12．三、解答题9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；解析新人教A 版选择性必修第一册(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值．[解析] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋D 1B →)＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1． 10．如图，已知直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解析] (1)设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0． 所以CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ．所以CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，所以CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D ． (2)因为AC ′→＝－a ＋c ，所以|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，解析新人教A 版选择性必修第一册因为AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， 所以cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010．所以异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010． B 组·素养提升一、选择题1．(2020·陕西西安高二期末)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝( B )A ．1B ．76C ．56D ．23[解析] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →，与AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →比较可得x ＝1,2y ＝1，－1＝3z ，则x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76．2．(2021·浙江杭州模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可表示为( A )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c[解析] 取AC 的中点N ，连接BN ，MN ，如图所示．解析新人教A 版选择性必修第一册∵M 为A 1C 1的中点，AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，∴NM →＝AA 1→＝c ，BN →＝12(BA →＋BC →)＝12(－AB→＋BC →)＝－12a ＋12b ，∴BM →＝BN →＋NM →＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋c ＝－12a ＋12b ＋c ． 3．在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13 D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23[解析]如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则E 为BC 中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)．因为OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)， 所以OG ＝34OG 1．则OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →． 4．(多选题)关于空间向量，以下说法正确的是( ABC )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面解析新人教A 版选择性必修第一册B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{a ，b ，c }是空间中的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角[解析] 根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A 正确；若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，则根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；由{a ，b ，c }是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 也不共面，所以{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }也是空间的一组基底，所以C 正确；若a ·b ＜0，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，所以D 错误．故选ABC ．二、填空题5．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝__3__．[解析] 由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3．6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋υe 3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝__0__． [解析] ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3为不共面向量．又∵λe 1＋μe 2＋υe 3＝0，∴λ＝μ＝υ＝0，∴λ2＋μ2＋υ2＝0．7．如图，在四面体ABCD 中，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝__－112AB →－13AC →＋34AD →__．解析新人教A 版选择性必修第一册[解析] 连接AG 交BC 于点M ，连接AE ，则GE →＝AE →－AG →＝AB →＋34BD →－23AM →＝AB →＋34(AD→－AB →)－23×12(AB →＋AC →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →．三、解答题8．如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，求证：GH ∥OA ．[证明] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ． 因为H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点， 所以OD →＝12(OB →＋OC →)，OH →＝23OD →，从而OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )．又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →，AD →＝OD →－OA →，所以OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )．因为GH →＝OH →－OG →，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a ＝－13OA →，所以GH →∥OA →，即GH ∥OA ．9．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN ．[证明] 如图，解析新人教A 版选择性必修第一册取向量OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则OM →＝12(OB →＋OC →)，ON →＝12(OA →＋OC →)．所以PM →＝OM →－OP →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12(OB →＋OC →－OA →)，QN →＝ON →－OQ →＝12(OA →＋OC →)－12OB →＝12(OA →＋OC →－OB →)．又因为AB →＝OB →－OA →，所以PM →＝12(AB →＋OC →)，QN →＝12(OC →－AB →)，所以PM →·QN →＝12(AB →＋OC →)·12(OC →－AB →)＝14(|OC →|2－|AB →|2)，又因为|AB →|＝|OC →|，所以PM →·QN →＝0，即PM ⊥QN ．。

