【2014上海二模】上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试文科数学试题(含答案)(word版)

2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知i 为虚数单位，计算：3+i 2−i=________．2. 已知集合A ＝{−2, −1, 0, 1}，集合B ＝{x|x 2−1≤0, x ∈R}，则A ∩B ＝________．3. 函数y ＝(sinx +cosx)2的最小正周期是________．4. 在(x −1)(x +1)8的展开式中，x 5的系数是________．5. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．6. 在直角三角形ABC 中，∠C =90∘，AC =4，则AB →⋅AC →=________．7. 对于任意a ∈(0, 1)∪(1, +∞)，函数f(x)=|1−11log a (x −1)|的反函数f −1(x)的图象经过的定点的坐标是________． 8. 已知函数f(x)={x,0≤x ≤1√1−(x −1)2，1<x ≤2，将f(x)的图象与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为________．9. 已知点P(4, m)在曲线C:{x =4t 2y =4t ，（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为________．10. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是________米．11. 设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为________．12. 若不等式|x +a|≤2在x ∈[1, 2]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 13. 设f n (x)=sin(nπ2+x)(n ∈N ∗)，若△ABC 的内角A 满足f 1(A)+f 2(A)+...+f 2014(A)=0，则sinA +cosA =________．14. 定义函数f(x)={x ．{x}}，其中{x}表示不小于x 的最小整数，如{1.4)=2, {−2.3}=−2．当x ∈(0, n](n ∈N ∗)时，函数f(x)的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则lim n →∞(1a 1+1a 2+...+1a n )=________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数（ ）A y=x+1的图象上B y=2x的图象上C y=2x的图象上D y=2x−1的图象上16. 下列说法正确的是（）A 命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B “x=−1”是“x2−x−2= 0”的必要不充分条件C 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题 D “tanx=1”是“x=π4”的充分不必要条件17. 设F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30∘，则双曲线C的渐近线方程是（）A x±√2y＝0B √2x±y＝0C x±2y＝0D 2x±y＝018. 设函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f(x1)+f(x2)=2b，则称点(a, b)为函数y=f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)=x+ sinπx−3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(12014)+f(22014)+...+f(40262014 )+f(40272014)的值为（）A 4027B −4027C 8054D −8054三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB(p∈R)．且ac=14b2．（1）当p=54，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．20. 在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=12DP．（1）求证：PQ⊥平面DCQ；（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．21. 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(2√2, 0)，且椭圆Γ过点(3, 1)．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，以线段AB为底边作等腰三角形PAB，其中顶点P的坐标为(−3, 2)，求△PAB的面积．22. 设数列{a n}，{b n}，{c n}，已知a1=4，b1=3，c1=5，a n+1=a n，b n+1=a n+c n2，c n+1=a n+b n2(n∈N∗)．（1）求数列{c n−b n}的通项公式；（2）求证：对任意n∈N∗，b n+c n为定值；（3）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N∗，都有p•(S n−4n)∈[1, 3]，求实数p的取值范围．23. 设a是实数，函数f(x)=4x+|2x−a|(x∈R)．（1）求证：函数f(x)不是奇函数；（2）当a≤0时，求满足f(x)>a2的x的取值范围；（3）求函数y=f(x)的值域（用a表示）．2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）答案1. 1+i2. {−1, 0, 1}3. π4. 145. 86. 167. (1, 2)8. π9. 510. 4√211. 5912. [−3, 0]13. √214. 215. D16. C17. B18. D19. （1）解：由题设并利用正弦定理得{a +c =54ac =14故可知a ，c 为方程x 2−54x +14=0的两根，进而求得a =1，c =14或a =14，c =1（2）解：由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accosB =p 2b 2−12b 2cosB −12b 2， 即p 2=32+12cosB ，因为0<cosB <1，所以p 2∈(32, 2)，由题设知p ∈R ，所以√62<p <√2或−√2<p <−√62又由sinA +sinC =psinB 知，p 是正数 故√62<p <√2即为所求20. （1）证明：由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．… 设A =a ，则D(0, 0, 0)，C(0, 0, a)，Q(a, a, 0)，P(0, 2a, 0)， ∴ DC →=(0, 0, a)，DQ →=(a, a, 0)，PQ →=(a, −a, 0)，… ∵ DC →⋅PQ →=0，DQ →⋅PQ →=0， ∴ DC ⊥PQ ，DQ ⊥PQ ，… ∴ PQ ⊥平面DCQ ．…（2）解：∵ DC ⊥平面ADPQ ，DC →=(0, 0, a)， ∴ 平面ADPQ 的一个法向量为n →=(0,0,1)，…点B 的坐标为(a, 0, a)，则QB →=(0,−a,a)，QC →=(−a,−a,a)，… 设平面BCQ 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则m →⋅QB →=0，m →⋅QC →=0，∴ {−ay +az =0−ax −ay +az =0，取y =z =1，得m →=(0, 1, 1)，… …设平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|cos <m →，n →>|=√2=√22． … ∴ 平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为π4．… 21. 解：（1）由已知得c =2√2，∵ 椭圆Γ过点(3, 1)，∴9a2+1b 2=1，∵ a 2−b 2=8，∴ 解得a 2=12，b 2=4， ∴ 椭圆Γ的方程为x 212+y 24=1． …（2）设l:y =x +b ， 代入x 212+y 24=1，得4x 2+6bx +3b 2−12=0，根据韦达定理x A +x B =−3b 2，x A x B =3b 2−124，∴ y A +y B =b2，设M 为AB 的中点，则M(−3b 4, b4)，AB 的中垂线的斜率k =−1，∴ AB 的中垂线：x +y +b2=0，将P(−3, 2)代入，得b =2， ∴ l:x −y +2=0，根据弦长公式可得AB =3√2，d =√2，∴ S △PAB =12×3√2√2=92． 22. 解：（1）因为a n+1=a n ，a 1=4，所以a n =4， 所以b n+1=a n +c n2=4+c n 2=c n 2+2，c n+1=a n +b n2=b n 2+2，c n+1−b n+1=12(b n −c n )=−12(c n −b n )，即数列{c n −b n }是首项为2，公比为−12的等比数列，所以c n −b n =2⋅(−12)n−1．（2）b n+1+c n+1=12(b n +c n )+4，因为b 1+c 1=8，所以b 2+c 2=8，b 3+c 3=8，猜测：b n +c n =8， 用数学归纳法证明：①当n =1时，b 1+c 1=8，结论成立；②假设当n =k 时结论成立，即b k +c k =8，那么当n =k +1时， b k+1+c k+1=12(b k +c k )+4=8，即n =k +1时结论也成立． 由①，②得，当n ∈N ⋅时，b n +c n =8恒成立，即b n +c n 恒为定值．（3）由（1）、（2）知{b n +c n =8c n −b n =2(−12)n−1，所以c n =4+2⋅(−12)n−1，所以S n =4n +1−(−12)n1−(−12)=4n +23[1−(−12)n ]，所以p(S n −4n)=2p 3[1−(−12)n ]，由p(S n −4n)∈[1, 3]得1≤2p 3[1−(−12)n ]≤3，因为1−(−12)n >0，所以11−(−12)n≤2p 3≤31−(−12)n，当n 为奇数时，11−(−12)n=11+(12)n随n 的增大而递增，且0<11−(−12)n <1，当n 为偶数时，11−(−12)n=11−(12)n随n 的增大而递减，且011−(−12)n>1，所以，11−(−12)n的最大值为43，31−(−12)n的最小值为2．由11−(−12)n≤2p 3≤31−(−12)n，得43≤2p 3≤2，解得2≤p ≤3，所以，所求实p 的取值范围是[2, 3]．23. （1）证明：假设f(x)是奇函数，那么对于一切x ∈R ，有f(−x)=−f(x)，从而f(−0)=−f(0)，即f(0)=0，但是f(0)=40+|20−a|=1+|1−a|≠0，矛盾． ∴ f(x)不是奇函数；（2）解：∵ 2x >0，4x >0，∴ 当a ≤0时，f(x)=4x +2x −a ，由f(x)>a 2，得4x +2x −a >a 2，即4x +2x −a(a +1)>0，(2x −a)(2x +a +1)>0， ∵ 2x −a >0，∴ 2x +a +1>0，即2x >−(a +1)．①当a +1≥0，即−1≤a ≤0时，2x >−(a +1)恒成立， 故x 的取值范围是(−∞, +∞)； ②当a +1<0，即a <−1时，由2x >−(a +1)，得x >log 2[−(a +1)]， 故x 的取值范围是(log 2[−(a +1)]，+∞)；（3）解：令t =2x ，则t >0，原函数变成y =t 2+|t −a|．①若a ≤0，则y =t 2+t −a 在t ∈(0, +∞)上是增函数，值域为(−a, +∞)． ②若a >0，则y ={t 2−t +a ，0<t ≤a t 2+t −a ，t >a，对于0<t ≤a ，有y =(t −12)2+a −14，当0<a <12时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是[a 2, a)； 当a ≥12时，y min =a −14，当12≤a <1时，y 的取值范围是[a −14，a)，当a ≥1时，y 的取值范围是[a −14，a 2]．对于t >a ，有y =t 2+t −a =(t +12)2−a −14是关于t 的增函数， 其取值范围(a 2, +∞)．综上，当a ≤0时，函数y =f(x)的值域是(−a, +∞)； 当0<a <12时，函数y =f(x)的值域是[a 2, +∞)； 当a ≥12时，函数y =f(x)的值域是[a −14，+∞)．。

