【2014上海二模】上海市浦东新区2014年高考预测(二模)文科数学试题(含答案)(pdf版)

2014年上海市高考数学试卷（文科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 .10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .11．若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12.方程sin 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, zxxk 其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V.20.（本题满分14分）本题有2个小题， 第一小题满分6分，第二小题满分1分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试题卷（文史类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是_________.2.若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=__________.3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f =_________.4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________. 5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为_________. 6.若实数x ，y 满足1xy =，则2x +22y 的最小值为_________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为________.（结果用反三角函数值表示） 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图， 则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围是_________.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q =________.11.若2132()f x x x-=-，则满足0)(<x f 的x 取值范围是_________.12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于_________.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 .（结果用最简分数表示）14.已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6．若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.3511 12二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.设,a b ∈R ，则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16.已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ，2b }，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17.如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线1+=kx y （k 为常数）上两个不同 的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+1,12211y b x a y b x a 的解的情况是（ ）（A ）无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 （B ）无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥ABC P -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .P 1AC BP 2P 3P 3AB P 1 P 7 P 6 P 5P 2P 420.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(.（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A ，B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？αACBβD22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),(111y x P ，),(222y x P ，记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证：点)2,1(A ，)0,1(-B 被直线01=-+y x 分隔；（2）若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线．23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n ∈N *，11a =. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）参考答案一、填空题 1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70 【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等） 6．22【解析】2222222x y xy +≥= 【考点】基本不等式求最值 7．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ. 由已知得233rl r l r ππ=⇒=，则1sin 3r l θ==，所以1arccos 3θ=.【考点】反正弦函数、解三角形 8．24【解析】2(322)24V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图、长方体体积的计算 9．2a ≤【解析】由题意知()02f ≤，即2a ≤. 【考点】分段函数的值域 10．152-+ 【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则152q -+=.【考点】无穷递缩等比数列的各项和 11．()0,1【解析】首先注意定义域()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1.【考点】幂函数与数形结合 12．7π3【解析】由已知化简得π1sin 32x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,2π333x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，则π5ππ,2π366x +=+，所以1π2x =，211π6x =，所以127π3x x +=. 【考点】三角方程 13．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆．A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --.因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤，即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 二、选择题 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．D【解析】由题得22,1,1,a a a b b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩（舍），或2222,1a b a b b a a b b a⎧=⎪⇒-=-⇒+=-⎨=⎪⎩.【考点】集合相等的含义、复数的运算 17．C【解析】cos i i AB AP AB AP θ⋅=⋅，cos i AP θ的值可能为0、1或2，所以i AB AP ⋅=0、2或4， 即i AB AP ⋅（i =1，2，…，7）的不同值的个数为3，故选C. 【考点】平面向量的数量积 18．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上， 故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元线性方程组解的讨论 三、解答题19．在△123P P P 中，13PA P A =，23P C P C =， 所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =.所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=. ……9分 从而，12233ABC V S PQ =⋅=△. ……12分【考点】椎体体积的计算20．（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log 1y f x y -+=-，1x <-或1x >. ……6分（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论 21．（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……4分 APB HCQ解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长之多约为28.28米. ……6分 （2）在△ABD 中，由已知，+=56.57αβ，115AB =， 由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064BD ≈. ……10分 在△BCD 中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈.所以，CD 的长约为26.93米. ……14分 【考点】任意角的三角比、正弦定理和余弦定理22．（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. ……3分（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组22,41y kx x y =⎧⎨-=⎩有解，即1||2k <. 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20k η=-<， 即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔. 故实数k 的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. ……9分 （3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)||1x y x +-⋅=，即222(2)1x y x ⎡⎤+-⋅=⎣⎦. ……11分对任意的0y ，0(0,)y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点. ……13分 又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0η<，即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线. ……16分 【考点】新定义问题、曲线与方程 23．（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3，6]. ……3分（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >.因为+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤.从而11111110003m m m a q q ---⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，131000m -≥，解得8m ≥. ……7分8m =时，711,310003q ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010. ……9分（3）设数列12100,,,a a a 的公差为d .则1+33n n n a a d a ≤≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =. ①当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤； ……12分 ②当0d =时，999821a a a a ====，符合条件； ……14分③当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2,2199⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……18分 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、分类讨论．。