第2课时 空间直角坐标系必备知识·自主学习1.空间直角坐标系建立 方法在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy ，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.坐标 轴在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴．坐标 平面通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．一般 画法x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．图示 点的坐标设M 为空间中的一个点，过M 分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，设这些平面与x 轴、y轴、z 轴依次交于点P ，Q ，R.且P ，Q ，R 在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，因此将有序实数组(x ，y ，z)称为点M 的坐标，记作M(x ，y ，z)．卦限 空间直角坐标系的三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限．说明空间直角坐标系中点P 的坐标与空间向量OP →的坐标相同．2．空间向量坐标的应用空间两点A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，线段AB 的中点M(x ，y ，z) AB →的坐标公式AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)空间中两点之间的距离公式AB AB ==222212121x x y y z z （－）＋（－）＋（－）中点坐标公式OM →＝()x ，y ，z ＝121212x x y y z z ()222+++，，已知 A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，(1)向量AB →的坐标能表示为()x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2 吗？ 提示：不能．(2)A ，B 两点的距离能表示成()x 1－x 22＋()y 1－y 22＋()z 1－z 22 吗？提示：能．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在空间直角坐标系中，在y 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c).() (2)若向量AB →＝(x ，y ，z)，则点B 的坐标是(x ，y ，z).()(3)点P(x ，y ，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离OP ＝x 2＋y 2＋z 2 .() 提示：(1)×.y 轴上的点的坐标是横、竖坐标都为0. (2)×.A 点与原点重合是，不与原点重合则不是． (3)√.由空间中两点的距离公式可得．2．已知正方体的棱长为2，点E 是棱DD 1的中点，在如图所示的坐标系下，点E 的坐标为() A ．(1，0，0) B ．(0，1，0)C ．(0，0，1)D ．⎝⎛⎭⎫0，0，12【解析】选C.因为点E 在z 轴上，且DE ＝1，所以E 点的坐标为(0，0，1).3．(教材例题改编)已知点A ，B 的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，则向量AB →的坐标是________．【解析】因为点A ，B 的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，所以AB →＝(3，－4，－12). 答案：(3，－4，－12)关键能力·合作学习类型一 空间中点的坐标的确定(直观想象)1.点(1，－1，0)在空间直角坐标系中的() A ．z 轴上B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上2．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE.在如图所示的坐标系下，EF →＝()A ．(1，2，1)B ．⎝⎛⎭⎫1，32，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，12，1 D ．⎝⎛⎭⎫0，－12，－1 3．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标为________．【解析】1.选B.因为点(1，－1，0)的竖坐标为0，所以此点是xOy 平面上的点．2．选C.因为AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，则CF ＝AB ＝1，CE ＝12 AB ＝12，所以BE ＝BC －CE ＝2－12 ＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0 ，点F 的坐标为(1，2，1)，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1 . 3．设点D(x ，y ，z)，则DB → ＝(－x ，1－y ，－z)，AC → ＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z)，AB →＝(－1，1，0)，因为DB ∥AC ，DC ∥AB ，所以DB → ∥AC → ，DC → ∥AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧－x －1＝－z 2，1－y ＝0，－x －1＝－y1，2－z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2， 所以D(－1，1，2).答案：(－1，1，2)确定点的坐标的常用方法：确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．类型二 空间中两点之间的距离问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，|C 1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点． (1)求DE ，EF 的长度．(2)若点G 为线段A 1C 1上一动点，求当GB ＝10 时点G 的坐标．【思路导引】建立适当的空间直角坐标系，把D ，E ，F 的坐标写出来，设出G 点坐标，再用距离公式解决．【解析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， 设G ()x ，0，2 ，其中0≤x≤2. (1)|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2 ＝ 5 ，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2 ＝ 6 . (2)||GB ＝()x －02＋()0－22＋()2－02＝x 2＋8 ＝10 ，所以x ＝±2 (负值舍去)，所以点G 的坐标为()2，0，2 .距离问题的两种题型及解题策略：(1)已知两点坐标求距离，直接代入公式求解即可；(2)已知两点间距离求参数或点的坐标，应利用公式建立相应方程求解．1．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．【解析】因为B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，所以BC 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32，－12 ，所以BC 边上的中线长为 （3－2）2＋⎝⎛⎭⎫1－322＋⎝⎛⎭⎫2＋122＝302. 答案：3022．设点P 在x 轴上，使它到点P 1(0， 2 ，3)的距离是到点P 2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P 的坐标．【解析】因为点P 在x 轴上，所以设点P 坐标为(x ，0，0).因为PP 1＝2PP 2，所以（x －0）2＋()0－22＋（0－3）2＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2 ，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0). 类型三 空间向量坐标的应用(直观想象、逻辑推理) 角度 1 求值问题【典例】棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．求： (1)EF → ·CF → ；(2)EF → ·CG → ；(3)||CE → ；(4)|EF → |.【思路导引】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量的坐标，再分别求解． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D(0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C(0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 ，G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 . 所以EF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12 ，CF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0 ，CG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12 ，CE → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，12 . (1)EF → ·CF → ＝12 ×12 ＋12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×0＝0.(2)EF → ·CG → ＝12 ×1＋12 ×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×12 ＝14 .(3)|CE →|＝02＋（－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝52 .(4)|EF → |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32 .本例条件不变，求cos 〈GF → ，EC →〉．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C(0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 .所以GF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－12 ，EC → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12 ，所以cos 〈GF → ，EC →〉＝GF EC GF EC＝0－12＋1434·54＝－1515 .