年崇文高三数学文科二模含答案

崇文区2008－2009学年度第二学期高三统一练习高三数学 （文科） 2009.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合}2,1,0,1{-=A ，}13|{<≤-=x x B ，则A B =A ．{}0,1-B ．{}1,0,1-C ．{}10x x -<< D ． {}10x x -≤≤ 2. 抛物线y x 42=的焦点坐标是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,161 B ．⎪⎭⎫⎝⎛161,0 C ．()1,0 D ．()0,1 3. 已知31cos sin =-θθ ，则θ2sin 的值为 A ． 32- B ．32 C ．98-D ．984．设{n a }是公差为-2的等差数列，如果,50741=++a a a 则=++1296a a a A ． 40 B ．30 C ．20 D ． 105．下列命题中，正确的命题是A ．过空间任一点P 均存在着与平面α平行的直线B ．过空间任一点P 均存在着与平面α垂直的直线C ．过空间任一点P 均存在着与平面α平行的无数多条直线D ．过空间任一点P 均存在着与平面α垂直的无数多条直线6.定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间[0,1]上是增函数，则)(x fA ．在区间[1 ,2--]上是增函数，在区间[6 ,5]上是增函数B ．在区间[1 ,2--]上是增函数，在区间[6 ,5]上是减函数C ．在区间[1 ,2--]上是减函数，在区间[6 ,5]上是增函数D ．在区间[1 ,2--]上是减函数，在区间[6 ,5]上是减函数7．在如下图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优 解有无数个，则a 等于A ．1B ．1-C ．3D ．3-8．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：① ()f x =sinx ； ② ()f x =π(x －1)2+3； ③ 1()()3xf x = ； ④ x x f 6.0log )(=．其中是一阶格点函数的有 A ．①② B ．①④ C ．①②④ D ．①②③ ④崇文区2008－2009学年度第二学期高三统一练习高三数学 （文科） 2009.3第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9． 已知nxx )21(+展开式的第二项与第三项的系数比是1：2，则n=_____________. 10．若把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y的图象，则向量a 的坐标为 ．11. 某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种．12. 如图，等腰梯形ABCD 中， E,F 分别是BC 边上的三等分点，AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形ABE 和DCF 分别沿AE 和DF 折起，使得B 、C 两点重合于一点P ，则二面角P-EF-D 的大小为 ．13．点P 为椭圆1162522=+y x 上的动点，21,F F 为椭圆的左、右焦点，则21PF PF ⋅的最小值为__________ ，此时点P 的坐标为________________．14．对于集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N 中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和2S =1+2+(2–1)=4，则当3n =时，3S = ______________ ；根据2S 、3S 、4S ，猜想集合N ={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和n S =__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，向量m)3,(c b a -=，n )cos (cos C A ，=，且m ∥n ． (Ⅰ)求cosA 的大小; (Ⅱ) 求)4sin()4sin(22sin2ππ+--+A A C B 的值．16．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB//CD,AB=AD=1, DD 1=CD=2,AB ⊥AD ． （I)求证：BC ⊥面D 1DB ；（II)求D 1B 与平面D 1DCC 1所成角的大小．17．（本小题满分13分）已知函数b x x a x a x f +++-=23213)( ，其中,a b ∈R ． （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性．18. （本小题满分13分）某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行．．通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已．有．4．辆车模．．．依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车模直行的概率是35，左转行驶的概率是25，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求：（Ⅰ）前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；（Ⅱ）该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）．东北19．（本小题满分14分）已知()0,2M ，()2,0N -，动点P 满足2PN PM -=，点P 的轨迹为W ，过点M 的直线与轨迹W 交于B A ,两点．（Ⅰ）求轨迹W 的方程；（Ⅱ）若MB AM =2，求直线AB 斜率k 的值，并判断以线段AB 为直径的圆与直线21=x 的位置关系，并说明理由．20.(本小题满分13分)已知函数()41,()2,f x x g x x x =+=∈R ，数列}{n a ，}{n b 满足条件：11a =， 1()1(n n a g a n +=+∈N *），]3)(][21)(21[1++=n g n f b n ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n b 的前n 项和n T ，并求使得150mT n >对任意n ∈N *都成立的最大正整数m ；（Ⅲ）求证： 12231(2n n a a a nn a a a +++⋅⋅⋅+<∈N *）．崇文区2008－2009学年度第二学期高三统一练习高三数学 （文科）参考答案 2009.3一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6. B 7. B 8．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9． 14 10． (-3,-4) 11．24 12．2π13. 7 ，(0, ±4) 14． 12 , 12n n -,三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解: (Ⅰ)由m ∥n 得acosC=(3b-c)cosA , --------------------------------1分由正弦定理得 sinAcosC=(3sinB-sinC)cosA , -----------------------3分即sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosA , ∴sin(A+C)=3sinBcosA , ABC ∆中，A+C=π-B ，∴sin(π-B)=3sinBcosA ， 即sinB=3sinBcosA0sin ),0(≠∈B B π ，∴cosA=31． --------------------------------------------6分(Ⅱ) )4sin()4sin(22sin2ππ+--+A A C B )cos 22sin 22)(cos 22sin 22(22sin 2A A A A A+---=π --------9分)cos (sin 2cos 222A A A --= ------------------------------11分 1cos 22cos 12-++=A A 911)31(223112-=-++=. ---------------------------------13分16．（本小题满分14分）解法一：（I)证明：∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴ D 1D ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥D 1D ．∵AB//CD, AB ⊥AD ．∴四边形 ABCD 为直角梯形，又∵AB=AD=1,CD=2，可知BC ⊥DB ．∵D 1D ∩ DB=D ，∴BC ⊥平面D 1DB ． -----------------------6分 （II)取DC 中点E ，连结BE,D 1E.∵DB=BC ，∴BE ⊥CD.∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴ABCD ⊥D 1DCC 1．∴BE ⊥D 1DCC 1．∴D 1E 为D 1B 在平面D 1DCC 1上的射影，∴∠BD 1E 为所求角．在BE D Rt 1∆中，5,11==E D BE ．55tan 11==∠E D BE E BD ． ∴所求角为55arctan． ---------------------------------14分 解法二：（I)证明：如图建立坐标系D-xyz,1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D B C D ．∴1(1,1,0),(0,0,2),(1,1,0)BC DD DB =-== ．∵0,01=⋅=⋅DB BC DD BC ，∴BC ⊥DD 1, BC ⊥DB ．∵D 1D ∩ DB=D ，∴BC ⊥平面D 1DB ． ------------------6分（II) 1(1,1,2),(1,0,0),(1,0,0)D B A DA =-= ．∵AD ⊥平面D 1DCC 1，∴平面D 1DCC 1的法向量(1,0,0)m = ，∵111cos ,D B m D B m D B m⋅<>=== ． ∴D 1B 与平面D 1DCC 1所成角的大小为66arcsin. --------------------14分 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）2()(1)1f x ax a x '=-++， ------------2分由导数的几何意义得(2)5f '=，于是3a =． -----------------3分 由切点(2,(2))P f 在直线54y x =-上可知26b +=，解得4b =． -----5分所以函数()f x 的解析式为32()24f x x x x =-++. ------------6分 （Ⅱ）21()(1)1()(1)f x ax a x a x x a '=-++=--， ------------------7分 当01a <<时，11a>，函数()f x 在区间(, 1)-∞及1(, )a +∞上为增函数； 在区间1(1, )a上为减函数； --------------------------------------------------------9分当1a =时，11a=，函数()f x 在区间(,)-∞+∞上为增函数；------------------11分 当1a >时，11a<，函数()f x 在区间1(, )a -∞及(1, )+∞上为增函数； 在区间1(, 1)a 上为减函数. --------------------------13分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则()222432216()()55625P A C =⨯= ． --------------------------------------------6分（Ⅱ）设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均 直行通过路口为事件1B ，3辆直行1辆左转为事件2B ，则事件1B 、2B 互斥．