八年级数学上册第7章小专题_巧解平行线中的拐点问题(北师大版)

《平行线的证明之平行线间的拐点问题》教学设计——北师大新版八年级上册第七章一．教材内容分析：本节课的教学内容是北师大新版八年级上册第七章《平行线的证明》复习课中的拐点问题专题。

拐点问题在书上第七章复习题中出现，是可进行各种发散的好题，考查了学生对于平行线的性质判定，三角形内角和外角的性质等知识的综合应用，及学生的读图，分析的能力。

二．学情分析1.学生的知识基础：学生在七年级下学期就简单学习了平行线相交线的定义和性质,积累了一定的经验,在八年级上学期结合证明对第七章又对平行线的性质判定，三角形的内角外角性质有了更深刻的学习，可应用平行线性质判定及三角形内角外角性质解决一些简单的几何证明问题。

2.学生的学习基础：八年级学生特别是本校学生在学校及老师的培养下已经具备了一定的自学能力，在之前的几何问题学习中也已经具备一定的观察、探索，分析，归纳、证明等能力。

相信这些能力能够有助于课堂更有效的开展。

三．教学目标1.灵活应用平行线的性质判定定理及三角形的内角外角性质解决有关平行线间的拐点问题。

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤，格式和方法。

四．教学重难点重点：利用添加辅助线解决平行线间的拐点问题并会应用。

难点：掌握此类题型的证明方法。

五．教学过程（一）复习回顾1.平行线的性质定理：∵a ∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∠1=∠2(两条直线平行，内错角相等)∠2+∠4=180°(两条直线平行，同旁内角互补)2.平行线的判定定理：∵∠2＝∠3 ∴a ∥b(同位角相等，两条直线平行) ∵∠1=∠2 ∴a ∥b(内错角相等，两条直线平行)∵∠2+∠4=180° ∴a ∥b(同旁内角互补，两条直线平行)3.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°4.三角形外角和内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

如图：在△ABC 中，∠2+∠3+∠4=180°∠1=∠2+∠3∠1>∠2,∠1>∠3B C D1 2 b c 3 a 4【设计意图】复习平行线及三角形相关性质和判定后，有利于学生更快进入几何学习状态，有利于后续平行线间拐点问题的研究。

4．如图；某湖上风景区有两个观望点A；C和两个度假村B；D．度假村D在C的正西方向；度假村B在C的南偏东30°方向；度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路；长为1km；D到A是环湖路；度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件；能够判定DC∥AB吗？若能；请写出判断过程；若不能；请你加上一个条件；判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图；直线AC∥BD；连接AB；直线AC；BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分；规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时；连接PA、PB；构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时；小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时；利用图1；过点P 作PQ∥BD；得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时；在图2中画出图形；写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○；4部分时；在图3、图4中画出图形；探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星；求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时；五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时；如图（3）所示；五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段；完成所提出的问题.CO的交点；通过分析发现的角平分线；的交点；试分析∠BOC与∠x的增大而增大”是一个4.如右图；已知∠1=∠B；∠2=∠C；则下列结论不成立的是( )A.AD∥BCB.∠B=∠CC.∠2+∠B=180°D.AB∥CD5.如右图；若AB∥CD；则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图；已知AB∥CD；∠B=65°；CM平分∠BCE；∠MCN=90°；求∠DCN的度数.2.如图；CD∥AB；∠DCB=70°；∠CBF=20°；∠EFB=130°；问直线EF与AB有怎样的位置关系；为什么？3.如图；如图；在三角形ABC中；∠C=70°；∠B=38°；AE是∠BAC的平分线；AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°；∠B=β°；试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系；并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图；y轴的负半轴平分∠AOB；P为y轴负半轴上的一动点；过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．（1）如图1；MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2；当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处；其他条件都不变时；等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点）；其他条件都不变时；试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在；请写出其关系式；并加以证明；若不存在；请说明理由．。

八上第七章《平行线的证明》复习回顾一.基本概念（一）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是定义。

在表示定义的句子中常有“叫…，称为…，是…”等关键字眼。

（二）命题：判断一件事情的句子，叫做命题 1.它包含两层含义：①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； ②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断； 2. 每个命题都由条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。

3.命题有真命题、假命题、逆命题之分。

（三）公理：公认的真命题称为公理；公理是不需要经过推理证实的真命题。

（四）定理：经过证明的真命题称为定理；公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据。

（五）证明：推理的过程称为证明 例1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若直角三角形其中两边为3和4，则第三边为5B ．﹣1的立方根是它本身C ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D ．内错角相等 例2.下列四个命题中,真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截,内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2；③ 三角形的最大角不小于60°；④如果，＞02x 那么.0＞x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3.下列命题中，真命题的是( ) A. 同旁内角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等，两直线平行 D. 直角三角形两个锐角互补 二.基本性质（一）平行线的性质与判定1.性质①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补； ④平行于同一直线的两直线平行； 2.判定①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行；④在同一平面内，不相交的两直线平行；（定义判别） ⑤平行于同一直线的两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；例4．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例5.如图,直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F,EG 平分∠BEF,AB ∥CD.若∠1=72°,则∠2的度数为（ ） A.54° B.59° C.72° D.108°例6.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为_________.例7.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ，已知∠BED +∠CFD =240∘，则∠BDC =______． 例8.如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF =ED ，连CF ．(1)求证：CF//AB(2)若∠ABC =50∘，连接BE ，BE 平分∠ABC ，AC 平分∠BCF ，求∠A 的度数．练习：1.如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.2、如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 3.如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB .例5图32例6图第2题第1题CAB DE4.已知：如图，AB∥CD，∠BPF与∠CGE是一对内错角，PQ平分∠BPF，GH平分∠CGE．求证：PQ∥GH．5.如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C.求证：∠1=∠2.6．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，求∠FGB的度数7．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，求∠ECD的度数AB GD F CE132（二）复杂图形中平行线的构造和应用解题关键：遇到拐点处作已知平行线的平行线，然后根据同位角、内错角和同旁内角的关系求角的度数。