角度 2 证明问题如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝ 2 ，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF.【思路导引】建立恰当的坐标系，利用空间向量证明． 【证明】(1)因为平面ABCD ⊥平面ACEF ， 平面ABCD∩平面ACEF ＝AC ，EC ⊥AC ， 所以EC ⊥平面ABCD ，又BC ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22，22，0 ，(0，0，1).所以NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 .又点A ，M 的坐标分别是( 2 ， 2 ，0)，⎝⎛⎭⎫22，22，1 ，所以AM → ＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 . 所以NE → ＝AM →.又NE 与AM 不共线，所以NE ∥AM. 又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， 所以AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 .因为D( 2 ，0，0)，F( 2 ， 2 ，1)，所以DF → ＝(0， 2 ，1)，所以AM → ·DF → ＝0，所以AM → ⊥DF →.同理AM → ⊥BF →.又DF∩BF ＝F ，且DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以AM ⊥平面BDF.空间向量坐标应用的关注点： (1)建系，写坐标，把向量坐标化；(2)利用向量的坐标运算公式求解向量的数量积、模长、夹角等问题． (3)利用空间向量共线与垂直的条件证明线面的平行、垂直问题．1．以A(10，－1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形的形状是() A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】选D.根据空间两点间距离公式， 得|AB|＝（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2 ＝7， |BC|＝（4－2）2＋（1－4）2＋（9－3）2 ＝7， |AC|＝（10－2）2＋（－1－4）2＋（6－3）2＝98 .因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|， 所以△ABC 是等腰直角三角形．2．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点． (1)BN 的长为________；(2)1BA 与1CB 夹角的余弦值为________．【解析】如图，以CA → ，CB →，1CC 为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2 ＝3 ，所以线段BN 的长为3 .(2)依题意得A 1(1，0，2)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)， 所以1BA ＝(1，－1，2)，1CB ＝(0，1，2)， 所以11BA CB ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA |＝6 ，|1CB |＝5 ，所以cos 〈11BA CB ，〉＝1111BA CB BA CB ＝3010，即1BA 与1CB 夹角的余弦值为3010.答案：(1)3 (2)30103．如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC ＝a.(1)求AB → ·SC → ；(2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS. 【解析】以点A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA ＝AB ＝BC ＝a ， 所以B ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，C(0, 2 a ，0)，S(0，0，a).(1)AB → ＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，SC →＝(0, 2 a ，－a).所以AB → ·SC →＝a 2.(2)由于AB → ＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，AS →＝(0，0，a)，BC → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0 ，显然，AB → ·BC → ＝0，AS → ·BC →＝0. 即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB∩AS ＝A ， 故BC ⊥平面ABS. 【补偿训练】如图所示，在三棱锥S-ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13 ，SB ＝29 . (1)求SC → ·BC → . (2)求|SC → ||AB → |.【解析】因为∠SAB ＝∠SAC ＝90°，所以SA ⊥AB ，SA ⊥AC 且AB∩AC ＝A ，所以SA ⊥平面ABC ，如图所示，取A 为坐标原点，AC ，AS 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13 ，SB ＝29 ，得C(0，2，0)，B(－13 ，2，0)，S(0，0，2 3 ).所以AB → ＝(－13 ，2，0)，SC → ＝(0，2，－2 3 )，BC → ＝(13 ，0，0).(1)SC → ·BC → ＝0.(2) |SC → |＝02＋22＋()－232 ＝4， |AB → |＝()－132＋22＋02 ＝17 ，所以|SC → ||AB → |＝4×17 ＝417 .课堂检测·素养达标1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为()A ．⎝⎛⎭⎫0，12，12B ．⎝⎛⎭⎫12，0，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，12，0 D ．⎝⎛⎭⎫12，12，12【解析】选B.根据题意，正方形AA 1B 1B 的对角线的交点纵坐标为0，横、竖坐标都是12. 2．(教材练习改编)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(2，2，－1)，点B 的坐标为(3，－1，2)，则()A ．AB → ＝(2，2，－1) B ．AB → ＝(3，－1，2)C ．BA → ＝(1，－3，3)D ．BA → ＝(－1，3，－3)【解析】选D.AB → ＝OB → －OA → ＝(1，－3，3)，BA → ＝OA → －OB → ＝(－1，3，－3).3．点(4，0，1)在空间直角坐标系中的()A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上【解析】选C.因为点(4，0，1)的纵坐标为0，所以此点是xOz 平面上的点．4．已知A(－4，1，3)，B(2，－3，5)，则线段AB 中点的坐标为________.【解析】设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝－4＋22 ＝－1，y 0＝1－32 ＝－1，z 0＝3＋52＝4， 所以线段AB 的中点坐标为(－1，－1，4).答案：(－1，－1，4)5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB → 与CA → 的夹角θ的大小是________．【解析】由于AB → ＝(－2，－1，3)，CA → ＝(－1，3，－2)，所以AB → ·CA → ＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB → |＝14 ，|CA → |＝14 ，所以cos θ＝cos 〈AB → ，CA → 〉＝－714×14 ＝－12 ， 则θ＝120°.答案：120°。

课时分层作业(六）（建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0,0)，n＝（－2,0,0)B．a＝（1,3,5)，n＝（1，0，1）C．a＝（0,2,1),n＝(－1,0，－1）D．a＝（1,－1,3），n＝（0，3，1）D［若l∥α,则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D。

]2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5），n ＝(－6，－2,10),则（)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对B[因为m＝(3,1，－5)，n＝（－6，－2，10),所以有n＝－2m，即m与n共线（平行），可知平面α和平面β相互平行．答案选B。

]3．平面α的法向量u＝（x，1，－2）,平面β的法向量v＝错误!，已知α∥β,则x＋y＝(）A．错误!B．错误!C．3 D．错误!A[由题意知,∵α∥β，∴u＝λv,即错误!解得λ＝－4，y＝－错误!，x＝4，∴x＋y＝4－错误!＝错误!.]4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2）,α的一个法向量为n＝(3，1,2）,则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1，1）B．错误!C．错误!D．错误!B［对于B，错误!＝错误!，则n·错误!＝(3,1，2）·错误!＝0，∴n⊥AP→，则点P错误!在平面α内．]5.如图,在正方体ABCD.A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点,则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(）A．(1，－2,4）B．（－4，1,－2）C．（2，－2，1）D．(1,2，－2)B［设正方体棱长为2，则A(2，0，0）,E(2,2,1），F(1,0,2），∴错误!＝（0，2,1），错误!＝（－1，0,2)设向量n＝（x，y，z)是平面AEF的一个法向量则错误!，取y＝1，得x＝－4，z＝－2∴n＝(－4，1,－2）是平面AEF的一个法向量因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.］二、填空题6．若直线l的方向向量为a＝（1，－2，3）,平面α的法向量为n＝(2，x，0)，若l∥α，则x的值等于________．1［由l∥α可知a·n＝0,即2－2x＝0，所以x＝1。