()()()()4433121244332297()()555625P B P B B P B P B C C =+=+=+⨯=． ----13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵42=<=-MN PM PN ，∴点P 的轨迹是以N M ,为焦点的双曲线的右支，且1,2,3a c b ==∴轨迹W 的方程为 ()11322≥=-x y x ． ---------------------------------4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为()2-=x k y ．由()⎪⎩⎪⎨⎧=--=,13,222y x x k y 得 ()034432222=--+-k x k x k ． ----------------5分 设()()2211,.,y x B y x A ，则0342221>-=+k k x x ， ① 03342221>-+=k k x x ， ② ()()0343416224>+-+=∆k k k ． ③ -------------------8分 由①②③解得 32>k ． ------------------------------------------------------------9分 ∵=2，∴()()112222,2,x y x y --=-，∴1226x x -=． 带入 ①②，得 122634x k k -=-， ()112226334x x k k -=-+． 消掉1x 得235,5k k == ---------------------------------11分∵()0,2M 为双曲线右支的焦点，离心率e =2．由双曲线的几何性质，得 ()()31623422222221-+=--⨯=-+=k k k k a x x e AB ． 设以AB 为直径的圆的圆心为Q ，Q 到直线l 的距离为d ，则 d =()()32132122221-+=-+k k x x ． ∴()()()()()0321331332132222222<-+-=-+--+=-k k k k k k AB d ． ∴ 2ABd <，直线l 与圆Q 相交． ---------------------------------------14分20.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题意121+=+n n a a ， --------2分∴)1(211+=++n n a a ．∵11=a ，∴数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列． ---------3分∴1221-⨯=+n n a ，∴12-=n n a ． ---------4分 （Ⅱ）∵)321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n ， ---------5分 ∴)32112171515131(21+-++⋅⋅⋅+-+-=n n T n 96)32(3)32131(21+=+⨯=+-=n n n n n ． ----------7分 ∵11569156961561221>+++=+⋅++=+nn n n n n n n T T n n ，∴1,n n T T n +<∈N *．∴当1=n 时，n T 取得最小值151． -----------------8分 由题意得150151m >，∴10<m ． ∵Z m ∈ ， ∴9=m ． ------------10分（Ⅲ）证明：∵ n k a a k k k k k k ,,3,2,1,21)22(212121211⋅⋅⋅=<--=--=++ ， ∴213221n a a a a a a n n <+⋅⋅⋅+++． ----------------13分。

2006年市崇文区统一练习高三数学文史类二(崇文区二模试卷)共150分。

考试时间120分钟第一卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知{|1}A x x =<，{|20}B x x =-⋅≤（）（x-1）， 则A ∪B=（A ）{|2}x x ≤（B ）{|1}x x ≤ （C ） {|2}x x ≥ （D ）{|1}x x ≥（2）将抛物线244y x x =++的图象按向量a 平移，使其顶点与坐标原点重合 ，则a =（A ）（2，0） （B ）（－2，0） （C ）（0，—2） （D ）（0，2）（3）若sin 200,ααα><且sin 则是（A ）第二象限角 （B ）第一或第二象限角（C ）第三象限角（D ）第三或第四象限角（4）双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线x －2y +1=0平行 ，则双曲线的离心率为（A ） 5 （B ）25 (C) 23（D ）3 （5）用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为(A) 1：3 (B) 3：4 (C ) 3︰16 (D) 4：3（6）二项式（２ｘ＋１）6展开式中第四项的系数为（A ）240 （B ）160（C ）20（D ）120（7）从1到100这100个整数中 ，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的取法有（A ）2450种 （B ） 4900种 （C ）1225种（D ）4950种（8）实数x 、y 满足不等式组10230x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩， 则Ｗ＝11y x --的取值X 围是（Ａ）[－１，0 ] （Ｂ）(],1-∞- （Ｃ）[0，1] （Ｄ）(],1-∞第二卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三统一练习（二）数 学 （文科） 2008.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数cos y x =的一个单调递增区间为 （ ） A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 2．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－4B ．4C ．－2D ．23．已知数列{}n a 中，15a =，点1(,)n n a a +在直线30x y -+=上，则n a = （ ）A 2-nB 3-nC 2+nD 3+n4．若函数()f x 的反函数是11()2x fx -+=，则(1)f 的值为 （ ）Ａ．4- Ｂ．4 Ｃ．1- Ｄ．15．若半径为1的球与120°的二面角的两个半平面切于M 、N 两点，则两切点间的球面距离是 （ ）A ．34π B ．π C ．32π D ．3π6．按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法有 （ ）.A ．410CB ．410AC ．610A D ． 1010A7．给出下列命题，则其中的真命题是 （ ） A ．若直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线B ．已知平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若,m n αβ⊥⊥则C ．直线m 、n 在平面α内的射影分别是一个点和一条直线，且m n ⊥，则//n n αα⊂或D ．直线m 、n 是异面直线，若//m α，则n 必与α相交8．定义域为(,0)-∞⋃（0，+∞）的偶函数)(x f 在区间（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式)x (f )x (f '>0的解集是 （ ） A ．（－∞，－1）Y （0，1） B ．（－1，0）Y （1，+∞） C ．．（－∞，－1）Y （1，+∞）D ．（－1，0）Y （0，1）北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三期末统一练习数 学 （文科） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号一 二三 总分1--89 10 11 12 13 1415161718 19 20 分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数2)3lg(--=x x y 的定义域是 .10．若某椭圆焦点与短轴顶点构成正方形，则该椭圆的离心率为_____________.11．二项式61(0)x x x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于．12．已知等比数列{n a }的公比q 不为1，若向量→i =(1a ，2a )，得分评卷人→j =(1a ，3a )，→k =(-1，1)满足(4→i -→j )→⋅k =0，则q = .13．如图，函数y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y= —x+5，则f ′(3)= .14．在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列{n a }：11C ，02C ，22C ，13C ，04C ，33C ，24C ，15C ，06C ，……，则22a = .（用数值作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知函数)()(R x x m x x f ∈-=，且(1)0f =. (Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）作出函数)(x f 的图象，并指出函数)(x f 的单调区间.得分评卷人16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 分别所对的边为c b a ,,，且C B A A B 2sin cos sin cos sin =+， ABC ∆的面积为34.： (Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2=a ，求边长c.17．（本小题满分13分）已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A 、B 两组，每组4人.（Ⅰ）求A 组中恰有一名医务人员的概率； （Ⅱ）求A 组中至少有两名医务人员的概率； 18．（本小题满分13分）如图，已知正方形ABCD 与矩形BEFD 所在平面互相垂直，AB=2，DF=1，P 是线段EF 上的动点.（Ⅰ）若点O 为正方形ABCD 的中心，求直线OP 与平面ABCD 所成角的最大值； （Ⅱ）当点P 为EF 的中点时，求直线BP 与FA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角A —EF —C 的大小.得分评卷人得分评卷人19．