2014年高考数学二模试卷2．已知复数，则z的虚部为（）3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．函数f（x）=﹣的零点所在区间为（），，），5．执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．已知，则sin2α的值为（）B C D8．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线B C D9．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2011）•g（﹣2012）＜0，则y=f（x），B C D11．直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）B D12．已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③二、填空题：13．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣x（a∈R）取最大值=14．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为____15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为______16．已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．17．如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．18．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．19．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．20．不等式选讲：已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）解：复数的虚部为﹣，．故选4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（），，），+）×+1=t+t+x=（，的左、右焦点．若双曲线上存在点离心率9．（5分）已知函数f（x）=a x ﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2011）•g（﹣2012）＜0，则y=f（x），y=g（x）B C D11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0B D，故可知直线恒过定点（，的焦点坐标为（，，∴的中点到准线的距离=x+=14．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣x取最大值=15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．解：∵2A+=A=的面积为S=bcsinA=，即×=3（舍负）根据正弦定理，得==222∴为首项，为公差的等差数列∴，得为首项为．公比为∴．故18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=PC=，sinA=的面积为CE=2则，，等积法得，解得h=．即三棱锥的高为（b=c=e==，其标准方程为得：=∵=3∴（=0时，∵=3∴，或＜，﹣）∪，21．已知a∈R ，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；）∵+=（）时，．又，∴四、解答题22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．，）因为化为普通方程为圆心到已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．1|+|2n+1|+2=。