第二部分 函数一、 函数的定义域、解析式、反函数，函数求值1. 【2014年黄浦区二模文理第1题】函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案： (1,1)-】2. 【2014年黄浦区二模文理第6题】函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，则反函数的解析式是=-)(1x f ．【答案： 1()0)f x x -=-?】3. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文第4题】函数()20y x x x=+>的值域为______．【答案： )⎡+∞⎣】4. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第4题】函数()22y x x x=+≥的值域是_______．【答案： [)3,+∞ 】5. 【2014年奉贤区二模文第1题】函数()()42lg -=xx f 的定义域为________.【答案：{}2>x x 】6. 【2014年奉贤区二模理第1题】函数()12-=xx f 的反函数为________.【答案：()1log 2+=x y 】7. 【2014年虹口区二模文理第3题】函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .【答案：4 】8. 【2014年虹口区二模文理第5题】已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．【答案：2()log f x x = 】9. 【2014年浦东新区二模文理第5题】函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点______.【答案：(2,3)- 】10. 【2014年嘉定、长宁区二模文第7题】对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(lo g 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________．【答案：)2,1( 】11. 【2014年崇明二模文第8题】已知函数()21x f x =+的反函数为1()y f x -=，则1()0f x -<的解集是 . 【答案：(1,2) 】12. 【2014年崇明二模理9】已知()2xf x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f xg x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是 ．【答案：(0,1)】13. 【2014年虹口区二模文理第16题】若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<【答案：C 】14. 【2014年嘉定、长宁区二模理第12题】若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案：]0,3[- 】 二、 函数的单调性与奇偶性15. 【2014年普陀区二模文第6题】若集合D {||1|1}x x =-…，则函数11)(+=x x f (D x ∈)的值域为 . 【答案：]1,31[ 】16. 【2014年黄浦区二模文理第5题】5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ． 【答案：[1,)+? 】17. 【2014年闵行区二模理第10题】设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221x y +=．已知时间0t =时，观光箱A 的坐标为1(,)22，则当024t ≤≤时（单位：分），动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递减区间是 ． 【答案：[2,14]】18. 【2014年浦东新区二模文理第17题】能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ ）（A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4xf x =（D ）()x x f x e e -=+ 【答案： D 】19. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于……（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】20. 【2014年崇明二模文第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b 上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的个数是 ( ) A.5B.4C.3D.2【答案：C 】21. 【2014年崇明二模理第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②④D ．①③④【答案：C 】 三、 函数的图像与数形结合22. 【2014年闸北区二模文科第9题】已知集合{}m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，若集合B A 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是 . 【答案：(1,0)-】23. 【2014年闸北区二模理科第9题】已知集合{}x m y y x A ==|),(，{}m x y y x B +==|),(，若集合B A 中仅含有一个元素，则实数m 的取值范围是 ． 【答案：[]1,1- 】24. 【2014年闵行区二模理第9题】已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ．【答案：8,05⎛⎤- ⎥⎝⎦】25. 【2014年闵行区二模文第9题】已知关于x 的不等式222(1)(3)0x a x a --++>的解集为R ，则实数a 的取值范围 ． 【答案：(1,5)- 】26. 【2014年闵行区二模理第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③ 】27. 【2014年闵行区二模文第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③④．】28. 【2014年黄浦区二模文第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()]()0fx a f x b +⋅+=R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是 ． 【答案：1- 】29. 【2014年黄浦区二模理第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()])0fx a f x b +⋅+=(R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案：524a -<<-】30. 【2014年虹口区二模理第18题】函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11【答案：C 】31. 【2014年普陀区二模文第14题】若函数x x a x f +-=)((a 为常数)，对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，用)(a S 表示满足条件的所有正整数a 的和，则)(a S = . 【答案：15】32. 【2014年普陀区二模理第14题】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案：(]0,4-】33. 【2014年普陀区二模文理第17题】若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是………………………………………………………………（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 【答案：A 】34. 【2014年浦东新区二模文第18题】方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ ） （A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案： C 】35. 【2014年浦东新区二模；理第18题】方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ）（A ）2（B ）4（C ） （D ）8【答案： B 】36. 【2014年嘉定、长宁区二模文第14题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=,2,)2(,20,)1(1)(2x x f x x x f 若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则=+++∞→)(lim 22221n n k k k ______．【答案：41】37. 【2014年四区二模文第14题】（文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 . 【答案：]41,0(】38. 【2014年四区二模理第18题】函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案： D 】 四、 特殊函数（幂指对二次）39. 【2014年普陀区二模理第3题】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x . 【答案：5】40. 【2014年黄浦区二模文理第7题】7．方程1)34(l o g 2+=-x x的解=x ．【答案： 2log 3x =】41. 【2014年奉贤区二模文第3题】如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.【答案： 1 】42. 【2014年四区二模理7文8】已知1lo g lo g 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________. 【答案：22】43. 【2014年崇明二模文理第12题】如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案：11[,]32】44. 【2014年嘉定、长宁区二模理第14题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 【答案：2】 五、 抽象函数与函数周期性45. 【2014年普陀区二模文第4题】若函数)(x f y =(x ∈R )满足条件：)()2(x f x f =+，且1)1(=f ，则=)101(f . 【答案：1】46. 【2014年普陀区二模理第6题】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 .【答案：1】47. 【2014年奉贤区二模文第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________. 【答案： 14 】48. 【2014年奉贤区二模理第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=________. 【答案： 50 】49. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于…（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】50. 【2014年嘉定、长宁区二模理第18题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054- 【答案：D 】 六、函数应用题51. 【2014年闸北区二模文理第7题】如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．【答案：15】52. 【2014年四区二模文理第20题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案： (1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，O(第20题东BO第21题东第21题所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 】53. 【2014闵行区二模文理第21题】21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？【答案：（1）以O 点为原点，正北的方向为y 轴正方向建立直角坐标系，…（1分）则直线OZ 的方程为3y x =，设点A （x 0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分） 又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（621300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m==--+ …（10223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分）所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小， （或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m 最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分） 】 七、 函数综合大题54. 【2014年闸北区二模文科第14题】本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分设函数xxx f 2323)(+-=R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；(2)请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.【答案：【解】(1)xx x x f 23612323)(++-=+-=， 02>x ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<632x+<2, 1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分令f(x)=0,即6132x=+，解得2log 3x =， ∴()y f x =的零点为.3log 2=x ----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，)1(51752323)1(11f f ±=±≠=+-=---， ----------------------------------------2分故)(x f y =是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 所以，对任意的12,x x ∈R ，21x x <，)23)(23()22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=+-+=-.-------------------------------2分 因为022,023,0231221>->+>+xx x x ，所以)()(21x f x f >. ----------------------------------------2分 故()y f x =在定义域R 上是减函数. ---------------------------------------2分】55. 【2014年闸北区二模理科第13题】已知函数)(x f y =在定义域R 上是增函数，值域为()+∞,0，且满足：)(1)(x f x f =-． 设)(1)(1)(x f x f x F +-=．（1）求函数)(x F y =值域和零点；（2）判断函数)(x F y =奇偶性和单调性，并给予证明．【答案：解：（1）)(121)(1)(1)(x f x f x f x F ++-=+-=， 0)(>x f ，1)(110<+<∴x f1)(1<<-∴x F ，故，)(x F y =的值域为()1,1-；---------------------------------------- 4分)(1)(x f x f =- ，令0=x ，1)0(±=f ，0)(>x f ，1)0(=∴f ．故，)(x F y =的零点为.0=x ---------------------------------------------------------------------4分（2）对任意的R x ∈，)()(1)(1)(11)(11)(1)(1)(x F x f x f x f x f x f x f x F -=+--=+-=-+--=-，-------- 3分 所以，)(x F y =是奇函数．----------------------------------------------------------------------- 2分 由已知，)(x f y =在定义域R 上是增函数，所以，对任意的R x x ∈21,，21x x <，都有0)()(21<-x f x f ．又0))(1))((1()()()(12)(12)()(21122121>++-=+-+=-x f x f x f x f x f x f x F x F ．------------3分所以，)(x F y =在定义域R 上是减函数．-----------------------------------------------------2分】56. 【2014年奉贤区二模文第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x=-， ()f x 在[1,6]上是增函数. 2分 在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)0f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分 】57. 【2014年奉贤区二模理第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）当()3,1∈a 时，求证函数()f x 存在反函数．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数. 证明：当1a =时，9()f x x x =-， ()f x 在[1,6]上是增函数.2分在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数.6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数12分所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应，所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分】58. 【2014年普陀区二模文第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g(1)求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；(2)集合}2|)(|)](1[|{≥⋅+=x f x f x A ，对于任意的A x ∈，不等式0)()(21≥-+-x g m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案：（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(log )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【文科】2|12|22|)(|)](1[≥-⋅⇔≥⋅+xxx f x f ①若0≥x ，解得1≥x ，所以1≥x ； ②若0<x ，解得φ∈x .所以),1[+∞=A 由)1(log )(21+=-x x f （1->x ）得，x m x x g m x f 221log )1(log 2)()(2≥++⇔≥+-(1≥x )所以不等式1-+-≥x x m (1≥x )恒成立，函数143)21(12-≥---=-+-=x x x y ，所以1-≥m 】59. 【2014年普陀区二模理第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g .（1）求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.【答案：【解】（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(l o g )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【理科】由)1(log )(21+=-x x f（1->x ）得，x m x x g m x f x F 221log )1(log 2)()(2)(-++=-+=-…8分)(x F x m x 22)]1([log ++=)]1(2)1([log 22++++=m xm x 在区间),1[+∞上是单调递增函数需满足：当1≥x 时，01>++m x ，即2->m ……10分),1[)|,1[|+∞⊆+∞+m …12分，即021|1|≤≤-⇔≤+m m ，…13分，所以02≤<-m …14分】60. 【2014年崇明二模文理第21题】设121()log 1axf x x x -=+-为奇函数，a 为常数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由； (3)若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案：（1）121()log 1axf x x x -=+- 为奇函数，()()0f x f x ∴-+=对定义域内的任意x 都成立，112211log log 011ax axx x x x +-∴-++=---，11111ax ax x x +-∴⋅=--- ， 解，得1a =-或1a =（舍去）. （2）由（1）知：121()log 1xf x x x +=+- ， 任取12,(1,)x x ∈+∞ ，设12x x < ，则：1221121211011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>----， 121211011x x x x ++∴>>-- ，1211122211log log 11x x x x ++∴<-- 121112122211log log 11x x x x x x ++∴+<+--，12()()f x f x ∴<()f x ∴ 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数.（3）令1()()(),[3,4]2xg x f x x =-∈ ，1()[3,4]2x y x =∈ 在 上是减函数，∴由（2）知，1()()(),[3,4]2x g x f x x =-∈是增函数，min 15()(3)8g x g ∴== ，对于区间[3,4] 上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+ 恒成立，即()m g x < 恒成立， 158m ∴< .】61. 【2014年四区二模文第23题】本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】62. 【2014年四区二模理第22题】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 （理）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增.由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】63. 【2014年虹口区二模文第23题理22题】函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数． 【答案：解：（1）．222x x x=≥ ，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………5分（2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………9分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………10分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………12分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………14分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………16分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………18分】64. 【2014年浦东新区二模文第22题】（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x M f x x x M∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．【答案 解：（1）1212x-=，解得1x =-或23log 2x =， 210x -=，解得0x =，……………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2. …………………4分 （2）()2sin(2())2sin(2)84g x x x ππ=++=++6分11()0sin(2)4224g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,24x k k Z ππ=-∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为6π和56π， …………………………………………8分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，则b a -的最小值为 511007100666πππ-=．…………………………………………………………10分 （3）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩ …………………………………………………12分当x A B ∈ ，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………13分当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-，……………………………………………………14分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………15分所以值域区间长度总和为2315。

静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试数学试卷文科（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .（文）若),(ππ-∈x ，则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 9．（文）满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（文）在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个顶点与抛物线24y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .12． （文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．13.（文）若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值为 ． 14． （文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都第10题图有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.（文） 不等式12x x->的解集为……………………………………………（ ）. )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118. （文）已知向量，满足：1||||==，且||3||k k -=+（0>k ）．则向量与向量的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，求cos θ的值．1A 1D C 1 Q1A 正视图侧视图俯视图20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（文）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（１）当2=c 时，求n a ； （２）当1=c 时，求2014a 的值；(第20题图)（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 文1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；文A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴. （文）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，故1AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）．由题设知2222111126AQ A B B Q =+=+=，12AC = 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，222223110QC QE EC =+=+=．由余弦定理，得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠=⋅== 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN ==2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ．因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . （文）（1）46)1(62-=-+=n n a n （2） 21=a ，82=a ，63=a ，24-=a ，85-=a ，66-=a ，27=a ，88=a ，69=a ，210-=a ，811-=a ， 612-=a ，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123，n n n n a a a a =-==++++3336．……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=，所以242014-==a a ．（3）假设存在常数c ，使n n a a =+3恒成立．由n n n ca a a =+-+11 ○1，及n n a a =+3，有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n ． 所以01=-+n n a a ，或01=+c ．当*N n ∈，01=-+n n a a 时，数列｛n a ｝为常数数列，不满足要求．由01=+c 得1-=c ，于是n n n a a a -=+-+11，即对于2≥∈n N n 且，都有11-+--=n n n a a a ，所以 n n n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,，从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n ．所以存在常数1-=c ，使n n a a =+3恒成立．23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ； （2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、 1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x xx p x p ， 所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）同理科22（3）．。

上海市黄浦区2014届高三下学期4月二模考试数学 文（含解析）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案】(1,1)- 【解析】由1+0111x x x>-<<-得，所以函数x xy -+=11log 2的定义域是(1,1)-。

2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．【答案】p【解析】x x y 22sin cos -=cos 2x =，所以22T ππ==。

3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．【答案】4a <-【解析】易知集合{}|0,R A x x a x =+≥∈ {}|x x a =≥-，{}||1|3,R B x x x =-≤∈{}|24x x =-≤≤．所以{}|u C A x x a =<-，因为U ()[2,4]C A B =-，所以4a ->，所以实数a 的取值范围是4a <-。

4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ． 【答案】2【解析】因为等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，所以34n a n =-，23522n S n n =-，所以n n n S na∞→lim 34lim 23522n n n →∞-==-。