（本小题满分14分）已知B A 、分别是x 轴和y 轴上的两个动点，满足2=AB ，点P 在线段AB 上且PB AP 2=，设点P 的轨迹方程为C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点N M 、是曲线C 上关于原点对称的两个动点，点Q 的坐标为3(,3)2，求QMN ∆的面积S 的最大值．20．(本小题满分14分)已知A(1x ,1y )，B(2x ,2y )是函数21,122()11,2x x x f x x ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩的图像上的任意两点（可以重合），点M 在直线12x =上，且AM u u u u v =MB u u u v . （Ⅰ）求1x +2x 的值及1y +2y 的值（Ⅱ）已知1S =0，当n≥2时，n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n-+L ，求n S ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设n a =2n S，n T 为数列{n a }的前n 项和，若存在正整数c 、m ，使得不等式21c T c T 1m m <--+成立，求c 和m 的值.北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三统一练习（二）数 学（文科） 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．B 3．C 4． C 5．D 6． A 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．)3,2()2,(Y -∞ 10．211．-20 12．3 13．-1 14．21 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）解：(Ⅰ）由(1)101f m m =-=⇒=， ……………3分22,1()1,1x x x f x x x x x x ⎧-+≤⎪=-=⎨->⎪⎩；………………6分 （Ⅱ）图像如图.………………………………………10分 函数)(x f 的单调递增区间是1(,]2-∞和[1,)+∞,)(x f 的单调递减区间是]1,21[；………………………………12分 16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ）C B A A B 2sin cos sin cos sin =+Θ，化简，()C C C B A cos sin 2sin sin ==+.………………………………3分∵0sin ≠C ∴21cos =C ，3π=C .…………………………………………6分 （Ⅱ）∵ ABC ∆的面积为34，∴ ,34sin 21=C ab ∴ 16=ab .……………………………………………………………………………………9分又∵2=a ，∴ 8=b ，∴由余弦定理可得：abc b a C 2cos 222-+=，∴132=c .……………………………………………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“A 组中恰有一名医务人员”为事件1A ,1()P A =73483513=C C C ．…………………………………………………………6分（Ⅱ）设“A 组中至少有两名医务人员”为事件2A ，2()P A = 21481533482523=+C C C C C C ．…………………………………………13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）连结OP. 设OP 与平面ABCD 所成角为α，则[,]42ππα∈.当P 是线段EF 的中点时， OP ⊥平面ABCD ，直线OP 与平面ABCD 所成的最大角是2π.………………4分（Ⅱ）连结AF 、FC 、OF.易证FO//PB ，∴AFO ∠是直线BP 与FA 所成的角. …………………………………………5分 依题意，在等腰AFC ∆中，FO AC ⊥,AFO ∆为直角三角形.Q AD=2，DF=1，∴AF ＝3.又AO=221(2)(2)12+=, ∴在Rt AOF V 中，3sin AO AFO AF ∠==.……………………………………………8分 （Ⅲ）连结AE 、EC ，则AF ＝FC=AE=EC=3.取EF 的中点P ，连结AP 、CP ，,AP EF CP EF ⊥⊥,则APC ∠是二面角A —EF —C 的平面角.………………………………………………11分 则等腰AEF ∆≌CEF ∆，∴在APC ∆中，AP=CP=2.又AC=2，∴APC ∆是直角三角形. ，且2APC π∠=.即二面角A —EF —C 的大小是2π.……………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设点P B A 、、的坐标分别为),(),0()0,(y x b a 、、，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,32,3b y a x 即⎪⎩⎪⎨⎧==.23,3y b x a由2=AB 得422=+b a ，所以曲线C 的方程为11694922=+y x ．……5分 （Ⅱ）设1111(,),(,)M x y x y --N ，则22112MN x y =+．当10x ≠时，设直线MN 的方程为 11y y x x =， 则点Q 到直线MN的距离h =，∴QMN ∆的面积1113322S y x =⋅=-．…………11分 ∴22221111113939924S y x x y x y =-=+-．又∵2211991416x y +=，∴22119944x y +=．∴21149S x y =-． 而221111119933912416244x y x y x y=+≥-⋅⋅=-，则1194x y -≤．即28,S S ≤≤． 当且仅当113324x y =-时，即1112x y =-时，“＝”成立. 当10x =时，48233MN =⋅=,∴QMN ∆的面积1832232S =⋅⋅=.∴S有最大值14分 20．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）∵点M 在直线x=21上，设M M 1(,)2y .又AM u u u u r ＝MB u u u r ，即111AM (,)2M x y y =--u u u u r ，221MB (,)2M x y y =--u u u r ，∴1x +2x =1.………………2分①当1x =21时，2x =21，1y +2y =12()()112f x f x +=--=-；②当1x ≠21时，2x ≠21，1y +2y =11212x x -+22212x x -=1221122(12)2(12)(12)(12)x x x x x x -+---=121212122()812()4x x x x x x x x +--++=12122(14)241x x x x -=--；综合①②得，1y +22y =-.…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x +2x =1时, 1y +22y =-.∴()()2kn kf f n n-+=-，k=1n ,,3,2,1-Λ.……………………………………7分n≥2时， n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n-+L ， ①n S =1231()()()()n n n f f f f n n n n---++++L ， ② ①＋②得，2n S =-2(n-1),则n S =1-n.n=1时，1S =0满足n S =1-n. ∴n S =1-n.……………………………………………………10分（Ⅲ）n a =n S 2=n 12-，n T =1+21+1n )21(-+Λ=n 222-. 21c T c T 1m m <--+⇔0)c T (2)c T ()c T (21m 1m m <----++⇔0T c )T T 2(c 1m 1m m <---++. 1m T +=2-m 21，1m m T T 2+-=m 244--2+m 21=2-m23， ∴122≤-312222m m c <<-<，c 、m 为正整数，∴c=1， 当c=1时，⎪⎩⎪⎨⎧>-<-12121232m m ，∴1<m 2<3，∴m=1.……………………………………………14分。

广东省湛江市崇文高级中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若椭圆过抛物线的焦点,且与双曲线有相同的焦点,则该椭圆的方程是A. B. C. D.参考答案：D2. 若在的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A+B=72，则n的值为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6参考答案：A略3. 已知全集，集合，则A. B. C. D.参考答案：A集合,所以，，选A. 4. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则的面积为（）A． B． C．1 D．参考答案：C试题分析：不妨设，则，又，所以，，而，所以，即，所以．考点：双曲线的定义．【名师点睛】圆锥曲线问题中出现焦点三角形或与圆锥曲线上的点到焦点的距离时，常常考虑利用圆锥曲线定义，把问题转化为解三角形问题，如本题利用定义得出三角形的两边之差，再由已知两边之和，可求得两边长，从而确定三角形的形状，并求出面积，比纯粹的设点的坐标，求出点的坐标来得简单，计算量也在为简化．5. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A．B．C．D．参考答案：B6. 设非空集合满足：当时，有。

给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。

其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3（二）参考答案：D7. 已知集合，，则集合不可能是（）A． B． C． D．参考答案：D∵集合A=={x|x≥1}，A∩B=?，∴B={x|x＜1},∴集合B不可能是{x|x≥﹣1}．故选：D．【考查方向】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【易错点】交集及其运算，注意集合代表元素的属性【解题思路】求出集合A={x|x≥1}，由A∩B=?，得B={x|x＜1}，由此能求出结果．8. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为，那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是。

肇庆市中小学教学质量评估届高中毕业班第二次统一检测题文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

考生要认真核对答题卷条形码上的信息与本人所填写信息是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束。

监考人员将试卷、答题卷一并收回。