高中2021级数学组归基础系列之敎耐习廳选编新人救夬版迭择牲決修~高2021級敷孝紐編2020年9月选择性必修一目录第一⅞空间向：与「: T J (1)1.1空间向量及其运算 (1)1丄1空间向量及其钱性运工 (1)1.1.2空间甸量的或、量和运彳 (2)习題1.1 (4)1.2空间向量基本定理 (6)习＜1.2 (8)1∙3空间向量及其运算的坐标表示 (9)1.3」空间直伤蜚标系 (9)1.3.2空间向量込算的出标表示 (10)习題1.3 (12)1.4空间向量的应用 (13)1.4」用空冋向量研紀直优、平面的位置关系 (13)1.4.2用空间向耆列宛犯爲、矣令问题 (15)习＜1.4 (19)复习参考题1 (23)第二章直线和圆的方程 (28)2.1直线的倾斜角与斜率 (28)2.1.1f⅛44 ⅛ 与卅牟 (28)2.1.2两芻直观平有■和麦直的学I定 (28)习＜2.1 (29)2.2直线的方程 (30)2.2.1直伐的点铜犬方程 (30)2.2.2 1 A的两点天方程 (30)2.2.3直後的一般天方程 (31)习題2.2 (32)2.3直线的交点坐标与距离公式 (33)2.3.1两条直坯的交点坐标 (33)2.3.2两点间的亚禹分天 (34)2.3.3Λ到直钱的能离分炙 (34)2.3.4两条平行直钱间的距离 (34)习< 2.3 (35)2.4圆的方程 (36)2.1.1圆的标准方程 (36)2.4.2冈的一般方程 (37)习題2.4 (37)2.5直线与圆、圆与圆的位置 (38)2.5.1 ®的位豐关系 (38)2.5.2国寺冈的位賈关系 (39)习題2.5 (39)复习参考题2 (41)第三章圆锥曲线的方程 (43)3.1椭圆 (43)3.1.1楙Ia及必标准方程 (43)3.1.2楠圆的简車几何性质 (44)习<3.1 (45)3.2双曲线 (47)3.2.1玖曲钱及其标准方程 (47)322玖曲钱的简单几何性质 (48)习題3.2 (49)3.3抛物线 (50)3.3.1极扬钱及必标複方程 (50)3.3.2拋物钱的简单几何性质 (51)习題3.3 (52)复习参考题3 (54)第一章空间向量与立体几何1∙1空间向量及其运算01.1.1 ⅛伺童及其松Fi迪耳1.如图1.1-9.已知平行四边形43CD过平面AC外一点O作射线04 OBOe r, OD,在四条射线上分别取点E, F, G, H,使詹=箸=箸=笏=血.求证：E,F,G,H四点共面.图 1.1-92.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.3.如图.E、F分别是长方体ABCD-ABCD的棱AB, CQ的屮点•化简下列表达式,并在图屮标出化简结果的向呈:V—► —> (IW-CB;(3)AB-ΛZ> + F5;4 •在图1.1-6中，用乔,刁万,兀？表示花■而及芮.l¥|l.l-G5•如图•己知四而体ABCD 、E 、F 分别是EC, CD 的中点•化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向 ⅛:;(3) AF--J(AB + AC). 6•如图，已知正方体ABCD 一 AB ,C'D∖E. F 分别是上底面Ae f 和侧而Cci 的中心•求下列各式中x, y 的(1) AC=X(AB^BC^C(2) AE = AA + XAb + y AD;(3) ΛF = AD + XAB + 加 1(I) AB ・ AD ； (2)AC ,的长(精确到0.1).8.如图1.1-13, m,n 是平面"内的两条相交直线•如果IlmJ 丄仏求证:l±a.(I)AB+BC + CD; (2)AB + ^(B D + BC)7.如图 1.1 一 12.在平行六而体 ABCD - AB tC D 中 9AB = ^.AD = 3.AA = 7∙ZBAD = GO 0, ΔBAA = ZDAA = 45\ 求:图 1.1-129•如图，在止三棱柱ASC-Λ1B1C1ψ,若43 = √2ββ1,则4B与BG所成角的大小为（）.(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°10.如图，止方体ABCD _ A B C D'的棱长为l,设AB = ^AD=b.AA, = c.求:(l)α∙ (S +c);(2)α∙ (α÷ S÷c);(3)(α + S) ∙ (S÷c).11 •如图，在平行六面体ABCD-ABC D,中= Ar) = 3, AA = 5, ΔBAD = 90°, ΔBAA! = ΔD A A = 6().求:(1)ΣJ ∙ AB; (2)AB'的长；(3)AC的长.12•如图，线段AB.BD&.平面"内，ED丄AB. A C丄⑺且AB = a.BD = b.AC = c.求CQ 两点间的距离¾½1∙v∖M'在长Z CBEBA(1)写出与向量昴相等的向量；(2)写出与向量而相反的向量；(3)写出与向量丽平行的向量.14.如图，已知平行六面体ABCD-ABCD,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. D CB(1)AB + BC-,、.» ■ 1 -►15.证明：如果向量&共线,那么向量2(£ +了与云共线•(3)AB + ΛP + yCC r;16.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于α, E, F, G分别是棱AB, AD, De的中点•求:DBTk∙"2(I)AB-AC;(4)FF∙BC;⑵瓦S・DS; (5);FG •刼;⑶前疋⑹彥•房.17.如图，在平行六面体.ABCD-A B x C x D中9 AC与BD的交点为M•设A^l=a9A^D l =b9 A^A = c9则下列向量中与商相等的向量是（）.(B)Ia+ -∣S÷c(D)-Ia-∣^ + cI &如图，C知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA的中点,求证：E, F, G,H四点共面. 19•如图，正方体ABCD - AB D,的棱长为a.⑴求丄3和BC的夹角;⑵求证：AB丄AC'.20•用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂宜，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）21•如图，在四面体OABCΦ, OA丄ECQE丄AG求证：OC丄ADAO22•如图,在四面体OABC屮，OA = OBCA = CB、E、F, G,H分别是OA. OB.BC、CA的中点,求证:四边形EFGH是矩形。

第2课时 共线向量与共面向量学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面．知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ,我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ,b ,c ,若a ∥b 且b ∥c ,是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0,则对任意向量a ,c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ,B ,C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →,BC →(不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图,如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b .思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,存在有序实数对(x ,y ),满足关系OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,则点P 与点A ,B ,C 是否共面？答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,可得AP →＝xAB →＋yAC →,所以向量AP →与向量AB →,AC →共面,故点P 与点A ,B ,C 共面．1．向量AB →与向量CD →是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上．( × ) 2．若向量a ,b ,c 共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )4．若P ,M ,A ,B 共面,则存在唯一的有序实数对(x ,y ),使MP →＝xMA →＋yMB →.( × )一、向量共线的判定及应用例1 如图所示,已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →＝23CB →,CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明 ∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点, ∴AE →＝12AB →,AH →＝12AD →,则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →,∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形．