2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．=故答案为：2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．z+=4．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=）的焦点与椭圆+解：由题意椭圆++=1得=牙齿健康状况2y=y=≥=2，=±27．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）==3==arcsinarcsin9．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（﹣∞，x综合得出x+x+≥10．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．，由此能求出（（﹣，q=q=故答案为：11．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．﹣，若满足＜，y=的解集为：（12．（4分）（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．x+==2k+=2k+sinx+sinx+cosx=x+=x+=2k，或x+，x=，+=故答案为：．选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．天共有种情况，，故答案为：．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．通过曲线方程判断曲线特征，通过+，说明﹣+=，∈则17．（5分）（2014•上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P i（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）∴=），），），），==∴=0=2，=4=0，，=4∴（18．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）k=，19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3=20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；的位置可得=，整理可得=，整理可得21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC 长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？，tan，，由正弦定理得a=≈22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为）联立．当≥，﹣][，23．（18分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若{a n}是等比数列，且a m=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a n}的公比；）由题意可得：，，由已知可得，，由于，可得，可得，由已知可得，解出即可．）由题意可得：；，由已知可得，，又．因此，1000===，由已知可得，时，不等式即，．．。

2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每空4分）1．（4分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为．2．（4分）设z=a+i（a∈R+，i是虚数单位），满足||=，则a=．3．（4分）如果函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），则（a+a2+…+a n）=．4．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．5．（4分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为（答案用数值表示）．7．（4分）将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有种不同的取法．8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．（4分）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值等于．10．（4分）将函数f（x）=的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．11．（4分）已知抛物线y2=20x焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且双曲线过点（，3），则该双曲线的渐近线方程为．12．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3]时，f（x）=②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）﹣1的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，则x1+x2+x3=．13．（4分）已知，{a n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N*，都有b n≥b8，成立，则a的取值范围是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC 的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定16．（5分）设数列{a n}（）A．若a n2=4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2=a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n=2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3=a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列17．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则18．（5分）已知α、β∈R，且设p：α＞β，设q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D 是AB的中点．四面体B1﹣BCD的体积是2，求异面直线DB1与CC1所成的角．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．21．（14分）某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．22．（16分）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．（1）求动点A的轨迹Γ的方程；（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．①求△AF1F2的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．23．（18分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（1）判断下列函数：①y=x2；②y=lgx中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：函数g（x）=2x+3是等比源函数；（3）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论．2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每空4分）1．（4分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为{x|x＞2}．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣4＞0，解得x＞2，∴函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决本题的关键，比较基础．2．（4分）设z=a+i（a∈R+，i是虚数单位），满足||=，则a=1．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z=a+i，∴===．又满足||=，∴=，化为a2=1，又a＞0．∴a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．（4分）如果函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），则（a+a2+…+a n）=1．【考点】4H：对数的运算性质；6F：极限及其运算．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由对数函数的性质求出a=，再由等比数列前n项和公式求出a+a2+…+a n=1﹣（）n，由此能求出（a+a2+…+a n）的值．【解答】解：∵函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），∴=1，解得a=，∴a+a2+…+a n===1﹣（）n，∴（a+a2+…+a n）==1．故答案为：1．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和等比数列的知识点的合理运用．4．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出S=﹣12+22﹣32+42的值，代入运算可得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：10【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．5．（4分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【考点】J1：圆的标准方程；J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题．【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．【解答】解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为256（答案用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意可得最大，可得n的值，再根据各项的二项式系数之和为2n，计算求得结果．【解答】解：由题意可得最大，故有n=8，则各项的二项式系数之和为28=256，故答案为：256．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．7．（4分）将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有195种不同的取法．【考点】D3：计数原理的应用．【专题】12：应用题；5O：排列组合．【分析】从10个球中取出4个使总分不低于5分的取法有4红或3红1白或2红2白或1红3白，用组合数写出四种不同情况的表示式，计算出最后结果．【解答】解：∵取出4个球总分不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白．∴有C44+C43C61+C42C62+C41C63=195种．故答案为：195．【点评】本题考查分类加法原理，解题的关键是对于分类要做到不重不漏，准确的表示出结果．8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值等于2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：设z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B（2，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=2∴目标函数z=x﹣2y的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．10．（4分）将函数f（x）=的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；O1：二阶矩阵．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到的函数为y=2sin（x+m ﹣），再根据所得图象对应的函数为偶函数，则m﹣=kπ+，k∈z，由此求得m的最小值．【解答】解：把函数f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），得到函数y=2sin（x+m﹣）的图象，又所得图象对应的函数为偶函数，则m﹣=kπ+，k∈z，即m=kπ+，k∈z，故m的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．11．（4分）已知抛物线y2=20x焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且双曲线过点（，3），则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】K7：抛物线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线的方程求得焦点即双曲线的右焦点的坐标，进而求得a和b的关系式，把点（，3），代入双曲线方程求得a和b的值，最后求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：依题意可知，解得：a=3，b=4∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线的共同特征，考查了学生对双曲线基础知识的整体把握和灵活运用．12．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3]时，f（x）=②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）﹣1的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，则x1+x2+x3=14．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据已知，可得x1=2，x2+x3=12，代入可得x1+x2+x3的值，当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由∈[1，2]，可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．【解答】解：∵①当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]；②f（3x）=3f（x）．∴当≤x＜1时，则1≤3x＜3，由f（x）=f（3x）可知：f（x）∈[0，]．同理，当x∈（0，）时，0≤f（x）＜1，当x∈[3，6]时，由∈[1，2]，可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由∈（2，3），可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．x1=2，x2+x3=12，∴x1+x2+x3=14．故答案为：14【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性，属于中档题．13．（4分）已知，{a n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N*，都有b n≥b8，成立，则a的取值范围是（﹣8，﹣7）．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题．【分析】先根据题意求出数列{a n}的通项公式，然后求出b n的表达式，再根据不等式的性质解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：{a n}是首项为a公差为1的等差数列，∴数列{a n}的通项公式为a n=a+n﹣1，∵=1+=1+．∵b n≥b8∴1+≥1+，即≥，数列{a n}是递增数列，且公差为1，∴a8=a+8﹣1＜0，a9=a+9﹣1＞0，此时＜0，（n≥8）当0＜n＜8时也有a n＜a8，也有即≥，解得﹣8＜a＜﹣7，故答案为（﹣8，﹣7）．【点评】本题考查了等差数列的基本性质和不等式的解法，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．【考点】12：元素与集合关系的判断；8B：数列的应用；F4：进行简单的合情推理．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣1﹣…﹣a2﹣a1，由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为【点评】本题考查了等差数列的求和公式，归纳推理，元素与集合关系，考查了探究意识与创新解答问题的能力，本题难度较高，不易入手，惟有耐心细致的列举几个特殊例子才能发现解答本题的规律，此类探究型题可以培养出创新思维的能力二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC 的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【考点】GZ：三角形的形状判断．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】依题意，可知+=；利用向量的数量积即可判断三角形ABC的形状．【解答】解：∵=，=，∴+=+=；∵•（+）＜0，∴•＜0，即||•||•cos∠BAC＜0，∵||•||＞0，∴cos∠BAC＜0，即∠BAC＞90°．∴三角形ABC为钝角三角形．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，+=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．16．（5分）设数列{a n}（）A．若a n2=4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2=a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n=2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3=a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的概念，通过特例法对A，B，C，D四个选项逐一判断排除即可．【解答】解：A中，=4n，n∈N*，∴a n=±2n，例如2，22，﹣23，﹣24，25，26，﹣27，﹣28，…不是等比数列，故A错误；B中，若a n=0，满足a n•a n+2=，n∈N*，但{a n}不是等比数列，故B错误；同理也排除D；对于C，∵a m•a n=2m+n，m，n∈N*，∴==2，即=2，∴{a n}为等比数列，故C正确．故选：C．【点评】本题考查等比数列的概念与性质，考查举例排除法的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，分别判断是否满足基本不等式成立的条件，然后做出判断即可．【解答】解：A.，当且仅当，即1+sin⁡2x=2，sin⁡2x=1取等号，所以A错误．B．当a＜0时，，当且仅当﹣a=，即a=﹣2时取等号，所以B错误．C．当0＜a＜1，0＜b＜1时，lga＜0．lgb＜0，所以C错误．D．若a＜0，b＜0，则，所以，当且仅当a=b时取等号，所以D正确．故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，主要基本不等式成立的前提：一正二定三相等，缺一不可．18．（5分）已知α、β∈R，且设p：α＞β，设q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q，利用充要条件的定义判断出p是q 的充要条件．【解答】解：q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα即α﹣β＞sin（β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β故选：A．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D 是AB的中点．四面体B1﹣BCD的体积是2，求异面直线DB1与CC1所成的角．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】利用平行线法找到异面直线所成的角，∠DB1B即异面直线DB1与CC1所成的角，然后放在三角形中计算．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1∥BB1所以∠DB1B为异面直线DB1与CC1所成的角（或其补角）（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中=S△BCD•B1B==2得BB1=2 （7分）由点D是AB的中点得DB=直三棱柱ABC﹣A1B1C1中B1B⊥BDRt△B1BD中tan∠DB1B===所以∠DB1B=arctan（或∠DB1B=arccos）所以异面直线DB1与BC1所成的角为arctan（或arccos）（12分）【点评】本题考查异面直线所成的角的计算，先作后求是基本方法．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；（2）由a∈（1，6）知，f（x）=，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得f（x）的最大值M（a）．【解答】解：（1）当a=1，x∈[1，6]时，f（x）为增函数，证明：∵f（x）=，任取x1，x2∈[1，6]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==＜0，∴f（x）在[1，6]是增函数；（2）∵a∈（1，6），∴f（x）=，①当1＜a＜3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，∴当x=6时，f（x）取得最大值，②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，而f（3）=2a﹣6，f（6）=，当3＜a≤时，2a﹣6≤，当x=6时，f（x）取得最大值为．当≤a＜6时，2a﹣6＞，当x=3时，f（x）取得最大值为2a﹣6．综上得，M（a）=【点评】本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题，也考查了分类讨论思想与化归思想．21．（14分）某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】作出示意图，连接AC，在△ABC中，由余弦定理求出AC，在△ACD 中，由余弦定理求出AD，从而可求∠CAD，即可得出结论．【解答】解：示意图，如图所示，（4分）连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+（180°﹣110°）=120°，又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°由余弦定理可得AC==3（7分）在△ACD中，∠ACD=360°﹣140°﹣（70°+30°）=120°，CD=3+9．由余弦定理得AD==（km）．（10分）由正弦定理得sin∠CAD==（12分）∴∠CAD=45°，于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°，（13分）∴从A到D的方位角是125°，距离为km．（14分）【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（16分）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．（1）求动点A的轨迹Γ的方程；（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．①求△AF1F2的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2，可得轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程；（2）①当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，即可求△AF1F2的面积的最大值；②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称即可．【解答】解：（1）因为4＞2，所以轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程为；（2）①由题意，|F1F2|=2，当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，∴△AF1F2的面积的最大值为•2•1=；②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，下面证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．假设存在这样的两个不同的点S（x3，y3），T（x4，y4），设ST的中点为H（m，n），则k OH•k ST=﹣，k OM k AC=﹣，∴k OH=k OM=﹣，∴直线m过原点，斜率为﹣≠﹣∴假设不成立，∴AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（1）判断下列函数：①y=x2；②y=lgx中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：函数g（x）=2x+3是等比源函数；（3）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论．【考点】87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）①利用等比数列的性质和等比源函数的概率推导出y=x2，y=lgx都是等比源函数．（2）由g（x）=2x+3，推导出g（1）=5，g（6）=15，g（21）=45，由5，15，45成等比数列，得到函数g（x）=2x+3是等比源函数．（3）函数f（x）=2x+1不是等比源函数．例用反证法能证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数．【解答】解：（1）①∵12，22，42，82构成等比数列，∴y=x2是等比源函数．②∵lg10，lg100，lg10000构成等比数列，∴y=lgx是等比源函数．（4分）（2）证明：∵g（x）=2x+3，∴g（1）=2+3=5，g（6）=12+3=15，g（21）=42+3=45，∵5，15，45成等比数列∴函数g（x）=2x+3是等比源函数．（10分）（3）函数f（x）=2x+1不是等比源函数．证明如下：假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则（2n+1）2=（2m+1）（2k+1），整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k，等式两边同除以2m，得22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1不可能成立，∴假设不成立，∴函数f（x）=2x+1不是等比源函数．（18分）【点评】本题考查等比源函数的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．。