第二部分 函数一、 函数的定义域、解析式、反函数，函数求值1. 【2014年黄浦区二模文理第1题】函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案： (1,1)-】2. 【2014年黄浦区二模文理第6题】函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，则反函数的解析式是=-)(1x f ．【答案： 1()0)f x x -=-?】3. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文第4题】函数()20y x x x=+>的值域为______．【答案： )⎡+∞⎣】4. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第4题】函数()22y x x x=+≥的值域是_______．【答案： [)3,+∞ 】5. 【2014年奉贤区二模文第1题】函数()()42lg -=xx f 的定义域为________.【答案：{}2>x x 】6. 【2014年奉贤区二模理第1题】函数()12-=xx f 的反函数为________.【答案：()1log 2+=x y 】7. 【2014年虹口区二模文理第3题】函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .【答案：4 】8. 【2014年虹口区二模文理第5题】已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．【答案：2()log f x x = 】9. 【2014年浦东新区二模文理第5题】函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点______.【答案：(2,3)- 】10. 【2014年嘉定、长宁区二模文第7题】对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(lo g 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________．【答案：)2,1( 】11. 【2014年崇明二模文第8题】已知函数()21x f x =+的反函数为1()y f x -=，则1()0f x -<的解集是 . 【答案：(1,2) 】12. 【2014年崇明二模理9】已知()2xf x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f xg x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是 ．【答案：(0,1)】13. 【2014年虹口区二模文理第16题】若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<【答案：C 】14. 【2014年嘉定、长宁区二模理第12题】若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案：]0,3[- 】 二、 函数的单调性与奇偶性15. 【2014年普陀区二模文第6题】若集合D {||1|1}x x =-…，则函数11)(+=x x f (D x ∈)的值域为 . 【答案：]1,31[ 】16. 【2014年黄浦区二模文理第5题】5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ． 【答案：[1,)+? 】17. 【2014年闵行区二模理第10题】设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221x y +=．已知时间0t =时，观光箱A 的坐标为1(,)22，则当024t ≤≤时（单位：分），动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递减区间是 ． 【答案：[2,14]】18. 【2014年浦东新区二模文理第17题】能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ ）（A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4xf x =（D ）()x x f x e e -=+ 【答案： D 】19. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于……（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】20. 【2014年崇明二模文第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b 上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的个数是 ( ) A.5B.4C.3D.2【答案：C 】21. 【2014年崇明二模理第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②④D ．①③④【答案：C 】 三、 函数的图像与数形结合22. 【2014年闸北区二模文科第9题】已知集合{}m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，若集合B A 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是 . 【答案：(1,0)-】23. 【2014年闸北区二模理科第9题】已知集合{}x m y y x A ==|),(，{}m x y y x B +==|),(，若集合B A 中仅含有一个元素，则实数m 的取值范围是 ． 【答案：[]1,1- 】24. 【2014年闵行区二模理第9题】已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ．【答案：8,05⎛⎤- ⎥⎝⎦】25. 【2014年闵行区二模文第9题】已知关于x 的不等式222(1)(3)0x a x a --++>的解集为R ，则实数a 的取值范围 ． 【答案：(1,5)- 】26. 【2014年闵行区二模理第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③ 】27. 【2014年闵行区二模文第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③④．】28. 【2014年黄浦区二模文第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()]()0fx a f x b +⋅+=R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是 ． 【答案：1- 】29. 【2014年黄浦区二模理第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()])0fx a f x b +⋅+=(R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案：524a -<<-】30. 【2014年虹口区二模理第18题】函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11【答案：C 】31. 【2014年普陀区二模文第14题】若函数x x a x f +-=)((a 为常数)，对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，用)(a S 表示满足条件的所有正整数a 的和，则)(a S = . 【答案：15】32. 【2014年普陀区二模理第14题】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案：(]0,4-】33. 【2014年普陀区二模文理第17题】若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是………………………………………………………………（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 【答案：A 】34. 【2014年浦东新区二模文第18题】方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ ） （A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案： C 】35. 【2014年浦东新区二模；理第18题】方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ）（A ）2（B ）4（C ） （D ）8【答案： B 】36. 【2014年嘉定、长宁区二模文第14题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=,2,)2(,20,)1(1)(2x x f x x x f 若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则=+++∞→)(lim 22221n n k k k ______．【答案：41】37. 【2014年四区二模文第14题】（文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 . 【答案：]41,0(】38. 【2014年四区二模理第18题】函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案： D 】 四、 特殊函数（幂指对二次）39. 【2014年普陀区二模理第3题】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x . 【答案：5】40. 【2014年黄浦区二模文理第7题】7．方程1)34(l o g 2+=-x x的解=x ．【答案： 2log 3x =】41. 【2014年奉贤区二模文第3题】如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.【答案： 1 】42. 【2014年四区二模理7文8】已知1lo g lo g 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________. 【答案：22】43. 【2014年崇明二模文理第12题】如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案：11[,]32】44. 【2014年嘉定、长宁区二模理第14题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 【答案：2】 五、 抽象函数与函数周期性45. 【2014年普陀区二模文第4题】若函数)(x f y =(x ∈R )满足条件：)()2(x f x f =+，且1)1(=f ，则=)101(f . 【答案：1】46. 【2014年普陀区二模理第6题】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 .【答案：1】47. 【2014年奉贤区二模文第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________. 【答案： 14 】48. 【2014年奉贤区二模理第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=________. 【答案： 50 】49. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于…（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】50. 【2014年嘉定、长宁区二模理第18题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054- 【答案：D 】 六、函数应用题51. 【2014年闸北区二模文理第7题】如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．【答案：15】52. 【2014年四区二模文理第20题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案： (1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，O(第20题东BO第21题东第21题所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 】53. 【2014闵行区二模文理第21题】21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？【答案：（1）以O 点为原点，正北的方向为y 轴正方向建立直角坐标系，…（1分）则直线OZ 的方程为3y x =，设点A （x 0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分） 又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（621300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m==--+ …（10223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分）所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小， （或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m 最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分） 】 七、 函数综合大题54. 【2014年闸北区二模文科第14题】本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分设函数xxx f 2323)(+-=R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；(2)请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.【答案：【解】(1)xx x x f 23612323)(++-=+-=， 02>x ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<632x+<2, 1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分令f(x)=0,即6132x=+，解得2log 3x =， ∴()y f x =的零点为.3log 2=x ----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，)1(51752323)1(11f f ±=±≠=+-=---， ----------------------------------------2分故)(x f y =是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 所以，对任意的12,x x ∈R ，21x x <，)23)(23()22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=+-+=-.-------------------------------2分 因为022,023,0231221>->+>+xx x x ，所以)()(21x f x f >. ----------------------------------------2分 故()y f x =在定义域R 上是减函数. ---------------------------------------2分】55. 【2014年闸北区二模理科第13题】已知函数)(x f y =在定义域R 上是增函数，值域为()+∞,0，且满足：)(1)(x f x f =-． 设)(1)(1)(x f x f x F +-=．（1）求函数)(x F y =值域和零点；（2）判断函数)(x F y =奇偶性和单调性，并给予证明．【答案：解：（1）)(121)(1)(1)(x f x f x f x F ++-=+-=， 0)(>x f ，1)(110<+<∴x f1)(1<<-∴x F ，故，)(x F y =的值域为()1,1-；---------------------------------------- 4分)(1)(x f x f =- ，令0=x ，1)0(±=f ，0)(>x f ，1)0(=∴f ．故，)(x F y =的零点为.0=x ---------------------------------------------------------------------4分（2）对任意的R x ∈，)()(1)(1)(11)(11)(1)(1)(x F x f x f x f x f x f x f x F -=+--=+-=-+--=-，-------- 3分 所以，)(x F y =是奇函数．----------------------------------------------------------------------- 2分 由已知，)(x f y =在定义域R 上是增函数，所以，对任意的R x x ∈21,，21x x <，都有0)()(21<-x f x f ．又0))(1))((1()()()(12)(12)()(21122121>++-=+-+=-x f x f x f x f x f x f x F x F ．------------3分所以，)(x F y =在定义域R 上是减函数．-----------------------------------------------------2分】56. 【2014年奉贤区二模文第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x=-， ()f x 在[1,6]上是增函数. 2分 在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)0f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分 】57. 【2014年奉贤区二模理第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）当()3,1∈a 时，求证函数()f x 存在反函数．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数. 证明：当1a =时，9()f x x x =-， ()f x 在[1,6]上是增函数.2分在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数.6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数12分所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应，所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分】58. 【2014年普陀区二模文第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g(1)求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；(2)集合}2|)(|)](1[|{≥⋅+=x f x f x A ，对于任意的A x ∈，不等式0)()(21≥-+-x g m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案：（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(log )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【文科】2|12|22|)(|)](1[≥-⋅⇔≥⋅+xxx f x f ①若0≥x ，解得1≥x ，所以1≥x ； ②若0<x ，解得φ∈x .所以),1[+∞=A 由)1(log )(21+=-x x f （1->x ）得，x m x x g m x f 221log )1(log 2)()(2≥++⇔≥+-(1≥x )所以不等式1-+-≥x x m (1≥x )恒成立，函数143)21(12-≥---=-+-=x x x y ，所以1-≥m 】59. 【2014年普陀区二模理第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g .（1）求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.【答案：【解】（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(l o g )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【理科】由)1(log )(21+=-x x f（1->x ）得，x m x x g m x f x F 221log )1(log 2)()(2)(-++=-+=-…8分)(x F x m x 22)]1([log ++=)]1(2)1([log 22++++=m xm x 在区间),1[+∞上是单调递增函数需满足：当1≥x 时，01>++m x ，即2->m ……10分),1[)|,1[|+∞⊆+∞+m …12分，即021|1|≤≤-⇔≤+m m ，…13分，所以02≤<-m …14分】60. 【2014年崇明二模文理第21题】设121()log 1axf x x x -=+-为奇函数，a 为常数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由； (3)若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案：（1）121()log 1axf x x x -=+- 为奇函数，()()0f x f x ∴-+=对定义域内的任意x 都成立，112211log log 011ax axx x x x +-∴-++=---，11111ax ax x x +-∴⋅=--- ， 解，得1a =-或1a =（舍去）. （2）由（1）知：121()log 1xf x x x +=+- ， 任取12,(1,)x x ∈+∞ ，设12x x < ，则：1221121211011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>----， 121211011x x x x ++∴>>-- ，1211122211log log 11x x x x ++∴<-- 121112122211log log 11x x x x x x ++∴+<+--，12()()f x f x ∴<()f x ∴ 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数.（3）令1()()(),[3,4]2xg x f x x =-∈ ，1()[3,4]2x y x =∈ 在 上是减函数，∴由（2）知，1()()(),[3,4]2x g x f x x =-∈是增函数，min 15()(3)8g x g ∴== ，对于区间[3,4] 上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+ 恒成立，即()m g x < 恒成立， 158m ∴< .】61. 【2014年四区二模文第23题】本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】62. 【2014年四区二模理第22题】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 （理）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增.由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】63. 【2014年虹口区二模文第23题理22题】函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数． 【答案：解：（1）．222x x x=≥ ，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………5分（2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………9分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………10分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………12分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………14分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………16分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………18分】64. 【2014年浦东新区二模文第22题】（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x M f x x x M∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．【答案 解：（1）1212x-=，解得1x =-或23log 2x =， 210x -=，解得0x =，……………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2. …………………4分 （2）()2sin(2())2sin(2)84g x x x ππ=++=++6分11()0sin(2)4224g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,24x k k Z ππ=-∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为6π和56π， …………………………………………8分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，则b a -的最小值为 511007100666πππ-=．…………………………………………………………10分 （3）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩ …………………………………………………12分当x A B ∈ ，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………13分当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-，……………………………………………………14分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………15分所以值域区间长度总和为2315。

2013学年度嘉定区高三年级第二次质量调研语文试卷一阅读 80分（一）阅读下文，完成1—6题。

（18分）建筑：‚此地人‛的文化生态场景①城市建筑是与经济、社会发展水平相适应的城市文化生态的重要构成部分。

目前我国各地的经济、社会发展和城乡景观发展水平仍不平衡。

处在这一历史阶段的中国建筑，怎样体现既往与当今、时代与地域的关系？这是当下中国城市建筑文化生态演进的重要思考点。

②‚现代性‛促成了合理的城市化和建筑现代化，也导致了文化断根的城市化和城市、建筑的千篇一律。

于是，面对历史空间，便有两种倾向：标榜逻辑合理的‚新陈代谢‛和诉诸历史价值的‚怀古恋旧‛，而前者占压倒性优势。

观察中外城市与建筑演变进程中呈现的差异，可以对上述问题有更深入的思考：一是以巴黎19世纪的‚奥斯曼计划‛为例，法国近代旧城改造虽然颇具争议地拆除了大半的中世纪建筑及街区，但是也留下了有着较高建造质量并仍适应当代发展的近代历史城市景观。

今天的中国，大部分城镇包括重要历史城镇都经过了初级改造，却留下了很多问题和遗憾，低质建造比例大、地域风土特征保留少、景观相似度甚高等现代城市建筑通病随处可见。

第二个差异是，当代西方城市强调的可持续发展以后工业时代为背景，已经面临‚逆城市化‛和‚再城市化‛的问题，城市的历史空间与现代空间已从相对立走向相交融，而中国如何在社会和人文意义上，同时实现从农耕时代到后工业时代的‚有机更新‛，乃是目前面临的一个巨大挑战。

这就使我们看到了在现代性和全球化影响下，传统城乡的改造有必要坚持反思现代性的历史主义观念和保持各地文化生态多样性的地域主义立场。

③在‚现代性‛的冲击下，我们正在失去美国建筑师弗兰克〃劳埃德〃莱特说过的‚使居者能有‘此地人’切身感受‛的地域建筑特征。

面对此种挑战，虽然当下很多城市采用‚再现‛古城、古建已逝风貌的重建对策，但是这种被动的历史‚再现‛很难成为城市演进的主导方向。

④城市空间并非是一元性的，即使在全球化文化交流、交融的背景下，我们依然可以看到，在文化生态上有魅力、可持续的城市，不仅是‚与古为新‛拥有历史厚度的城市，还拥有质感的山水、建筑和人文环境，是有‚此地人‛感受的地方。