反思感悟 向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a ,b (b ≠0)共线,就是寻找实数λ,使a ＝λb 成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P ,A ,B )共线的方法：是否存在实数λ,使PA →＝λPB →； 跟踪训练1 (1)已知A ,B ,C 三点共线,O 为直线外空间任意一点,若OC →＝mOA →＋nOB →,则m ＋n ＝________. 答案 1解析 由于A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ,使得AC →＝λAB →,即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →), 所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →,所以m ＝1－λ,n ＝λ, 所以m ＋n ＝1.(2)如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E —→＝2ED 1—→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F —→＝23FC →. 求证：E ,F ,B 三点共线．证明 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c , 因为A 1E —→＝2ED 1—→,A 1F —→＝23FC →,所以A 1E —→＝23A 1D 1—→,A 1F —→＝25A 1C —→,所以A 1E —→＝23AD →＝23b ,A 1F —→＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ,所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ,所以EF →＝25EB →,所以E ,F ,B 三点共线．二、向量共面的判定例2 已知A ,B ,C 三点不共线,平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内． 解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →, ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →),∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →, ∴向量MA →,MB →,MC →共面．(2)由(1)知,向量MA →,MB →,MC →共面,而它们有共同的起点M ,且A ,B ,C 三点不共线, ∴M ,A ,B ,C 共面,即M 在平面ABC 内． 反思感悟 解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内,则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示．跟踪训练2 (1)如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM ＝13BD ,AN ＝13AE .求证：向量MN →,CD →,DE →共面．证明 因为M 在BD 上,且BM ＝13BD ,所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线,根据向量共面的充要条件可知MN →,CD →,DE →共面．(2)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证： ①E ,F ,G ,H 四点共面． ②BD ∥平面EFGH . 证明 如图,连接EG ,BG .①因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由向量共面的充要条件知向量EG →,EF →,EH →共面,即E ,F ,G ,H 四点共面．②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →,所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .空间共线向量定理的应用典例 如图所示,已知四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,且它们所在的平面不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,求证：CE ∥MN .证明 ∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点, 又四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形, ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →,又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →,∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →, ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →), ∴CE →＝2MN →,∴CE →∥MN →. ∵点C 不在MN 上,∴CE ∥MN .[素养提升] 证明空间图形中的两直线平行,可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算,从而确定CE →＝λMN →中的λ的值．1．满足下列条件,能说明空间不重合的A ,B ,C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →|答案 C2．若空间中任意四点O ,A ,B ,P 满足OP →＝mOA →＋nOB →,其中m ＋n ＝1,则( ) A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上,也可能不在直线AB 上D ．以上都不对 答案 A解析 因为m ＋n ＝1,所以m ＝1－n ,所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →,即OP →－OA →＝n (OB →－OA →),即AP →＝nAB →,所以AP →与AB →共线．又AP →,AB →有公共起点A ,所以P ,A ,B 三点在同一直线上,即P ∈直线AB . 3．下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 C 选项中,MA →＝－MB →－MC →, ∴点M ,A ,B ,C 共面．4．已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,且M ,A ,B ,C 四点共面, ∴x ＋13＋13＝1,∴x ＝13,故选D.5．已知非零向量e 1,e 2不共线,则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________． 答案 ±1解析 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线, 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1.所以k ＝±1.1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量． (2)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳 ：转化化归． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a ,b ,且AB →＝a ＋2b ,BC →＝－5a ＋6b ,CD →＝7a －2b ,则一定共线的三点是( ) A ．A ,B ,D B ．A ,B ,C C ．B ,C ,D D ．A ,C ,D答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →,故AD →∥AB →,又AD →与AB →有公共点A , 所以A ,B ,D 三点共线．2．对于空间的任意三个向量a ,b ,2a －b ,它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案 A3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,向量D 1A —→,D 1C —→,A 1C 1—→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →,且AC →＝A 1C 1—→, 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→, 即D 1C —→＝D 1A —→＋A 1C 1—→. 又D 1A —→与A 1C 1—→不共线,所以D 1C —→,D 1A —→,A 1C 1—→三个向量共面．4．已知P 为空间中任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →,则实数x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 A解析 PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面, ∴32－x －16＝1,解得x ＝13. 5．(多选)下列命题中错误的是( )A ．若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ,b 共线的充要条件 C ．若AB →,CD →共线,则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面答案 BCD 解析 显然A 正确；若a ,b 共线,则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a | －|b ||,故B 错误； 若AB →,CD →共线,则直线AB ,CD 可能重合,故C 错误； 只有当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点才共面,故D 错误．6．