第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设复数z 满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的模是（A ）2 （B ）12（C 2 （D ）22（2）{}1,0,1,2M =-，{}2|0N x x x =-≤，则MN =（A ）{}1,0- （B ）{}0,1 （C ）{}1,2- （D ）{}1,2（3）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（A ）101 （B ）91 （C ）111 （D ）81（4）已知()()()lg 10lg 10f x x x =++-，则()f x 是（A ）()f x 是奇函数，且在()0,10是增函数 （B ）()f x 是偶函数，且在()0,10是增函数 （C ）()f x 是奇函数，且在()0,10是减函数 （D ）()f x 是偶函数，且在()0,10是减函数（5）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为 （A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35（6）下列说法错误的是（A ）“0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件（B ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”（C ）若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题（D ）命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝:x R ∀∈，均有210x x ++≥（7）已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =（A ）94 （B ）32 （C ）1 （D ）34（8）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()cos sin b a C C =-，2a =， 2c =，则角C =（A ）56π （B ）6π （C ） 4π （D ） 3π （9）能使函数 的图象关于原点对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的ϕ的一个值是 （A ）π3 （B ） 5π3 （C ）2π3 （D ） 4π3（10）已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则（A ）235x y z << （B ）523z x y << （C ）352y z x << （D ）325y x z << （11）如图是某几何体的三视图，222 正视图 俯视图侧视图则该几何体的体积为（A ）83（B ）43（C ）8 （D ）4（12）已知函数()()24,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围为（A ）[]2,1- （B ）[]4,1- （C ）[]2,0- （D ）[]4,0-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）已知1a b a b ==+=，则a b -= ▲ .（14）函数（，，是常数，，）的部分图象如图所示，则()12f π的值是 ▲ ．（15）正项数列{}n a 中，满足 那么n a ＝ ▲ . （16）在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是 ▲ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为sin 2ac B ．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若5c =，2223sin 5sin sin C B A =⋅，且BC 的中点为D ，求ABD ∆的周长．（18）（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知n S ，1+n a ，4成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，设n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.（19）（本小题满分12分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x （单位：千米）和火灾所造成的损失数额y (单位：千元)有如下的统计资料：如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求：（Ⅰ）求相关系数r （精确到0.01）； （Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；（III ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）.参考数据：61175.4iy=∑，61764.36i i x y =∑，61()()80.30i i i x x y y =--=∑，21()14.30nii x x =-=∑，21()471.65ni i y y =-≈∑82.13≈参考公式：相关系数 ()()niix x y y r --=∑，中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：图2121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-（20）（本小题满分12分）如图1，在高为2的梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，5=CD ，过A 、B 分别作CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别为E 、F ．已知1=DE ，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得AF BD ⊥，//DE CF ，得空间几何体BCF ADE -，如图2．（Ⅰ）证明：//BE ACD 面； （Ⅱ）求三棱锥B ACD -的体积.（21）（本小题满分12分）已知函数()xf x ae x =-，()'f x 是()f x 的导数.（Ⅰ）讨论不等式()()'10f x x ->的解集；（Ⅱ）当0m >且1a =时，若()22f x e <-在[],x m m ∈-恒成立，求m 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），图1以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是7+=4cos 4sin ρθθρ+.（Ⅰ）当2πα=时，直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程；（Ⅰ）已知点P (1,)2π，且曲线1C 和2C 交于,A B 两点，求PA PB 的值.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|3||1|f x x x =++-，()22g x x mx =-+.（Ⅰ）求不等式()4f x >的解集；（Ⅰ）若对任意的12,x x ，()12()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围.2018届高中毕业班第二次统一检测题文科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13 14． 15．112n - 16．16π 三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由1sin sin 22ABC S ac B ac B ∆==，--------------------2分 得1sin 2sin cos 2B B B =⋅，--------------------------3分 ∵∴故1cos 4B =，------------------5分 又，∴15sin 4B =；-----------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）和 2223sin 5sin sin C B A =⋅得2216sin 25sin C A =-----------7分由正弦定理得221625c a =，---------------------8分 ∵5c =，∴4a =，122BD a ==，------------------------9分 在ABD ∆中，由余弦定理得：2222212cos 52252244AD c BD c BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，------10分∴AD =----------------------------------------------11分∴ABD ∆的周长为7c BD AD ++=+12分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的前n 项和为nS1,)1(41,11211=∴+==a a a n 时当…………………………………………….1分当2≥n 时，2112)1(4,)1(4+=∴+=--n n n n a S a S两式相减得,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a又2,01=-∴>-n n n a a a …………………………………………………………..5分∴数列}{n a 的首项为1，公差为2的等差数列，即12-=n a n ………………..6分（Ⅱ）()111111(21)2122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-•+-+⎝⎭…………… 8分 所以. 1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪-+⎝⎭……………9分 所以 11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭……………………………………12分 （19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）12211()()80.300.9882.13()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--==≈--∑∑∑………………………………2分 （Ⅱ）依题意得()11.82.63.14.35.56.1 3.96x =+++++=………………………3分 ()611117.819.627.531.336.043.2=29.2366i y y =+++++=∑………………………4分61()()80.30iii x x y y =--=∑，21()14.30nii x x =-=∑所以6161()()80.30ˆ 5.6214.30()iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑，………………………………………6分 又因为ˆˆ29.23 5.62 3.97.31ay bx =-=-⨯≈（7.32,7.33均给分）………………………8分 故线性回归方程为ˆ=5.627.31yx +（+7.32或7.33均给分）……………………9分 （III ）当10x =时，根据回归方程有：ˆ=5.62107.31=63.51y ⨯+（63.52或63.53均给分）…………………………………………………………………………………………………12分 （20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证法一：连接BE 交AF 于O ，取AC 的中点H ，连接OH ，则OH 是AFC ∆的中位线，所以1//2OH CF .…………………………………2分 由已知得1//2DE CF ，所以//DE OH ，连接DH ， 则四边形DHOE 是平行四边形，所以//EO DH ，…………………………………4分 又因为,,EO ADC DH ADC ⊄⊂面面所以//EO ACD 面，即//BE ACD 面.