2014年上海市某校高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 方程log 2x +1log x+12=1的解是________．2. 已知函数f(x)=|1−113x |，则f −1(4)________． 3. 若实数x ，y 满足|xy|=1，则x 2+4y 2的最小值为________． 4. 设(1+2i)z ¯=3−4i （i 为虚数单位），则|z|＝________．5. 已知x ∈R ，则√x(x +1)+arccos√x 2+x +1的值为________．6. −1+3C 111−9C 112+27C 113−⋯−310C 1110+311除以5的余数是________． 7. 若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为________．8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则limn→+∞2nS n(n+32)S n+1=________．9. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为a n (n ∈N ∗)， 等级图标 等级图标 则等级为50级需要的天数a 5010. 若关于x 的方程sin2x +cos2x =k 在区间[0, π2]上有两个不同的实数解，则k 的取值范围为________．11. 某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后，大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是________．12. 给定平面上四点O ，A ，B ，C 满足OA ＝4，OB ＝3，OC ＝2，OB →⋅OC →=3，则△ABC 面积的最大值为________．13. 若集合M ={x|x 2+x −2x λ≥0, x ∈N ∗}，若集合M 中的元素个数为4，则实数λ的取值范围为________．14. 对于非空实数集A ，定义A ∗={z|对任意x ∈A, z ≥x}．设非空实数集C ⊆D ⊊(−∞, 1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D∗⊆C∗；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∗∩D≠⌀；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D∗=⌀；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b∈C∗，恒有a+b∈D∗．以上命题正确的是________．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 集合A={x|x−2x+1<0}，B={x|(x−a)(x−b)<0}，若“a=−2”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则b的取值范围是（）A b<−1B b>−1C b≥−1D −1<b<216. 函数f1(x)=1x ，f2(x)=1x+f1(x)，…，f n+1(x)=1x+f n(x)，…，则函数f2014(x)是（）A 奇函数但不是偶函数B 偶函数但不是奇函数C 既是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数又不是偶函数17. α,β∈[−π2, π2]，且αsinα−βsinβ>0，则下面结论正确的是（）A α>βB α+β>0C α<βD α2>β218. 设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=12，则点A的轨迹为（）A 圆或椭圆B 抛物线或双曲线C 椭圆或双曲线D 以上均有可能三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？20. 对于函数f(x)，若在定义域存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f(x)=ax2+2bx−4a(a, b∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f(x)=2x+m是定义在[−1, 1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21. 已知a、b、c为正实数，θ∈(0, π)．（1）当a、b、c为△ABC的三边长，且a、b、c所对的角分别为A、B、C．若a=√3，c= 1，且∠A=60∘．求b的长；（2）若a2=b2+c2−2bccosθ．试证明长为a、b、c的线段能构成三角形，而且边a的对角为θ．22. 已知抛物线y 2=4x ．（1）若圆心在抛物线y 2=4x 上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x +1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若过F 点的直线与抛物线相交于M ，N 两点，若FM →=−4FN →，求直线MN 的斜率；（3）若过F 点且相互垂直的两条直线l 1，l 2，抛物线与l 1交于点P 1，P 2，与l 2交于点Q 1，Q 2．证明：无论如何取直线l 1，l 2，都有1|P 1P 2|+1|Q 1Q 2|为一常数．23. 在数列{a n }中，a 1=1，且对任意的k ∈N ∗，a 2k−1，a 2k ，a 2k+1成等比数列，其公比为q k ．（1）若q k =2(k ∈N ∗)，求a 1+a 3+a 5+...+a 2k−1；（2）若对任意的k ∈N ∗，a 2k ，a 2k+1，a 2k+2成等差数列，其公差为d k ，设b k =1q k −1．①求证：{b k }成等差数列，并指出其公差； ②若d 1=2，试求数列{d k }的前k 项的和D k ．2014年上海市某校高考数学二模试卷（文科）答案1. 12. 13. 44. √55. 06. 37. 48. 29. 2700 10. [1, √2) 11.312812. 2√7+3√3213. (1516, 1]14. 分别用A max 、A min 表示集合A 的所有元素（数）的最大值、最小值．由C ⊆D 及A ∗的定义可知：C max ≤C min ∗，D max ≤D min ∗，C min ∗≤D max ，∴ C min ∗≤D min ∗，∴ 必有D ∗⊆C ∗．故（1）正确．若设C =(−∞, 1)=D ，满足C ⊆D ，而C ∗={1}，此时C ∗∩D =⌀，故（2）不正确． 若设C =(−∞, 0)，D =(−∞, 1)，满足C ⊆D ，而D ∗=(0, 1)，此时C ∩D ∗=(0, 1)≠⌀，故（3）不正确． （1）（4）15. B16. A17. D18. D19. 解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=√3r∴ V球=43πr3，V PC=13π(√3r)2⋅3r=3πr3又设HP=ℎ，则EH=√33ℎ∴ V水=13π(√33ℎ)2ℎ=π9ℎ3∵ V水+V球=V PC即π9ℎ3+43πr3=3πr3，∴ ℎ=√153r即圆锥内的水深是√153r．20. f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(−x)+f(x)=0有解．即f(x)+f(−x)=0⇒2a(x2−4)=0，有解x=±2，∴ f(x)为“局部奇函数”．当f(x)=2x+m时，f(x)+f(−x)=0可转化为2x+2−x+2m=0，∵ f(x)的定义域为[−1, 1]，∴ 方程2x+2−x+2m=0在[−1, 1]上有解，令t=2x∈[12，2brack，则−2m=t+1t．∵ g(t)=t+1t在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，∴ g(t)∈[2,52brack，∴ −2m∈[2,52brack，即m∈[−54，−1brack．21. ∵ a =√3，c =1，且∠A =60∘，∴ 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即3=1+b 2−2bcos60∘， ∴ 3=b 2−b +1，解得：b =2或b =−1（舍去）， 则b =2；证明：∵ θ∈(0, π)， ∴ cosθ∈(−1, 1)，∴ (b −c)2=b 2+c 2−2bc <b 2+c 2−2bccosθ=a 2<b 2+c 2+2bc =(b +c)2， 即|b −c|<a <b +c ，∴ 长为a ，b ，c 能构成三角形，不妨记为△ABC ， 在△ABC 中，由余弦定理可设cosA =b 2+c 2−a 22bc=cosθ，即cosA =cosθ，∵ A ，θ∈(0, π)，∴ 由y =cosx 的单调性可得A =θ， 则边a 的对角为θ．22. （1）解：由题意，直线x +1=0是已知抛物线的准线，圆心在抛物线上的圆． ∵ 圆与准线相切，∴ 圆必定过抛物线的焦点，∴ 所有的圆必过抛物线的焦点，即定点(1, 0)； （2）解：设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则设直线MN 方程为y =k(x −1)，把它与抛物线方程联立方程组，消去x ，得y 2−4y k−4=0∴ y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4， ∵ FM →=−4FN →， ∴ y 1=−4y 2， ∴ k =±43；（3）证明：设Q 1(x 3, y 3)，Q 2(x 4, y 4)，过F 点的直线l 1为x =ky +1，代入抛物线方程得y 2−4ky −2=0，∴ y 3+y 4=4k ，y 3y 4=−2，∴ |P 1P 2|=x 3+x 4+2=k(y 3+y 4)+4=4k 2+4， 同理|Q 1Q 2|=4k 2+4， ∴1|P 1P 2|+1|Q 1Q 2|=14为一常数．23. 解：（1）∵ 数列{a n }中，a 1=1，且对任意的k ∈N ∗，a 2k−1，a 2k ，a 2k+1成等比数列，公比q k =2(k ∈N ∗)， ∴ a2k+1a 2k−1=4，∴ a 1+a 3+a 5+...+a 2k−1=1−4k 1−4=13(4k −1)．（2）①∵ a 2k ，a 2k+1，a 2k+2成等差数列，其公差为d k ，∴ 2a 2k+1=a 2k +a 2k+2， 而a 2k =a 2k+1q k，a 2k+2=a 2k+1⋅q k+1，∴1q k+q k+1=2，则q k+1−1=q k −1q k，得1qk+1−1=q kq k −1，∴ 1qk+1−1−1q k −1=1，即b k+1−b k =1，∴ {b k }是等差数列，且公差为1． ②∵ d 1=2，∴ a 3=a 2+2，则有a 22=1×a 3=a 2+2， 解得a 2=2，或a 2=−1．(I)当a 2=2时，q 1=2，∴ b 1=1， 则b k =1+(k −1)×1=k ， 即1q k −1=k ，得q k =k+1k，∴ a2k+1a 2k−1=(k+1)2(k−1)2，则a 2k+1=a 2k+1a 2k−1×a 2k−1a 2k−3×…×a3a 1×a 1=(k +1)2k 2×k 2(k −1)2×…×2212×1=(k +1)2， ∴ a 2k =a 2k+1q k=(k+1)2k+1k=k(k +1)，则d k =a 2k+1−a 2k =k +1， 故D k =k(k+3)2．(II)当a 2=−1时，q 1=−1，∴ b 1=−12，则b k =−12+(k −1)×1=k −32． 即1qk −1=k −32，得q k =k−12k−32，∴ a 2k+1=a 2k+1a 2k−1×a 2k−1a 2k−3×…×a 3a 1×a 1=(k−12)2(k−32)2×(k−32)2(k−12)2×...×(12)2(−12)2×1=(k −12)2．则a 2k =a 2k+1q k=(2k −1)(2k −3)，∴ d k =a 2k+1−a 2k =4k −2， 从而D k =2k 2， 综上所述，D k =k(k+3)2，或D k =2k 2．。