在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →＝2DB →,CD →＝13CA →＋λCB →,则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →,又CD →＝13CA →＋λCB →,所以λ＝23.7．设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB →＝e 1＋k e 2,BC →＝5e 1＋4e 2,DC →＝－e 1－2e 2,且A ,B ,D 三点共线,则实数k ＝________. 答案 1解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2, 且AB →与AD →共线,故AD →＝xAB →, 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2, 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0, 又∵e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1.8．已知O 为空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由题意知A ,B ,C ,D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ,存在实数x 1,y 1,z 1,使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →,且x 1＋y 1＋z 1＝1,因此,2x ＋3y ＋4z ＝－1.9.如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1D 1,AB 的中点,E 在AA 1上且AE ＝2EA 1,F 在CC 1上且CF ＝12FC 1,判断ME →与NF →是否共线．解 由题意,得ME →＝MD 1—→＋D 1A 1—→＋A 1E —→＝12BA →＋CB →＋13A 1A —→＝BN →＋CB →＋13C 1C —→ ＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →. 即ME →＝－NF →,∴ME →与NF →共线．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC ＝2∶1,求证：A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．证明 ∵A 1B —→＝AB →－AA 1—→,A 1M —→＝A 1D 1—→＋D 1M —→＝AD →－12AA 1—→,AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →),∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(AB →＋AD →)－AA 1—→＝23(AB →－AA 1—→)＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AA 1—→＝23A 1B —→＋23A 1M —→, ∴A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．11．若P ,A ,B ,C 为空间四点,且有PA →＝αPB →＋βPC →,则α＋β＝1是A ,B ,C 三点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 若α＋β＝1,则PA →－PB →＝β(PC →－PB →),即BA →＝βBC →,显然,A ,B ,C 三点共线；若A ,B ,C 三点共线,则有AB →＝λBC →,故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →),整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →,令α＝1＋λ,β＝－λ,则α＋β＝1,故选C.12．平面α内有五点A ,B ,C ,D ,E ,其中无三点共线,O 为空间一点,满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →,OB→＝2xOC →＋13OD →＋yOE →,则x ＋3y 等于( )A.56B.76C.53D.73 答案 B解析 由点A ,B ,C ,D 共面得x ＋y ＝12,又由点B ,C ,D ,E 共面得2x ＋y ＝23,联立方程组解得x ＝16,y ＝13,所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→,那么M 必( ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内答案 C解析 PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋B 1A 1—→＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→,于是M ,B ,A 1,D 1四点共面．14．有下列命题：①若AB →∥CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线；②若AB →∥AC →,则A ,B ,C 三点共线；③若e 1,e 2为不共线的非零向量,a ＝4e 1－25e 2,b ＝－e 1＋110e 2,则a ∥b ； ④若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0,则k 1＝k 2＝k 3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．答案 ②③④解析 根据共线向量的定义,若AB →∥CD →,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,故①错；因为AB →∥AC →且AB →,AC →有公共点A ,所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4b ,所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．15．已知A ,B ,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任意一点,若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ,B ,C 三点共面,则λ＝________.答案 215解析 根据P ,A ,B ,C 四点共面的条件,知存在实数x ,y ,z ,使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立,其中x＋y ＋z ＝1,于是15＋23＋λ＝1,所以λ＝215. 16.如图,已知M ,N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心,G 为AM 上一点,且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ,G ,N 三点共线．证明 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c , 则AM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13(a ＋b ＋c ),BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ,BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →,∴BN →∥BG →.又BN ∩BG ＝B ,∴B ,G ,N 三点共线．。

1.2 空间向量在立体几何中的应用空间中的点、直线与空间向量学 习 任 务核 心 素 养1．了解空间中的点与空间向量的关系． 2．理解直线的方向向量．(重点)3．掌握利用空间向量求空间中两直线所成的角的方法．(重点、难点)4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．(重点)5．理解公垂线段的概念并会求其长度．1．通过学习直线的方向向量、公垂线段等概念，培养数学抽象素养．2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算素养．某市中学生运动会上，射箭运动员听到口令后同时把箭射出，假设箭运动的轨迹都是平行直线，如图．箭在运动过程中，每处在一个位置都表示该直线的方向向量．问题：直线的方向向量有何特点？ 知识点1 空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点O ，那么空间中任意一点P 的位置，都可以由向量OP →唯一确定，此时，OP →通常称为点P 的位置向量．空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．1．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，假如点P 的坐标为(1，2，3)，如此点P的位置向量OP →＝________．(1，2，3) [由点P 的坐标知OP →＝(1，2，3)．] 知识点2 空间中的直线与空间向量一般地，如果l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示v 的有向线段所在的直线与l 平行或重合，如此称v 为直线l 的一个方向向量．此时，也称向量v 与直线l 平行，记作v ∥l ．(1)如果A ，B 是直线l 上两个不同的点，如此v ＝AB →就是直线l 的一个方向向量．1．直线l 的方向向量唯一吗？直线l 的方向向量之间有怎样的关系？[提示] 直线l 的方向向量不唯一，假如v 为直线的方向向量，如此λv (λ≠0)也为直线l 的方向向量，直线l 的任意两个方向向量都平行．2．空间中的直线l 的位置由v 能确定吗？[提示] 空间中直线l 的位置可由v 和直线上的一个点唯一确定．