………6分 证法二：延长,FE CD 交于点K ，连接AK ，则=CKA ABFE KA 面面，由已知得1//2DE CF ，所以DE 是KFC ∆的中位线，所以KE EF =……2分 所以//KE AB ，四边形ABEK 是平行四边形，//AK BE ……4分 又因为,,BE ADC KA ADC ⊄⊂面面所以//BE ACD 面.………6分证法三：取CF 的中点G ，连接,BG EG ，易得//DE CG ，即四边形CDEG 是 平行四边形，则//EG DC ，又,,GE ADC DC ADC ⊄⊂面面 所以//GE ADC 面………………………………2分又因为//DE GF ，所以四边形DGFE 是平行四边形，所以//DG EF ， 又ABFE 是平行四边形，所以//AB EF ，所以//AB DG ，所以四边形ABGD 是平行四边形，所以//BG AD ，又又,,GB ADC DA ADC ⊄⊂面面 所以//GB ADC 面.................................4分 又GB GE G =，所以面//GBE ADC 面，又BE GBE ⊂面，所以//BE ACD 面. (6)分（Ⅱ）因为//GB ADC 面，所以B ACD E ACD V V --=………………………………7分由已知得，四边形ABFE 为正方形，且边长为2，则在图2中，BE AF ⊥，由已知BD AF ⊥，B BD BE =⋂，可得BDE AF 面⊥， 又BDE DE 平面⊂，所以DE AF ⊥，又DE AE ⊥， A AE AF = ，所以ABFE DE 平面⊥，…………………………………………8分且AE EF ⊥，所以AE CDE ⊥面，所以AE 是三棱锥A DEC -的高， 四边形DEFC 是直角梯形。

崇文高三数学文科二模含答案TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三统一练习（二）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数cos y x =的一个单调递增区间为 （ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,πC ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 2．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ） A ．－4 B ．4 C ．－2D ．23．已知数列{}n a 中，15a =，点1(,)n n a a +在直线30x y -+=上，则n a = （ ）A 2-nB 3-nC 2+nD 3+n4．若函数()f x 的反函数是11()2x f x -+=，则(1)f 的值为 （ ） Ａ．4-Ｂ．4Ｃ．1-Ｄ．15．若半径为1的球与120°的二面角的两个半平面切于M 、N 两点，则两切点间的球面距离是（ ）A ．34π B ．π C ．32π D ．3π6．按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法有 （ ）.A ．410CB ．410AC ．610A D ． 1010A7．给出下列命题，则其中的真命题是 （ ） A ．若直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线B ．已知平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若,m n αβ⊥⊥则C ．直线m 、n 在平面α内的射影分别是一个点和一条直线，且m n ⊥，则//n n αα⊂或D ．直线m 、n 是异面直线，若//m α，则n 必与α相交8．定义域为(,0)-∞⋃（0，+∞）的偶函数)(x f 在区间（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式)x (f )x (f '>0的解集是 （ ） A ．（－∞，－1） （0，1） B ．（－1，0） （1，+∞） C ．．（－∞，－1） （1，+∞）D ．（－1，0） （0，1）北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三期末统一练习数 学 （文科） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号 一 二三 总分1--8 9 10 11 12 13 1415 1617 18 19 20 分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在9．函数2)3lg(--=x x y 的定义域是 . 10．若某椭圆焦点与短轴顶点构成正方形，则该椭圆的离心率为_____________.11．二项式61(0)x x x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于．12．已知等比数列{n a }的公比q 不为1，若向量→i =(1a ，2a )，→j =(1a ，3a )，→k =(-1，1)满足(4→i -→j )→⋅k =0，则q = .13．如图，函数y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y= —x+5，则f ′(3)= . 14．在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列{n a }：11C ，02C ，22C ，13C ，04C ，33C ，24C ，15C ，06C ，……，则22a = .（用数值作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知函数)()(R x x m x x f ∈-=，且(1)0f =. (Ⅰ）求函数()f x 的解析式；的（Ⅱ）作出函数)(x f 的图象，并指出函数)(x f 单调区间. 得分 评卷人得分 评卷人得分评卷16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 分别所对的边为c b a ,,，且C B A A B 2sin cos sin cos sin =+， ABC ∆的面积为34.： (Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2=a ，求边长c. 17．（本小题满分13分）已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A 、B 两组，每组4人.（Ⅰ）求A 组中恰有一名医务人员的概率； （Ⅱ）求A 组中至少有两名医务人员的概率； 18．（本小题满分13分） 如图，已知正方形ABCD 与矩形BEFD 所在平面互相垂直，AB=2，DF=1，P 是线段EF 上的动点.（Ⅰ）若点O 为正方形ABCD 的中心，求直线OP 与平面ABCD 所成角的最大值； （Ⅱ）当点P 为EF 的中点时，求直线BP 与FA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角A —EF —C 的大小. 19．（本小题满分14分） 轴上的已知B A 、分别是x 轴和y 点P 在两个动点，满足2=AB ，线段AB 上且PB AP 2=，设点P 的轨迹方程为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；人得分评卷人得分评卷人得分评卷人（Ⅱ）若点N M 、是曲线C 上关于原点对称的两个动点，点Q 的坐标为3(,3)2，求QMN ∆的面积S 的最大值．20．(本小题满分14分)已知A(1x ,1y )，B(2x ,2y )是函数21,122()11,2x x x f x x ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩的图像上的任意两点（可以重合），点M 在直线12x =上，且AM =MB . （Ⅰ）求1x +2x 的值及1y +2y 的值（Ⅱ）已知1S =0，当n≥2时，n S =1()f n +2()f n +3()f n+1()n f n-+，求n S ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设n a =2n S ，n T 为数列{n a }的前n 项和，若存在正整数c 、m ，使得不等式21c T c T 1m m <--+成立，求c 和m 的值.北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三统一练习（二）数 学（文科） 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．B 3．C 4． C 5．D 6． A 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．)3,2()2,( -∞ 10．2211．-20 12．3 13．-1 14．21 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）分解：(Ⅰ）由(1)101f m m =-=⇒=， (3)22,1()1,1x x x f x x x x x x ⎧-+≤⎪=-=⎨->⎪⎩；………………6分（Ⅱ）图像如图.………………………………………10分函数)(x f 的单调递增区间是1(,]2-∞和[1,)+∞,)(x f 的单调递减区间是]1,21[；………………………………12分 16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ）C B A A B 2sin cos sin cos sin =+ ，化简，()C C C B A cos sin 2sin sin ==+.………………………………3分∵0sin ≠C ∴21cos =C ，3π=C .…………………………………………6分 （Ⅱ）∵ ABC ∆的面积为34，∴ ,34sin 21=C ab ∴ 16=ab .……………………………………………………………………………………9分又∵2=a ，∴ 8=b ，∴由余弦定理可得：abc b a C 2cos 222-+=，∴132=c .……………………………………………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“A 组中恰有一名医务人员”为事件1A ,1()P A =73483513=C C C ．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）设“A 组中至少有两名医务人员”为事件2A ，2()P A = 21481533482523=+C C C C C C ．…………………………………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）连结OP. 设OP 与平面ABCD 所成角为α，则[,]42ππα∈.当P 是线段EF的中点时， OP ⊥平面ABCD ，直线OP 与平面ABCD 所成的最大角是2π.………………4分（Ⅱ）连结AF 、FC 、OF.易证FO AFO ∠…………………………………………5分依题意，在等腰AFC ∆中，FO AC ⊥,AFO ∆为直角三角形. AD=2，DF=1，∴AF ＝3.又AO=221(2)(2)12+=, ∴在Rt AOF 中，3sin AO AFO AF ∠==.……………………………………………8分 （Ⅲ）连结AE 、EC ，则AF ＝FC=AE=EC=3.取EF 的中点P ，连结AP 、CP ，,AP EF CP EF ⊥⊥,则APC ∠是二面角A —EF —C 的平面角.………………………………………………11分则等腰AEF ∆≌CEF ∆，∴在APC ∆中，.