上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知i 为虚数单位，计算：=-+ii23___________． 【答案】i +1 【解析】()()()()32122i i i i i ++=+-+. 2．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合},01{2R ∈≤-=x x x B ，则=B A _________．【答案】}1,0,1{-【解析】因为集合}1,0,1,2{--=A ，集合},01{2R ∈≤-=x x x B{}|11x x =-≤≤，所以=B A }1,0,1{-。

3．函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期是__________________． 【答案】π【解析】2)cos (sin x x y +=12sin cos 1sin 2x x x =+=+，所以函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期是π。

4．在56)1()1(x x +-+的展开式中，含3x 项的系数是_________． 【答案】10【解析】()61+x 中3x 项的系数是3620C =，()61+x 中3x 项的系数是3510C =，所有56)1()1(x x +-+的3x 项的系数是10。

5．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方 法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽 取__________人． 【答案】8【解析】在高二学生中应抽取640830⨯=人。

6．已知向量)1,(sin θ=a，)cos ,1(θ=b ，其中π0<<θ，若b a ⊥，则=θ____________． 【答案】4π3【解析】因为b a ⊥，所以sin +cos 0,sin()04πθθθ=+=，因为π0<<θ，所以=θ4π3。

上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试理科数学试卷（带解析）1．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对),(y x 所对应的点都在函数（ ）A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．xy 2=的图像上 D ．12-=x y 的图像上【答案】D 【解析】试题分析：据题意，输出的第一个点是(1,1)，可排除,B C ，第二个点是(2,2)，又排除A ，故选D .考点：程序框图.2．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题是“若12=x ，则1≠x ”B ．“1-=x ”是“022=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题是真命题D ．“1t a n =x ”是“4π=x ”的充分不必要条件【答案】C【解析】试题分析：A 中，否命题应该是“若20x ≠，则1x ≠”， A 错；B 中1x =-时，有220x x --=，故至少是充分的，B 错；C 中“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选C ，而D 应该是必要不充分条件． 考点：充分必要条件，四种命题．3．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程 是（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【答案】B【解析】试题分析：不妨设122PF PF a -=，则由已知126PF PF a +=，得124,2PF a PF a ==，又1222F F c a =>，因此12PFF ∆中最小角为1230PF F ∠=︒，由余弦定理得224cos30c a ⨯⨯︒24c =+22164a a -，解得c =，所以b =，渐近线方程为by x a=±=，选B ． 考点：双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程．4．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ） A ．4027 B ．4027- C ．8054 D ．8054- 【答案】D 【解析】试题分析：考虑到正弦函数的性质，当122x x +=时，12121()()s i n s i n 6f x f x xx xx ππ+=+++-= 114sin sin(2)4x x πππ-++-=-，因此函数()f x 关于点(1,2-对称，则4028()()420142014k k f f -+=-，1,2,,4027k =，又(1)2f =-，故所和为42013(2)8054-⨯+-=-．考点：分组求和．5．已知i 为虚数单位，计算：=-+ii23___________． 【答案】i +1 【解析】 试题分析：3(3)(2)63215512(2)(2)215i i i i i ii i i i +++++-+====+--++． 考点：复数的运算．6．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合},01{2R ∈≤-=x x x B ，则=B A _______．【答案】}1,0,1{- 【解析】试题分析：由题意{|11}B x x =-≤≤，{1,0,1}A B =-．考点：集合的运算．7．函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期是__________________． 【答案】π 【解析】试题分析：22sin 2sin cos cos sin 21y x x x x x =++=+，22T ππ==． 考点：三角函数的周期．8．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取__________人． 【答案】8 【解析】试题分析：设高二学生抽取x 人，则30406x=，解得8x =． 考点：分层抽样．9．8)1)(1(+-x x 展开式中含5x 项的系数是_________． 【答案】14 【解析】试题分析：818888(1)1x C x C x +=+++，所以5x 的系数为458814C C -=．考点：二项展开式的系数．10．在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，则=⋅__________． 【答案】16 【解析】试题分析：2cos 16AB AC AB AC BAC AC ⋅=∠==． 考点：向量的数量积．11．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________． 【答案】)2,1( 【解析】试题分析：()log (1)1a f x x =-+，()f x 过点(2,1)，则其反函数必过点(1,2)． 考点：反函数的性质．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．【答案】π 【解析】 试题分析：23114111323V πππ=⋅⋅+⋅⋅=． 考点：旋转体的体积．13．已知点),4(m P 在曲线C ：⎩⎨⎧==ty t x 4,42（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为_______________． 【答案】5 【解析】试题分析：消去参数t 和，得曲线C 的普通方程为24y x =，这是抛物线，其焦点为(1,0)F ，415PF =+=.考点：参数方程与普通方程的互化，抛物线的定义.14．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面 宽是____________米（精确到01.0米）． 【答案】66.5 【解析】试题分析：设抛物线方程为2y ax bx c =++，当 x =0时 c=2，当x =-4和x=4时y=0，求得18a =-， b=0，则2128y x =-+，令y=1，得x =±，所以水面宽 5.66. 考点：抛物线方程.15．设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x0 1 2)(x P =ξ abc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的的均值为34，则ξ的方差为___________． 【答案】95 【解析】试题分析：由题意有1a b c ++=， 2b a c =+，423b c +=，解得111,,632a b c ===，则其方差为D ξ=222414141(0)(1)(2)363332-⨯+-⨯+-⨯=59.考点：随机变量的均值与方差.16．若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】]0,3[-【解析】试题分析：由题意得22x a -≤+≤，22x a x --≤≤-，所以m ax(2)(2)m i n x a x --≤≤-，因为[1,2]x ∈，所以30a -≤≤.考点：简单的不等式恒成立问题.17．定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，22{}(,21]x x n n n n ⋅∈+++，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1232n n n a n +=++++=，12112()(1)1n a n n n n ==-++，所以12111221n a a a n +++=-+， 121112lim()lim(2)21n n n a a a n →∞→∞+++=-=+.考点：归纳推理，裂项相消求和，数列的极限. 18．设⎪⎭⎫⎝⎛+=x n x f n 2πsin )(（*N ∈n ），若△ABC 的内角A 满足 ++)()(21A f A f 0)(2014=+A f ，则=+A A cos sin ____________．【答案】2 【解析】试题分析：由诱导公式可得4()()k i i f x f x +=，1,2,3,4i =，即12201()()(f A f A f+++=12()()f A f A +cossin 0A A =-=，即sin cos A A =，所以4A π=，sin cos A A +=.考点：三角函数的周期性.19．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1)⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【解析】试题分析：（1）题设要求边，因此已知中角的关系应该转化为边的关系，显然应用正弦定理可达到目的，a c pb +=，再由已知54a c +=，与12ac =联立可解得,a c ；（2）已知B 为锐角，即cos (0,1)B ∈，因此为了求p 的范围，最好能把p 用cos (sin )B B 或表示出来，首先用余弦定理2222cos b a c ac B =+-=2()22cos a c ac ac B +--，把已知条件代入，可得所想要的关系式22221(1cos )2b p b b B =-+，即B p cos 21232+=，由此可求得范围.试题解析：（1）由正弦定理得，pb c a =+，所以45=+c a ， （2分）又41=ac ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a （5分）（少一组解扣1分） （2）由余弦定理，B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+=，（1分）即)cos 1(212222B b b p b +-=， （2分） 所以B p cos 21232+=． （4分）由B 是锐角，得)1,0(cos ∈B ，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈2,232p ． （6分） 由题意知0>p ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,26p ． （7分） 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围.20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）4π． ABCD P【解析】试题分析：本题中由于垂直关系较多，由题意易得,,DA DP DC 两两相互垂直，因此可以他们分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，若设AB a =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，(,0,)B a a ，这样第（1）题证明线面垂直，计算出0,0DC PQ DQ PQ ⋅=⋅=，就能证得结论；而第（2）题只要求出平面BCQ 和平面ADPQ 的法向量，这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补，其中平面ADPQ 是坐标平面xDy 平面，其法向量可取(0,0,1)，从而只要再求一个法向量即可．当然如果不用空间向量，也可直接证明，第（1）题只要用平面几何知识在直角梯形ADPQ 中证得PQ QD ⊥，又有PQ CD ⊥，线面垂直易得，为此取PD 中点E ，可得ADEQ 是正方形，⇒QE PD ⊥，接着可得PQ QD ⊥，正好辅助线QE 就是所求二面角的棱，可证CED ∠就是平面角，这个角是4π． 