(2)如果v 1是直线l 1的一个方向向量，v 2是直线l 2的一个方向向量，如此v 1∥v 2⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．2．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)直线l 的方向向量是唯一的．( )(2)假如两条直线平行，如此它们的方向向量的方向一样或相反．( )(3)假如向量a 是直线l 的一个方向向量，如此向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] (1)× 与直线l 平行或共线的任何向量都可作为l 的方向向量． (2)√ (3)×k ≠0．知识点3 空间中两条直线所成的角(1)设v 1，v 2分别是空间中直线l 1，l 2的方向向量，且l 1与l 2所成角的大小为θ，如此θ＝〈v 1，v 2〉或θ＝π－〈v 1，v 2〉，所以sin θ＝sin 〈v 1，v 2〉，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|．(2)〈v 1，v 2〉＝π2⇔l 1⊥l 2⇔v 1·v 2＝0．(1)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等．当两方向向量的夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．如：假如直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，如此l 1与l 2这两条异面直线所成的角为30°．(2)用向量方法求两条直线所成的角时，假如能建立空间直角坐标系，如此相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；假如建系不方便，如此可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解．3．假如异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2，0，4)，如此异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．－25B ．25C ．－255D ．255B [∵|a |＝5，|b |＝25，a ·b ＝(0，－2，－1)·(2，0，4)＝－4， ∴cos 〈a ，b 〉＝－45×25＝－25．∵异面直线夹角的X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴选B ．]知识点4 异面直线与空间向量设v 1，v 2分别是空间中直线l 1与l 2的方向向量．(1)假如l 1与l 2异面，如此v 1与v 2的关系为v 1与v 2不平行． (2)假如v 1与v 2不平行，如此l 1与l 2的位置关系为相交或异面．“v 1与v 2不平行〞是“l 1与l 2异面〞的必要不充分条件．(3)假如A ∈l 1，B ∈l 2，如此l 1与l 2异面时，v 1，v 2，AB →不共面．假如v 1，v 2，AB →不共面，如此l 1与l 2异面．“v 1，v 2，AB →不共面〞是“l 1与l 2异面〞的充要条件．(4)公垂线段：一般地，如果l 1与l 2是空间中两条异面直线，M ∈l 1，N ∈l 2，MN ⊥l 1，MN ⊥l 2，如此称MN 为l 1与l 2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．4．假如直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，3，2)，如此( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2相交但不垂直D ．不能确定B [∵a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2，应当选B ．]类型1 空间中的点的位置确实定【例1】 O 是坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3，4，0)，B (2，5，5)，C (0，3，5)．(1)假如OP →＝12(AB →－AC →)，求P 点的坐标；(2)假如P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，求P 点的坐标． [解] (1)AB →＝(－1，1，5)，AC →＝(－3，－1，5)， OP →＝12(AB →－AC →)＝12(2，2，0)＝(1，1，0)，∴P 点的坐标为(1，1，0)．(2)由P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2， 知AP →＝12PB →．设点P 的坐标为(x ，y ，z )，如此AP →＝(x －3，y －4，z )，PB →＝(2－x ，5－y ，5－z )， 故(x －3，y －4，z )＝12(2－x ，5－y ，5－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝122－x ，y －4＝125－y ，z ＝125－z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝133，z ＝53.因此P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，133，53．如何在空间直角坐标系中确定点的坐标？[提示] 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可．[跟进训练]1．点A (2，4，0)，B (1，3，3)，如图，以AB →的方向为正方向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1． 求点P 和点Q 的坐标． [解] 由，得PB →＝2AP →，即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →．设点P 坐标为(x ，y ，z )，如此上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2，4，0)＋13(1，3，3)，即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝113，z ＝0＋1＝1．因此，P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，113，1．因为AQ ∶QB ＝2∶1，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)，OQ →＝－OA →＋2OB →， 设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，如此上式换用坐标表示， 得(x ′，y ′，z ′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)， 即x ′＝0，y ′＝2，z ′＝6． 因此，Q 点的坐标是(0，2，6)．综上，P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，113，1，Q 点的坐标是(0，2，6)．类型2 利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)【例2】 (对接教材人教B 版P 32例3)直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，如此异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．32B ．155C ．105D ．33C [法一：以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，在平面ABC 内，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系Bxyz ，如此B (0，0，0)，C 1(1，0，1)，B 1(0，0，1)．因为∠ABC ＝120°，设A 点坐标为(x A ，y A ，0)，如此x A ＝AB ·cos 120°＝－1，y A ＝AB ·sin 120°＝3，即A (－1，3，0)．易得BC 1→＝(1，0，1)，AB 1→＝(1，－3，1)．设异面直线AB 1与BC 1所成角为θ，如此cos θ＝|AB 1→·BC 1→||AB 1→||BC 1→|＝1＋15×2＝105．法二：如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，如此MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22．取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72．在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，如此在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105．法三：如下列图，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，如此AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2．在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos∠B1AD1＝5＋2－3 2×5×2＝105，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105．]如何用向量法求异面直线所成的角？[提示](1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．[跟进训练]2．侧棱垂直底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1＝2，点O，M分别是BC，A1C1的中点，建立如下列图空间直角坐标系．(1)写出三棱柱各顶点与点M的坐标；(2)求异面直线CM与BA1夹角的余弦值．