2014 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空（本大共14 ，分 56 分）考生在答相号的空格内直接填写果，每个空格填得 4 分，否一律得零分。

1．（4 分）函数 y=1 2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4 分）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数位，（ z+）? =．．（分）常数a∈R，函数 f（ x ）=|x 1|+|x 2 a|，若 f（2）=1， f（1）=．3 44．（4 分）若抛物 y2=2px 的焦点与的右焦点重合，抛物的准方程．5．（4 分）某校高一、高二、高三分有学生1600 名， 1200 名， 800 名．了解校高中学生的牙健康状况，按各年的学生数行分抽，若高三抽取20 名学生，高一、高二共需抽取的学生数．6．（4 分）若数 x， y 足 xy=1， x2+2y2的最小．7．（4 分）若的面是底面的3倍，其母与所成角的大小（果用反三角函数表示）8．（4 分）在方体中割去两个小方体后的几何体的三如所示，切割掉的两个小方体的体之和等于．9．（4 分） f （x）=，若f（0）是f（x）的最小， a 的取范．10．（ 4 分）无等比数列nq，若1 3 4n），{a } 的公比 a =（ a +a +⋯ aq=．111．（4 分）若 f（x）=，足f（x）＜0的x的取范是．12．（4 分）方程 sinx+ cosx=1 在区 [0，2π] 上的所有解的和等于．13．（ 4 分）化安全意，某商在未来的10 天中随机 3 天行急疏散演，的 3 天恰好 3 天的概率是（果用最分数表示）．14．（ 4 分）已知曲 C：x=，直l：x=6，若于点A（m，0），存在C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+ = ， m 的取范．二、（共 4 ，分 20 分）每有且只有一个正确答案，得5 分，否一律得零分15．（ 5 分） a， b∈ R，“ a+b＞ 4”是“ a＞2 且 b＞2”的（）A ．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件．（分）已知互异的复数，足ab≠ 0，集合 {a，b}={a 2，b2}，（）16 5a b a+b=A ．2B．1C． 0D． 1 17．（5 分）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形， AB 是大正方形的一条，P（i i=1，2，⋯，7）是小正方形的其余点，?（i=1，2，⋯，7）的不同的个数（）A ．7B．5C． 3D． 118．（ 5 分）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2， b2）是直 y=kx+1（k 常数）上两个不同的点，关于x 和 y 的方程的解的情况是（）A ．无 k，P1， P2如何，是无解B．无 k，P1， P2如何，有唯一解C．存在 k，P1， P2，使之恰有两解2D．存在 k，P1， P2，使之有无穷多解三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC ，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△ P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V ．20．（ 14 分）设常数 a≥0，函数 f（ x） =．（1）若 a=4，求函数 y=f （x）的反函数 y=f﹣1（ x）；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f （x）的奇偶性，并说明理由．21．（ 14 分）如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A 、 B 在同一水平面上，从A 和B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥ 2β，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后， CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α =38.12°，β=18.45°，求CD 的长（结果精确到 0.01 米）．322．（ 16 分）在平面直角坐系xOy 中，于直l：ax+by+c=0和点1（x1，Py1），P2（ x2， y2），η =（ ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜ 0，称点P1，P2被直 l 分隔，若曲 C 与直 l 没有公共点，且曲 C 上存在点 P1、 P2被直 l 分隔，称直 l 曲 C 的一条分隔．（ 1）求：点 A （1，2），B（ 1，0）被直 x+y 1=0 分隔；2 2（2）若直 y=kx 是曲 x 4y =1 的分隔，求数 k 的取范；（3）点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 的距离之 1，点 M 的迹E，求 E 的方程，并明 y 曲 E 的分隔．23．（ 18 分）已知数列 {a n} 足a n≤a n+1≤ 3a n， n∈ N*，a1=1．（1）若 a2=2，a3=x， a4=9，求 x 的取范；（2）若{a n} 是等比数列，且 a m=，求正整数m的最小，以及m取最小相 {a n } 的公比；（ 3）若 a1， a2，⋯ a100成等差数列，求数列a1， a2，⋯ a100的公差的取范．42014 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。

2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程211log 1log 2x x ++=的解是 ． 2. 已知函数11()13xf x -=，则1(4)f -= ． 3. 若实数,x y 满足1xy =，则224y x +的最小值为 ． 4. 设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ． 5. 已知,x R ∈的值为 ．6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 ．7. 若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 ． 8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则12lim(32)nn n nS n S →+∞+=+ ．9. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，则等级为50级需要的天数50a =_________．10. 若关于x 的方程sin 2cos 2x x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则k 的取值范围为 ．11. 某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是 ．12. 给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．213. 若集合{}220,x M x x x x N λ*=+-≥∈,若集合M 中的元素个数为4,则实数λ的取值范围为 ．14.对于非空实数集A ，定义{},A z x A z x *=∈≥对任意。