试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． （1分） 设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=， （3分） 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥， 即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， （5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． （6分） （2）因为⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n， （1分） 点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a -=，),,(a a a --=，（2分） 设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅n ，02=⋅n， 故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n． （5分）设1n 与2n 的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n nθ． （7分） 所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π． （8分） 解法二：（1）因为⊥CD 平面PDAQ ，所以PQ CD ⊥， （1分）作DP QE ⊥，E 为垂足，则四边形ADEQ 是正方形，设a AB =，则a DE =，a DQ 2=，又a DP 2=，所以E 是AP 的中点，a EP =，所以a PA 2=，所以222DP PQ DQ =+，所以PQ DQ ⊥． （5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． （6分）（2）连结CE ，由（1）知DP QE ⊥，又CD QE ⊥，所以⊥QE 平面DCP ，（2分） 所以CE QE ⊥，所以CED ∠为所求二面角的平面角． （4分） 因为△CED 是等腰直角三角形，所以CED ∠4π=． （7分）所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π． （8分） 考点：（1）线面垂直，（2）二面角．21．已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．【解析】试题分析：(1)要确定椭圆方程，要确定,a b 两个参数的值，因此需要两个条件，题中有焦点为，即c =(3,1)，代入方程又得到一个关于,a b 的等式，联立可解得,a b ；(2) 直线和圆锥曲线相交问题，一般都是设出直线方程，本题直线l 的方程可设为y x m =+，代入椭圆方程得到关于x 的一元二次方程，再设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则可得12x x +，12x x ，而条件等腰三角形PAB 的应用方法是底边AB 边上的中线就是此边上的高，即取AB 中点为D ，则PD AB ⊥．由此可求得m 从而得到,A B 坐标，最终求得PAB ∆的面积．试题解析：（1）由已知得22=c ，因为椭圆Γ过点)1,3(，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,8,1192222b a b a （2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,1222b a （5分）所以，椭圆Γ的方程为141222=+y x ． （6分） （2）设直线l 的方程为m x y +=， （1分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① （2分）因为直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，所以△0)123(163622>--=m m ，所以162<m ． （3分）设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，所以2321m x x -=+， 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， （4分） 因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以AB PE ⊥，向量是直线l 的一个法向量， 所以∥向量)1,1(-，即⎪⎭⎫⎝⎛-+-24,343m m ∥向量)1,1(-，所以24343-=-mm ，解得2=m ． （5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ．又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， （7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． （8分）考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．22．设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21nn n c a b +=+，21nn n b a c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．【答案】（1）112()2n -⋅-；（2）证明见解析；（3）[2,3]．【解析】试题分析：（1）根据已知条件与待求式，作差11n n c b ++-，可得11n n c b ++-11()()22n n n n b c c b =-=--，而112c b -=，故数列{}n n c b -是等比数列，通项公式可求；（2）考虑要证的表达式求和11n n b c +++=22n n na b c ++，表面上看不出什么，但由1114,3,5a b c ===，可得22118b c b c +=+=，由由338b c +=，可以想象8n n b c +=，是常数，因此可用数学归纳法证明；（3）由（1）（2）可解得114()2n n c -=+-，那么其前n 项和n S 可用分组求和法求得，214[1()]32n n S n =+--，这样我们就可求出214[1()]32n n S n -=--，(4)[1,3]n p S n -∈，相当于211[1()]332n p ≤--≤，由于11()02n -->，从而1231131()1()22nnp ≤≤----，一直是我们只要求得111()2n --的最大值M 和311()2n--的最小值m ，则就是23p M m ≤≤，由此可求得p 的范围．试题解析：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， （１分）所以222421+=+=+=+n n n n n c c c a b ，2221+=+=+nn n n b b a c ， )(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++， （2分）即数列}{n n b c -是首项为2，公比为21-的等比数列， （3分） 所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-n n n b c ． （4分）（2）解法一：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， （1分） 因为811=+c b ，所以822=+c b ，833=+c b ， 猜测：8=+n n c b （*N ∈n ）． （2分） 用数学归纳法证明：①当1=n 时，811=+b a ，结论成立； （3分）②假设当k n =（*N ∈k ）时结论成立，即8=+k k c b ，那么当1+=k n 时，84)(2111=++=+++k k k k b a b a ，即1+=k n 时结论也成立． （5分） 由①，②得，当*N ∈n 时，8=+n n b a 恒成立，即n n b a +恒为定值．（6分）解法二：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， （1分） 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n n n n c b c b c b ，（4分） 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n b a +恒为定值．（6分） （3）由（1）、（2）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，（1分） 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(， （2分） 由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ，因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， （3分）当n 为奇数时，n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递增，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<n，当n 为偶数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递减，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n，所以，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113的最小值为2． （4分）由p ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p ，解得32≤≤p ． （6分） 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．考点：（1）等比数列的定义；（2）数列的通项；（3）数列与不等式恒成立问题． 23．设a 是实数，函数|2|4)(a x f xx-+=（R ∈x ）． （1）求证：函数)(x f 不是奇函数；（2）当0≤a 时，求满足2)(a x f >的x 的取值范围；（3）求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）),)]1([(log 2∞++-a ；（3）当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当210<<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2∞+a ；当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,41a ． 【解析】试题分析：（1）要证明函数()f x 不是奇函数，可用定义证，也可用其必要条件(0)0f =证，实质上证明否定性命题，只要举一个反例即能说明，本题上中(0)110f a =+-≠，就说明()f x 不是奇函数了；（2）由于0a ≤，函数式中的绝对值符号可去掉，即()42x x f x a =+-，本题就是解关于x 的不等式242x x a a +-≥，变形得(2)(21)0x x a a -++≥，由于20x a -≥恒成立，因此210x a ++≥，即2(1)x a ≥-+，这是应该分两种情况(1)0a -+≤和(1)0a -+>分别求解；（3）本题要求函数的值域，一个要用换元法把指数式转化为一般的代数式，其次要能够对绝对值进行处理（实质是分类讨论，分段函数），设2x t =，则0t >，原函数变为2y t t a =+-，由（1）的结论知当0a ≤时，有2y t t a =+-(0)t >，值域可求，当0a >时函数为22,,,0,t t a t a y t t a t a ⎧+->⎪=⎨-+<≤⎪⎩注意分段求解，每一个都是二次函数在给定区间上求值域，最后还要适当合并，得出结论．t a >时，211()24y t a =+--，是增函数，则有2(,)t a ∈+∞，当0t a <≤时，211()24y t a =-+-，还要分102a <<和12a ≥两类情况讨论．试题解析：（1）假设)(x f 是奇函数，那么对于一切R ∈x ，有)()(x f x f -=-， 从而)0()0(f f -=-，即0)0(=f ，但是0|1|1|2|4)0(00≠-+=-+=a a f ，矛盾． 所以)(x f 不是奇函数．（也可用0)1()1(≠-+f f 等证明） （4分）（2）因为02>x ，04>x ，所以当0≤a 时，a x f x x -+=24)(，由2)(a x f >，得224a a x x >-+，即0)1(24>+-+a a x x ，0)12)(2(>++-a a x x ，（2分）因为02>-a x ，所以012>++a x ，即)1(2+->a x． （3分）①当01≥+a ，即01≤≤-a 时，)1(2+->a x恒成立，故x 的取值范围是R ；（4分） ②当01<+a ，即1-<a 时，由)1(2+->a x，得)]1([log 2+->a x ，故x 的取值范围是),)]1([(log 2∞++-a ． （6分）（3）令x t 2=，则0>t ，原函数变成||2a t t y -+=．①若0≤a ，则a t t y -+=2在),0(∞+∈t 上是增函数，值域为),(∞+-a ．（2分） ②若0>a ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<+-=.,,0,22a t a t t a t a t t y （3分）对于a t ≤<0，有41212-+⎪⎭⎫⎝⎛-=a t y ，当210<<a 时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是),[2a a ；当21≥a 时，41min -=a y ，当121<≤a 时，y 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-a a ,41，当1≥a 时，y 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,41a a ． （5分) 对于a t >，有a t t y -+=24121--⎪⎭⎫⎝⎛+=a t a是关于t 的增函数，其取值范围),(2∞+a ． （7分） 综上，当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当210<<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2∞+a ； 当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,41a ． （8分） 考点：（1）奇函数的定义；（2）解含参数的不等式；（3）求函数值域．。

