北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳

《第七章平行线的证明》知识归纳【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.第1课时单项式与单项式、多项式相乘教学目标1．知识与技能理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．重、难点与关键1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．2．难点：单项式与多项式相乘的法则．3．关键：通过创设一定的问题情境，•推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．教学过程一、创设情境，操作导入【手工比赛】让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？【学生回答】加一个美丽的像框．【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】请同学们继续计算mx·54x=？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．mx·54x=m·54x·x=m·54x2=54mx2．【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【学生活动】独立完成，再与同学交流．【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．二、范例学习，应用所学【例1】计算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，•则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．三、问题讨论，加深理解【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化简：－3x2·（13xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3） 40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=19 34引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．四、随堂练习，巩固深化计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（12ab2+b4）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2五、课堂总结，发展潜能1.单项式乘以单项式运算法则：2．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．六、布置作业，专题突破课本习题．作轴对称图形一、学习目标：3.能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解决相应的数学问题。

4．如图；某湖上风景区有两个观望点A；C和两个度假村B；D．度假村D在C的正西方向；度假村B在C的南偏东30°方向；度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路；长为1km；D到A是环湖路；度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件；能够判定DC∥AB吗？若能；请写出判断过程；若不能；请你加上一个条件；判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图；直线AC∥BD；连接AB；直线AC；BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分；规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时；连接PA、PB；构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时；小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时；利用图1；过点P 作PQ∥BD；得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时；在图2中画出图形；写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○；4部分时；在图3、图4中画出图形；探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星；求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时；五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时；如图（3）所示；五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段；完成所提出的问题.CO的交点；通过分析发现的角平分线；的交点；试分析∠BOC与∠x的增大而增大”是一个4.如右图；已知∠1=∠B；∠2=∠C；则下列结论不成立的是( )A.AD∥BCB.∠B=∠CC.∠2+∠B=180°D.AB∥CD5.如右图；若AB∥CD；则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图；已知AB∥CD；∠B=65°；CM平分∠BCE；∠MCN=90°；求∠DCN的度数.2.如图；CD∥AB；∠DCB=70°；∠CBF=20°；∠EFB=130°；问直线EF与AB有怎样的位置关系；为什么？3.如图；如图；在三角形ABC中；∠C=70°；∠B=38°；AE是∠BAC的平分线；AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°；∠B=β°；试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系；并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图；y轴的负半轴平分∠AOB；P为y轴负半轴上的一动点；过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．（1）如图1；MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2；当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处；其他条件都不变时；等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点）；其他条件都不变时；试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在；请写出其关系式；并加以证明；若不存在；请说明理由．。

AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。

3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。

《平行线的证明》复习指导一、知识点填一填1．定义与命题（1）对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，叫做对它们的_______．如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的_______．（2）判断一件事情的句子，叫做_______．命题必须是一个完整的句子，这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断．如“两直线平行，内错角相等”就是一个命题．命题包括___命题和____命题：（3）人们公认的真命题称为_______；经过证明了的真命题称为________．2．平行线（1）公理：同位角相等，两直线______．（2）平行线的判定定理：______互补，两直线平行；______相等，两直线平行．（3）平行线的性质公理：两直线平行，_______相等．平行线的性质定理：两直线平行，______相等；两直线平行，_______互补．3．三角形的内角和定理及证明三角形的内角和等于_______．4．三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于和它______的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于任何一个和它_______的内角．二、疑难点一点1．判别命题的真假是考试的重点．题目一般和学过的公理、定理和定义有关．解决此类问题的关键是熟练掌握所学过的一些公理、定理及性质等．2．利用所学过的公理、定理解决证明问题时，当题目是以文字叙述的命题时，要根据已知条件画出符合题意的图形，根据图形写出已知、求证，结合图形进行证明．要考虑可能存在的多种情况；当题目给出图形时，应分清已知条件和证明的结论，应注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角或公共边等．依据所学的公理或定理正确写出推理过程．3．在证明的过程，比较难的题目往往需要添加辅助线．添加辅助线时不能盲目添加，而应根据图形特点结合已知条件进行有目的的添加．如图形中出现平行线时，添加辅助线可以思考添加平行线或构造三角形，借助平行线的性质或三角形内角和定理或推论解决．添加辅助线应使用虚线．三、典型看一看例1 如图，∠ABC=∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∠DBF=∠F ，求证:EC//DF ．分析：要证明EC//DF ，根据图形可知需要证明∠DBF=∠ECB ．证明：∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠DBF=21∠ABC ，∠ECB=21∠ACB （角平分线的定义）， ∵∠ABC=∠ACB （已知），∴∠DBF=∠ECB （等量代换）．又∵∠DBF=∠F （已知），∴∠ECB=∠F （等量代换）．∴EC//DF （同位角相等，两直线平行）．点评：证明两直线平行，主要根据图形找同位角相等或内错角相等或同旁内角互补．例2 如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证:AB//CD ．分析:要证明AB//CD ，根据图形可知只需证明∠A=64°，利用内错角相等，两直线平行证明或证明∠DCB+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行证明．为此需要根据三角形的内角和定理求出∠A 或∠1即可．证明:在△ABC中，∠1+∠A+∠B=180°(三角形的内角和定理)又∠A+10°=∠1，∠B=42°，∴(∠A+10°)+∠A+42°=180°，即2∠A=180°-52°，∴∠A=64°，∴∠DCA=∠A=64°，∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)．点评：本题借助“内错角相等，两直线平行”证明两直线平行，在推导角相等时，用到三角形内角和定理．例3 如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点．求证:∠BED>∠C．分析:∠BED与∠C没有直接的联系，但∠BED、∠C都与∠BAC有关，因此可以用∠BAC作中间量进行过渡．证明:在△ABC中，∠ABC+∠C=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在△ABD中，∠ADB=90°，∴∠ABC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD，∵∠BED>∠BAD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BED>∠C．点评：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角性质“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”．。