又AC=2，∴APC ∆是直角三角形. ，且2APC π∠=.即二面角A —EF —C 的大小是2π.……………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设点P B A 、、的坐标分别为),(),0()0,(y x b a 、、，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,32,3b y a x 即⎪⎩⎪⎨⎧==.23,3y b x a由2=AB 得422=+b a ，所以曲线C 的方程为11694922=+y x ．……5分 （Ⅱ）设1111(,),(,)M x y x y --N，则MN = 当10x ≠时，设直线MN 的方程为 11y y x x =， 则点Q 到直线MN的距离h =∴QMN ∆的面积1113322S y x =⋅=-．…………11分∴22221111113939924S y x x y x y =-=+-．又∵2211991416x y +=，∴22119944x y +=．∴21149S x y =-． 而221111119933912416244x y x y x y=+≥-⋅⋅=-，则1194x y -≤．即28,S S ≤≤ 当且仅当113324x y =-时，即1112x y =-时，“＝”成立. 当10x =时，48233MN =⋅=,∴QMN ∆的面积1832232S =⋅⋅=.∴S有最大值14分 20．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）∵点M 在直线x=21上，设M M 1(,)2y .又AM ＝MB ， 即111AM (,)2M x y y =--，221MB (,)2M x y y =--，∴1x +2x =1.………………2分①当1x =21时，2x =21，1y +2y =12()()112f x f x +=--=-；②当1x ≠21时，2x ≠21，1y +2y =11212x x -+22212x x -=1221122(12)2(12)(12)(12)x x x x x x -+---=121212122()812()4x x x x x x x x +--++=12122(14)241x x x x -=--；综合①②得，1y +22y =-.…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x +2x =1时, 1y +22y =-.∴()()2k n kf f n n-+=-，k=1n ,,3,2,1- .……………………………………7分n≥2时， n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n -+ ， ①n S =1231()()()()n n n f f f f n n n n ---++++ ， ②①＋②得，2n S =-2(n-1),则n S =1-n.n=1时，1S =0满足n S =1-n. ∴n S =1-n.……………………………………………………10分（Ⅲ）n a =n S 2=n 12-，n T =1+21+1n )21(-+ =n 222-.21c T c T 1m m <--+⇔0)c T (2)c T ()c T (21m 1m m <----++⇔0T c )T T 2(c 1m 1m m <---++.1m T +=2-m 21，1m m T T 2+-=m 244--2+m 21=2-m23， ∴122≤-312222m m c <<-<，c 、m 为正整数，∴c=1， 当c=1时，⎪⎩⎪⎨⎧>-<-12121232m m ，∴1<m 2<3，∴m=1.……………………………………………14分。

广东省湛江市崇文高级中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为( )A．{3} B．{1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先观察Venn图，图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∵C U B={1，2}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2. 在等差数列中，，那么该数列的前14项和为A．20 B．21 C．42 D．84参考答案：B略3. 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）cm3A．280 B．292 C．360 D．372参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图很容易知道是两个长方体的组合体，根据三视图得出各个棱的长度．把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．即可．【解答】解：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和S=2（10×8+10×2+8×2）+2（6×8+8×2）=360．故选C．【点评】把三视图转化为直观图是解决问题的关键，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．4. 点A，B，C，D在同一球面上，，若四面体ABCD体积最大值为3，则这个球的表面积为A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π参考答案：D由体积最大得高为3，得5. 已知全集R，集合M={x|x＞1}，N={x||x|≤2}，则（?R M）∩N等于（）A．（﹣2，1] B．[﹣2，1） C．[﹣2，1] D．[1，2]参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集R，集合M={x|x＞1}，N={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，∴?U M={x|x≤1}=（﹣∞，1]则（?U M）∩N=[﹣2，1]．故选：C6. 某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为（）A．11 B．9 C．16D．18参考答案：C7. 以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：A略8. .在等差数列{a n}中，，是方程的两根，则数列{a n}的前11项和等于（）A. 66B. 132C. -66D. -132参考答案：D【分析】由根与系数的关系可求出，再根据等差中项的性质得，利用等差数列的求和公式即可求解.【详解】因为，是方程的两根所以，又，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.9. 若向量，且，则锐角为（）A．B．C．D．参考答案：C10. 已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|?d=1，∴||?.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正项无穷等比数列a n的前n项和为S n，若，则其公比q 的取值范围是．参考答案：（0，1）分析：由题设条件知=1，所以0＜q＜1．解答：解：∵正项无穷等比数列a n的前n项和为S n，且，∴==1，∴0＜q＜1．故答案为：（0，1）．12. 函数的最小正周期是参考答案：2π13. 下图一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为l，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直．设回形线与射线OA交于A1, A2，A3,…，从点O到点 A1的回形线为第1圈（长为7），从点A1到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…，依此类推，第8圈的长为__________。

上海市崇明区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.行列式1234的值等于____________2.设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B ⋂=____________3.已知复数z 满足i =，i 为虚数单位，则z =____________4.已知函数()21xf x =+，其反函数为()1y f x -=，则()13f -=____________5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________6.4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数是____________（用数字作答）7.若1sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 2α=____________8.已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，若233433,2a a a a +=+=，则lim n n S →∞=____________9.将函数()sin f x x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足()()122f x g x -=的任意12,x x ，12x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是____________10.已知样本数据1234,,,x x x x 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________11.在ABC 中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________12.对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为{}1,2,3,4,5,6D =，值域为{}7,8,9A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是_____________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（）A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-= D.1,1a b =-=-14.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（）A.1- B.1C.2D.1315.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的周长()1,2,i = ，则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（）A.{}n a 是等差数列B.1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等差数列C.1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 都是等差数列D.1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 都是等差数列，且公差相同16.已知函数()22xf x m x nx =⋅++，记集合(){}|0,A x f x x R ==∈，集合()(){}|0,B x ff x x R ==∈，若A =B ，且,A B 都不是空集，则m +n 的取值范围是（）A.[)0,4 B.[)1,4- C.