设非空实数集(],1C D ⊂⊆-∞≠。

现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有;D C **⊆ （2）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有C D *≠∅； （3）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有CD *=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有a b D *+∈．以上命题正确的是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分. 15．集合{}20,()()01x A xB x x a x b x ⎧-⎫=<=--<⎨⎬+⎩⎭，若“2a =-”是“A B ≠∅I ”的充分条件，则b 的取值范围是（ ）（A ）1b <- （B ）1b >- （C ）1b ≥- （D ）12b -<< 16.函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++则函数2014()f x 是（ ） （A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数 17.若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->．则下列结论正确的是( ) （A ）αβ> （B ）0αβ+> （C ）αβ< （D ）22αβ>18.若P 是以12,F F 为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足M 的轨迹是曲线C 的一部分,则曲线C 是( )（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线（D ）抛物线三、解答题(本大题共5小题，满分74分) 19.(本题满分12分)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？2014年高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷 第 3 页 共 10 页20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24(,)f x ax bx a a b R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．21.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分） 已知a 、b 、c 为正实数，()0,θπ∈．（1）当a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C．若1a c ==，且060A ∠=．求b 的长；（2）若2222cos a b c bc θ=+-．试证明长为a 、b 、c 的线段能构成三角形，而且边a 的对角为θ．422.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线24y x =．（1）若圆心在抛物线24y x =上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线10x +=相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线24y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若4FM FN =-,求直线MN 的斜率；（3）若过F 点且相互垂直的两条直线12,l l ,抛物线与1l 交于点12,,P P 与2l 交于点12,Q Q ． 证明：无论如何取直线12,l l ,都有121211PP Q Q +为一常数．23.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题①满分5分，第二小题②满分9分）在数列{}n a 中，11,a =且对任意的21,221,,k k k k N a a a *-+∈成等比数列，其公比为k q ，（1）若135212(),k k q k N a a a a *-=∈++++求L ；（2）若对任意的22122,,,k k k k N a a a *++∈成等差数列，其公差为1,1k k k d b q =-设． ①求证：{}n b 成等差数列，并指出其公差； ②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D ．2014年高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷 第 5 页 共 10 页数学试卷答案（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程211log 1log 2x x ++=的解是 {}1 ．2. 已知函数11()13xf x -=，则1(4)f -= 1 ． 3. 若实数,x y 满足1xy =，则224y x +的最小值为 4 ． 4. 设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z =5.已知,x R ∈的值为 0 ．6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 3 ．（文）若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积 为 4 ． 7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12lim(32)nn n nS n S →+∞+=+ 2 ．8. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，则等级为50级需要的天数50a =____2700______。

上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷2014年4月一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± . 3.函数()31cos 4sin x x x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___. 7.，则球的体积为 __323π__ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.989.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L __13-__．10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =_3__.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__1 ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则ABC ∆的周长为_____6+π13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为22. 14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( D )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D ）2 17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ B ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离. 解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

2014年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•浦东新区二模）下列代数式中，属于单项式的是（）A． a+1 B．C．D．考点：单项式．分析：根据单项式的定义逐个判断即可．解答：解：A、不是单项式，故本选项错误；B、不是单项式，故本选项错误；C、不是单项式，故本选项错误；D、是单项式，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了对单项式定义的理解和运用，注意：单项式表示数与字母的积，单独一个数或字母也是单项式．2．（4分）（2014•浦东新区二模）数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（）A． 2，2 B．2，4 C．3，2 D．3，4考点：标准差；加权平均数．分析：根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，从而得出标准差．解答：解：这组数据1，3，7，1，3，3的平均数是：（1+3+7+1+3+3）=3；方差S2=[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（7﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]=4，则标准差是2．故选C．点评：此题主要考查了平均数，方差和标准差，用到的知识点是平均数、方差和标准差的计算公式，关键是根据题意和公式列出算式．3．（4分）（2014•浦东新区二模）已知抛物线y=﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A． y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x=﹣1，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2＜0．解答：解：∵y=﹣（x+1）2，∴a=﹣1＜0，有最大值为0，∴抛物线开口向下，∵抛物线y=﹣（x+1）2对称轴为直线x=﹣1，而x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2＜0．故选A．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．4．（4分）（2014•浦东新区二模）某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为（）A． a（1+10%）万吨B．万吨C．a（1﹣10%）万吨D．万吨考点：列代数式．分析：根据2013年生产大米比2012年大米生产总量增加了10%，可知2012年大米生产总量×（1+10%）=2013年大米生产总量，由此列式即可．解答：解：a÷（1+10%）=（万吨）．故选：B．点评：此题考查列代数式，关键是找出题目蕴含的数量关系：2012年大米生产总量×（1+10%）=2013年大米生产总量．5．（4分）（2014•浦东新区二模）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD=∠CDB B．∠DAB=∠BCD C．∠ABC=∠CDA D．∠DAC=∠BCA考点：平行四边形的判定．分析：利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案．解答：解：由∠ADB=∠CBD科研得到AD∥BC，∴A、∠ABD=∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD=∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；C、能进一步得到∠CDB=∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选D．点评：本题考查了平行四边形的判定．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．（4分）（2014•浦东新区二模）如果A、B分别是⊙O1、⊙O2上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为⊙O1、⊙O2的“远距”．已知，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，当两圆相交时，⊙O1、⊙O2的“远距”可能是（）A． 3 B．4C．5D．6考点：圆与圆的位置关系．专题：新定义．分析：首先弄清缘聚的定义，然后结合两圆的圆心距的取值范围求解．解答：解：∵⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，∴圆心距d的取值范围为：1＜d＜3，∴⊙O1、⊙O2的“远距”的取值范围为：4＜远距＜6，故选C．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是弄清“远距的定义”．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•浦东新区二模）计算：|﹣π|=π﹣．考点：实数的性质．分析：根据绝对值是大数减小数，可得答案．解答：解：|﹣π|=，故答案为：．点评：本题考查了实数的性质，绝对值是非负数，可用大数减小数．8．（4分）（2014•浦东新区二模）化简：=．考点：约分．专题：计算题．分析：找出分式分子分母的公因式，约分即可得到结果．解答：解：原式==．故答案为：．点评：此题考查了约分，找出分子分母的公因式是约分的关键．9．（4分）（2014•浦东新区二模）计算：﹣=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式=﹣==．故答案为：．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（4分）（2014•浦东新区二模）正八边形的中心角等于45度．考点：正多边形和圆．分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．解答：解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．点评：本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．11．（4分）（2014•浦东新区二模）如果关于x的方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为±6．考点：根的判别式．分析：若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．解答：解：∵方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×3×3=0，解得m=±6，故答案为±6．点评：考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．（4分）（2014•浦东新区二模）请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是圆．考点：轴对称图形．专题：开放型．分析：把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这样的图形为轴对称图形，写出一个轴对称图形即可．解答：解：这个图形可以是圆．故答案为：圆．点评：本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．13．（4分）（2014•浦东新区二模）如果关于x的方程bx=x+1有解，那么b的取值范围为b≠1．考点：一元一次方程的解．分析：移项，合并同类项，当x的系数不等于0时，方程有解，据此即可求解．解答：解：移项，得：bx﹣x=1，即（b﹣1）x=1，当b﹣1≠0时，即b≠1时，方程有解．故答案是：b≠1．点评：此题考查的是一元一次方程的解法，理解方程有解的条件是关键．14．（4分）（2014•浦东新区二模）在▱ABCD中，已知=，=，则用向量、表示向量为+．考点：*平面向量．分析：根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得出==，==，从而可表示出向量．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴==，==，∴=+=+．故答案为：+．点评：本题考查了平面向量的知识，注意掌握向量的加减，平行四边形对角线互相平分的性质．15．（4分）（2014•浦东新区二模）把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是．考点：概率公式．分析：由有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，卡片数字是素数的有：2，3，5；直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，卡片数字是素数的有：2，3，5；∴从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（4分）（2014•浦东新区二模）为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是0.62．考点：频数（率）分布直方图．分析：根据被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，求出次数不小于30次的人数，再根据直方图求出在40～45次之间的频数，然后根据频率公式：频率=频数÷总数，即可求解．解答：解：∵被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，∴次数不小于30次的人数是50×90%=45（人），∴在40～45次之间的频数是：45﹣3﹣5﹣6=31，∴仰卧起坐的次数在40～45的频率是=0.62；故答案是：0.62．点评：本题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，从图中获得必要的信息，用到的知识点是频率公式：频率=频数÷总数．17．（4分）（2014•浦东新区二模）如图，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在x轴的正半轴上，且△OAB是面积为的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是y=﹣．考点：等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：首先根据题意得出×|2x•y|=，进而得出xy=﹣，即可得出k的值．解答：解：过点A作AC⊥OB于点C，设A（x，y），∵△OAB是面积为的等边三角形，∴×|2x•y|=，∴|xy|=，∴xy=﹣，∴这个反比例函数的解析式是：y=﹣．故答案为：y=﹣．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法和反比例函数图象上点的坐标特征，得出xy=﹣是解题关键．18．（4分）（2014•浦东新区二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，cosA=，如果将△ABC绕着点C旋转至△A′B′C的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与AC相交于点H，那么线段CH的长等于﹣1．考点：旋转的性质．分析：根据题意画出图形，进而利用旋转的性质以及锐角三角函数关系和等腰直角三角形求出三角形各边长，再利用三角形面积求出即可．解答：解：过点B′作B′F⊥AC于点F，A′D⊥AC于点D，∵∠ACB=90°，点B′落在∠ACB的角平分线上，∴∠BCB′=∠B′CA=ACA′=45°，∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形，∵AC=，cosA=，∴==，解得：AB=，∴BC=，∴B′C=，∴B′F=×=，A′D=×CA′=1，∴S△A′CB′=S△CHB′+S△CHA′=××=××CH+×1×CH，解得：CH=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用S△A′CB′=S△CHB′+S△CHA′求出是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•浦东新区二模）计算：（）2﹣5+（）﹣1﹣．考点：实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用指数幂法则变形，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项分母有理化，计算即可得到结果．解答：解：原式=5﹣+﹣=6﹣．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2014•浦东新区二模）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．解答：解：由①得2x﹣7＜3﹣3x，化简得5x＜10，解得：x＜2．由②得4x+9≥3﹣2x，化简得6x≥﹣6，解得：x≥﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．在数轴上表示出来为：点评：本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．（10分）（2014•浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．解答：解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，∵EO=5cm，OH=4cm，∴EH===3cm，∵OH过圆心O，OH⊥EF，∴EF=2EH=6cm．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．22．（10分）（2014•浦东新区二模）甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距离S （千米）与时间t（分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？（2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？（3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？考点：一次函数的应用．分析：（1）分别根据速度=路程÷时间列式计算即可得解；（2）方法一：观察图形可知，第一次相遇时，甲车停止，然后时间=路程÷速度列式计算即可得解；方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为s=kt+b（k≠0），利用待定系数法求出乙函数解析式，再令s=20求出相应的t的值，然后求解即可；（3）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可得解．解答：解：（1）v甲==（千米/分钟），所以，甲车的速度是千米/每分钟；v乙==1（千米/分钟），所以，乙车的速度是1千米/每分钟；（2）方法一：∵t乙==20（分钟），∴乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为：s=kt+b（k≠0），将点（10，0）（70，60）代入得：，解得，，所以，s=t﹣10，当s=20时，解得t=30，∵甲车出发10分钟后乙车才出发，∴30﹣10=20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；（3）∵t=（60﹣20）÷=30（分钟），∵70﹣30﹣15=25（分钟），∴甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程是解题的关键．23．（12分）（2014•浦东新区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A 作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF．（1）求证：BE=BF；（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：∠AEB=∠DEO．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，证△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；（2）根据正方形性质求出∠ADB=∠CDB，证△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根据△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，∴∠BAH+∠HAE=90°，∵AF⊥BE，∴∠AHB=90°，即∠BAH+∠ABH=90°，∴∠ABH=∠HAE，又∵∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴=，∴AE=DF，∵点E是边AD的中点，∴点F是边DC的中点，∴CF=AE，在Rt△ABE与Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE=BF．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，在△DEO与△DFO中，∴△DEO≌△DFO（SAS），∴∠DEO=∠DFO，∵△ABE∽△DAF，∴∠AEB=∠DFA，∴∠AEB=∠DEO．点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．24．（12分）（2014•浦东新区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA=2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据与y轴的交点C的坐标（0，﹣3）就可以求出OC的值及c的值，进而求出OA的值及A的坐标，由待定系数法就可以求出b的值而求出解析式及定点坐标；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系数法求出直线AC的解析式，就可以求出点N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，从而求出AE的值就可以得出结论；（3）如图2，分类讨论，当D点在AC上方时，根据角之间的关系就可以求出∠D1AH=∠CAM，当D点在AC下方时，∠MAC=∠AD2M就可以求出点D的坐标．解答：解：（1）∵C（0，﹣3），∴OC=3．y=x2+bx﹣3．∵OA=2OC，∴OA=6．∵a=＞0，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，﹣3）．∴A（6，0）．∴0=36+6b﹣3，∴b=﹣1．∴y=x2﹣x﹣3，∴y=（x﹣2）2﹣4，∴M（2，﹣4）．答：抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3，M的坐标为（2，﹣4）；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．∴∠AHM=∠NEM=90°．在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得AM=4，∴∠AMH=∠HAM=45°．设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AC的表达式为y=x﹣3．当x=2时，y=﹣2，∴N（2，﹣2）．∴MN=2．∵∠NEM=90°，∠NME=45°，∴∠MNE=∠NME=45°，∴NE=ME．在Rt△MNE中，∴NE2+ME2=NM2，∴ME=NE=．∴AE=AM﹣ME=3在Rt△AEN中，tan∠MAC=．答：tan∠MAC=；（3）如图2，①当D点在AC上方时，∵∠CAD1=∠D1AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，∴∠D1AH=∠CAM，∴tan∠D1AH=tan∠MAC=．∵点D1在抛物线的对称轴直线x=2上，∴D1H⊥AH，∴AH=4．在Rt△AHD1中，D1H=AH•tan∠D1AH=4×=．∴D1（2，）；②当D点在AC下方时，∵∠D2AC=∠D2AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D2AM+∠AD2M=45°，∴∠MAC=∠AD2M．∴tan∠AD2H=tan∠MAC=．在Rt△D2AH中，D2H=．∴D2（2，﹣12）．综上所述：D1（2，）；D2（2，﹣12）．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点．25．（14分）（2014•浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ=90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．考点：相似形综合题．分析：（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB==，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD﹣DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出=，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x 的函数解析式并得出它的定义域．解答：解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心，∴BD=DC=BC，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∵sinB==，∴=．∵BC﹣AB=3，∴AB=15，BC=18．∴AD=12．∵G是△ABC的重心，∴AG=AD=8．（2）在Rt△MDG，∵∠GMD+∠MGD=90°，同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B=90°，∴∠MGD=∠B．∴sin∠MGD=sinB=，在Rt△MDG中，∵DG=AD=4，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=，在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．∵∠QCM=∠CDA+∠DAC=90°+∠DAC，又∵∠QGA=∠APQ+∠BAD=90°+∠BAD，∴∠QCM=∠QGA，又∵∠CQM=∠GQA，∴△QCM∽△QGA．∴==．（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF．∵BE∥AD，∴=，即=，∴BE=．同理可得：=，即=，∴CF=．∵BE∥AD∥CF，BD=CD，∴EG=FG．∴CE+BE=2GD，即+=8，∴y=，（0≤x≤）．点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等，关键是根据题意，画出图形，做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．。