2014年长宁区二模一、阅读 80分（一）阅读下文，完成第1—6题（17分）①城市建筑是与经济、社会发展水平相适应的城市文化生态的重要构成部分。

目前我国各地的经济、社会发展和城乡景观发展水平仍不平衡。

处在这一历史阶段的中国建筑，怎样体现既往与当今、时代与地域的关系？这是当下中国城市建筑文化生态演进的重要思考点。

②“现代性”促成了合理的城市化和建筑现代化，也导致了文化断根的城市化和城市、建筑的千篇一律。

于是，面对历史空间，便有两种倾向：标榜逻辑合理的“新陈代谢”和诉诸历史价值的“怀古恋旧”，．而前者占压倒性优势。

观察中外城市与建筑演变进程中呈现的差异，可以对上述问题有更深入的思考：一是以巴黎19世纪的“奥斯曼计划”为例，法国近代旧城改造虽然颇具争议地拆除了大半的中世纪建筑及街区，但是也留下了有着较高建造质量并仍适应当代发展的近代历史城市景观，今天的中国，大部分城镇包括重要历史城镇都经过了初级改造，却留下了很多问题和遗憾，低质建造比例大、地域风土特征保留少、景观相似度甚高等现代城市建筑通病随处可见。

第二个差异是，当代西方城市强调的可持续发展以后工业时代为背景，已经面临“逆城市化”和“再城市化”的问题，城市的历史空间与现代空间已从相对立走向相交融，而中国如何在社会和人文意义上，同时实现从农耕时代到后工业时代的“有机更新”，乃是目前面临的一个巨大挑战。

这就使我们看到了在现代性和全球化影响下，传统城乡的改造有必要坚持反思现代性的历史主义观念和保持各地文化生态多样性的地域主义立场。

③在“现代性”的冲击下，我们正在失去美国建筑师弗兰克·劳埃德·莱特说过的“使居者能有‘此地人’切身感受”的地域建筑特征。

面对此种挑战，虽然当下很多城市采用“再现”古城、古建已逝风貌的重建对策，但是这种被动的历史“再现”很难成为城市演进的主导方向。

④城市空间并非是一元性的，即使在全球化文化交流、交融的背景下，我们依然可以看到，在文化生态上有魅力、可持续的城市，不仅是“与古为新”拥有历史厚度的城市，还拥有质感的山水、建筑和人文环境，是有“此地人”感受的地方。