[]3,5- D.[)0,7三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）求点C 到平面1A BE 的距离.18.已知函数()()202x x af x a =->.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB 与AD 的长都是2千米，∠BAD =60°，∠BCD =120°.（1）如果∠ADC =105°，求BC 的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）20.已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线(()x t t =∈与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点C （2,0），直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长；（2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：22PAC S ≤.21.在无穷数列{}n a 中，*n a N ∈，且1,23,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，记{}n a 的前n 项和为n S .（1）若110a =，求9S 的值；（2）若317S =，求1a 的值；（3）证明：{}n a 中必有一项为1或3.上海市崇明区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题1.行列式1234的值等于____________【答案】2-【解析】【分析】根据行列式定义直接计算得到答案.【详解】121423234=⨯-⨯=-.故答案为：2-.【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.2.设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B ⋂=.【答案】[0,2]【解析】解：因为集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B ⋂=[0,2]3.已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =____________【答案】1-2i 【解析】【分析】化简得到2i z i+=，计算得到答案.i =，故212iz i i+===-.故答案为：12i -.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知函数()21xf x =+，其反函数为()1y fx -=，则()13f -=____________【答案】1【解析】【分析】取()213xf x =+=，解得1x =，得到答案.【详解】()21xf x =+，取()213x f x =+=，解得1x =，故()131f-=.故答案为：1.【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________【答案】3【解析】【分析】根据体积公式直接计算得到答案.【详解】由于正视图是边长为2，底面半径为1，∴21131333V S h ππ=⋅=⋅=.故答案为：33π.【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数是____________（用数字作答）【答案】32【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：()42483144122rr r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，取1r =得到5x 项的系数是1414232C -⋅=.故答案为：32.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若1sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 2=α____________【答案】79-【解析】【分析】化简得到1cos 3α=，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】1sin cos 23παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，27cos 22cos 19αα=-=-.故答案为：79-.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，若233433,2a a a a +=+=，则lim n n S →∞=____________【答案】8【解析】【分析】计算得到14a =，12q =，故1882nn S ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，再计算极限得到答案.【详解】223113a a a q a q +=+=，23341132a a a q a q +=+=，解得14a =，12q =，故11124881212nnn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-，故lim 8n n S →∞=.故答案为：8.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.9.将函数()sin f x x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足()()122f x g x -=的任意12,x x ，12x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是____________【答案】23π【解析】【分析】()()sin y g x x ϕ==-，不妨取()11f x =，()11g x =-，122x x k πϕπ-=--，得到答案.【详解】根据题意：()()sin y g x x ϕ==-，()()122f x g x -=，不妨取()11f x =，()21g x =-，取12x π=，故232,2x k k Z πϕπ-=+∈，即232,2x k k Z πϕπ=++∈故122x x k πϕπ-=--，最小值为3π，故当0k =时，ϕ的最小值是23π.故答案为：23π.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.10.已知样本数据1234,,,x x x x 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________【答案】7【解析】【分析】不妨设1234x x x x <<<，则123408x x x x ≤<<<≤，依次验证得到答案.【详解】根据题意：123416x x x x +++=，()()()()22221234444420x x x x -+-+-+-=，不妨设1234x x x x <<<，则123408x x x x ≤<<<≤，当48x =时，1238x x x ++=，()()()2221234444x x x -+-+-=，则必有一个数为4，验证知无解，故不成立；当47x =时，1239x x x ++=，()()()22212344411x x x -+-+-=，取11x =，23x =，35x =满足条件.故答案为：7.【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在ABC 中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】34【解析】【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案.【详解】1sin ,2ABCS AB AC AB AC =⋅=△==2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意.故答案为：34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为{}1,2,3,4,5,6D =，值域为{}7,8,9A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是_____________【答案】154【解析】【分析】考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有4个函数值相同时：共有436390C A ⋅=，满足条件的有133C =种；当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有323633360C C A ⋅⋅=，满足条件的有21126+++=种；当各有2个函数值相同时，共有226490C C ⋅=，满足条件的有1种.故3611903609054p ++==++.故答案为：154.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、选择题13.若矩阵12a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（）A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-= D.1,1a b =-=-【答案】A【解析】【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则1,1a b ==-.故选：A .【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.14.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为（）A.1- B.1 C.2 D.13【答案】B【解析】【分析】计算抛物线焦点为()2,0F ，计算得到答案.【详解】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，故232n +=，1n =.故选：B .【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.15.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的周长()1,2,i = ，则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（）A.{}n a 是等差数列B.1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等差数列C.1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 都是等差数列D.1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】【分析】根据题意()12i i i a A a +=+，{}n A 为等差数列，得到11i i a a +--为定值，得到答案.【详解】根据题意：()12i i i a A a +=+，{}n A 为等差数列，故()()()11111222i i i i i i i i a a a a a A A a +-+---=+-+=-为定值，故11i i a a +--为定值.则1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 都是等差数列，且公差相同.反之也成立.故选：D .【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.16.