2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知i为虚数单位，计算：=．2．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣1≤0，x∈R}，则A ∩B=．3．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．4．（4分）在（1+x）6﹣（1+x）5的展开式中，含x3项的系数是．5．（4分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．6．（4分）已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，若⊥，则θ=．7．（4分）对于任意a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=的反函数f﹣1（x）的图象经过的定点的坐标是．8．（4分）已知函数f（x）=，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为．9．（4分）已知tanα=﹣，则cos2α=．10．（4分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是米．11．（4分）从集合{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，从集合{1，3，5}中随机取一个数b，则“事件a≥b”发生的概率是．12．（4分）已知实数a，b满足a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值为．13．（4分）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是．14．（4分）已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），直线y=k n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则（k12+k22+…+k n2）=．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上16．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D．“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件17．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），方向向量为=（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A．2x±y=0B．x±2y=0C．x±y=0D．x±y=0 18．（5分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），则f（2014）的值等于（）A．2B．3C．4D．0三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．20．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面PDAQ，AB=AQ=DP．（1）求证：棱锥Q﹣ABCD与棱锥P﹣DCQ的体积相等．（2）求异面直线CP与BQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（14分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求•的取值范围．22．（16分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．23．（18分）设a是实数，函数f（x）=4x+|2x﹣a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a≤0时，解关于x的方程f（x）=a2；（3）当a＞0时，求函数y=f（x）的值域（用a表示）．2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知i为虚数单位，计算：=1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：===1+i．故答案为：1+i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣1≤0，x∈R}，则A ∩B={﹣1，0，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|x2﹣1≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．3．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是π．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．4．（4分）在（1+x）6﹣（1+x）5的展开式中，含x3项的系数是10．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意可得，含x3项的系数为﹣，计算求得结果．【解答】解：在（1+x）6﹣（1+x）5的展开式中，含x3项的系数为﹣=20﹣10=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5．（4分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为8．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．6．（4分）已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，若⊥，则θ=．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直与向量数量积之间的关系，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，∴若⊥，则•=0，即sinθ+cosθ=0，即tanθ=﹣1，∴，故答案为：【点评】本题主要考查平面向量的应用，利用向量垂直与向量数量积之间的关系是解决本题的关键．7．（4分）对于任意a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=的反函数f﹣1（x）的图象经过的定点的坐标是（1，2）．【考点】4R：反函数．【专题】1：常规题型．【分析】先由矩阵算出f（x）的表达式，再由原函数过定点，交换点的横纵坐标，得到反函数的定点坐标．【解答】解：f（x）==log a（x﹣1）+1，易知过定点（2，1）．由反函数与原函数的图象关于直线y=x对称，所以反函数f﹣1（x）的图象经过的定点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题得到原函数的定点（2，1），再由对称性得到反函数的定点坐标．8．（4分）已知函数f（x）=，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题．【分析】根据曲线旋转后的图形，即可得到结论．【解答】解：当0≤x≤2时，函数f（x）与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周为两个圆锥，其中圆锥的高为1，底面半径为1，球的半径为1，则对应的体积为2×，故答案为：．【点评】本题主要考查空间几何体的体积计算，根据函数的表达式确定旋转之后的图形是解决本题的关键．9．（4分）已知tanα=﹣，则cos2α=．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵tanα=﹣，∴cos2α====，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．10．（4分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是米．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先建立坐标系，根据题意，求出抛物线的方程，进而利用当水面升高1米后，y=﹣1，可求水面宽度．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=﹣2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，﹣2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=﹣8y当水面升高1米后，y=﹣1代入方程得：x=±2∴水面宽度是米故答案为：【点评】本题以实际问题为载体，考查抛物线方程的建立，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．11．（4分）从集合{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，从集合{1，3，5}中随机取一个数b，则“事件a≥b”发生的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有5×3种结果，满足条件的事件是满足a≥b，可以列举出所有的事件，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有5×3=15种结果，满足条件的事件是满足a≥b，可以列举出所有的事件，当b=1时，a=1，2，3，4，5，当b=3时，a=3，4，5，当b=3时，a=5，共有5+3+1=9个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查分步计数原理和分类计数原理，利用这两个原理做出基本事件数．属于中档题．12．（4分）已知实数a，b满足a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值为．【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】15：综合题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】由题意（a+2）2+（b+2）2的几何意义是点（a，b）与点（﹣2，﹣2）的距离的平方，（a+2）2+（b+2）2的最小值点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离的平方，由此问题转化为求点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离【解答】解：由题意（a+2）2+（b+2）2的几何意义是点（a，b）与点（﹣2，﹣2）的距离的平方实数a，b满足a+b=1，即点（a，b）在直线a+b=1运动，∴两点（a，b）与点（﹣2，﹣2）的距离的最小值即为点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离由于d==∴（a+2）2+（b+2）2的最小值为故答案为：．【点评】本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式，解题的关键是理解题意，将求（a+2）2+（b+2）2的最小值问题转化为点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离的平方，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，本题考查析几何的根本问题，题目难度不大，但很有价值．13．（4分）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，]．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出平面区域，直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，可行域是三角形，直线过（0，2）和（﹣2，0），结合图形，求出k的范围．【解答】解：直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，根据约束条件画出可行域如图：平面区域是一个三角形，就是图中阴影部分，所以k∈（﹣∞，﹣2）∪（0，]故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，]．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查作图能力，逻辑思维能力，是中档题．14．（4分）已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），直线y=k n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则（k12+k22+…+k n2）=．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；5B：分段函数的应用；6F：极限及其运算．【专题】15：综合题．【分析】由函数f（x）是分段函数求出各段内的表达式，画出草图，得到直线和y=f（x）交点的规律，列方程组求出的值，问题得解．【解答】解：∵当0≤x＜2时，f（x）=，当2≤x＜4时，0≤x﹣2＜2，∴f（x﹣2）==，当4≤x＜6时，0≤x﹣4＜6，∴f（x﹣4）==，以此类推…，∴函数f（x）的图象如图所示：当n=1时，y=k1x与函数y=f（x）的图象恰有3个不同交点，此时，y=k1x与第一个半圆相交与第二个半圆相切，当n=2时，y=k2x与函数y=f（x）的图象恰有5个不同交点，此时，y=k2x与前两个半圆相交与第三个半圆相切，…，当n=n时，直线y=k n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，此时，y=k n x与前n个半圆相交与第n+1个半圆相切，于是有；⇒（+1）﹣2（2n+1）x+（2n+1）2﹣1=0⇒△==0，解得：==（），∴+++…+=（1﹣+﹣+…+）=（1﹣），则（k12+k22+…+k n2）=（1﹣）=．【点评】本题主要考察了分段函数，函数的图象及性质，数列裂项求和以及求极限值，是一道综合题．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出输出的实数对（x，y）是什么，从而做出正确的选择．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得输出的实数对（x，y）是（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）；∴它们所对应的点都在函数y=2x﹣1的图象上．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而做出正确的判定，是基础题．16．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D．“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】15：综合题；5L：简易逻辑．【分析】对选项逐个进行判断，即可得出结论．【解答】解：A：命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故不正确；B：“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件，故不正确；C：命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题，故正确；D：“tanx=1”是“x=”的必要不充分条件，故不正确故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题．17．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），方向向量为=（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A．2x±y=0B．x±2y=0C．x±y=0D．x±y=0【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设方向向量为=（1，1）的直线方程为y=x+m，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为（4，1），x1+x2==8，y1+y2=8+2m=2，由此求出a=2b，从而能求出双曲线C的渐近线方程．【解答】解：设方向向量为=（1，1）的直线方程为y=x+m，联立，消去y，得：（b2﹣a2）x2﹣2a2mx﹣a2m2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为（4，1），∴x1+x2==8，y1+y2=8+2m=2，解得m=﹣3，∴，∴a=2b，∴双曲线C的渐近线方程为y=x，即x±2y=0．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．18．（5分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），则f（2014）的值等于（）A．2B．3C．4D．0【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令x=﹣2，求出f（2）=0，然后得到函数的周期为4，利用函数的周期性即可求出f（2014）的值．【解答】解：令x=﹣2，则由f（x+4）﹣f（x）=2f（2），得f（﹣2+4）﹣f（﹣2）=2f（2），∵f（x）是偶函数，∴f（2）﹣f（2）=2f（2），即f（2）=0，∴f（x+4）﹣f（x）=2f（2）=0，即f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期数列，则f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性，推导出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．【考点】HU：解三角形．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．【解答】（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求【点评】本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．20．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面PDAQ，AB=AQ=DP．（1）求证：棱锥Q﹣ABCD与棱锥P﹣DCQ的体积相等．（2）求异面直线CP与BQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来即可得出结论；（2）确定∠PCE为异面直线PC与BQ所成角，利用余弦定理，即可求出异面直线CP与BQ所成角的大小．【解答】（1）证明：设AB=a，由题设，QA⊥AD，QA⊥CD，知AQ为棱锥Q ﹣ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积V1=，棱锥P﹣DCQ的体积V2=V C﹣DPQ=••2a•a•a=，故棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积相等；（2）解：因为AB=AQ=DP，取PD中点E，连结QE，CE则QE∥BC，且QE=BC，故CE∥BQ，所以∠PCE为异面直线PC与BQ所成角．…（2分）设AB=a，则在△PCE中，EP=a，CE=a，CP=a，…（4分）由余弦定理，cos∠PCE==．…（7分）所以，异面直线CP与BQ所成角的大小为arccos．…（8分）【点评】本题考查体积的计算，考查异面直线所成角，考查余弦定理，正确作出异面直线所成角是关键．21．（14分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求•的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆Γ的方程．（2）设P（x，y），则Q（﹣x，y），（x≠0），=（x﹣2，y﹣），=（﹣x ﹣2，y﹣），由，得x2=8﹣2y2，由此能求出的取值范围．【解答】（1）解：∵椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．∴c=2，…（1分），…（2分）解得a2=8，b2=4，…（4分）∴椭圆Γ的方程为．…（6分）（2）设P（x，y），则Q（﹣x，y），（x≠0），=（x﹣2，y﹣），=（﹣x﹣2，y﹣），…（1分）由，得x2=8﹣2y2，∴=4﹣x2+（y﹣）2=3y2﹣2y﹣2=3（y﹣）2﹣，…（5分）由题意，﹣2＜y＜2，∴﹣≤3﹣＜10+4．…（7分）∴的取值范围是[﹣，10+4）．…（8分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（16分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．【考点】83：等差数列的性质；8K：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p 的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n 项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．23．（18分）设a是实数，函数f（x）=4x+|2x﹣a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a≤0时，解关于x的方程f（x）=a2；（3）当a＞0时，求函数y=f（x）的值域（用a表示）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4A：指数型复合函数的性质及应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据奇函数定义，利用反证法证明（2）讨论a的范围，解方程即可（3）利用换元将函数变为二次函数，进而利用二次函数的单调性求值域【解答】解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则对于一切x∈R，有f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0，又f（0）=40+|20﹣a|≥1，矛盾，所以假设不成立，故f（x）不是奇函数．（2）∵2x＞0，4x＞0，∴当a≤0时，f（x）=4x+2x﹣a，由f（x）=a2，得4x+2x﹣a=a2，即4x+2x﹣a（a+1）=0，解得2x=a（舍去）或2x=﹣（a+1）；∴当a+1≥0时，即﹣1≤a≤0时，原方程无解；当a+1＜0，即a＜﹣1时，原方程的解为x=log2[﹣（a+1）]．（3）令t=2x，则t＞0，原函数变成y=t2+|t﹣a|∵a＞0∴y=，对于0＜t≤a，有y=，当0时，y是关于t的减函数，y的取值范围[a2，a）；当a时，y min=a，时，y的取值范围是[a，a），a≥1时，y的取值范围是[a，a2）；对于t＞a，有y=t2+t﹣a=（t+）2是关t的增函数，其取值范围（a2，+∞）．综上可知，当0时，函数y=f（x）的值域是[a2，+∞）；当a时，函数y=f（x）的值域是[a，+∞）．【点评】本题主要考察了函数的奇偶性以及复合函数的相关性质，综合性较强，属于难题．。