2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知i为虚数单位，计算：=．2．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣1≤0，x∈R}，则A ∩B=．3．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．4．（4分）在（1+x）6﹣（1+x）5的展开式中，含x3项的系数是．5．（4分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．6．（4分）已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，若⊥，则θ=．7．（4分）对于任意a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=的反函数f﹣1（x）的图象经过的定点的坐标是．8．（4分）已知函数f（x）=，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为．9．（4分）已知tanα=﹣，则cos2α=．10．（4分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是米．11．（4分）从集合{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，从集合{1，3，5}中随机取一个数b，则“事件a≥b”发生的概率是．12．（4分）已知实数a，b满足a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值为．13．（4分）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是．14．（4分）已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），直线y=k n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则（k12+k22+…+k n2）=．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上16．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D．“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件17．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），方向向量为=（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A．2x±y=0B．x±2y=0C．x±y=0D．x±y=0 18．（5分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），则f（2014）的值等于（）A．2B．3C．4D．0三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．20．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面PDAQ，AB=AQ=DP．（1）求证：棱锥Q﹣ABCD与棱锥P﹣DCQ的体积相等．（2）求异面直线CP与BQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（14分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求•的取值范围．22．（16分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．23．（18分）设a是实数，函数f（x）=4x+|2x﹣a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a≤0时，解关于x的方程f（x）=a2；（3）当a＞0时，求函数y=f（x）的值域（用a表示）．2014年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知i为虚数单位，计算：=1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：===1+i．故答案为：1+i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣1≤0，x∈R}，则A ∩B={﹣1，0，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|x2﹣1≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．3．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是π．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．4．（4分）在（1+x）6﹣（1+x）5的展开式中，含x3项的系数是10．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意可得，含x3项的系数为﹣，计算求得结果．【解答】解：在（1+x）6﹣（1+x）5的展开式中，含x3项的系数为﹣=20﹣10=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5．（4分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为8．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．6．（4分）已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，若⊥，则θ=．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直与向量数量积之间的关系，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，∴若⊥，则•=0，即sinθ+cosθ=0，即tanθ=﹣1，∴，故答案为：【点评】本题主要考查平面向量的应用，利用向量垂直与向量数量积之间的关系是解决本题的关键．7．（4分）对于任意a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=的反函数f﹣1（x）的图象经过的定点的坐标是（1，2）．【考点】4R：反函数．【专题】1：常规题型．【分析】先由矩阵算出f（x）的表达式，再由原函数过定点，交换点的横纵坐标，得到反函数的定点坐标．【解答】解：f（x）==log a（x﹣1）+1，易知过定点（2，1）．由反函数与原函数的图象关于直线y=x对称，所以反函数f﹣1（x）的图象经过的定点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题得到原函数的定点（2，1），再由对称性得到反函数的定点坐标．8．（4分）已知函数f（x）=，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题．【分析】根据曲线旋转后的图形，即可得到结论．【解答】解：当0≤x≤2时，函数f（x）与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周为两个圆锥，其中圆锥的高为1，底面半径为1，球的半径为1，则对应的体积为2×，故答案为：．【点评】本题主要考查空间几何体的体积计算，根据函数的表达式确定旋转之后的图形是解决本题的关键．9．（4分）已知tanα=﹣，则cos2α=．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵tanα=﹣，∴cos2α====，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．10．（4分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是米．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先建立坐标系，根据题意，求出抛物线的方程，进而利用当水面升高1米后，y=﹣1，可求水面宽度．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=﹣2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，﹣2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=﹣8y当水面升高1米后，y=﹣1代入方程得：x=±2∴水面宽度是米故答案为：【点评】本题以实际问题为载体，考查抛物线方程的建立，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．11．（4分）从集合{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，从集合{1，3，5}中随机取一个数b，则“事件a≥b”发生的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有5×3种结果，满足条件的事件是满足a≥b，可以列举出所有的事件，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有5×3=15种结果，满足条件的事件是满足a≥b，可以列举出所有的事件，当b=1时，a=1，2，3，4，5，当b=3时，a=3，4，5，当b=3时，a=5，共有5+3+1=9个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查分步计数原理和分类计数原理，利用这两个原理做出基本事件数．属于中档题．12．（4分）已知实数a，b满足a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值为．【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】15：综合题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】由题意（a+2）2+（b+2）2的几何意义是点（a，b）与点（﹣2，﹣2）的距离的平方，（a+2）2+（b+2）2的最小值点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离的平方，由此问题转化为求点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离【解答】解：由题意（a+2）2+（b+2）2的几何意义是点（a，b）与点（﹣2，﹣2）的距离的平方实数a，b满足a+b=1，即点（a，b）在直线a+b=1运动，∴两点（a，b）与点（﹣2，﹣2）的距离的最小值即为点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离由于d==∴（a+2）2+（b+2）2的最小值为故答案为：．【点评】本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式，解题的关键是理解题意，将求（a+2）2+（b+2）2的最小值问题转化为点（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离的平方，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，本题考查析几何的根本问题，题目难度不大，但很有价值．13．（4分）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，]．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出平面区域，直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，可行域是三角形，直线过（0，2）和（﹣2，0），结合图形，求出k的范围．【解答】解：直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，根据约束条件画出可行域如图：平面区域是一个三角形，就是图中阴影部分，所以k∈（﹣∞，﹣2）∪（0，]故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，]．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查作图能力，逻辑思维能力，是中档题．14．（4分）已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），直线y=k n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则（k12+k22+…+k n2）=．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；5B：分段函数的应用；6F：极限及其运算．【专题】15：综合题．【分析】由函数f（x）是分段函数求出各段内的表达式，画出草图，得到直线和y=f（x）交点的规律，列方程组求出的值，问题得解．【解答】解：∵当0≤x＜2时，f（x）=，当2≤x＜4时，0≤x﹣2＜2，∴f（x﹣2）==，当4≤x＜6时，0≤x﹣4＜6，∴f（x﹣4）==，以此类推…，∴函数f（x）的图象如图所示：当n=1时，y=k1x与函数y=f（x）的图象恰有3个不同交点，此时，y=k1x与第一个半圆相交与第二个半圆相切，当n=2时，y=k2x与函数y=f（x）的图象恰有5个不同交点，此时，y=k2x与前两个半圆相交与第三个半圆相切，…，当n=n时，直线y=k n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，此时，y=k n x与前n个半圆相交与第n+1个半圆相切，于是有；⇒（+1）﹣2（2n+1）x+（2n+1）2﹣1=0⇒△==0，解得：==（），∴+++…+=（1﹣+﹣+…+）=（1﹣），则（k12+k22+…+k n2）=（1﹣）=．【点评】本题主要考察了分段函数，函数的图象及性质，数列裂项求和以及求极限值，是一道综合题．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出输出的实数对（x，y）是什么，从而做出正确的选择．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得输出的实数对（x，y）是（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）；∴它们所对应的点都在函数y=2x﹣1的图象上．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而做出正确的判定，是基础题．16．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D．“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】15：综合题；5L：简易逻辑．【分析】对选项逐个进行判断，即可得出结论．【解答】解：A：命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故不正确；B：“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件，故不正确；C：命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题，故正确；D：“tanx=1”是“x=”的必要不充分条件，故不正确故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题．17．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），方向向量为=（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A．2x±y=0B．x±2y=0C．x±y=0D．x±y=0【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设方向向量为=（1，1）的直线方程为y=x+m，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为（4，1），x1+x2==8，y1+y2=8+2m=2，由此求出a=2b，从而能求出双曲线C的渐近线方程．【解答】解：设方向向量为=（1，1）的直线方程为y=x+m，联立，消去y，得：（b2﹣a2）x2﹣2a2mx﹣a2m2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为（4，1），∴x1+x2==8，y1+y2=8+2m=2，解得m=﹣3，∴，∴a=2b，∴双曲线C的渐近线方程为y=x，即x±2y=0．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．18．（5分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），则f（2014）的值等于（）A．2B．3C．4D．0【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令x=﹣2，求出f（2）=0，然后得到函数的周期为4，利用函数的周期性即可求出f（2014）的值．【解答】解：令x=﹣2，则由f（x+4）﹣f（x）=2f（2），得f（﹣2+4）﹣f（﹣2）=2f（2），∵f（x）是偶函数，∴f（2）﹣f（2）=2f（2），即f（2）=0，∴f（x+4）﹣f（x）=2f（2）=0，即f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期数列，则f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性，推导出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．【考点】HU：解三角形．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．【解答】（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求【点评】本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．20．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面PDAQ，AB=AQ=DP．（1）求证：棱锥Q﹣ABCD与棱锥P﹣DCQ的体积相等．（2）求异面直线CP与BQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来即可得出结论；（2）确定∠PCE为异面直线PC与BQ所成角，利用余弦定理，即可求出异面直线CP与BQ所成角的大小．【解答】（1）证明：设AB=a，由题设，QA⊥AD，QA⊥CD，知AQ为棱锥Q ﹣ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积V1=，棱锥P﹣DCQ的体积V2=V C﹣DPQ=••2a•a•a=，故棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积相等；（2）解：因为AB=AQ=DP，取PD中点E，连结QE，CE则QE∥BC，且QE=BC，故CE∥BQ，所以∠PCE为异面直线PC与BQ所成角．…（2分）设AB=a，则在△PCE中，EP=a，CE=a，CP=a，…（4分）由余弦定理，cos∠PCE==．…（7分）所以，异面直线CP与BQ所成角的大小为arccos．…（8分）【点评】本题考查体积的计算，考查异面直线所成角，考查余弦定理，正确作出异面直线所成角是关键．21．（14分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求•的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆Γ的方程．（2）设P（x，y），则Q（﹣x，y），（x≠0），=（x﹣2，y﹣），=（﹣x ﹣2，y﹣），由，得x2=8﹣2y2，由此能求出的取值范围．【解答】（1）解：∵椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．∴c=2，…（1分），…（2分）解得a2=8，b2=4，…（4分）∴椭圆Γ的方程为．…（6分）（2）设P（x，y），则Q（﹣x，y），（x≠0），=（x﹣2，y﹣），=（﹣x﹣2，y﹣），…（1分）由，得x2=8﹣2y2，∴=4﹣x2+（y﹣）2=3y2﹣2y﹣2=3（y﹣）2﹣，…（5分）由题意，﹣2＜y＜2，∴﹣≤3﹣＜10+4．…（7分）∴的取值范围是[﹣，10+4）．…（8分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（16分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．【考点】83：等差数列的性质；8K：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p 的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n 项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．23．（18分）设a是实数，函数f（x）=4x+|2x﹣a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a≤0时，解关于x的方程f（x）=a2；（3）当a＞0时，求函数y=f（x）的值域（用a表示）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4A：指数型复合函数的性质及应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据奇函数定义，利用反证法证明（2）讨论a的范围，解方程即可（3）利用换元将函数变为二次函数，进而利用二次函数的单调性求值域【解答】解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则对于一切x∈R，有f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0，又f（0）=40+|20﹣a|≥1，矛盾，所以假设不成立，故f（x）不是奇函数．（2）∵2x＞0，4x＞0，∴当a≤0时，f（x）=4x+2x﹣a，由f（x）=a2，得4x+2x﹣a=a2，即4x+2x﹣a（a+1）=0，解得2x=a（舍去）或2x=﹣（a+1）；∴当a+1≥0时，即﹣1≤a≤0时，原方程无解；当a+1＜0，即a＜﹣1时，原方程的解为x=log2[﹣（a+1）]．（3）令t=2x，则t＞0，原函数变成y=t2+|t﹣a|∵a＞0∴y=，对于0＜t≤a，有y=，当0时，y是关于t的减函数，y的取值范围[a2，a）；当a时，y min=a，时，y的取值范围是[a，a），a≥1时，y的取值范围是[a，a2）；对于t＞a，有y=t2+t﹣a=（t+）2是关t的增函数，其取值范围（a2，+∞）．综上可知，当0时，函数y=f（x）的值域是[a2，+∞）；当a时，函数y=f（x）的值域是[a，+∞）．【点评】本题主要考察了函数的奇偶性以及复合函数的相关性质，综合性较强，属于难题．。

一、填空题(每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1。

已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2.已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．3。

设等差数列{}na 的前项和为nS ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4。

若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ． 【答案】12【解析】试题分析:()(2)221(21)(2)a i i a ai i a a i ++=++-=-++是纯虚数，则21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =． 考点：复数的概念．5。

抛物线24y x=的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6. 已知向量2a =，1b =，1a b ⋅=,则向量a与a b-的夹角为 ．7。

执行下图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S值为 ．【答案】21 【解析】试题分析:由题意,012345621S =++++++=． 考点：程序框图．8.不等式1011axx <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9。

若na 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x 项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ．开始 输入i1n =n i ≤？输出S 0S =结 束S S n =+1n n =+否是。