已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（）A.[0,4)B.[1,4)-C.[3,5]-D.[0,7)【答案】A【解析】【分析】设a A ∈，代入集合B 得到0m =，讨论0n =和0n ≠两种情况，得到2()f x x nx n =+=-无解，计算得到答案.【详解】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00f f a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x =此时{}0A B ==，满足；当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n=-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n=+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈故选A【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）求点C 到平面1A BE 的距离.【答案】（1）arctan 4（2）23【解析】【分析】（1）确定EBD ∠为直线BE 与平面ABCD 所成的角，计算得到答案.（2）根据平行得到点C 到平面1A BE 的距离等于1D 到平面1A BE 的距离，根据等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接BD ，正方体1111ABCD A B C D -，故ED ⊥平面ABCD ，故EBD ∠为直线BE 与平面ABCD 所成的角，2tan4DE EBD DB ∠==，故直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小为2arctan 4.（2）11//CD BA ，故1//CD 平面1A BE ，故点C 到平面1A BE 的距离等于1D 到平面1A BE 的距离，11111233B A D E A D E V S AB -=⨯⋅=△，1A BE中：1A B =1A E =，3BE ==，根据余弦定理：2221111110cos 210A B A E BE BA E A B A E +-∠==⋅，故1310sin 10BA E ∠=，11111sin 32A BE S A B A E BA E =⋅∠=△，故11111233D A BE A BE B A D E V S h h V --=⋅===△，故点C 到平面1A BE 的距离为23.【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.已知函数()()202x x a f x a =->.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）()f x 在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当1a =时，函数()f x 是奇函数，当1a ≠时，函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，见解析【解析】【分析】（1）设12x x <，计算()()()21122122102x x x x a f x f x +⎛⎫-=-+> ⎪⎝⎭，得到答案.（2）讨论1a =和1a ≠两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.【详解】（1）函数单调递增，设12x x <，则()()()212121122122221222x x x x x x x x a a a f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知21220x x ->，12102x x a ++>，故()()210f x f x ->，()()21f x f x >，函数单调递增.（2）()22x xa f x =-，()22x x a f x ---=-，当1a =时，()()122x x f x f x ---=-=-，函数为奇函数；当1a ≠时，()010f a =-≠，函数不是奇函数，()122a f =-，()1122f a -=-，()()11f f ≠-，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.综上所述：当1a =时，函数()f x 是奇函数，当1a ≠时，函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB 与AD 的长都是2千米，∠BAD =60°，∠BCD =120°.（1）如果∠ADC =105°，求BC 的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米【解析】【分析】（1）如图所示：连接BD ，则ABD △为等边三角形，45BDC ∠=︒，根据正弦定理计算得到答案.（2）设BDC θ∠=，根据正弦定理得到()4343sin 6033BC CD θ+=+︒≤，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接BD ，则ABD △为等边三角形，45BDC ∠=︒，在BCD 中：sin sin BC BD BDC BCD =∠∠，故26 1.6333BC =≈.（2）设BDC θ∠=，则()sin sin sin 60BD BC CD BCD θθ==∠︒-，故3sin 3BC θ=，()3sin 603CD θ=︒-，()()()333sin sin 60sin 60333BC CD θθθ+=+︒-=+︒≤，当30θ=︒时，等号成立，故至多需要4 6.3093+≈.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线(()x t t =∈与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点C （2,0），直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长；（2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：22PAC S ≤ .【答案】（1）2（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算21,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0F 得到距离.（2）计算AF：)1y x =-，BC：)2y x =-，消去t 得到2212x y +=，得到证明.（3）设点()11,A x y 、()22,P x y ，设直线PA 的方程为1x my =+，联立方程得到12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，2212PAC S m =+△，设()1f r r r=+，根据函数单调性得到答案.【详解】（1）1t =-，代入椭圆方程得到21,2A ⎛- ⎝⎭，()1,0F，故2AF ==.（2）计算得到A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝，故AF：)1y x =-，BC：)2y x =-，消去t 得到4332x t x -=-，代入方程得到：()()22221211t y x t -=--，化简得到2212x y +=，故点P 在椭圆Γ上.（3）设点()11,A x y 、()22,P x y ，设直线PA 的方程为1x my =+，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210m y my ++-=，由韦达定理得12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，12212122PAC S CF y y m =⋅-==+△，令1r =≥，则211PAC S r r r==++ ，函数()1f r r r =+在[)1,r∈+∞上单调递减，则12PAC S r r=≤+ .当0m =时，等号成立.【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.21.在无穷数列{}n a 中，*n a N ∈，且1,23,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，记{}n a 的前n 项和为n S .（1）若110a =，求9S 的值；（2）若317S =，求1a 的值；（3）证明：{}n a 中必有一项为1或3.【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.（2）讨论1a 为偶数，2a 为偶数，1a 为偶数，2a 为奇数，1a 为奇数，2a 为偶数，1a 为奇数，2a 为奇数四种情况，计算得到答案.（2）设{}n a 中最小的奇数为k a ，则13k k a a +=+，232k k a a ++=，讨论2k a +为奇数，2k a +为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1）110a =，故234567895,8,4,2,1,4,2,1a a a a a a a a ========，故937S =.（2）当1a 为偶数，2a 为偶数时，11311724a a S a =++=，无整数解；当1a 为偶数，2a 为奇数时，113131722a a S a =+++=，解得17a =，验证不成立；当1a 为奇数，2a 为偶数时，131133172a S a a +=+++=，解得15a =，验证成立；当1a 为奇数，2a 为奇数时，31113317S a a a =++++=，无整数解；综上所述：15a =.（3）设{}n a 中最小的奇数为k a ，则13k k a a +=+，232k k a a ++=，若2k a +为奇数，则232k k k a a a ++=≥，解得3k a ≤；若2k a +为偶数，则132k k m k m a a a +-+=≥，3m ≥，k m a +为奇数，解得13121k m a -≤≤-；又k a N *∈，∴{}n a 中必有一项为1或3.综上所述：3k a ≤，故{}n a 中必有一项为1或3.【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中的项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

北京市崇文区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A．⎣ B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,83．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．34．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥7．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．3D ．3248．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．329．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞12．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23B ．17C ．20D ．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。