一、填空题(每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1。

已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2.已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．3。

设等差数列{}na 的前项和为nS ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4。

若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ． 【答案】12【解析】试题分析:()(2)221(21)(2)a i i a ai i a a i ++=++-=-++是纯虚数，则21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =． 考点：复数的概念．5。

抛物线24y x=的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6. 已知向量2a =，1b =，1a b ⋅=,则向量a与a b-的夹角为 ．7。

执行下图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S值为 ．【答案】21 【解析】试题分析:由题意,012345621S =++++++=． 考点：程序框图．8.不等式1011axx <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9。

若na 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x 项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ．开始 输入i1n =n i ≤？输出S 0S =结 束S S n =+1n n =+否是。

2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡B一、填空题 1. {}0,2 2. i 3. 04.89 5. 30- 6. 33(,)33-7. 2± 8. 30 9. 120010. 322-+ 11. 1：24 12. ()()+∞⋃-,50,513. [2,)+∞ 14. )111(222210nx x x a +++ 62π二、选择题15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D21.(本题满分12分）（I ）．因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==（6分）（II ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC 34310-=同理, 433sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为343433(,)1010-+（6分）19.(本题满分14分）（I ）由题设AB AC SB SC====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △ 为等腰三角形，SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（7分）（II ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33（7分）20.(本题满分14分）（I ）157a b =．证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，由⑴，⑵得：()2423a a q q =-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．（7分）（II ）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq-+-=，由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq -+-=，∴112m n q -+=，∴()()1221114422m m m n q--++==⨯=， 即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d =+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立． （7分）22.(本题满分16分）（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．23.(本题满分18分）（I ）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b 2，则226b =，∴2log 9b =（4分）。