[解](1)根据图形可求得如下点的坐标：A (3，0，0)，B (0，－1，0)，C (0，1，0)，A 1(3，0，2)，B 1(0，－1，2)，C 1(0，1，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，2．(2)CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，2，BA 1→＝(3，1，2)， ∴CM →·BA 1→＝5，|CM →|＝5，|BA 1→|＝22，∴cos 〈CM →，BA 1→〉＝5210＝104．类型3 利用空间向量处理平行或垂直问题【例3】 如图，四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ．点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．假如P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ ．[证明] 由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系，如此A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6．假如P 是DD 1的中点，如此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3，PQ →＝(6，m －92，－3)．又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0，所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ ．【例4】 如下列图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE ．两条平行直线的方向向量有什么关系？[提示] 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，如此l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb .[证明] 如下列图，建立空间直角坐标系Dxyz ，如此有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)．所以FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)， 因为DA ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，且(0，2，1)＝0×(2，0，0)＋1×(0，2，1)， 即FC 1→＝0×DA →＋1×AE →，所以有FC 1⊂平面ADE 或FC 1∥平面ADE ， 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE ．1．(变问法)例4中G ，H 分别为AD ，B 1C 1的中点，求证：EGFH 为平行四边形． [证明] 如下列图，建立空间直角坐标系．如此E (2，2，1)，G (1，0，0)，F (0，0，1)，H (1，2，2)． 所以EG →＝(－1，－2，－1)，FH →＝(1，2，1)． 所以FH →＝－EG →，所以FH →∥EG →． 显然EG 与FH 不重合，故EG ∥FH ． 又|EG →|＝－12＋－22＋－12＝6，|FH →|＝12＋22＋12＝6，∴EG ＝FH ，∴四边形EGFH 为平行四边形．2．(变问法)例4条件不变，求平面ADE ∥平面B 1C 1F ．[证明] 如下列图，建立空间直角坐标系，如此A (2，0，0)，D (0，0，0)，B 1(2，2，2)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，得DE →＝(2，2，1)，FB 1→＝(2，2，1)，DA →＝(2，0，0)，B 1C 1→＝(－2，0，0)，所以DE →＝FB 1→，DA →＝－B 1C 1→， 又相互不共面，所以DE ∥FB 1，DA ∥B 1C 1， 又DA ∩DE ＝D ，FB 1∩B 1C 1＝B 1，所以平面ADE∥平面B1C1F．用向量法证明空间中两条直线相互平行或垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互平行或垂直，具体有如下方法：1坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其共线或数量积为0.2基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，证明其共线或数量积为0.3要证线面平行或垂直，根据线面平行或垂直的判定定理，只需证线线平行或垂直平面内的两直线必须相交.[跟进训练]3．如下列图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．[证明]法一：设正方体的棱长为2a，建立如下列图的空间直角坐标系．如此A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．∴EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )， AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．∵EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0， EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ．又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC ．法二：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，连接BD (图略)，如此EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )， ∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ，∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b )＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0，∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1．同理可证EF ⊥B 1C ． 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC ．1．假如A (1，0，1)，B (2，3，4)在直线l 上，如此直线l 的一个方向向量是( ) A ．(－1，3，3) B ．(1，3，3) C ．(3，3，5)D ．(2，4，6)B [AB →＝(2，3，4)－(1，0，1)＝(1，3，3)．]2．向量a ＝(x ，1，－2)，b ＝(3，x ，4)，a ⊥b ，如此x ＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 C [∵向量a ＝(x ，1，－2)，b ＝(3，x ，4)，a ⊥b ， ∴a ·b ＝3x ＋x －8＝0，解得x ＝2．应当选C ．]3．四面体OABC 的各棱长均为1，D 是棱OA 的中点，如此异面直线BD 与AC 所成角的余弦值为( )A ．33 B ．14 C ．36 D ．28C [BD →＝OD →－OB →＝12OA →－OB →，AC →＝OC →－OA →，∵|BD →|＝32，|AC →|＝1，且BD →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →－OB →·(OC →－OA →)＝－14，∴cos 〈BD →，AC →〉＝BD →·AC →|BD →||AC →|＝－1432×1＝－36，故异面直线BD 与AC 所成角的余弦值为36．]4．直线l 1与l 2不重合，直线l 1的方向向量为v 1＝(－1，1，2)，直线l 2的方向向量为v 2(－2，0，－1)，如此直线l 1与l 2的位置关系为________．垂直 [∵v 1·v 2＝－1×(－2)＋1×0＋2×(－1)＝0， ∴v 1⊥v 2．]5．向量a ＝(1，0，－1)，向量b ＝(2，0，0)，如此〈a ，b 〉＝________． 45° [∵a ·b ＝1×2＋0×0＋(－1)×0＝2，|a |＝2，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝22．又0≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？ [提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．(2)不唯一性：直线l 的方向向量有无数多个，可以分为方向一样和相反两类，它们都是共线向量．(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．2．利用空间向量如何证明线线平行或垂直？[提示]假如直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)．(1)如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)；(2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．3．求异面直线所成角的常用方法有哪些？[提示]在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择适宜的基底都能解决问题．。

课时分层作业(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C → B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.]二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |， 得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22.又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.。