2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1. 函数y=log21+x1−x的定义域是________．2. 函数y=cos2x−sin2x的最小正周期T=________．3. 已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0, x∈R}，B={x||x−1|≤3, x∈R}．若(∁U A)∩B=[−2, 4]，则实数a的取值范围是________．4. 已知等差数列{a n}(n∈N∗)的公差为3，a1=−1，前n项和为S n，则limn→∞na nS n的数值是________．5. 函数f(x)=|log a x|(a>0，且a≠1)的单调递增区间是________．6. 函数f(x)=−x2(x≤0)的反函数是f−1(x)，则反函数的解析式是f−1(x)=________．7. 方程log2(4x−3)=x+1的解x=________．8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2−c2=√3ab，则∠C=________．9. 已知x1=1−i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=________，b=________．10. 若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是________．11. （文）已知直线l1:2x+y−1=0，l2:x−3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是________．（结果用反三角函数值表示）12. （文）已知实数x、y满足线性约束条件{3x−y≥0x+y−4≤0x−3y+5≤0，则目标函数z=x−y−1的最大值是________．13. 某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是27，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是________．14. 已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f(x)={(12)x，0≤x<2log16x，x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+a⋅f(x)+b=0(a、b∈R)有且只有7个不同实数根，则a+b的值是________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A a+b≥2√abB ab +ba≥2 C |ab+ba|≥2 D a2+b2>2ab16. 已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l // α”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件17. 已知a 、b ∈R ，a 2+b 2≠0，则直线l:ax +by =0与圆：x 2+y 2+ax +by =0的位置关系是（ ）A 相交B 相切C 相离D 不能确定18. （文） 四棱锥S −ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥S −ABCD 的体积=( )A 24B 18C 8√53D 8三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19. （文） 已知矩形ABB 1A 1是圆柱体的轴截面，O 、O 1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．（1）求圆柱体的侧面积S 侧的值；（2）若C 1是半圆弧A 1B 1̂的中点，点C 在半径OA 上，且OC =12OA ，异面直线CC 1与BB 1所成的角为θ，求sinθ的值．20. 已知复数z 1=cosx +i ，z 2=1−isinx ，x ∈R ．（1）求|z 1−z 2|的最小值；（2）设z =z 1⋅z 2，记f(x)=Imz （Imz 表示复数z 的虚部）．将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象．试求函数g(x)的解析式．21. 某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=(1+√3)百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75∘，∠AOB=30∘，∠BOC=45∘．设OA=x(3≤x≤6)百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC最小，并求出其面积的最小值．22. 已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n−1+(−1)n，a2n+1=a2n+3n(n∈N∗)．（1）求a3、a5、a7的值；（2）求a2n−1（用含n的式子表示）；（3）（文）记b n=a2n−1+a2n，数列{b n}(n∈N∗)的前n项和为S n，求S n（用含n的式子表示）．23. （文）已知点D(1, √2)在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上，且双曲线的一条渐近线的方程是√3x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点(0, 1)且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）答案1. (−1, 1)2. π3. a<−44. 25. [1, +∞)6. −√−x(x≤0)7. log238. π69. −2,210. 100π11. artan7)12. −3213. 102114. −115. C16. B17. B18. D19. 解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R，∴ πR2⋅AA1=32π，∴ R=2．∴ S侧=2πR⋅AA1=32π．（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO // BB1．因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ．又R=2，∠C1CD=，∠C1O1D=90∘，∴ DC1=√5，CC1=√69．∴ sinθ=√5√69=√34569．20. 解（1）∵ 复数z1=cosx+i，z2=1−isinx，x∈R，∴ |z1−z2|=√(cosx−1)2+(1+sinx)2=√3+2√2sin(x−π4)．∴ 当sin(x−π4)=−1，即x=2kπ−π4，k∈Z时，|z1−z2|min=√3−2√2=√2−1．（2）∵ z=z1⋅z2，∴ z=z1⋅z2=sinx+cosx+(1−sinxcosx)i．f(x)=Imz（Imz表示复数z的虚部）．∴ f(x)=1−sinxcosx=1−12sin2x，x∈R．．将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图象所对应的函数是y1=1−12sinx．把函数y=1−12sinx的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象对应的函数是y=1−1 2sin(x−π2)．∴ g(x)=1−12sin(x−π2)=1+12cosx，x∈R．21. 解：（1）结合图形可知，S△BOC+S△AOB=S△AOC．于是，12x(1+√3)sin30∘+12y(1+√3)sin45∘=12xysin75∘，解得：y=√2xx−2，（其中3≤x≤6）．（2）由（1）知，y=√2xx−2(3≤x≤6)，因此，S△AOC=12xysin75∘=1+√34⋅x2x−2=1+√34[(x−2)+4x−2+4]≥2+2√3（当且仅当x−2=4x−2，即x=4时，等号成立）．∴ 当x=400米时，整个中转站的占地面积S△OAC最小，最小面积是(2+2√3)×104平方米．22. 解：（1）由题意得，a1=1，a2n=a2n−1+(−1)n，a2n+1=a2n+3n(n∈N∗)，∴ a2=a1+(−1)n=0，a3=a2+31=3，a4=a3+1=4，a5=a4+32=13，a6=a5−1=12，a7=a6+33=39，∴ a3、a5、a7的值分别为：3、13、39；（2）将a2n=a2n−1+(−1)n代入a2n+1=a2n+3n(n∈N∗)，得a2n+1−a2n−1=3n+(−1)n(n∈N∗)，∴ a2n−1−a2n−3=3n−1+(−1)n−1，a2n−3−a2n−5=3n−2+(−1)n−2，…a5−a3=32+(−1)2，a3−a1=31+(−1)1，以上各式累加得，a2n−1−a1=31+32+...3n−1+[(−1)1+(−1)2+...+(−1)n−1]．=3(1−3n−1)1−3+−[1−(−1)n−1]1−(−1)=3n−(−1)n2−2∴ a2n−1=3n−(−1)n2−1(n∈N∗)．（3）（文）由（2）可知，a2n−1=3n−(−1)n2−1(n∈N∗)∴ b n=a2n−1+a2n=2a2n−1+(−1)n=[3n−(−1)n2−1]×2+(−1)n=3n−2(n∈N∗)∴ s n=b1+b2+b3+...+b n=(3−2)+(32−2)+(33−2)+...+(3n−2)=3(1−3n)1−3−2n=12.3n+1−2n−32(n∈N∗)．23. 解：（1）由题知，有{1a2−2b2=1 ba=√3解得a2=13，b2=1因此，所求双曲线C的方程是x 213−y2=1（2）∵ 直线l过点(0, 1)且斜率为k，∴ 直线l:y=kx+1．代入双曲线方程得(3−k2)x2−2kx−2=0．又直线l与双曲线C有两个不同交点，∴ 3−k2≠0且△=(−2k)2+8(3−k2)>0解得k∈(−√6, −√3)∪(−√3, √3)∪(√3, √6)．（3）设点A、B的坐标为(x1, y1)、(x2, y2)．由（2）可得x1+x2=2k3−k2，x1x2=−23−k2又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则k OA⋅k OB=−1，即x1x2+y1y2=0，∴ x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0，即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0，∴ −2(1+k2)3−k2+2k23−k2+1=0，解得k=±1．又k=±1满足3−k2≠0且△=(−2k)2+8(3−k2)>0，∴ 所求实数k=±1．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2、本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码 贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ．2、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3、设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．4、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 5、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．6、若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．7、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．8、在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ． 9、设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 10、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = ．11、若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．12、方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 ．13、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．14、已知曲线:C x =:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16、已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1-17、如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点， 则(1, 2, , 7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 118、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） (A) 无论12,,k P P 如何，总是无解(B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解 (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(． （1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米， CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点， 且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程， 并证明y 轴为曲线E 的分隔线．23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）参考答案一、填空题（第1题至第14题）1．2π 2．6 3．3 4．2x =- 5．70 6． 7．1arcsin 38．24 9．(],2-∞ 10 11．(0,1) 12．73π 13．115 14．[2,3]二、选择题（第15题至第18题）15．B 16．D 17．C 18．B三、解答题（第19题至第23题）19、[解]：在123PP P ∆中，13PA P A =，23PC PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==． 同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4．设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =，PQ ==．从而，13ABC V S PQ ∆=⋅= 20、[解]：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121x y y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-． 因此，所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞．（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数； 当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．21、[解]：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得28.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米． （2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD AB ααβ=+ ，解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈． 所以，CD 的长约为26.93米．22、[证]：（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．[解]：（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx ⎧-=⎨=⎩有解， 即12k <．因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即12k ≥． 当12k <时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<， 即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞． [证]：（3）设M的坐标为(,)x y ，则曲线E 1x =，即22[(2)]1x y x +-⋅=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔． 所以y 轴为曲线E 的分隔线． 23、[解]：（1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >． 因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m≥． 8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a （3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =．① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤． ② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件． ③ 当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．。